辽宁省朝阳市第一高级中学2026-2027学年上学期高二数学第8周晚周测试题

朝阳一高高二数学第八周周测 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．设，则“”是直线：和直线：平行的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．已知直线过点，若直线过点及点关于坐标原点的对称点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知直线过定点，点在直线上，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 6．已知点，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 7．若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，，，若直线l：与的欧拉线平行，则实数a的值为（    ） A．－2 B．－1 C．－1或3 D．3 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．设点，若直线与线段没有交点，则a的取值可能是（    ） A． B． C．1 D． 10．下列结论正确的有（    ） A．倾斜角为的直线l的一个方向向量是 B．直线恒过定点 C．不论m为何实数，直线与直线互相垂直 D．在x，y轴上的截距为a，b的直线可表示为 11．已知点和圆，下列说法正确的是（   ） A．圆心，半径为 B．点在圆外 C．圆关于直线对称 D．设点是圆上任意一点，则的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知直线和直线，若，则_______ 13．求过点M(－2，1)且与A(－1，2)，B(3，0)两点距离相等的直线的方程__________． 14．已知点是直线上的任意一点，则的最小值为________ 四、解答题(15题12分，16题15分) 15．三角形中，边和所在的直线方程分别为和，的中点为. （1）求的坐标； （2）求角的内角平分线所在直线的方程. 16．如图，平行四边形中，，，，为中点，将沿 边翻折，折成直二面角，如图所示，为中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 试卷第4页（共9页） 试卷第3页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 朝阳一高高二数学第八周周测参考答案 一、单选题 1．设，则“”是直线：和直线：平行的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先根据求解出的值，然后分析条件和结论的推出关系判断出属于何种条件. 【详解】若，则有，所以或， 当时，，故重合，舍去； 当时，，满足条件， 所以， 所以“”是“”的充要条件， 故选：C. 2．直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】由直线经过点得，然后计算直线在两坐标轴上的截距，然后根据截距相反列式计算即可. 【详解】由题意，因为直线经过点，所以，则直线. 当时，直线在轴上不存在截距，不满足题意； 所以，令，则，令，则. 由题意，化简得，解得或， 故的所有可能取值之和为. 故选：C. 3．已知直线过点，若直线过点及点关于坐标原点的对称点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算出点及点关于坐标原点的对称点的坐标，然后由两点式求解即可. 【详解】因为直线过点，代入得，即， 则点关于坐标原点的对称点为． 又直线过两点， 所以直线的方程为， 即． 故选：A. 4．不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出定点坐标，设直线关于点的对称直线方程为，则，解方程即可得出答案. 【详解】由可得：， 令，解得：， 所以，设直线关于点的对称直线方程为：， 则到直线与的距离相等， 所以，解得：，即（舍去）或. 故直线关于点的对称直线方程为：. 故选：D. 5．已知直线过定点，点在直线上，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令直线的参数的系数等于零，求得定点的坐标，利用两点间的距离公式、二次函数的性质，求得的最小值. 【详解】直线，即，过定点， 点在直线上，， ， 故当时，取得最小值为，故选B. 【点睛】本题主要考查直线经过定点问题，两点间的距离公式的应用，二次函数的性质，属于中档题. 6．已知点，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式求出圆心，利用两点间距离公式求出半径，从而得到圆的方程即可. 【详解】设中点为O，则，即， 设圆半径为r，则， 则以为直径的圆的方程为. 故选：B. 7．若点在以，，为顶点的的内部运动（包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的几何意义是点与点之间的斜率，在平面直角坐标系中画出草图，观察可知，点与点重合时，斜率，点与点重合时，斜率，所以的取值范围是. 8．瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，，，若直线l：与的欧拉线平行，则实数a的值为（    ） A．－2 B．－1 C．－1或3 D．