江苏泰州市靖江市实验学校2026-2027学年上学期八年级数学学情自测（3）

实验学校2026-2027学年度第一学期八年级周测 Season提醒练习方向：实数，勾股 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分） 1.在图 7-V16,101001001,二号.0，m,32这些数中，无理数的个数是( A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 2.在△ABC中，它的三边分别为a,b,c,条件：①LA=∠C-∠B;②∠A=∠B=2LC;③LA:∠B:∠C= 3:4:5;④a:b:c=1:V2:V2;中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.下列四组数中，是勾股数的是( A.0.3,0.4,0.5 B.32,42,52 111 c.345 D.30,40,50 4.如图，将一根长20cm的铅笔放入底面直径为9cm,高为12cm的圆柱形笔筒中，设铅笔露在笔筒外面的长度为 xcm,则x的最小值是() A.5 B.7 C.12 D.13 D C M 一B B N 5.如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F,CG⊥DE于点G.若AD=5,CG=4,则△AEF 的面积为() 8 c晋 n 6.如图，∠MON=90°，已知△ABC中，AC=BC=5,AB=6,△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当 点B在边ON上运动时，点A随之在边OM上运动，△ABC的形状保持不变，在运动过程中，点C到点O的 最大距离为() A.5 B.6 C.7 D.8 二.填空题（本大题共有8小题，每空3分） 7.V4的算术平方根是 8.比较大小：√13-13（填“>”、“<”或“=”） 9.若等腰三角形一个内角的度数为50°，则它的顶角的度数是 10.已知V(x-3)2=3-x,则x的取值范围是 11.△ABC的三边分别是a、b、c,且满足引a-8+（b-6)2=0,则当c2= 时，△ABC是直角三角形 12.如图，在正方形网格中，点A,B,C,D,E是格点，则∠ABD叶∠CBE的度数为 1 C 入 S2 S ---------- 13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC,BC为斜边作等腰直角三角形，其面积分别为S,S2,以AB 为边作正方形，其面积S.若S+=9,则AB的长为 14.如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一 只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm,且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短 路程为 cm.（杯壁厚度不计) 三.解答题 15.(10分)求下列各式中的x. (1)-64-9+1-(传)2： (2)W2-3+V(-5)2-3 16:解方程(10分)(1)8x+125=0; (2)3(x-1)2-75=0. 17.(10分)已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC,垂足为D,交AB于点E,且BE-EA2- AC2. (1)求证：∠A=90°； (2)若AB=8,BC=10,求AE的长. E O 2 18(14分）如图是盼酚家新装修的房子，其中两个房间甲、乙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的 垂直距离记作MA,如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB (1）当他在甲房间时，测得MA=2.4米，MP=2.5米，且∠MPN=90°，求甲房间的宽AB; (2)当在乙房间时，他用另一个梯子，测得MA=2.8米，且∠MPA=75°，∠NPB=45°· ①∠MPN的度数； ②求乙房间的宽. M P45 A B 19.(14分)在Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，P为线段AB上一动点. (1)如图1，点D、E分别在AC、BC上（点D不与点A重合），若P运动到AB的中点，且PD⊥PE. ①求证：AD=CE; ②若AD=7,BE=1,求PD的长； (2)如图2，点F在BC上，且PC=PF,过点F作FH⊥AB,垂足为H,若AB=10,在点P运动的过程中， 线段PH的长度是否发生变化？