江苏泰州市靖江市实验学校2026-2027学年上学期八年级数学第一次学情自测卷

2026-2027靖江市实验八年级第一学期阶段质量检测 数学试卷（第①次月考)（满分150分考试时间120min) 一、选择题(18分) 1.（3分)如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角 形，那么这两个三角形完全一样的依据是() A.SSS B.SAS C.SSA D.ASA 2.(3分)如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是△ABC的高的是（ A. D C B.B CC.B D.B------- 3.（3分)某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下， 想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在△ABC() A.三条高线的交点处B.三条中线的交点处C.三个角的平分线的交点处D.三条边的垂直平分线的交点处 A C E 题3 题4 题5 4.(3分)如图，△ABC≌△ADE,若∠B=70°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC的度数为（ A.40° B.45 C.35 D.25° 5.(3分)如图，AD是△ABC的角平分线，DE,DF分别是△ADB,△ADC的高，则下列结论错误的是( A.DE=DFB.AE=AFC.S△ABD=S△ACDD. SAABD_AB S△CDAC 6.(3分)已知AB=10,AC=6,BD=8,其中∠CAB=∠DBA=Q,点P以每秒2个单位长度的速度，沿着C→ A→B路径运动.同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B一→A路径运动，一个点到达终点后另一个点 随即停止运动.它们的运动时间为t秒. ①若x=1,则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍；②当P、Q两点同时到达A点时，x=6; ③若a=90°，t=5,x=1时，PC与PQ垂直；④若运动过程中存在△ACP与△BPQ全等，则x=0.8或 11 以上说法正确的选项为( D A.①③ B.①② C.①②④ D.①②③④ 二、填空题(30分) 7.(3分)如图所示，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是应用了三角形的哪个 性质？答：一·（填“稳定性”或“不稳定性”） 第1页（共5页) B 高楼 塔吊 8(3分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=54°，D是AB的中点，则∠BCD= 9.（3分)小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P,边OA与其中一把直 尺边缘的交点为C,点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则OC的长度是 10.(3分)如图，已知AB∥CF,E为DF的中点，若AB=9,BD=4,则CF= 00 一B B D l1.（3分)season村计划在一块周长为80m的三角形闲置土地上挖一口水井，使得水井到土地边沿的距离相等， 已知这块土地的面积是1200m2,那么这口水井到土地边沿的距离是 米 12.(3分)如图，AD是△ABC的中线，△ABD的周长为24cm,AB比AC长3cm.则△ACD的周长为 cm 13.(3分)如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=10,点M、N在边OB上，PM=PN,若N=2, 则OM的长为 14.△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F,若∠EAF=50°，则∠BAC= 15.(3分)如图，在△ABC中，点D为BC中点，连接AD.点E为AB上一点，连接CE交AD于F.若CF=3EF, BE=2AE,SACDF=3,SAABC= B A 16.(3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=5,点D是边AC上的动点，以BD为边， 向下作如图所示等边△DBE,连接CE,则CE长的最小值为 三、解答题(102分) 17(8分)(1)(-1)2+(+8)0-2202×(-1)201. 