湖北十堰市郧阳中学2026-2027学年高二上学期数学第一次周考试卷

那阳中学高二上学期数学周考（一） 命题人：杨涛审题人：魏贝 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1.在四面体0-ABC中，设OA=a,OB=6,OC=,点M为AB的中点，ON=2.NC,则MN=() A-5+号B.+5+8 C.a+6+c D.a-6-c 3 2 2.若向量4=(（-3，八，2)，42=(6，-2，z),且411u2,则y一z的值是（) A.-3 B.5 C.3 D.-5 3.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(41,3),B(2,-5,1),C(-3,7,-S),则顶点D的坐标为(3 A.(1,-13,3) B.（-5,1,-7） C.(5,-1,7) D.（-1,13,-3) 4.已知三棱锥P-ABC的体积为5，△BCP是边长为4的正三角形，点D为PB的中点，点Q满足 A0=2x而+yAC+2-xAP，且x+y+z=1,则A@的最小值为（) A.53 D.53 16 B. C. 4 12 5.已知向量AB=(4,-1,0),AC=(0,3,0),A=（-3,1,-4),N是BC的中点，则点S到直线AN的距离为() A.1 B.4 c.5 D.√21 6在平行六面体ABCD-ABC,D中，AB=3,AD=4,A4=2,BD=V31,∠4AB=∠AAD=60°， 则∠ABC=() A.60° B.90° C.120° D.150° 7.如图，二面角a-l-B等于120°，A、B是棱I上两点，BDAC分别在半平面xB a 内，AC⊥I,BD⊥I,且AB=BD=2,AC=4,则CD的长等于() A.4 B.4W2 C.6 D.6N2 8.正方体ABCD-AB,CD中，E是棱CD的中点，F是棱DD上的动点，过点B,E,F的平面截该正方体所得 的截面记为a,若三棱锥D,-ADE的外接球球心落在平面α内， D DD的值为( A方 2 1 B. C.3 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共8分，在每个小趣给出选项中，省多项符合题目要求，全部选对的 得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 武卷第1页（共4页) 9.下列说法征确的是( A.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)关于x轴对称的点的坐标为(1，-2，-3) B.在空间直角坐标系中，i=(1,0,0)是坐标平面Oxy的一个法向量 C.已知a,b,c是空间的一组基底，则a,b-a,a-c也是空间一组基底 D.以A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)为顶点的三角形是等边三角形 10.如图，在三楼锥P-ABC中，PA=PB=AC=BC=2N5,AB=4,PC=4W2,E,F分别为BC,AC的中 点，则( A.平面PAB⊥平面ABC B.直线PC与平面PEF所成角的正弦值为3V@ 10 异面直线PB与AC所成角的余弦值 D.平面PEF与平面PAC夹角的余弦值为塑 11.在棱长为2的正方体ABCD-AB,C,D,中，点P满足BP=BC+BB,且0≤九≤1，0≤u≤1，则下列说法正 确的是( C A.若2+μ=1，则AP1/平面A,C,D A B.若乙+A=1,则AP⊥BC C.若入=A=7则P到平面48D的距离六5 1 D D.若1=l,0≤H≤1时，直线DP与平面4BD所城角为O,则sin0∈ 33 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.空间中，已知直线I的一个方向向量为r=(4,-8,6),平面a的一个法向量为元=(a,3,6)(常数a∈R).若川a, 则实数a的值为 13,己知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是平行四边形，为PA的中点，经过直线CQ的平面与侧棱PB,PD分别交 于点M,N.设m=防，p丽=P若=子，则A=一一 14.