第17章 因式分解 -因式分解多技巧综合训练｜换元、十字相乘、培优专题 2026年-2027学年人教版数学八年级上册

因式分解多技巧综合训练｜换元、十字相乘、培优专题 （学生版） 一、课堂目标 1．会按“一提、二套、三十字”的顺序选择分解路径，能判断一道题该停在哪一步； 2．会“先乘开、再分解”：能把乘积式展开重组，构造完全平方或平方差结构； 3．会换元法：能识别重复出现的整体结构，设元化繁为简，分解后再“回代还原”； 4．会十字相乘法分解二次三项式（含二次项系数不为 1 的情形）； 5．会定义逆用：由“完全平方式”“能被整除”等条件反求参数，并检验隐含条件； 6．会用面积图解释平方差与完全平方公式，理解“分解＝图形剪拼”的数形本质。 二、知识讲解 （1）分解的一般步骤 【口诀】一提（公因式）、二套（公式）、三十字（十字相乘），直到不能再分为止。 【公式】；。 【警示】提完公因式后要回头看：剩下的因式还能不能再分解；首项为负先提负号； 这类纯数字方幂不要展开。 （2）平方差的面积解释 图1：边长 a 的正方形剪去边长 b 的正方形（阴影），L 形沿虚线剪开，把 ① 拼到② 旁，得 (a+b)(a−b) 【数形】 的 L 形面积，剪拼后变成长 、宽 的矩形。 （3）完全平方的面积解释 图2：大正方形 (a+b)² 由 a²、两个 ab、b² 四块拼成 【数形】；反之，形如 的式子可以“补”成整块正方形。 （4）十字相乘法 图3：x²+px+q 的十字相乘——竖列首尾相乘，交叉相乘再相加 【要点】，其中 ，； 二次项系数不为 1 时，先竖拆二次项与常数项，再检验交叉积之和。 （5）先乘开、再分解 【本质】乘积式直接分解无从下手时，先展开“重新洗牌”，凑出熟悉的公式结构，再重新分解； 【技巧】不要全部展开：保留结构相同的部分（如 ），把它看作一个整体。 （6）换元法 【三步】①找“元”：重复出现的整体结构；②设元化简：新元下分解；③回代还原并继续分解到不能再分。 三、例题与练习 例题1　提公因式＋公式法 1．因式分解： （1）；　（2）；　（3）。 ★1.2（定义逆用·培优） 若 是关于 的完全平方式，求 的值。 ★1.3（双十字相乘·培优） 因式分解：。 练习1 1．因式分解： （1）；　 （2）；　 （3） ； 　（4）； （5）；　 （6）。 2．因式分解：。 例题2　先乘开、再分解　·　换元法 1．因式分解： （1）；　（2）； （3）；　（4）。 ★2.2（换元法·培优） 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。 例如：在分解因式 时，可以令 ，则： 原式 ， 回代得 。 根据上述知识，请用换元法解决下题： （1）分解因式：； ★2.3（换元法解方程组·培优） （2）解方程组：　与　。 练习2 1．因式分解： （1）；　（2）。 2．因式分解：。 例题3　十字相乘法（培优） 1．因式分解： （1）；　（2）；　（3）。 ★3.2（轮换对称式·培优） 因式分解：。 ★3.3（四连乘·培优） 因式分解：。 四、出门测 1．因式分解： （1）；　（2）。 2．因式分解： （1）；　（2）；　（3）； （4） ；　（5）； （5） ；　（7）； 　（8）。 ★3（非负和为零·培优） 已知 ，求 的值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 因式分解多技巧综合训练｜换元、十字相乘、培优专题 （教师版·含解析） 一、课堂目标 1．会按“一提、二套、三十字”的顺序选择分解路径，能判断一道题该停在哪一步； 2．会“先乘开、再分解”：能把乘积式展开重组，构造完全平方或平方差结构； 3．会换元法：能识别重复出现的整体结构，设元化繁为简，分解后再“回代还原”； 4．会十字相乘法分解二次三项式（含二次项系数不为 1 的情形）； 5．会定义逆用：由“完全平方式”“能被整除”等条件反求参数，并检验隐含条件； 6．会用面积图解释平方差与完全平方公式，理解“分解＝图形剪拼”的数形本质。 