若不变，请求出PH的长度；若变化，请说明理由. A D 图1 图2 3 参考答案与试题解析 一.选择题（共6小题）》 -V6.10101001. 1.在 22 号，0，Ⅱ，3.2这些数中，无理数的个数是() A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项。 【解答】解：-√16=-4 放在号 -V瓜，1010101，-2头0，，32这些数中，无理数有在9m,共2个 故选：D, 【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数 2.在△ABC中，它的三边分别为a,b,c,条件：①LA=∠C-∠B;②∠A=∠B=2LC;③∠A:∠B:∠C= 3:4:5;④a:b:c=1:V2:V2;中，能确定△ABC是直角三角形的条件有(） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答， 【解答】解：①，∠A=∠C-∠B, .∠A+∠B=∠C, ∠A+∠B+∠C=180°， .2∠C=180°， ∴.∠C=90°， .∴.能确定△ABC是直角三角形； ②：∠A=∠B=2∠C,∠A+∠B+∠C=180°， ∴.2∠C+2∠C+∠C=180°， .∠C=36°， .∠A=∠B=72° , ∴.不能确定△ABC是直角三角形； ③∠A:∠B:∠C=3:4:5,∠A+∠B+∠C=180°， 5 ∠C=180°×3+4+5=75°， ∴.不能确定△ABC是直角三角形； ④a:b:c=1:V2:V2 设a=k,b=√2k,=√2k, a2+2=2+(√2k)2=32,c2=(√2k)2=22, ∴a2+b≠c2 ∴.不能确定△ABC是直角三角形； 所以，能确定△ABC是直角三角形的条件有1个， 故选：A. 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定 理是解题的关键. 3.下列四组数中，是勾股数的是() A.0.3,0.4,0.5 B.32,42,52 4 c子月 D.30,40,50 【分析】根据勾股数的定义：有a、b、c三个正整数，满足a2+2=c2,称为勾股数.由此判定即可. 【解答】解：A、0.32+0.42=0.52,但0.3,0.4,0.5不是整数，不是勾股数，不符合题意； B、（32)2+(42)2≠（52)2，不是勾股数，不符合题意： C(宁)4（年）2+（兮）2，不是勾股数，不符合题意： D、302+402=502,是勾股数，符合题意 故选：D. 【点评】本题考查了勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键 4.如图，将一根长20cm的铅笔放入底面直径为9cm,高为12cm的圆柱形笔筒中，设铅笔露在笔筒外面的长度为 xcm,则x的最小值是（) A.5 B.7 C.12 D.13 【分析】分析可知，当铅笔如图放置时x最小，在Rt△ABC中，运用勾股定理即可得到答案 【解答】解：当铅笔如图放置时x最小。 -…B 在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC=122+92=152, ∴.AC=15, ∴.X=20-15=5 .x的最小值是5. 故选：A. 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是运用勾股定理求出斜边的长度： 5.如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F,CGL DE于点G.若AD=5,CG=4,则△AEF 的面积为( ) D 1 B.8 c D 3-4 【分析】先证明△CDG≌△DAF(AAS)得CG=DF=4,DG=AF,EF=x,则DE=DF件EF=4+x,利用勾股 定理构造方程，解方程得EF=是再根据SOAEF=方AF,EF求解即可。 【解答】解：在正方形ABCD中，AD=5 ∴AD=CD=5,∠DAE=∠ADC=90°，AB∥CD, .∴.∠CDG=∠AED 'AF⊥DE于点F,CG⊥DE于点G, ∴.∠DGC=∠AFD=90°， ∴∠CDG=∠DAF=90°-∠ADF, .在△CDG和△DAF中， I∠DGC=∠AFD ∠CDG=∠DAF ICD=AD ∴△CDG≌△DAF(AAS), ∴.CG=DF=4,DG=AF, 设EF=x,则DE=DF件EF=4+x, 在Rt△DAF中，AF=VAD2-DF2=V52-42=3, 在Rt△EAF中，AE2=AP+EP=9+xX2, 在Rt△DAE中，D=AD2+AE, .(4+x)2=52+9叶x2, 、9 解得x=4 即EF=是 1 1 9_27 ∴S△AEr=AF,EF=2×3×=8 故选：C. 