如图，在直角△ABC中，AB=1,BC=2,D为斜边AC上异于A、C的动点，若将AABD沿折痕BD翻折， 使点A折至4处，且二面角4-BD-C的大小为于，则线段4C长度的最小值为 试卷第2页（共4页） 四、解答题：共77分 15.(13分)如图，已知平行六面体ABCD-AB,C,D,中，底面ABCD是边长为1的正方形， AA=2,∠AAB=∠AAD=60°，设AB=a,AD=i,AA=c. 9 B (1)用a,6,c表示AC,并求AC: D (2)求AA与BD的夹角. D 16.(15分)如图所示，正四棱锥P-ABCD中，点E是棱PB的中点. (I)证明：PD!1平面AEC: 2)已知异面直线PD与AB所成角的余弦值为V6,求平面PAC和平面ACE夹角 13 的余弦值. 17.(15分)三棱柱ABC-4BC,中，AB1AC,AB=AC=2,侧面44ACC为矩形，∠4AB=2红，三棱锥C-ABC 3 的体积为2 (1)求侧棱A4的长； 3 ②诺点E位于侧棱©C上，且CB=子，求直线4伍与子面4BC所成角的正孩值， 6 B 试卷第3页（共4页） 18.（17分)如图，EA⊥平面ABCD,CF/IAE,ADIIBC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2. (1)证明：BF/I平面ADE; E ②)若CF=判断在线段EF上是否存在一点M,使得三棱锥E-BDM的体积为 若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由. 19.(17分)空间中，我们将至少两条坐标轴不垂直的坐标系称为“空间斜坐标系”.类比空间直角坐标系，元，，分 别为“空间斜坐标系”中三条数轴(x轴、y轴、z轴)正方向的单位向量，若向量万=xi+j+k，则n与有序实数 组(x,y,z)相对应，称向量n的斜坐标为[x,,z],记作元=[x,y,z].如图，在平行六面体ABCD-AB,C,D,中， B=AD=1,4=2,AB⊥AD,∠B4=∠D14=于以瓜，而，}为基底建立"空间斜坐标系 (I)若点E在平面ABCD内，且AE⊥平面ABCD,求AE的斜坐标； (2)若F的斜坐标为[1，O,],求平面AD,F与平面ABCD的夹角的余弦值， Z D C A B D2- B 试卷第项（共4页）那阳中学高二上学期数学周考（一)参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D C D B B A AC ACD 题号 11 答案 AD 3.D【详解】平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(4,1,3),B(2,-5,1),C(-3,7,-5),设顶点D 的坐标为(x,y,z,因为BA=CD,所以(2,6,2)=(x+3y-7,z+5),所以x=-1,y=13,z=-3, 所以D的坐标为(-1,13，-3) 易得当1-号时，O-O亚取得最小值号故选：B 4.C【详解】如图，由点D为PB的中点，可得B+AP=2AD, 所以A0=2xAD+yAC+(2-x)AP=xAB+yAC+zAP. 因为x+y千z=1,所以点2在平面BCP内， 回的最小值就是三棱锥A-BCP的高，由装如=袋-c,得h:5x4=5,得么=15-5日 4 454 5.D【详解】先求=二(B+AC)=(2,1.0),由点到直线的距离公式求得距离=V2 6.B【详解】利用空间向量的线性运算可知BD=AD-AB=AA+AD-AB, 所以BD-(4+D-AB, 即BD-4+D2+AB+24·AD-2A瓜·B-2AD.B, BD2-4+D2+丽2+24Dc0s∠A4D-2网a@cos∠AAB-2而· 由于AB=3,AD=4,A4=2,BD,=V31,∠AAB=∠44AD=60, 所以，31=4+16+9+2×2x4×-2×2x3x-2AD.AB,所以D.B=0,故AD1B,即AD1AB, 故平行四边形ABCD为矩形，∠ABC=90 7.B【详解】因为二面角a-l-B等于120°，又AC⊥l,BD⊥1 所以可得(4C,BD)=120(4C,西=90，（俪，BD上90°， 又CD=CA+AB+BD, 所以CD=(@+B+BD=C+AB+D+2AA丽+2CABD+2AB.d 答案第1页（共8页） =42+22+22+2×0+2×4×2c0s(180°-120）+2×0=32，所以CD=4W2 8.A【详解】设正方体棱长为1，以D为原点，以DA,DC,DD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建 立空间直角坐标系，如图所示，可得D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0), D(0,0,因为点E为cD中点，可得E0号0，又设DF=1F画，F00,, 则得(@.