精品解析：湖北省十堰市部分重点高中2026-2027学年高二上学期9月阶段检测数学试题

高二年级上学期9月考试 数学试卷 本试题卷共四页，全卷满分150分.考试用时120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷和答题卡上的非答题区域均无效. 一、单选题 1. 对任意实数，直线一定经过点（    ） A. B. C. D. 2. 已知平面直角坐标系中的三个点，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（ ） A. B. C. D. 3. 一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为，当且仅当时称为“凹数”（如213，312等），若，且互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为 A. B. C. D. 4. 已知中，，，若满足条件的角有两个解，则长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 今年为纪念红军长征胜利90周年，某市计划在广场中央建造一座“长征颂”主题纪念碑.该纪念碑的基座设计为一个稳固的四面坡式石墩（如图所示），已知该几何体是从长方体上底面向下底面顶点截去4个完全一样的三棱锥后得到的几何体，经实地测量，下底面长10米、宽6米，一个侧面为上底长4米，腰长5米的等腰梯形，则该纪念碑基座的体积为（ ） A. 168 B. 192 C. 216 D. 240 6. 设、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 在平行六面体中，且，，若，，则棱的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 二、多选题 9. 已知为虚数单位，则以下四个说法中错误的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若复数为纯虚数，则 D. 若为复数，则 10. 甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录骰子每次出现的点数，根据这四名同学的统计结果，可以判断该同学掷得的点数一定有6的是（ ） A. 甲：极差为4，平均数为4.4 B. 乙：中位数为3，平均数为3.4 C. 丙：平均数为3，方差不小于4 D. 丁：中位数为2，方差大于2.5 11. 在长方体中，，，M为棱的中点，点P为侧面内的动点（包含边界），则下列说法正确的有（ ） A. 满足的点P有且只有两个 B. 若，则点P的轨迹长度为 C. 三棱锥的体积为 D. 若平面，四棱锥的顶点都在球O上，则球O体积的最大值为 三、填空题 12. 经过点，并且在y轴上的截距是在x轴上的截距的两倍的直线方程为_______． 13. 已知为非零不共面向量，若向量， 则记向量以为基底时的坐标为，若向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为______． 14. 正三角形边长为2，是中点，将沿翻折至，当二面角的大小为120°时，四棱锥外接球O的表面积为______． 四、解答题 15. 已知的三个顶点是，，. （1）求边上的中线所在直线的斜截式方程； （2）求边上的高所在直线的斜截式方程； （3）求边的垂直平分线的斜截式方程 16. 电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超158.91亿元，成为首部进入全球票房榜前五，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影.一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取20000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图． （1）估计观看此电影的观众的年龄的众数、平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）已知落在的平均年龄是27岁，方差是7，落在的平均年龄为36岁，方差是4，求两组年龄合并后的平均数和方差． 17. 已知，b，c分别为的内角，B，C所对的边，且. （1）求A； （2）已知D是边BC的中点，求AD的最大值. 18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段，的中点，在平面ABC内的射影为. （1）求证：平面BDE； （2）若点F为棱的中点，求点到平面BDE的距离； （3）若点F为线段上的动点（不包括端点），求平面FBD与平面BDE夹角的余弦值的取值范围. 19. 如图，在三棱锥中，平面，平面平面，M为PB的中点． （1）求证：； （2）若，，，且AM与平面PBC所成角为； ①当时，求三棱锥的体积； ②当BC取最大值时，求二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级上学期9月考试 数学试卷 本试题卷共四页，全卷满分150分.考试用时120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷和答题卡上的非答题区域均无效. 一、单选题 1. 