湖北省十堰市郧阳中学2026-2027学年高二上学期数学周考试卷（四）

《周考（四）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A A A B AB BD 题号 11 答案 AD 7.A【详解】a2+b2-b=2,c0sC==骆=克~G∈0,0，C=号 2ab 又Saac=Sacw+Sacw“absin写=b:CM:sing+a:CM:sing 化简得b9=b1计a1分 2 即3ab=a+b≥2而→V历≥2是→ah≥管当且仅当a=h时等号成立， Ca西=C网coC=abc号=ib≥音-f 8.B 【详解】设Mx1,y1),N(x2,y2),由x子+y片=4，x号+y吃=4可知点M,N在以原点为圆心，半径为2的圆上， 又1x2+y1y2=0,所以0M-0N=0,即0M10N, 设点4，N到直线x+y-5=0的距离分别为d,d2,则d1=t”,d2=2+-, 所以x1+y1-51+lx2+y2-51=V2(d1+d2), 取MW的中点C,则点C到直线x+y-5=0的距离d=(d+d2), 又0Cl=V2,即点C在以原点为圆心，半径为V2的圆上，设点0到直线x+y-5=0的距离为d, 则点C到直线x+y-5=0的距离的最大值为d+V2,即d≤d+V2, 因为d=t=所以d≤，所以d4+d2≤72， M 所以x1+y1-5l+x2+y2-51=V2(d1+d2)≤V2×7V2=14, 即1x1+y1-5引+x2+y2-5引的最大值为14. 10.BD 【详解】由号+若=1，所以a=4,b=2V3,c=V6-b=2,令R4(-2,0,,(2,0, 对于A:点P在上、下项点时，△PF1F2的面积最大，最大值为×4×2V3=4W3,故A错误： 对于B:△PF1F2的周长为2a+2c=12,故B正确； 对于C:1PF1的最小值为a-c=2,.故C错误： 对于D:2a=8=PF1l+|PFzl≥2√PF1PF2,即1P1PF2l≤16，当且仅当|PF1l=PF2l时等号 成立，故D正确故选：BD. 答案第1页（共7页） 11.AD 【详解】对A,直线方程化为m6x-3刃-0-)=0，-二8得形二员， 所以直线过定点P(3,1),因为(3-1)2+(1-2)2=5<9，即点P(3,1)在圆C内， 所以直线与圆C恒相交，正确： 对B,圆C的圆心为C(1,2),半径为r'=3,要使圆C上恰有4个点到直线的距离等于1， 则直线分圆所得的劣弧上的点到直线的最大距离大于1，即圆心C到直线的距离小于2， 所以恤-2=3”+<2，解得m<务m不一定等于0，错误： √m2+1 对C,易知当直线垂直CP时，直线被圆C截得的弦AB最短， 此时cP1=3-1)2+1-22=5,MB1=2r2-1cp2=232-(6W52=4,错误， 对D,圆C1的圆心为C1(-3,-1),若两圆有三条公切线，则两圆外切， 所以1CCi=(1+3)2+(2+1)2=5=3+m,得r=2,正确故选：AD 12.兽 13.子详解】因为A,B为两个相互独立的随机事件， 所以A与B,A与B,A与B也是相互独立的， 由P(AB)=P(AB)得P(A)P(B)=P(A)P(⑧)， 即(1-P(A)P(B)=P(A)(1-P(B),即P(A)=P(B), 又P(AB)=P(AP(回=(1-P(A)(1-P(B)=, 所以P(A=或P(A)=兰（舍去）· 14.红+V3【详解】设00=0丽+(1-)0E,E(2,0),F(-1,0), 因为0可=1，可知点Q的轨迹是以0为圆心，半径为1的圆， 又因为入+(1-)=1，且1≥1，点Q在EP的延长线上， 过E作圆O的切线EA,EB分别与圆O切于点A,B, 连结OA,OB,则OA⊥AE,OB⊥BE, 可知点P构成的平面区域为圆O和四边形0AEB组成的部分，如图阴影部分， 因为0E=20A=2,则LA0B=营可得AB=V3,LA0F= 所以点P的轨迹面积S=2(S扇形A0r+S△40)=2（仔×π×12+×1×V)-至+V3 答案第2页（共7页） 15.【详解】1)由正弦定理品=品已知a=2,b=6,4=号 f代入得：sinB=4-6x=6受=5 2 2 4分 因为B∈(0，m),且b>a即B>A,5分 所以B=或B= 3 6分 (2)因为△ABC为锐角三角形，故B=为纯角，不符合要求，合去，即B=骨8分 此时内角G=π一A-B=元-号-=受由两角和的正弦公式得： sin段=sin(得+8)=sin牙cosg+os号sin5=6+2, 4 11分 代入三角形面积公式Sa4Bc=absin C得：SaAc=×2×V6x642=3+ 2 4 213分 16.