2 (2)解下列不等式种+1≤1-x-8 3 6 18.(8分)如图，在△ABC中，∠C=90°， (1)用圆规和直尺在AC上作点P,使点P到A、B的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法和证明) (2)当满足（1)的点P到AB、BC的距离相等时，求∠A的度数， C 第2页（共5页） 19.(10分)如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，且每个小正方形的边长均为1，A、B、 C三点均在格点上（只用无刻度直尺作图）. (1)在图①中，作△ABC的角平分线AE (2)在图②中，作∠BAC的角平分线AF: (3)在图③中，CD是△ACB的角平分线，作△ABC的角平分线AG. ------- :B 图① 图② 图③ 20.(8分)已知等腰三角形的两边长分别为a,b,且a,b满足2a-3b+5+(2a+3b-13)2=0,求此等腰三角形的 周长 21.(8分)如图，点B、C、E、F共线，AB∥CD,∠A=∠D,BF=CE.求证：AE∥FD. B E 22.（10分)如图，在Rt△ABC和Rt△ABC中，∠C=∠C=90°，AC=A'C,AD与AD分别为BC,BC边上 的中线，且AD=AD 求证：(1)Rt△ACD≌Rt△A'CD; (2)Rt△ABC≌Rt△A'BC. D B C'D' B 23.(10分)已知：如图，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分别是AC、BD的中点. (1)求证：EF⊥BD: (2)若∠BAD=30°，AC=8,求BD的长 E D 第3页（共5页） 24.(12分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC,点D在BC边上，AE⊥AD,AE=AD,过点E作EF⊥ AB交AB、AC边于点G、F. (1)求证：△EAF≌△ADB; (2)连接DF,求证：EF=DF2AG; SEASON补充拓展(3)连接ED,若ED=10,AB=4AG,则AG的长为 E E y A G G D B C D (备用图) 25.（12分)【情景建模】season尝试着逆向思考：如图1，点D在△ABC的边BC上，AD平分∠BAC,且AD⊥ BC,则AB=AC.请你帮助season完成证明. 请尝试直接应用“情境建模”中season反思出的结论解决下列问题： 如图2，已知在△ABC中，AD平分∠BAC,AD⊥BD,AC-AB=2BD.求证：∠ABC=3∠C. 如图3，在△ABC中，BC=12,AD平分∠BAC,点E为AC中点，AD与BE相交于点F,过点B作BH⊥AD 交AD延长线于点H,设△BFH,△AEF的面积分别为S1,S,若AB-AC=4,试求S-S2的最大值， A A 12公 B∈ ⊙ C B H D 图1 图2 图3 第4页（共5页） 26.(14分)已知，M是等边△ABC边BC上的点. (1）如图1，过点M作MN∥AC,且交AB于点N,求证：BM=BN (2)如图2，连接AM过点M作∠AMH=60°，MH与∠ACB的邻补角的平分线交于点H,过H作HDL BC于点D. ①求证：MA=MH,②猜想写出CB,CM,CD之间的数量关系式，并加于证明； (3)如图3，(2)中其它条件不变，若点M在BC延长线上时，(2)中两个结论还成立吗？若不成立请直接写 出新的数量关系式（不必证明）. H A H M C B M CD B CM D 图1 图2 图3 第5页（共5页）2026-2027靖江市实验八年级第一学期阶段质量检测 数学试卷（第①次月考)（满分150分考试时间120min) 解析版 一、选择题(18分) 1.（3分)如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角 形，那么这两个三角形完全一样的依据是(D) A.SSS B.SAS C.SSA D.ASA 2.（3分)如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是△ABC的高的是(D) A. …B.B C C.B D.B--- 3.(3分)某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下， 想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在△ABC(D)》 A.三条高线的交点处B.三条中线的交点处C.三个角的平分线的交点处D.三条边的垂直平分线的交点处 B 题3 题4 题5 4.