小-0.0i-小，解得：=产文即F00), 由三棱锥D,-ADE的外接球即为DA,DE,，DD为棱的长方体的外接球， 由0=1DE=号D0-1,得长方体的体对角线长为1-P+份+P- 所以三棱锥D-ADE的外接球的半径为R= 1-3 即球心0为该长方体体对角线的中点，所以©》】 设平面的法向最为1=c小，死-气1-2，F-(-17) 元B死=-x-2y=0 由 元B硬=--y+ ,故可取-1-21生)，因为0ea,所以B0-（3》与平面BBr -z=0 的法向量为直，则0i=0,即引》1+(》(-2)+份)-0，解得=1，所以85号 10.ACD【详解】由PA=PB=AC=BC=2V5,AB=4,可得△PAB和△ABC均为等腰三角形， 若AB中点为O,则OP⊥AB,OC⊥AB,且OP=OC=4,又PC=42, 故PC2=OP2+OC2,所以OP⊥OC,由AB∩OC=O且都在平面ABC内，则 OP⊥平面ABC,由OPc平面PAB,则平面PAB⊥平面ABC,故A正确； 以O为原点，OA为x轴正方向，O元为y轴正方向，OP为z轴正方向建立空 间直角坐标系，则A(2,0,0),B(-2,0,0),C(0,4,0),P0,0,4), 由E为BC中点，即E(-1,2,0),F为AC中点，即F(1,2,0), 由PC=(0,4,4),PE=(-1,2,4),PF=(1,2,4),设平面PEF的一个法向量元=（x,y,z), %·PE=-x+2y-4z=0 则 P币=x+2y-k=0,取z=1,则y=2,x=0,故%=(0,2，， 4 设直线PC与平面PEF所成角为B,则sinO 10 4W2x510, 故B错误； 答案第2页（共8页） 由PB=(-2,0,-4),AC=(-2,4,0),则cosPB,AC 阿得255子放c正确 PB.AC 由PA=(2,0,-4),AC=(-2,4,0),设平面PAC的一个法向量n2=(a,b,c), n2·PA=2x-4x=0 则5 ,取x=1,则x=2,y=1,故n=(2,l1), z2AC=-2x+4y=0 又平面PEF法向量元=(0,2,1)，则cosm,n2= 五330 5x600, 故D正确 D 11、AD【详解】连结AC,AB,B,C,由+μ=1可知，点P在线段B,C上， B 因为AC/1AC,ACc平面ACB,AC文平面ACB,所以AC,/I平面ACB, 同理AD/1平面ACB,且ACOAD=A,且AC,ADc平面AC,D, D 所以平面ACB/I平面ACD,APc平面ACB,所以APII平面A,CD,故A正 确：如图以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0,0,0),B(0,0,2),A(0,-2,0),4(0,-2,2)，C(-2,0,0)，C(-2,0,2), D D(-2,-2,0),D(-2,-2,2),对于B,BC=(-2,0,0),BB=(0,0,2),则 A BP=1BC+uBB1=(2,0,2μ)，得P(-2元，0,2P),所以AP=(（-22,2,24）, BC=(-2,0,2),AP.BC=41+4μ=4≠0， B 故AP不与BC垂直，放B错误：对于C,=u时，P(-10,又4=(0，-22) BD=(-2,-2,0),设平面4BD的法向量为i=(x,乃，)，则 BAi=-2y1+21=0 。故可取i=（-1,1,1), BDi=-2x1-2y1=0 又BP=(=1,0,1),则P到平面ABD的距离为 2.月2_25 ,故C错误；对于D,当2=1,0≤μ≤1 网53 时，P-2,0,2),则D2=(0,2,24),又由C已得平面4BD的法向量为i=(-1,11),则 如6=os(o训 DP 2+24=5+2+24 D同23i+ 23V1+μ 当4=0时，si如0=5 s.