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握其相关知识点是解题的关键， 6.如图，∠MON=90°，已知△ABC中，AC=BC=5,AB=6,△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当 点B在边ON上运动时，点A随之在边OM上运动，△ABC的形状保持不变，在运动过程中，点C到点O的 最大距离为( M N A.5 B.6 C.7 D.8 【分析】取AB的中点D.连接CD.根据三角形的边角关系得到OC小于等于OD+DC,只有当O、D及C共 线时，OC取得最大值，最大值为OD+CD,根据D为AB中点，得到BD为3，根据三线合一得到CD垂直于 AB,在Rt△BCD中，根据勾股定理求出CD的长，在Rt△AOB中，OD为斜边AB上的中线，根据直角三角形 斜边上的中线等于斜边的一半可得OD等于AB的一半，由AB的长求出OD的长，进而求出DC+OD,即为OC 的最大值， 【解答】解：如图，取AB的中点D,连接CD. .AC=BC=5,AB=6. 点D是AB边中点， BD=7AB=3, ∴.CD=VBC2-BD2=V52-32=4; 6 连接OD,OC,有OC≤ODDC, 当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD叶CD, 又：△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点， 0D=2AB=3, .OD1CD=3+4=7,即OC=7. 故选：C. M ○ B 【点评】此题考查的是勾股定理，等腰三角形的性质，其中找出OC最大时的长为CDOD是解本题的关键 二.填空题（共8小题) 7.√4的算术平方根是_√2. 【分析】利用算术平方根的定义计算即可得到结果 【解答】解：√4=2， .算术平方根是√2 故答案为：√2 【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键. 8.比较大小：√13-1<3（填“>”、“<”或“-”） 【分析】估算出√13的值即可解答 【解答】解：9<13<16， .√<13<16 .3<V13<4, ∴.2<V13-1<3, 故答案为：<. 【点评】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握平方数是解题的关键 9.若等腰三角形一个内角的度数为50°，则它的顶角的度数是50°或80° 【分析】可知有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定 理即可求出顶角的度数， 【解答】解：如图所示，△ABC中，AB=AC 有两种情况： ①顶角∠A=50°； ②当底角是50°时， .AB=AC, > .∴.∠B=∠C=50° '∠A+∠B+∠C=180° .∠A=180°-50°-50°=80°， ∴这个等腰三角形的顶角为50°或80°. 故答案为：50°或80°. 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对有的问题正确地进行分类讨论 是解答此题的关键 10.已知V(X-3)2=3-X,则x的取值范围是x≤3· 【分析】利用二次根式的性质得V(X一3)2=x-3引，所以x-3=3-x,然后根据绝对值的意义得到x-3≤0， 然后解不等式即可. 【解答】解：√(x-3)2=x-3引， .x-3=3-x, x-3≤0， 解得x≤3. 故答案为：x≤3 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质（√a2=a)是解决问题的关键 11.△ABC的三边分别是a、b、c,且满足a-8+（b-6)2=0,则当2=_100或28_时，△ABC是直角三角 形. 【分析】根据非负性得出a=8,b=6,再根据勾股定理解答即可 【解答】解：根据题意可得：a-8=0,b-6=0, 解得：a=8,b=6, 所以当△ABC是直角三角形时，2=a+P=62+82=100或c2=a2-b2=82-62=28, 故答案为：100或28 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a,b,c满足+=2，那么这个三角形就 是直角三角形 12.如图，在正方形网格中，点A,B,C,D,E是格点，则∠ABD叶∠CBE的度数为45° 【分析】如图，作∠EBF=∠ABD,连接CF,根据勾股定理和勾股定理的逆定理可得△BCF是等腰直角三角形， 可得∠CBF=45°，可得∠ABDH∠CBE的度数. 