(3分)如图，△ABC=△ADE,若∠B=70°，∠C=30°，∠DAC=35°，则LEAC的度数为(B) A.40 B.45 C.35 D.259 5.(3分)如图，AD是△ABC的角平分线，DE,DF分别是△ADB,△ADC的高，则下列结论错误的是(G) A.DE=DF B.AE=AF C.SAABD=SAACD D. S△ABD-AB S△ACD AC 6.(3分)已知AB=10,AC=6,BD=8,其中∠CAB=∠DBA=a,点P以每秒2个单位长度的速度，沿着C→ A→B路径运动.同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点 随即停止运动.它们的运动时间为t秒. ①若x=1,则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍；②当PQ两点同时到达A点时，x=6; ③若a=90°，t=5,x=1时，PC与PQ垂直：④若运动过程中存在△ACP与△BPQ全等，则x=0,.8或4 1 以上说法正确的选项为(C) D A.①③ B.①X② C.①②④ D.①②③④ 【解答】解：若x=1,点P运动路程为2t,点Q运动路程为t, ∴点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍， ∴.①的说法正确； ,若P,Q两点同时到达A点，点P运动路程为6，点Q运动路程为18， .6=18 2 x X=6. ∴②的说法正确； 若a=90°，t=5,x=1,如图， D C Q B 此时，AP=4,PB=6,DQ=5,BQ=3, 显然，△ACP与△BPQ不全等， ∠CAB=∠DBA=C=90°， ∴.∠APC+∠BPQ≠90°， .∠CPQ≠90°， .PC与PQ不垂直， ∴，③的说法不正确； 如图， O 由题意得：AP=2t-6,AC=6,PB=16-2t,BQ=8-xt, 若△ACP与△BPQ全等，则AP=B0或P=BP AC=BPAC=BO ∫2t-6=8-xt或 2t-6=16-2t 6=16-2t 6=8-xt 11 :t5 或 (x=0.8 41 11 x=0.8或4 1 ∴④的说法正确。 综上，正确说法有：①②④. 故选：C. 7如图所示，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是应用了三角形的哪个性质？答： 稳定性·（填“稳定性”或“不稳定性”) 8.(3分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=54°，D是AB的中点，则∠BCD=36。· C A 【分析】由“直角三角形的两个锐角互余”得到∠B=36°，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 得到CD=BD,则等边对等角，即LBCD=∠B=36° 【解答】解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=54°， ..∠B=369 D为线段AB的中点， ∴.CD=BD, ∴.∠BCD=∠B=36° 故答案为：36. 9.(3分)小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P,边OA与其中一把直 尺边缘的交点为C,点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则OC的长度是3c四 A 23 4 5 6 78910 0 B 【分析】过P作PNL OB于N,由角平分线性质定理的逆定理推出PO平分∠AOB,得到∠COP=∠NOP,由平 行线的性质推出∠CPO=∠NOP,得到∠COP=∠CPO,因此OC=PC,由PC=5-2=3(cm),即可得到OC 的长度是3cm. 【解答】解：过P作W⊥OB于N, 由题意得：PM=PN, .PM⊥OA, ∴.PO平分∠AOB .∴.∠COP=∠NOP, 'PC∥OB ∴.∠CPO=∠NOP, .∠COP=∠CPO, .∴.OC=PC, C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， ∴.PC=5-2=3(cm), ∴.OC的长度是3cm. 故答案为：3cm. 10.3分)如图，已知AB∥CF,E为DF的中点，若AB=9,BD=4,则CF=5 B 3 11.SEASON在一块周长为80m的三角形闲置土地上挖一口水井，使得水井到土地边沿的距离相等，已知这块土地 的面积是1200m2,那么这口水井到土地边沿的距离是30米. 