-9普.5吾 +2 31+μ2 ,因f()=x+在(0,1]上单调 A+ 4 减则+22，则有了 ，则3 <6如0s52=5,则当0≤H≤1时，5≤in0≤5 3 3 3 答案第3页（共8页） 12.313.号 13.【详解】连接AC,BD交于点O,因为底面ABCD是平行四边形， 所以O为AC,BD的中点，由平行四边形法则可得：PA+PC=PB+PD=2PO,故PC=PB+PD-PA, 又丽-丽，wui,得历-等丽，D 又g为PA的中点，PA2PQ,所以PC-4PM+1PN-2P, 由题意C.MN,e共面，所以号+21，解得a=号 14.√2【详解】过点A在平面ABD内作A,M1直线BD,垂足为点M, B 过点C在平面BCD内作CN⊥直线BD,垂足为点N,如下图所示： 不衣=4++c,A-c=0,记∠A8D=a,则a(0, ∠8c=a,则4网=sina,d=2sin5-a]2cosa, 因为二面角4-BD-C的大小为于，则C、网的夹角为号 ~c·4M=-c.i=-dos子=--sinacosa,且 -zcox[经aosa叶ps抽a-osa,所.以 4=(4M+m+NG4M网对2c4 sin2a+(2sin a-cosa)2+4cos2a-2sina cosa=5-3sin 2a 22, 即4C≥V2,当且仅当sin2a=1时，即当a=下时，等号成立，因此，线段AC长度的最小值为√2. 15【详解】(1)因为AB=a,AD=6,A=c,且BC=AD,CC=AA, 所以AC=AB+BC+CC=AB+AD+4=a+i+c,2分 又因为底面ABCD是边长为1的正方形且A4=2,∠AAB=∠AAD=60°， 所以4G=a+i+=后2+62++五6+万G+五-G =+1+4+0+2x1x2x+zx1x2x分i而.6分 (2)因为底面ABCD是边长为1的正方形，且AA=2,∠AAB=∠AAD=60°， 又由BD=AD-AB=i-a,AA=c, 所以瓜-而-(6-副-8=-6-8a-2为发28冷-0，…1分 答案第4页（共8页） 所以s瓜而)-亮 ABD =0,故4与D的夹角为90° 13分 16.【详解】(1)连接AC,BD,设ACOBD=O,连接OE,因为四边形ABCD为正方形，则O是BD中 点，点E是棱PB的中点，则OE//PD,因为PDG平面AEC,OEc平面AEC, 所以PD/I平面AEC: 4分 (2)连接PO,正四棱锥P-ABCD中，PO⊥平面ABCD,AC⊥BD, 所以OP,OA,OB两两垂直，6分 以O为坐标原点，OA,OB,OP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示 的空间直角坐标系O-2,设OA=OB=2√2，OP=2t, 则P(0,0,2a),D(0,-22,0,A(2W2,0,0）,E(0,V2,),所以 PD=(0,-2V2,-2r,A亚=（-2W2,V2,t),又异面直线PD与AB所成角的 余弦值为区，所以上25x5+(-2小_5 13 V8+42x√10+213 B 解得t=V5,(负值舍去)，故P(0,023),C(-22,0,0),A22,0,0), E(0,V2,5),所以Ca=(42,0,0,c厘=(22,2,5)， 由题意知平面PAC的一个法向量为m=(01,0),，10分 iC4=4v2x=0 x=0 设平面ACE的法向量为i=(x,y,z),则 万：C西=22++2=0'得 V2y+3z=0' 取y=√5，得i=(0,V5,-V2), 12分 设平面PAC和平面ACE夹角为O,所以cos0= m m同x5 914分 5 所以平面PAC和平面ACE夹角的余弦值为 15分 5 17.