对任意实数，直线一定经过点（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将方程化为，令，即可求解. 【详解】因为，令，解得，， 所以直线都经过平面内一个定点． 2. 已知平面直角坐标系中的三个点，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出图形，利用直线斜率的计算公式，结合直线与线段的位置关系分析求解即可. 【详解】如图所示， 要使过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率满足：或， 又， 所以的取值范围为：， 由，所以直线的斜率可以是. 3. 一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为，当且仅当时称为“凹数”（如213，312等），若，且互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由于，且互不相同，故可得个三位数.若，则“凹数”有：.共6个；若，则“凹数”有：.共2个.所以这个三位数为“凹数”的概率为有. 考点：古典概型. 4. 已知中，，，若满足条件的角有两个解，则长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由于满足条件的角有两个解，所以，即，答案为D． 5. 今年为纪念红军长征胜利90周年，某市计划在广场中央建造一座“长征颂”主题纪念碑.该纪念碑的基座设计为一个稳固的四面坡式石墩（如图所示），已知该几何体是从长方体上底面向下底面顶点截去4个完全一样的三棱锥后得到的几何体，经实地测量，下底面长10米、宽6米，一个侧面为上底长4米，腰长5米的等腰梯形，则该纪念碑基座的体积为（ ） A. 168 B. 192 C. 216 D. 240 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得梯形的高（即几何体的高）为，利用长方体的体积减去四个三棱锥的体积即可求解. 【详解】将原图形补全为长方体，如下图： 因为侧面为等腰梯形，上底长米，下底长米，腰长米， 所以梯形的高（即几何体的高）为：米 所以长方体下底面长米、宽米，高为米，体积立方米； 由于每个三棱锥的底面为直角三角形，直角边分别为：米，米， 所以每个三棱锥的体积为：立方米， 4 个三棱锥总体积：立方米 所以该纪念碑基座的体积为立方米 6. 设、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率的性质以及互斥事件的概率公式可得出关于实数的不等式组，由此可解得的取值范围. 【详解】因为、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，， 由题意可得，解得， 由互斥事件的概率公式可得， 由题意可得，解得， 故的取值范围是. 故选：A. 7. 如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据和三点共线，可得和，利用平面向量线性运算可用表示出，由此可得方程组求得，进而得到的值. 【详解】连接，， 三点共线，可设，则， ； 三点共线，可设，则， ； ，解得：，，即. 故选：B. 【点睛】思路点睛：本题考查平面向量基本定理的应用，基本思路是根据为两线段交点，利用两次三点共线，结合平面向量基本定理构造出方程组求得结果. 8. 在平行六面体中，且，，若，，则棱的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设，，，利用空间向量基本定理有，进而可得，利用判别式即可求解. 【详解】设，，，则有， 由，， 所以，， 所以 ， 即， 所以， 整理得， 所以， 则，解得，则棱的最大值为4. 故选：D. 二、多选题 9. 已知为虚数单位，则以下四个说法中错误的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若复数为纯虚数，则 D. 若为复数，则 【答案】BC 【解析】 【详解】选项A：因为故选项A正确； 选项B：复数的虚部为，故选项B不正确； 选项C：若，则即，故选项C不正确； 选项D：设，所以， 则，故选项D正确. 10. 甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录骰子每次出现的点数，根据这四名同学的统计结果，可以判断该同学掷得的点数一定有6的是（ ） A. 甲：极差为4，平均数为4.4 B. 乙：中位数为3，平均数为3.4 C. 丙：平均数为3，方差不小于4 D. 丁：中位数为2，方差大于2.5 【答案】AC 【解析】 【分析】根据极差，中位数的定义，假设5个数据不含6，确定固定的数，其余数字按平均数或方差构造合理数字检验假设是否成立. 【详解】选项A，假设没有6，则必有1，5，平均数为4.4，所以其余三个数之和应为16，所以假设不成立； 选项B，当5个数字为2，2，3，5，5时，中位数为3，平均数为3.4，满足条件； 选项C，假设没有6，方差最大时5个数字为1，1，3，5，5时， 平均数是3，方差为，假设不成立； 选项D， 当五个数字为1，2，2，5，5时，中位数是2，平均数3， 方差为，满足题意. 11. 在长方体中，，，M为棱的中点，点P为侧面内的动点（包含边界），则下列说法正确的有（ ） A. 满足的点P有且只有两个 B. 若，则点P的轨迹长度为 C. 三棱锥的体积为 D. 