【分析】根据题意画出图形，再根据三角形面积公式计算即可. 【解答】解：如图， E △ABC的周长是80m,点O是水井的位置，OD⊥AB于点D,OE⊥BC于点E,OF⊥AC于点F,且OD=OE =OF, 设OD=OE=OF=h, .SAABC=SAAOB-SABOCTSAAOC, 1202h+0h+号0h 1200=1(AB+BC+AC)h, 1200-1×80h, .h=30, 即这口水井到土地边沿的距离是30米， 故答案为：30 12.如图，AD是△ABC的中线，△ABD的周长为24Cm,AB比AC长3cm.则△ACD的周长为21cm. B D C 13.如图，已知LAOB=60°，点P在边OA上，OP=10,点M、N在边OB上，PM=PN,若MN=2,则OM的长 为4 14.△ABC中、AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、若∠EAF=50°，则∠BAC=1山5或659 【解答】解：①若DE与GF不相交 'AB、AC的垂直平分线分别交BC于点FF, .AE=BE,AF=CF, ∴.∠BAE=∠B,∠CAF=LC, ∠AEF=∠BAEH∠B=2∠BAE,∠AFE=∠CAF+LC=2LCAF, '∠EAF=50°， ∴.∠AEF件∠AFE=180°-∠EAF=130°， ∴.2∠BAE升2∠CAF=130°， .∠BAE叶∠CAF=65°， ∴.∠BAC=∠BAE+∠CAF+LEAF=115°· 如图2：②若DE与GF相交 B 图2 同理可求∠BAC=65 故答案为：115或65 A D C 15.如图，在△ABC中，点D为BC中点，连接AD.点E为AB上一点，连接CE交AD于F.若CF=3EF,BE -2AE.SACDE=3,SAABC=12 A E B D C 16.(3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=5,点D是边AC上的动点，以BD为边 向下作如图所示等边△DBE,连接CE,则CE长的最小值为 5 D A 【分析】设AB的中点为点F,连接DF,CE,证明△BCE≌△BFD,得CE=DF,当DFL AC时，DF取最小值， 求得此时的DF,便是CE的最小值. 【解答】解：设AB的中点为点F,连接DF,CE,如图， B D E ∠ACB=90°，∠A=30° ∠ABC=60”BCBF=AAB :△DBE为等边三角形， ∴.BE=BD,∠DBE=60°=∠ABC, ∴.∠CBE=∠FBD, 在△BCE和△BFD中， BE=BD ∠CBE=∠FBD BC=BF ∴.△BCE≌△BFD(SAS), ∴CE=FD 当D1ac时.D取最小值为FC号×5 2 2 ·CE长的最小值为5 故答案为 5 2 17(1)(- -24(+8)）0-2012×(-1)2011=9+1+2=12 2)rs 3 18.如图，在△ABC中，∠C=90° (1)用圆规和直尺在AC上作点P,使点P到A、B的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法和证明) (2)当满足(1)的点P到AB、BC的距离相等时，求∠A的度数， A ⊙ 【分析】(1)画出线段AB的垂直平分线，交AC于点P,点P即为所求； (2)由点P到AB、BC的距离相等可得出PC=PD,结合BP=BP可证出Rt△BCP≌Rt△BDP(HL),根据全 等三角形的性质可得出BC=BD,结合AB=2BD及∠C=90°，即可求出∠A的度数. 【解答】解：（1)依照题意，画出图形，如图所示. (2)点P到AB、BC的距离相等， ∴.PC=PD 在Rt△BCP和Rt△BDP中， (PC=PD BP=BP .Rt△BCP≌Rt△BDP(HL), ∴.BC=BD. 又PD垂直平分AB ∴.AD=2BD=2BC 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC, .∠A=30° P A D 19.如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，且每个小正方形的边长均为1，A、B、C三点 均在格点上（只用无刻度直尺作图）. (1)在图①中，作△ABC的角平分线AE; (2)在图②中，作∠BAC的角平分线AF: (3)在图③中，CD是△ACB的角平分线，作△ABC的角平分线AG. 6 y C B -- ---- B --4-- B 图① 图② 图③ 【分析】(1)由图可知△ABC为等腰三角形，取BC的中点E,连接AE即可. (2)结合等腰三角形的性质，连接BC,取BC的中点F,作射线AF即可. (3)取AC的中点H,设BH交CD于点G,作射线AG即可. 