【解答】解：如图，作∠EBF=∠ABD,连接CF, .BC=CF=V22+12=V5 BF=V32+12=V10 (√5)2+(V5)2=(√10)2， ∴.△BCF是等腰直角三角形 .∴.∠CBF=45° ∴.∠ABDH∠CBE=45°. 故答案为：45° 【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，求得△BCF是等腰直角三角形是解题的关键 13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC,BC为斜边作等腰直角三角形，其面积分别为S,S,以AB 为边作正方形，其面积S.若S+=9,则AB的长为6· S 【分析】分别以AC,BC为边向△ABC的外部作正方形，则AC2=4S,BC2=4S,由勾股定理可得S=4(S+S5), 进而可求解AB的长 【解答】解：分别以AC,BC为边向△ABC的外部作正方形， 则AC2=4S1,BC=4S, 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB, .AB2=S, ∴.S=4S+4S2=4(S1+S2), ∵S+S2=9, ..S=4×9=36. ..AB=6. 故答案为：6. 【点评】本题主要考查勾股定理，分别以AC,BC为边向△ABC的外部作正方形，利用勾股定理列算式时解题 的关键. 14.如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一 只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm,且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最 短路程为10cm.(杯壁厚度不计) 【分析】将杯子侧面展开，建立B关于EF的对称点B,根据两点之间线段最短可知BA的长度即为所求 【解答】解：如图： 将杯子侧面展开，作B关于EF的对称点B, 9 连接BA,则BA即为最短距离， BA=VBD2+AD2=√82+62=10(cm). 故答案为：10 B测 D E 【点评】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关 键.同时也考查了同学们的创造性思维能力. 三.解答题（共5小题) 15.计算题： (1)-64-+1-()2 =-4-3+号 (2)W2-3+V-5)2-3 =√5-√2+5-√3 =-2+5, 【点评】本题考查了实数的运算、立方根、平方根，熟练掌握平方根，立方根，绝对值，算术平方根的运算是解 题的关键. 16.求x的值： (1）8x3+125=0; (2)3(x-1)2-75=0 【分析】(1)根据立方根的定义解答即可： (2)根据平方根的定义解答即可. 【解答】解：（1)8x=-125, x3=-125 8Γ x=-多 (2)3(x-1)2-75, (x-1)2=25 x-1=±5， ∴x=6或x=-4. 【点评】本题考查了立方根、平方根，熟练掌握立方根、平方根的定义是解题的关键 17.已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC,垂足为D,交AB于点E,且B尽-EA2=AC (1)求证：∠A=90°； (2)若AB=8,BC=10,求AE的长， 10 A D 【分析】(1)连接CE,由线段垂直平分线的性质可求得BE=CE,再结合条件可求得EA+AC2=CP,可证得 结论； (2)在Rt△BDE中可求得BE,则可求得CE,在Rt△ABC中，利用勾股定理结合已知条件可得到关于AE的 方程，可求得AE 【解答】(1)证明：连接CE,如图， D D是BC的中点，DE⊥BC, ∴CE=BE, .BE2-EA2=AC, ∴.C-EA2=AC2, ..EA2+AC=CE ∴.△ACE是直角三角形，即∠A=90°； (2)解：AB=8,BC=10, ∴.AC=√102-82=6，设AE=x, 在Rt△AEC中，62+X2=(8-x)2, 7 .X=4 AF的长好 【点评】本题主要考查勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这 类问题中的应用. 18.