若平面，四棱锥的顶点都在球O上，则球O体积的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质得到，求出即可判断A；根据得到轨迹，进而求得轨迹长度，即可判断B；应用等体积公式结合三棱锥体积公式计算判断C，由线面平行的向量证明可得到点与重合时，其外接球的体积最大，即可判断 D. 【详解】对于A，因为平面，平面，所以. 若，则，即点在以点为圆心，2为半径的圆上，满足的点P是弧， 在侧面内存在满足该条件的点无数个，故A不正确； 对于B：因为平面，平面，所以. 因为，所以，所以， 又因为平面，所以平面， 因为，即点P的轨迹为线段，所以点的轨迹长度为，B选项正确； 对于C，三棱锥的体积， C选项正确； 对于D：取是中点，取是中点，因为平面，平面，所以平面， ，所以是平行四边形，所以平面，平面，所以平面， 平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面， 所以当取时，四棱锥的顶点都在球O上,球O体积的最大， 此时球的半径满足，即，所以球的体积为，故D正确； 三、填空题 12. 经过点，并且在y轴上的截距是在x轴上的截距的两倍的直线方程为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】分截距为零和不为零两种情况求直线方程即可. 【详解】①当横纵截距为零时，直线的斜率，所以直线方程为，即； ②当横纵截距不为零时，设直线方程为，将点代入得，解得，所以直线方程为，即. 故答案为：或. 13. 已知为非零不共面向量，若向量， 则记向量以为基底时的坐标为，若向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理的坐标表达式列方程求解即得. 【详解】依题意，可得，设， 则，故有，解得， 即以为基底时的坐标为. 14. 正三角形边长为2，是中点，将沿翻折至，当二面角的大小为120°时，四棱锥外接球O的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，可得点的投影一定在直线上，设 交于点，可证为二面角的平面角，四棱锥外接球球心一定在过点且垂直于平面的直线上，过作于，设，借助于，建立关于的方程，求出的值，即得外接球半径，代入表面积公式计算即得. 【详解】 如图，取的中点，连接， 连接交于点， 则，，， 又，则，且， 故四点共圆，且为该圆的圆心， 因此四棱锥外接球球心一定在过点且垂直于平面的直线上， 设球心为点，则有，易得点的投影一定在直线上，不妨设为点，则， 过作于，设，则， 因，则为二面角的平面角，即， 在中，，， 因，， 则，， 在中，，即， 解得，则， 故四棱锥外接球的表面积为． 四、解答题 15. 已知的三个顶点是，，. （1）求边上的中线所在直线的斜截式方程； （2）求边上的高所在直线的斜截式方程； （3）求边的垂直平分线的斜截式方程 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出的中点坐标，进而得到所求直线斜率，根据点斜式得到方程，再转化为斜截式即可； （2）先求出直线的斜率，进而得到高的斜率，根据点斜式得到方程，再转化为斜截式即可； （3）根据（1）的中点坐标及（2）的斜率得到方程即可． 【小问1详解】 由题意得的中点坐标， 所以， 所以上的中线方程为，整理得斜截式方程为. 【小问2详解】 所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的斜率， 又上的高过点， 则上的高所在直线的方程为，整理得斜截式方程为. 【小问3详解】 由（2）得，与垂直的直线斜率为， 由（1）得的中点坐标， 所以的垂直平分线的方程为，整理得斜截式方程为. 16. 电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超158.91亿元，成为首部进入全球票房榜前五，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影.一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取20000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图． （1）估计观看此电影的观众的年龄的众数、平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）已知落在的平均年龄是27岁，方差是7，落在的平均年龄为36岁，方差是4，求两组年龄合并后的平均数和方差． 【答案】（1）众数为35，平均数为30，中位数为30.8． （2）平均数为32，方差为． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中，众数为最高矩形的中点，中位数为将矩形面积平均分的位置，平均数为各矩形中点与面积乘积的和进行计算； （2）利用均值和方差的计算公式，计算合并后的均值和方差． 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，最高矩形对应的区间为， 所以众数为该区间的中点值，即． 平均数为： ． 因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为，所以中位数位于区间内． 设中位数为，则， 解得． 