【解答】解：（1)如图①，取BC的中点E,连接AE, 则线段AE即为所求. (2)如图②，连接BC,取BC的中点F,作射线AF, 则射线AF即为所求； (3)如图③，取AC的中点H,设BH交CD于点G,作射线AG, 则射线AG即为所求 B --- E 图① 图② 图③ 20. 已知等腰三角形的两边长分别为a,b,且a,b满足2a-3b5+(2a3b-13)2=0,求此等腰三角形的周长 【分析】由已知条件2a-3b叶5+(2at3b-13)2=0,可得2a-3b+5=0且2a+3b-13=0,由此即可解得a和b 的值，再分a为等腰三角形底和b为等腰三角形的底两种情况分别计算出等腰三角形的周长即可， 【解答】解：2a-3叶5+（2a+3b-13)2=0, ∴.2a-3b+5=0①，且2at3b-13=0②， 由①+②可得：4a-8=0,解得：a=2, 将a=2代入②得：4+3b-13=0, 解得：b=3, 当a为等腰三角形的底边时，等腰三角形的三边长为2,3,3，此时能围成三角形，其周长为8； 当b为等腰三角形的底边时，等腰三角形的三边长为2,2,3，此时能围成三角形，其周长为7 故此等腰三角形的周长为7或8。 21如图，点B、C、E、F共线，AB∥CD,∠A=∠D,BF=CE.求证：AE∥FD. ⊙ E 【分析】先证明△ABE≌△DCF,得到LAEB=∠DFC,即可得出结论， 【解答】证明：点B、CE、F共线，AB∥CD, .∴.∠C=∠B .CE=BF ∴CF=BE, 在△ABE和△DCF中， > 「∠A=∠D ∠B=∠C BE=CF .△ABE≌△DCF(AAS), ∴.∠AEB=∠DFC, ∴AE∥FD. 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键 22.如图，在Rt△ABC和Rt△ABC中，∠C=∠C=90°，AC=AC,AD与AD分别为BC,BC边上的中线， 且AD=AD 求证：（1)Rt△ACD≌Rt△ACD: (2)Rt△ABC≌Rt△ABC. C D B C'D' B 【分析】(1)根据HL证明Rt△ACD和Rt△A'CD全等； (2)由（1)Rt△ACD≌Rt△ACD,进而利用全等三角形的性质得出CD=CD,进而利用SAS证明全等即可. 【解答】证明：(1)在Rt△ACD和Rt△A'CD中， AC=A'C' AD=A'D' .Rt△ACD≌Rt△A'CD(HL); (2)由(1)得Rt△ACD≌Rt△A'CD, ∴CD=CD, 'AD与AD分别为BC,BC边上的中线， ,∴.CB=CB 在Rt△ABC和Rt△A'BC中， (AC=A'C' ∠C=∠C'=90°， CB=C'B .∴.Rt△ABC≌Rt△ABC(SAS). 23 【解答】(1)证明：连接BE、DE, y E B D C :∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点， 说=08合0 F是BD的中点， ∴，EFL BD; (2)解：由（1)可知.BE=c=DB=AC=4, ∴·∠EAB=∠EBA,∠EAD=∠EDA, .2∠EAB=∠CEB,2∠EAD=∠CED, '∠BAD=30°， ∴.∠BED=60° BE=DE, ∴.△BED是等边三角形， .∴.BD=BE=4. 24.【解答】(1)证明：·AE⊥AD,EF⊥AB, .∠DAB+∠EAB=90°，∠E∠EAB=90°， ∴∠DAB=∠E, ∠C=90°，AC=BC, .∴.∠CAB=∠B=45° EFL AB, ∴.∠AFE=∠CAB=LB=45°， 在△EAF和△ADB中， T∠E=∠DAB ∠AFE=∠B, AE=AD .△EAF≌△ADB（AAS): (2)证明：在GE上截取GH=GF,连接AH. E H D B GH=GF=AG,EF⊥AB, ∴AF=AH,∠GAH=∠AHG=45°， .∠FAH=∠DAE=90°， ∴.∠FAD=∠HAE, 在△FAD和△HAE中， 「AF=AH ∠FAD=∠HAE AD=AE ∴.△FAD≌△HAE(SAS), ∴.EH=DF, ∴.EF=FEH=2AG+DF, (3)连接ED,若ED=10,AB=4AG,则AG的长为V5 (3)解：如图，连接DE, 9 E 0 ‘AD=AE,∠DAE=90°， △ADE是等腰直角三角形， DE=10, .AD=AF=5V2 .AB=4AG. ∴.设AG=XAB=4x, AC-2AB-2V2x 2 由(2)知AG=FG=x, ..AF=V2x, .CF=AC-AF=V2x, ·'△EAF≌△ADB, ∴AF=BD=V√2x CD=BC-BD=√2x, .AC2+CD=AD2, ∴.