二、知识讲解 （1）分解的一般步骤 【口诀】一提（公因式）、二套（公式）、三十字（十字相乘），直到不能再分为止。 【公式】；。 【警示】提完公因式后要回头看：剩下的因式还能不能再分解；首项为负先提负号； 这类纯数字方幂不要展开。 （2）平方差的面积解释 图1：边长 a 的正方形剪去边长 b 的正方形（阴影），L 形沿虚线剪开，把 ① 拼到② 旁，得 (a+b)(a−b) （3）完全平方的面积解释 图2：大正方形 (a+b)² 由 a²、两个 ab、b² 四块拼成 【数形】；反之，形如 的式子可以“补”成整块正方形。 （4）十字相乘法 图3：x²+px+q 的十字相乘——竖列首尾相乘，交叉相乘再相加 【要点】，其中 ，； 二次项系数不为 1 时，先竖拆二次项与常数项，再检验交叉积之和。 （5）先乘开、再分解 【本质】乘积式直接分解无从下手时，先展开“重新洗牌”，凑出熟悉的公式结构，再重新分解； 【技巧】不要全部展开：保留结构相同的部分（如 ），把它看作一个整体。 （6）换元法 【三步】①找“元”：重复出现的整体结构；②设元化简：新元下分解；③回代还原并继续分解到不能再分。 三、例题与练习 例题1　提公因式＋公式法 1．因式分解： （1）；　（2）；　（3）。 【答案】 （1）；（2）；（3）。 【解析】 （1）∵ 各项公因式为 ， ∴ 原式 ， ∵ ， ∴ 原式 。 （2）∵ 把 看作整体，原式 ， ∴ 原式 。 （3）∵ ，公因式为 ， ∴ 原式 ， ∴ 原式 。 【结论】 （1）；（2）；（3）。 【标注】 【知识点】提公因式法＋公式法（平方差、完全平方） ★1.2（定义逆用·培优） 若 是关于 的完全平方式，求 的值。 【答案】 或 。 【解析】 ∵ 是完全平方式， ∴ 一次项系数的绝对值等于 ，即 ， ∴ 或 ， ∴ 或 。 【结论】 或 。 【标注】 【知识点】完全平方式定义的逆用 【方法反思】 完全平方式对应“一次项系数 ±（2×平方项底数）”，有两解——只取正号漏掉负号是最高频错误。 ★1.3（双十字相乘·培优） 因式分解：。 【答案】 。 【解析】 ∵ 把 看作整体， ∴ 原式 ， ∵ ，且 ， ∴ 原式 。 【结论】 。 【标注】 【知识点】换元（整体思想）＋十字相乘 【方法反思】 六项式不要急着分组：先找“二次齐次核心”（这里是 2x+3y），把整个式子看成关于它的一元二次式，再十字相乘。 练习1 1．因式分解： （1）；　（2）；　（3）；　 （4）； （5）；　（6）。 【答案】 （1）；（2）；（3）； 【解析】 （1）∵ 公因式 ∴ 原式 ， （2）∵ 公因式 ∴ 原式 ， （3）∵ 公因式 ∴ 原式 。 【结论】 （1）；（2）；（3）； 【标注】 【知识点】提公因式＋公式法综合 （4）∵ 公因式 ， ∴ 原式 ， （5）∵ 公因式 ， ∴ 原式 ， （6）∵ 公因式 ， ∴ 原式 。 2．因式分解：。 【答案】 。 【解析】 ∵ 公因式为 ， ∴ 原式 ， ∵ 括号内是完全平方式， ∴ 原式 。 【结论】 。 【标注】 【知识点】提公因式＋完全平方（整体思想） 例题2　先乘开、再分解　·　换元法 1．因式分解： （1）；　（2）； （3）；　（4）。 【答案】 （1）；（2）；（3）；（4）。 【解析】 （1）∵ 展开得 ， ∴ 原式 。 （2）∵ 原式 ，是平方差结构， ∴ 原式 ， ∵ ， ∴ 原式 。 （3）∵ ，把 看作整体， ∴ 原式 ， ∴ 原式 ， ∴ 原式 。 （4）∵ 公因式 ，把 看作整体， ∴ 原式 ， ∴ 原式 。 【结论】 （1）；（2）；（3）；（4）。 【标注】 【知识点】先乘开再分解＋整体思想＋公式法 【方法反思】 （2）（3）都是“分解到一半”就停笔的典型：得到 (a²+4±4a)、(y²−4)² 后必须再检验每个因式能否继续分解——分解要“彻底”。 ★2.2（换元法·培优） 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。 例如：在分解因式 时，可以令 ，则： 原式 ， 回代得 。 根据上述知识，请用换元法解决下题： （1）分解因式：； 【答案】 。 