详解是(1)由题意知，第1组的小长方形的高是第2组的小长方形的高的一半， 所以a=0.016X2=0.032,2分 又(0.008+0.016+0.032+0.04+b)×10=1, 解得b=0.004, 4分 （2)由图可知，成绩在[50,60)的人数为100×0.016×10=16,5分 成绩在[60,70)的人数为16×2=32，… 6分 故2=16×56+65×32=62，. .7分 16+32 s2=7z×16+(56-62]+6品z×[4+(65-62门=26， 9分 所以两组成绩的总平均数是62，总方差是26， (3)记“甲、乙、丙回答正确这道题”分别为事件A、B、C,则A、B、C两两相互独立， 由题意可得 P)= P(AB)=P(A·P(B)=号' 解得P(a)=是 11分 由乙、丙两人至少一人回答正确的概率是器 得1-P(BC）=1-P(E)P(G=1-音PG=器解得P(O=子故P(C)=子l2分 所以乙、丙两人各自回答正确这道题的概率为和号 记事件D:甲、乙、丙三人中至少两人回答正确，则P(D)=P(ABC+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) =x×+××号+×号×号+××导= 15分 答案第3页（共7页） 17.【详解】（1)由角B的平分线所在直线的方程为2x-y-5=0,设点B(a,2a一5)，1分 则kAB=20-5-1=20-6, a-4 a-41 设AB边上的高所在直线的斜率为k, 因为AB边上的高所在直线平行于直线3x+5y-1=0,所以k=-号2分 又因为AB垂直于高线，所以kAB·k=一1， 即。×(-》=一1，解得a=-2,所以点B坐标为(-2，-9)：4分 (2)由角平分线的性质可得，点A(4,1)关于2x-y-5=0的对称点A1在直线BC上， 设A1(m,),则A与A1的中点(，n生）在直线2x-y-5=0上， 且AA1与直线2x-y-5=0垂直，所以 2×尝-学-5=0 a×2=号×2=-1 7分 m=12 解得 所以4：的坐标为（告》： 10s分 5 (3)由题可知直线BC即为直线A1B,由(1)(2)分别知8(-2，-9)，A:(侣) 则由两点式方程可得-=-2， 要( 3(-9) 化简整理得27x-11y-45=0, 即BC边所在的直线方程为27x一11y一45=0… 15分 C=1 a=2 18.【详解】（1)由题意， 9=1 →1C=1, 3分 a2=b2+62 b=3 所以椭圆Γ的标准方程为： 苦+ 3 4分 (2)将y=x+m代入椭图方程+苦=1， 可得醉+=1，整理得： 3 7X2+8mx+4(m2-3）=06分 由A=(8m)2-4X7X4(m2-3)>0→m2<772分 设直线y=x+m与椭圆+苦=1的交点为M(,NC,y), 则名+2=-7，x2=4a-, 7 8分 所以-=+x2-4=（}-4×4@到-22 49 9分 又ww=V+.k-=V2×7=头 答案第4项（共7页）， 所以m2=1<7,故m的值为士1…。 .10分 (3)如图， F 当直线方程为y=0时，OA.0B=一4；… …11分 当直线，斜率不为0时，可设其方程为x=y-1,代入椭圆方程群+苦=1， 得：+苦-1， 整理得：(3t2+4)y2-6y-9=0…。 12分 设4s,为，B(4A》则9+4=年yg4=是 13分 所以x34=y3-10(4-1)=ty3⅓-t03+y）+1=--品 ✉-122+4 32+4-3t2+4+3244 32+4,…14分 所以O.0丽=x4+⅓=器-是-。-4+ 11 915分 当2=0时，0所，0呢取得最大值，为-4+号=-5l7分 19.