(2V2x)2+(V2x)2=(5V2)2, x=√5， ..AG=V5 25.【解答】（1)证明：AD平分∠BAC,.∠BAD=∠CAD, AD⊥BC,.∠BDA=∠CDA=90°，.∠B+∠BAD=90°，∠C+∠CAD=90°， .∠B=∠C,∴.AB=AC; (2）证明：如图2，延长BD交AC于E点， D 图2 :AD平分∠BAC,AD⊥BD,由(1)可得LABE=∠AEB,AB=AE, ∴BE=2BD,:AC-AB=2BD∴.AC-AE=BE, BE=CE,∴.∠C=∠EBC, ·'∠ABE=LAEB=∠C+LEBC=2∠C, .∠ABC=∠ABE+∠EBC=2∠C+∠C=3LC: (3)如图4，延长AC,BH交于点G, 10 E ⊙ D G 图4 '∠BAH=∠CAH,AH=AH,∠AHB=∠AHG=90°，∴，△ABH=△AGH(ASA), AB-AG,BHI-HG.SABFH-SAFF SABSADE-1SAG- 2 SAABC, .S1-x SAABG-SAABC)-1SABCG.AB-AC-4. 2 2 ∴.AG-AC=CG=4,∴.当BC⊥AC时，SABCG有最大值，即S-S2有最大值， ·S-的最大值=1×1×4×12=12 22 26.已知，M是等边△ABC边BC上的点 (1)如图1，过点M作N∥AC,且交AB于点N,求证：BM=BN (2)如图2，连接AM,过点M作∠AMH=60°，MH与∠ACB的邻补角的平分线交于点H,过H作HDL BC于点D. ①求证：MA=M,②猜想写出CB,CM,CD之间的数量关系式，并加于证明： (3)如图3，(2)中其它条件不变，若点M在BC延长线上时，(2)中两个结论还成立吗？若不成立请直接写 出新的数量关系式（不必证明） H C B M CM D 图1 图2 图3 【分析】(1)根据平行线的性质和等边三角形的性质可得∠BMN=∠C=60°，∠B☑M=∠B=60°，在根据等 角对等边可得MB=BN; (2)①过M点作MN∥AC交AB于N,然后证明△AMN≌△MHC,再根据全等三角形的性质可得MA=MH; ②过M点作MGLAB于G,再证明△BMG=△CHD可得CD=BG,因为BM=2CD可得BC=MC+2CD: (3)(2)中结论①成立，②不成立；过M点作MN∥AB交AC延长线于N,证明△AN≌△MC可得MA =MH,AN=CH,再根据∠CHD=30°，可得CH=2CD,又有AC=BC,CN=CM可得AN=AC+CN=BC+CN =CB+CM,进而得到2CD=CB+CM. 【解答】(1)证明：：MN∥AC .∠BMN=∠C=60°，∠BNM=∠B=60°， .∴.∠B☑N=∠BNM, .∴.BM=BW: (2)①证明：过M点作MN∥AC交AB于N, 则BM=BN,∠ANM=120° AB=BC, .AN=MC :CH是LACB外角平分线，所以∠ACH=60°， ∴.∠MCH=∠ACB+∠ACH=120°， 11 又∠MC=120°，∠AMH=60°， ∴.∠MC+∠AMN=609 又'∠NAMH∠AMIN=∠BN☑M=60°， .∴.∠HIMC=∠MAN, [∠AN=∠MCH 在△ANM和△MCH中AN=MC ∠HC=∠AN ∴.△AMN=△MHC(ASA), .MA=MH; ②CB=CM2CD: 证明：过M点作MG⊥AB于G, .'△AMMN≌△MHC, ..MN=HC, MN=MB, ∴.HC=BM, '△BMN为等边三角形， ∴.BM=2BG, (∠B=∠HCD 在△BMG和△CHD中∠MGB=∠HDC, HC=MB ∴.△BMG≌△CHD(AAS), ∴CD=BG, ∴.BM=2CD 所以BC=MC+2CD; (3)(2)中结论①成立，②不成立， 过M点作MN∥AB交AC延长线于N, 'MN∥AB, .∠N=∠BAC=60°， .∠ACB=60° .∠NCM=60°， ∴.∠N☑MC=180°-60°-60°=60°， ∴.△CWM是等边三角形， ..CM=MN, ∠AMH=60°，∠CMN=60°， ∴.∠AMH∠1=∠CM4∠1， 即∠AMN=∠CMH, (∠HCH=∠N=60° 在△AMN和△MC中=MC ∠HIC=∠AMN .∴.△AN=△IMC(ASA), ∴.MA=MH,AN=CH, '∠HDC=90°，∠HCD=60°， ∴.∠CHD=30°， .∴.CH=2CD, .AC=BC,CN=CM .AN=AC+CN=BC+CN=CB+CM, .AN=CH, 12 2CD=CB+CM 即：CB-2CD-CM. CM D 图3 H G B M 图2 13