【详解】(1)在平面A4B,B内过A作AD⊥AB,垂足为D,因为侧面AACC为矩形，所以CA⊥AA, 又CA⊥AB,，AB∩AA,=A,AB,AAc平面AABB,所以CA⊥平面AA4BB, 又CAc平面ABC,所以平面AABB⊥平面ABC, 因为ABIIAB,所以AD⊥AB,ADc平面AABB,平面AABB∩平面ABC=AB, 所以AD1平面ABC.4分 答案第5页（共8页) 所以%mD=分分2x210-2道，解得0=5,5分 2 3 因为∠44B=2红， 3,所以∠AAD=”,所以A4= ;6分 6 (2)如图，以A为坐标原点，以AB,AC,AD所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则4(-1,0，V3,B(2,00),C(0,2,0),C(-1,2,5),故4B=(3,0,-5), 0-2,因为巫-c,则-22， 故 亚-（2，） 设平面ABC的法向量为元=（x,y,z), [m-4B=0n3x-N5z=0 则 即 ,令z=√3，则x=y=1, m-AC=0x+2y-5z=0 故平面4BC的一个法向量为m=11,5), 11分 AE-m √65 设直线AE与平面A,BC所成角为0，则sinO=cos AE,m AE 13 …14分 所以直线AB与平面4B8C所成角的正弦值为√6厨 .15分 13 18.【详解】(I)法一：证明：CF/AE,CFt平面ADE,AEc平面ADE,.CFI/平面ADE 同理：BCII平面ADE.,BC∩CF=C,BCc平面BCF,CFc平面BCF,'.平面BCF/平面ADE. 又BFC平面BCF,.BF/平面ADE.4分 法二：证明：依题意，建立以A为原点，分别以AB,AD，,A正为x轴，y轴，z轴 的空间直角坐标系（如图），则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2), 设CF=h(h>0),则F(1,2,h).依题意，AB=(1,0,0)是平面ADE的一个法向量 D 又因为BF=(0,2,),BF.AB=1x0+0x2+0×h=0,即B丽AB=0. BF⊥AB,又，因为直线BFE平面ADE,.BF/平面ADE 4分 (2)由1)可得：4@00，BL@0,c2,0,D01,0,B02)F2》 ∴D-(-110,庞-(102，丽=0,2，》F=1,2》 假设存在这样的点M,且满足：EM=乎(0s≤1)， :丽-2}(22x 答案第6页（共8页） :丽-厩+丽=(-10,2)+2,2--12,2- 元.BD=0 -x+y+0=0 设平面BDE的法向量为i=(x,y,z),则 即 元.BE=0’ -x+0-y+2z=0 假设x=2,则y=2,z=1,.i=(2,2,1)…8分 设点M到平面BDE的距离为d, 2×(-1)+2×2+1× 10分 V22+22+12 在△BDE中，I D=V-1+12+02=2,BE=-1+02+22=5. cos∠DBE=cos BD,BE= BD·BE -1×(-1)+1×0+0×2 1 BDB酝 √2V5 o .sin∠DBE=VM-cos2∠DBE 1月 3 ho-o 8asB丽n∠DE×5x- 10213分 w=5md-写号-号-号a-号0小，符合感藏，16分 327 7 \EM=汞，即点M为线段EF上靠近F的三等分点. 17分 19【详解】(1)由题可知AE=xi+j，AA=2k,则4E=xi+-2k(提示：斜坐标的本质是将空间中 的向量用基底装示后的系数，由题可知了=0，了天=子了天=分 .AE⊥平面ABCD, 4E丽=0，n（xi+7-2）i=-1+x=0, 4死·而=0，(xi+疗-2j=-1+y=0, 则x=1,y=1,则AE的斜坐标为[1,1，-2].6分 (2)由题可得正=i+k,D=j+2k, 设平面AD,F的法向量为ā=pi+g可+m成（提示：设斜坐标系下的法向量，通过求解法向量方程与赋值求 得法向量)，由 AF.a=0, 得 +(+7+m小p+空分是m=0 Da=0, +2(o+0+mg+之p*g+2m=0 答案第7页（共8页） p+m+号=0， 3 2 2 即 10分 2g+p+亏m=0, 取m=10,可得卫=-7,9=-9，即a=-7i-97+10K.11分 则a2==-（7-97+10k)2=49+81+100-70-90=70.12分 由(1)可知4E1平面ABCD,且4E=1+7-2元，则4E=(+j-2)=1+1+4-2-2=2,13分 4E-a=(位+j-2)(-7i-9j+10)=-7+5-9+5+7+9-20=-10, 14分 则os(不，- 45d.10-3E 4E同2×√70=7,16分 即平面D,F与平面ABCD的夹角的余弦值为√ 1 17分 答案第8页（共8页）