()(i)如图，令CFn AD=G, 由LEAC=LDCA=得AE/CD,由CD=2,AC=2V3,得AD=VAC2+CD2=4,1分 则sn∠DAE=sin-CDA--5=号∠cDA=∠DAE=号 2分 而AE=4,则△ADE为正三角形，于是LBDA=LCDA=号 又DF=DE=CD,则CF上AD,… 3分 由PH⊥平面ACDE,CFC平面ACDE,得CF⊥PH, 而PH O AD=H,PH、ADC平面PAD,因此CF⊥平面PAD, 答案第5页（共7页） 又PAC平面PAD,所以CF⊥PA 4分 (i)由F、H分别为ED、AD的中点，得H//AB,则FH⊥AC, 作Hy/AC,则直线FH、Hy、HP两两垂直， 以H为原点，直线FH、Hy、HP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，5分 则(1，-V3,0)、c(1,V3,0)、D(-1,V3,0)、P(0,0,2W②、(-3，-V3,0), 设球心为0(x,y,z),由0A=IOC|=IODI=IOP, x-1)2+y+V32+z2=x-1)2+y-V32+z2 x=0 得、6x-12+0+同°+2=、e+2+0-同2+2，解得y=0 7分 2 j(x-1)2+(0+V32+z2=x2+y2+(2-2② 即0(0，，因此球0的半径R=01=2V2-号= 2 i0=32+v同+份-9 .8分 则IEM!的最小值为EO-R=√2，{EM的最大值为EO!+R=4V2, 所以EM的取值范围为[V瓦，4见 10分 (2)令FHnAC=Q,因为HQ/IAE/CD,且H为AD的中点，所以Q为AC的中点， 连接PQ,则PQ⊥AC,PQ=FQ=3,作Qz⊥平面ACDE, 则直线FQ、AC、Qz两两垂直，以Q为原点，直线FQ、AC、Qz为x、y、z轴建立空间直角坐标系.11分 E 则A(0,-3,0)、C(0,V3,0)、D(-23,0)、E(-4,-V3,0), 答案第6页（共7页） 所以DC=(2,0,0),EA=(4,0,0),… 12分 设∠PQx=(0≤日≤)，由(1)知QF⊥AC,而QP⊥AC,则∠PQF是二面角P-AC-D的平面角， LPQF=m-0,由二面角P-AC-D正弦值的范围为[停，小，得sn9=sinPQP∈停，，…l3分 P(3cose,0,3sine).=(3cose,3,3sine),C=(3cose,-3,3sine). 设平面PAE的一个法向量为元=(x1,y1,z1),平面PCD的一个法向量为元=(x2,y2,z2), 则m·丽=3x1cos0+V3y1+3zsin9=0,取21=-1，得流=(0，V3sin0,-1),…l4分 元.EA=4x1=0 伉.C币=3x2os9-V32+32sin9=0,取z2=1,得元=(0，N3sin8,1), 克.DC=2x2=0 15分 设平面PCD与平面PAE夹角的大小为p,则cosp=lcos(m,=m 13sin20-1 3sin20-1 3sin2+1/3sin2g+1 3sin8+1 =1一3m≤克当且仅当sin0=1时取夸号，…16分 因此c0$0的最大值为号此时0取得最小信野 所以平面PCD与平面PAE夹角的最小值为 17分 答案第7页（共7页）那中考题，助力教育资源平衡发展 2026-2027学年度那阳中学高二数学周考（四） 命题人：杨雪 审题人：何静 本卷满分150分，考试时间120分钟。 第I卷（选择题） 一、单选题 1.已知复数z=(-1+2)·i,则z的虚部为() A.2 B.-i C.-2 D.-1 2.若P,B,B1,C1四点共面，A为平面BB1C1外一点，且AP=AB+3AB1+AC,则2=（) A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 3.直线：x+3y-1=0的一个方向向量为() A.(3,-1) B.(3,1) C.(-1,3) D.(1,3) 4.设r为正实数，集合M={(x,y)x2+y2≤4}，N={x,y)(x-1)2+-1)2≤r2),当MnN=N时， r的取值范围为（). A.(0,2-VZ B.(0,2-V2) C.(0,2) D.(0,2] 5.空间直角坐标系中，直线过点P(2,-1,-2),且其方向向量=(1，-2,2)，则M(1,0,-2)到距离为( ) A.3 B.2 C.V3 D.1 6.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，N为B1C1的中点，点P在正方体各棱及表面上运动且满足A亚· CN=0,则点P轨迹的面积为() A.2V5 B.4W2 C.23 D.4 7.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+b2-ab=c2,若角C的内角平分线CM=1,则CA.CB 的最小值为() A.