【解析】 （1）∵ 令 ， ∴ 原式 ， ∵ 回代后 ，， ∵ （十字相乘）， ∴ 原式 。 【结论】 。 【标注】 【知识点】换元法＋十字相乘 【方法反思】 换元后分解并未结束：回代产生的每个因式都要“再检一遍”，常常还能继续十字相乘或套公式。 ★2.3（换元法解方程组·培优） （2）解方程组：　与　。 【答案】 ，。 【解析】 ∵ 令 ，， ∴ 原方程组化为 　与　， ∵ ，， ∴ 消去 ：， ∴ ， ∴ ，， ∴ ，， ∵ 经检验，，， ∴ 原方程组的解为 ，。 【结论】 ，。 【标注】 【知识点】换元法解分式方程组 【方法反思】 分式方程换元后，回代解出的 x、y 必须代入最简公分母检验——增根检验是分式方程的固定动作。 练习2 1．因式分解： （1）；　（2）。 【答案】 （1）；（2）。 【解析】 （1）∵ 公因式 ∴ 原式 ，（如果只要求有理数范围） ∴ 原式 。（实数范围） （2）∵ 展开得 ， ∴ 原式 。 【结论】 （1）；（2）。 【标注】 【知识点】提公因式＋平方差／完全平方 2．因式分解：。 【答案】 。 【解析】 方法一：∵ 保留 不展开， ∴ 原式 ， ∴ 原式 ， ∴ 原式 … 待续十字相乘， 方法二：∵ 展开重组，原式 ， ∴ 原式 ， ∴ 原式 ， ∵ ， ∴ 原式 。 【结论】 。 【标注】 【知识点】整体思想／换元法＋十字相乘 例题3　十字相乘法（培优） 1．因式分解： （1）；　（2）；　（3）。 【答案】 （1）；（2）；（3）。 【解析】 （1）∵ ，且 ， ∴ 原式 。 （2）∵ ，， ∵ 交叉积之和 ， ∴ 原式 。 （3）∵ ，， ∵ 交叉积之和 ， ∴ 原式 。 【结论】 （1）；（2）；（3）。 【标注】 【知识点】十字相乘法（二次项系数±1与≠1） ★3.2（轮换对称式·培优） 因式分解：。 【答案】 。 【解析】 ∵ 把 看作主元，整理成关于 的二次式： 原式 ， ∵ ，， ∴ 原式 ， ∵ ， ∴ 原式 ， ∵ 调整符号使结果对称美观， ∴ 原式 。 【结论】 。 【标注】 【知识点】主元法＋公式法（轮换对称式） 【方法反思】 三元轮换式选“主元”：把目标字母留作主元，其余按已知字母整理，降成二次三项式后十字相乘。结果习惯写成 −(a−b)(b−c)(c−a) 的循环形式。 ★3.3（四连乘·培优） 因式分解：。 【答案】 。 【解析】 ∵ 配对：，， ∴ 令 ，则两积分别 ，， ∴ 原式 ， ∴ 原式 。 【结论】 。 【标注】 【知识点】配对换元＋完全平方 【方法反思】 四连乘的口诀是“首尾配对、居中设元”：使两个二次式的常数项关于新元对称（+1 与 −1），乘积立即变成平方差。 四、出门测 1．因式分解： （1）；　（2）。 【答案】 （1）；（2）。 【解析】 （1）∵ 原式 ， ∴ 公因式 ， ∴ 原式 。 （2）∵ 公因式 ∴ 原式 ， ∴ 原式 。 【结论】 （1）；（2）。 【标注】 【知识点】提公因式＋平方差 2．因式分解： （1）；　（2）；　（3）； （4）；　（5）； （6）；　（7）；　（8）。 【答案】 见解析各小题。 【解析】 （1）∵ 公因式 ∴ 原式 ， （2）∵ 公因式 ∴ 原式 ， （3）∵ 展开得 ∴ 原式 ， （4）∵ 平方差：原式 ， ∵ ， ∴ 原式 ， （5）∵ 公因式 ， ∴ 原式 ， ∵ ， ∴ 原式 ， （6）∵ 分组：原式 ， ∴ 原式 ， （7）∵ 原式 ， ∴ 原式 ， （8）∵ 展开前两项：， ∴ 原式 。 【结论】 见解析各小题。 【标注】 【知识点】提公因式／公式法／分组分解／先乘开再分解综合 ★3（非负和为零·培优） 已知 ，求 的值。 【答案】 。 【解析】 ∵ 配方：原式 ， ∴ 原式 ， ∵ 平方非负，两平方之和为 0，则各为 0， ∴ 且 ， ∴ ，， ∴ 。 【结论】 。 【标注】 【知识点】配方法（完全平方）＋非负性 【方法反思】 “若干个平方之和为 0”⇒ 每个平方都为 0——配方的关键是把一次项系数的一半拿来补常数项。 学科网（北京）股份有限公司 $