3 【答案】B 【分析】根据三角形顶点坐标得出重心与外心，求出三角形欧拉线，根据直线平行得解. 【详解】由的顶点，，知， 重心为，即， 又三角形为直角三角形，所以外心为斜边中点，即， 所以可得的欧拉线方程，即， 因为与平行， 所以， 解得， 故选：B 二、多选题 9．设点，若直线与线段没有交点，则a的取值可能是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】AC 【分析】直线过定点，求出直线的斜率，由图形可得直线与线段有公共点时的范围，从而可得无交点时的范围，由此可得正确选项． 【详解】易知直线过定点， ，， 直线的斜率为，由图知或， 所以或时有交点， 因此当时，直线与线段无交点， 故选：AC． 10．下列结论正确的有（    ） A．倾斜角为的直线l的一个方向向量是 B．直线恒过定点 C．不论m为何实数，直线与直线互相垂直 D．在x，y轴上的截距为a，b的直线可表示为 【答案】AC 【分析】对于A，根据直线方向向量的概念求解即可；对于B，根据直线定点的求解方式求出直线定点即可；对于C，根据直线位置的判定判断即可；对于D，根据截距式不能表示截距为0的直线判断即可． 【详解】对于A，直线l的倾斜角为，斜率为，一个方向向量是，A正确； 对于B，直线，即，恒过定点，B错误； 对于C，当时，显然，当时，，所以，C正确； 对于D，截距式不能表示截距为0的直线，D错误． 11．已知点和圆，下列说法正确的是（   ） A．圆心，半径为 B．点在圆外 C．圆关于直线对称 D．设点是圆上任意一点，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】由圆的方程写出圆心和半径，判断A选项；求并与圆半径比较大小，即可知点与圆的位置关系，判断B选项；验证圆心是否在直线上，即可判断C选项；由与圆的半径，求出的范围，判断D选项. 【详解】圆心，半径为，A选项错误； ∵，∴点在圆外，B选项正确； ∵圆心在直线上，∴圆关于直线对称，C选项正确； ∵，圆半径，∴，D选项正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．已知直线和直线，若，则_______ 【答案】－1 【分析】根据两直线平行的条件求解． 【详解】时，两直线显然不平行，因此， 所以由得，解得， 故答案为：． 13．求过点M(－2，1)且与A(－1，2)，B(3，0)两点距离相等的直线的方程__________． 【答案】或 【分析】确定所求直线斜率存在，设方程为，由点到直线的距离公式列方程求得即可得． 【详解】若直线斜率不存在，则直线与A(－1，2)，B(3，0)两点距离不相等，不满足题意； 故直线斜率存在，设所求直线方程为， 即 因为与点，距离相等， 所以, ， 解得或, 即或． 故答案为：或 14．已知点是直线上的任意一点，则的最小值为________ 【答案】 【分析】由已知得的最小值是点（1，﹣2）到直线2x+y+5＝0的距离，由此能求出结果． 【详解】∵点P（m，n）是直线2x+y+5＝0上的任意一点， ∴的最小值是点（1，﹣2）到直线2x+y+5＝0的距离， ∴的最小值d． 故答案为． 【点睛】本题考查代数式的最小值的求法，是基础题，考查了点到直线的距离公式的应用． 四、解答题 15．三角形中，边和所在的直线方程分别为和，的中点为. （1）求的坐标； （2）求角的内角平分线所在直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据边和所在的直线方程联立求解可得A，设，由的中点为，列出方程解得B、C； (2)由（1）得出BC直线方程为3x+y-10=0,设角的内角平分线所在直线的上的点为P（x，y），根据角平分线性质，则P点到AB、BC的距离相等，由距离公式可解出P点轨迹方程即为所求. 【详解】（1）边和所在的直线方程分别为和， ∴两直线方程联立解得， ∴点， ∵的中点为，设， ∴，解得， 即， (2)BC直线方程为3x+y-10=0, 设角的内角平分线所在直线的上的点为P（x，y）， 根据角平分线性质，P点到AB、BC的距离相等， 可得， 化简可得或者， 根据三角形在坐标系中位置， 可得角B内角平分线所在直线的斜率为正值， 故为. 【点睛】本题考查直线方程，直线方程交点联立求解即可，求角平分线方程可根据角平分线上的点到两边的距离相等求解，属于简单题. 16．如图，平行四边形中，，，，为中点，将沿 边翻折，折成直二面角，如图所示，为中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析（2） 【分析】（1）取中点，连接，在中，由为的中位线可知，进而可得出四边形为平行四边形，于是可得，即可得出证明； （2）先证明平面，结合题意建立空间直角坐标系，然后求出对应点的坐标，继而求出直线的方向向量与平面的法向量，最后用求角公式求出答案 【详解】解：（1）取中点，连结，为的中位线， 所以，又 四边形为平行四边形, 所以，又平面平面平面. （2）平行四边形 ABCD 中，连结，由余弦定理， 即，所以， 因为为中点，且在等腰直角中，所以， 所以. 翻折后，平面平面，平面平面= ，平面 所以平面 以O为坐标原点，分别以OD,OB,OC所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 由，取则，所以 所以平面的法向量为 ，设直线与平面所成角为，则 综上所述，直线与平面所成角的正弦值为 试卷第4页（共9页） 试卷第9页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 $