如图是盼酚家新装修的房子，其中两个房间甲、乙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离 记作MA,如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB. (1）当他在甲房间时，测得MA=2.4米，MP=2.5米，且∠MPN=90°，求甲房间的宽AB; (2)当在乙房间时，他用另一个梯子，测得MA=2.8米，且∠MPA=75°，∠NPB=45°. ①LMPN的度数； ②求乙房间的宽. M 75 P 45° B 【分析】(1)根据题意可得：MP=PN,MA⊥AB,NB⊥AB,从而可得∠MAB=∠NBA=90°，进而可得∠ AMPH∠APM=90°，再在Rt△MAP中，利用勾股定理可求出AP的长，然后利用平角定义可得∠APM什∠BPN =90°，从而可得∠AMP=∠BPN,再利用AAS证明△MAP≌△PBN,从而可得MA=PB=2.4米，最后利用 11 线段的和差关系进行计算，即可解答， (2)①利用平角定义进行计算，即可解答； ②过点N作NC⊥AM,垂足为C,可得∠MCN=90°，根据题意可得：MP=NP,从而可得△MPN是等边三角 形，进而可得MN=MP,∠PMN=60°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠AMP=15°，从而可得 ∠CMN=∠APM=75°，最后利用AAS证明△MAN≌△NCM,从而利用全等三角形的性质可得CN=AM=2.8 米，即可解答. 【解答】解：（1)由题意得：MP=PN,MA⊥AB,NB⊥AB, ∴.∠MAB=∠NBA=90°， ∴.∠AMP4∠APM=90°， 在Rt△MAP中，MA=2.4米，MP=2.5米， ∴.AP=-√MP2-MA2=V2.52-2.42=0.7(米)， .'∠MPN=90° ∴.∠AP∠BPN=180°-∠MPN=90°， ∴.∠AMP=∠BPN, ∴.△MAP≌△PBN(AAS), ∴MA=PB=2.4米， ∴AB=AP+BP=0.7+2.4=3.1(米)， ∴.甲房间的宽AB为3.1米； (2)①'∠MPA=75°，∠NPB=45°， ∴.∠MPN=180°-∠MPA-∠NPB=60°， ∴.∠MPN的度数为60°； ②过点N作NC⊥AM,垂足为C, M b入45 A P B ∴.∠MCN=90° 由题意得：MP=NP ∠MPN=60°， ∴.△MPN是等边三角形， ∴.MN=MP,∠PMN=60° ∠MAP=90°，∠APM=75°， .∠AMP=90°-∠APM=15°， ∴.∠CN=∠AMP件∠PMN=75°， ∴.∠CMN=∠APM=75°， '∠MCN=∠MAP=90° ∴.△MAN=△NCM(AAS), ∴.CN=AM=2.8米， ∴.乙房间的宽为2.8米 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据题日的已知条件并结合图形添加适当的辅 助线是解题的关键， 19.在Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，P为线段AB上一动点. (1)如图1，点D、E分别在ACBC上（点D不与点A重合)，若P运动到AB的中点，且PD⊥PE. ①求证：AD=CE; 12 ②若AD=7,BE=1,求PD的长； (2)如图2，点F在BC上，且PC=PF,过点F作FH⊥AB,垂足为H,若AB=I0,在点P运动的过程中， 线段PH的长度是否发生变化？若不变，请求出PH的长度；若变化，请说明理由. y H B F 图1 图2 【分析】（1)①由“ASA”可证△APD≌△CPE,可得AD=CE: ②由全等三角形的性质可得PD=PE,由勾股定理可求解； (2)由“AAS”可证△CPQ≌△PFH,可得PH=CQ,即可求解 【解答】(1)①证明：如图1中，连接CP, D E B 图1 CA=CB,∠ACB=90°，CP⊥AB, ∴AP=PB,∠PCE=∠PCA=∠A=45°， ∴.CP=PA=PB, '∠APC=∠DPE=90°， ∴.∠APD=∠CPE, 在△APD和△CPE中， 「∠A=∠PCE AP=CP (∠APD=∠CPE ∴.△APD≌△CPE(ASA), ∴AD=CE; ②解：如图1中，连接DE, D B 图1 :△APD≌△CPE, ∴PD=PE, .AC=CB=8,CE=AD=7, ∴.DE=CD2+CE=12+72-50, .∴.P+PD=50 .PD=5; (2）解：PH的值不变，PH=5. 13 理由：如图2中，作CQ⊥AB,垂足为Q, y 0 H 图2 PC=PF, ∴.∠PCF=∠PFC, ∴.∠PCQ+∠QCB=∠FPH∠B, :∠QCB=∠B=45° ∴.∠PCQ=∠FPH, 在△CPQ和△PFH中， I∠CQP=∠PFH ∠PCQ=∠FPH, CP=PF .△CPQ≌△PFH(AAS), ∴.PH=CQ, CA=CB,∠ACB=90°，CQ⊥AB, ..AQ=BO .CQ=AB=5, ∴.PH=5是定值 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，添 加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键. 14