子 B.1 c.台 D.青 8.已知实数x1,x2,y1,y2满足x好+y归=4，x3+y吃=4,1x2+y1y2=0,则lx1+y1-5引+x2+y2-5引 的最大值为() A.12V2 B.14 C.72 D.12 二、多选题 9.下列结论正确的是（) A.所有直线都可以用方程Ax+By+C=0表示 B.过点P1(m,3),P2(m,7)(m≠n)的直线的两点式方程为-3=-"(m≠n) 4 n-m C.所有过点A(0,6)的直线都可以用方程y=kx+6表示 D,在两坐标轴上的截距相等的直线都可以用方程+兰=1表示 第1页（共4页） 10。已知椭圆C:荒+兰=1的两个焦点分别为F,P2,P是椭圆c上任意一点，则() A.△PF1F2的面积最大值为8 B.△PF1F2的周长为12 C.IPFI的最小值为3 D.IPF1·PF2的最大值为16 11.已知圆C:(x-1)2+y-2)2=9,直线l:mx-y-3m+1=0,则以下说法正确的是() A.直线l与圆C恒相交 B.当圆C上恰有4个点到直线的距离等于1时，m=0 C.直线被圆C截得的最短弦的长度为2 D.若圆C与圆C1:(x+3)2+y+1)2=r2(r>0)有三条公切线，则r=2 第II卷（非选择题） 三、填空题 12.若直线2x+y-3=0与直线4x+2y-8=0平行，则两平行线间的距离是 13.已知A,B为两个相互独立的随机事件，若P(AB)=号且PAB)=P(AB),则P(4)=一 14.已知0为坐标原点，E为平面内一定点，且0=2，平面内的动点P满足：存在实数1≥1，使 |20丽+(1-)0=1，记点P构成的平面区域为S,则S的面积为 四、解答题 15.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=2,b=V6,A=45°. (1)求角B的大小： (2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC的面积. 第2页（共4页） 16.高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次竞赛情况，年级从中抽取了100名学生的成绩x 进行统计.将成绩进行整理后，分为五组：[50,60)，[60,70)，，[90,100]，其中第1组频数是第2组频数的 一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求a,b的值： (2)已知落在[50,60)的平均成绩是56，标准差是4，落在[60,70)的平均成绩为65，标准差是2，求两组成绩 的总平均数z和总方差s2; (3)在下一轮比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关模型检验的问题.已知甲回答正确的概率是甲、 乙两人都回答正确的概率是品乙、丙两人至少一人回答正确的概率是 241 每人回答正确与否相互独立。求 甲、乙、丙三人中至少两人回答正确的概率. A频率 组距 0.040 a 0.016 0.008 b -- 5060708090100成绩（分） 17.已知△ABC的顶点A(4,1),AB边上的高所在直线平行于直线3x+5y-1=0,角B的平分线所在直线1 的方程为2x-y-5=0. (1)求点B坐标； (2)求点A关于直线的对称点A1的坐标； (3)求BC边所在的直线方程. 第3页（共4页) 18.已知椭圆r等+苦兰=1〔a>b>0)的左右焦点是F1(-10、P,(1,0,离心率为号 (1)求椭圆Γ的标准方程； (②)若直线y=x+m被椭圆r截得的线段长为咎，求m的值： (3)若0为坐标原点，直线l1过F1且与椭圆Γ交于A、B两点，求OA.OB的最大值。 19.如图1，在平面五边形ABCDE中，∠EAC=∠DCA=牙AE=4,CD=2,AB=BC=AC=2V3,F、H 分别为ED、AD的中点，将△ABC沿AC翻折，使点B到点P的位置，如图2. H B 图1 图2 (I)若PH⊥平面ACDE. (i)证明：CF⊥PA; ()三棱锥P一ACD的各顶点都在球O上，M为球O球面上的动点，求EM川的取值范围. 2在翻折的过程中，二面角P-AC-D正弦值的范围为停，小，求平面PCD与平面PAE夹角的最小值. 第4页（共4页）