故估计观看此电影的观众的年龄的众数为35，平均数为30，中位数为30.8． 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，落在的频率为，落在的频率为． 设落在的样本量为，落在的样本量为，则，即，则． 由题意知，，；，． 则合并后的平均数． 合并后的方差 ． 故两组年龄合并后的平均数为32，方差为． 17. 已知，b，c分别为的内角，B，C所对的边，且. （1）求A； （2）已知D是边BC的中点，求AD的最大值. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】(1)用正弦定理化边为角，结合三角形内角和与三角恒等变换，求出角A； (2)用向量中线公式表示，结合余弦定理与基本不等式，求出AD最大值. 【17题详解】 因为， 由正弦定理得：， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，即， 因为，所以，所以，所以. 【18题详解】 因为，，所以， 因为D是BC的中点，所以，所以 因为，所以，即， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以AD的最大值为3. 18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段，的中点，在平面ABC内的射影为. （1）求证：平面BDE； （2）若点F为棱的中点，求点到平面BDE的距离； （3）若点F为线段上的动点（不包括端点），求平面FBD与平面BDE夹角的余弦值的取值范围. 【答案】（1）证明：连接，因为在平面ABC内的射影为， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥，⊥， 因为为边长为2的等边三角形，D是线段的中点， 所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，四边形为平行四边形， 所以平行四边形为菱形，故⊥， 因为D，E分别是线段，的中点，所以， 故⊥， 因为，平面， 所以⊥平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到⊥平面，⊥，又平行四边形为菱形，故⊥，又，从而得到线面垂直， （2）建立空间直角坐标系，由（1）知，⊥平面；故平面的一个法向量为，利用点到平面的距离向量公式求出答案； （3）设，求出，求出平面的法向量，结合平面的一个法向量为，从而得到，换元后，得到. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为⊥，D是线段的中点， 所以由三线合一可得， 又，故为等边三角形， ， 由（1）知，⊥平面；故平面的一个法向量为， 点到平面BDE的距离； 【小问3详解】 点F为线段上的动点（不包括端点），设， ，则，故，故， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则，故， 又平面的一个法向量为， 故， 令， 则， 因为，故， ， 平面FBD与平面BDE夹角的余弦值取值范围是. 【点睛】立体几何二面角求解方法： （1）作出辅助线，找到二面角的平面角，并结合余弦定理或勾股定理进行求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量相关公式求解. 19. 如图，在三棱锥中，平面，平面平面，M为PB的中点． （1）求证：； （2）若，，，且AM与平面PBC所成角为； ①当时，求三棱锥的体积； ②当BC取最大值时，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：在平面内作于， 因为平面，且平面，因此； 因为平面平面，且平面平面，平面， 因为，故平面，结合平面， 可得； 由于，且平面，故平面； 又因为平面，因此． （2）①②． 【解析】 【分析】（1）根据题干所给线面垂直和面面垂直，利用线面垂直与面面垂直的性质，得到两条直线垂直，通过证明线面垂直，得到异面直线垂直； （2）①由已知线面垂直可得三棱锥的高为，通过作出AM与平面PBC所成角为计算三角形的面积，代入体积公式即可； ②由①中的结论构造三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系，根据向量计算二面角的平面角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①取的中点，连接， 因为是的中点，所以， 由（1）平面，可得平面， 平面，所以， 由，，为等腰直角三角形， 因此， 又因为，平面，， 所以平面， 则就是与平面所成的角， 已知与平面所成角为，所以． 在等腰中，，所以； 在中，，代入得，所以， 所以． 所以三棱锥体积为． ②过点作平面，垂足为，以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，． 故，直线的方向向量． 设平面的法向量，故， 即解得， 令，则，所以． 由直线与平面的夹角为， 得， 整理得， 交叉相乘同时平方得， 进而有， 由基本不等式得，，所以， 当且仅当时，即时等号成立，所以，即的最大值为． 此时． 设平面的法向量，则， 即，解得， 令，则，所以． 平面的一个法向量． 设二面角为，则， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $