辽宁省朝阳市第一高级中学2026-2027学年高二上学期数学第3周晚周测试题

朝阳一高高二数学第三周周测 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，，，若，，共面，则（    ） A．存在无数个实数符合题意 B．存在唯一的正整数符合题意 C．不存在正整数符合题意 D．不存在任何实数符合题意 4．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．或 B． C． D．与斜交 5．已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（GK）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 7．已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 8．如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上一动点，是的中点，则直线与所成角的余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．（GK）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（    ） A． B．C． D． 10．给出以下命题，其中正确的命题是（     ） A．若，则异面直线与所成角的余弦值为； B．若平面与平面的法向量分别是与，则； C．已知、、三点不共线，点为平面外任意一点，若点满足，则点平面； D．若向量，，是空间的一个基底，则向量、、也是空间的一个基底； 11．（GK）如图，在正四棱柱中，已知，，点在棱上，，动点在线段上（不含端点），平面与平面交于直线，则（   ） A． B．不存在点，使得 C．的最大值为 D．与平面所成角的最大值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．（JC）已知，则在上正投影的数量为 。． 13．（JC）已知点，若，则.= 。 14．点是棱长为3的正方体的表面上一个动点，当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为________． 四、解答题(15题12分，16题15分。) 15．（GK）如图，三棱锥中，点在上，，，． (1)证明：； (2)若，，，，求直线与平面所成角的正弦值． 16．如图，在三棱锥中，侧面底面，侧面是边长为2的等边三角形，是中点，是棱上的一点，已知． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦的最大值． 答案第2页（共3页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三周周测答案 一、单选题 1．（云南省玉溪第一中学（北校区）2026-2027学年高二上学期开学考试数学试卷）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（广东省广州市天河区2025-2026学年高二上学期期末调研考试数学试题）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． 3．（江苏省常州高级中学2026-2027学年高三上学期7月阶段检测数学试题）已知向量，，，若，，共面，则（    ） A．存在无数个实数符合题意 B．存在唯一的正整数符合题意 C．不存在正整数符合题意 D．不存在任何实数符合题意 4．（广东深圳市第三高级中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题A组）若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．或 B． C． D．与斜交 5．（黑龙江省龙东十校联盟2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题）已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 7．（广东省深圳中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题）已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 8．（山西太原市山西大学附属中学校2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题）如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上一动点，是的中点，则直线与所成角的余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2021年全国新高考II卷数学试题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（    ） A． B． C． D． 10．（山东烟台市莱州市第一中学2026-2027学年上学期高二开学收心检测数学试题）给出以下命题，其中正确的命题是（     ） A．若，则异面直线与所成角的余弦值为； B．若平面与平面的法向量分别是与，则； C．已知、、三点不共线，点为平面外任意一点，若点满足，则点平面； D．若向量，，是空间的一个基底，则向量、、也是空间的一个基底； 11．（江苏苏州市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题）如图，在正四棱柱中，已知，，点在棱上，，动点在线段上（不含端点），平面与平面交于直线，则（   ） A． B．不存在点，使得 C．的最大值为 D．与平面所成角的最大值为 三、解答题 12．（第一章空间向量与立体几何本章小结）已知，求在上正投影的数量． 13．（人教B版（2019）选择性必修第一册课本习题第一章本章小结）已知点，若，求. 四、填空题 14．（安徽宣城市2025-2026学年第二学期高一期末测试数学试题）点是棱长为3的正方体的表面上一个动点，当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为________． 五、解答题 15．（2026年高考全国2卷数学高考真题（网络收集版））如图，三棱锥中，点在上，，，． (1)证明：； (2)若，，，，求直线与平面所成角的正弦值． 16．（山东滨州市部分学校2027届高三上学期开学全域学情综合诊断数学试题）如图，在三棱锥中，侧面底面，侧面是边长为2的等边三角形，是中点，是棱上的一点，已知． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦的最大值． 试卷第4页（共4页） 试卷第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《第三周周测答案》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B A B B D C BC BC 题号 11 答案 ABC 1．A 【详解】若空间中两点关于平面对称，则它们的坐标相同，坐标互为相反数， 综上点的对称点坐标为. 2．D 【分析】根据几何图形和向量基本定理以及方向向量的定义进行求解即可. 【详解】根据题意可得，. 所以直线的一个方向向量为. 故选：D. 3．B 【详解】因为向量，，， 若，，共面，则存在唯一实数，使得， 则，解得， 所以存在唯一的正整数符合题意. 4．A 【详解】由，得， 所以或. 5．B 【分析】根据向量共线列方程，然后解方程即可. 【详解】因为，所以，解得，， 所以. 6．B 【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系可得，进而可求正三棱锥的高，即可得结果. 【详解】解法一：分别取的中点，则， 可知， 设正三棱台的为， 则，解得， 如图，分别过作底面垂线，垂足为，设， 则，， 可得， 结合等腰梯形可得, 即，解得， 所以与平面ABC所成角的正切值为； 解法二：将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角， 因为，则， 可知，则， 设正三棱锥的高为，则，解得， 取底面ABC的中心为，则底面ABC，且， 所以与平面ABC所成角的正切值. 故选：B. 7．D 【详解】设，则， ， ， ， ， ，， ， ， 则， ， 设异面直线与的夹角为， 则，故选项D正确. 8．C 【分析】法一：异面直线求夹角作平行线与已知直线相交，构成的夹角为异面直线所成角，通过解三角形计算取值范围；法二：通过建立空间直角坐标系，利用三角函数法对点设出坐标，将异面直线所成角转化为两条直线方向向量所成的角，进而计算取值范围． 【详解】法一：取底面圆心为，连接，，，作，垂足为，连接； 因为是的中点，为的中点，故； 则即为直线与所成角； 设底面半径为，则，，； 因为，，故； 由余弦定理可知 由， 因为是底面圆周上一动点，故，则； 代入可得； 法二：取的中点，连接，与的中点， 由圆锥的垂直关系可知垂直于底面，与的中点的连线垂直于直径； 故以为原点，与的中点的连线为轴，为轴建立空间直角坐标系； 因为圆锥的轴截面是等边三角形，设，则； 故，，，，设； 则，； 则； 则直线与所成角的余弦值为； 因为，则，． 9．BC 【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线构造所考虑的线线角后可判断AD的正误. 【详解】设正方体的棱长为， 对于A，如图（1）所示，连接，则， 故（或其补角）为异面直线所成的角， 在直角三角形，，，故， 故不成立，故A错误. 对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，， 由正方体可得平面，而平面， 故，而，故平面， 又平面，，而， 所以平面，而平面，故，故B正确. 对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得， 故，故C正确. 对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接， 则， 因为，故，故， 所以或其补角为异面直线所成的角， 因为正方体的棱长为2，故，， ，，故不是直角， 故不垂直，故D错误. 故选：BC. 10．BC 【分析】利用异面直线夹角范围、法向量数量积、四点共面向量推论、空间基底条件进行逐项判断即可. 【详解】对于A：异面直线夹角的范围为，故夹角的余弦值不可能为负数，故A错误； 对于B：因为，则，故B正确； 对于C：根据空间向量共面定理的推论，因为，且、、三点不共线，所以、、、四点共面，故C正确； 对于D：因为，所以、、共面，不能成为基底，故D错误. 11．ABC 【分析】由线面平行的判定定理及性质定理可判断A；假设存在点，使得，由线面垂直的判定定理及性质推得矛盾可判断B正确；利用两角差的正切公式求出的最大值，从而得到的最大值，判断C；根据线面角的定义，利用等体积法，结合二次函数最值求法，求得与平面所成角的最大值，判断D. 【详解】对于A，由正四棱柱的性质得∥，∥， 因为平面，平面，所以∥平面. 又平面，平面与平面交于直线， 所以∥.所以∥.所以A正确. 对于B，假设存在点，使得. 过作∥，且分别交于点， 则∥，. 正四棱柱中， 平面， 所以平面， 因为平面，所以. 平面， 所以平面，所以. 矩形中，，所以， 所以，所以， 与假设矛盾，所以假设不成立，故B正确. 对于C，正四棱柱中，平面， 所以.所以， ， . 因为，当且仅当时，等号成立, 所以， 所以当时，取得最大值.故C正确. 对于D，因为∥，所以与平面所成角等于与平面所成角，记为. 设点到平面的距离为，点到平面的距离为，则. 过作∥，且分别交于点，则， . 所以， ， ， 所以， 所以. 所以的面积为. 又， 由， 得. 因为，所以， 所以，所以. 所以. 因为，所以与平面所成角的最大值小于. 故D错误. 12． 【分析】根据向量的投影公式进行求解. 【详解】，，则在上正投影为，故在上正投影为 13． 【分析】先求得的坐标，然后求得. 【详解】设是空间坐标原点， 所以， 所以， 所以， 所以. 14． 【分析】由直线与平面所成的角为，作平面，得到点的轨迹即可求轨迹长度. 【详解】 因为直线与平面所成的角为， 由平面，得直线与所成的角为， 因为，故点不能在平面和平面内； 若点在平面内，则点的轨迹是； 若点在平面内，点的轨迹是； 若点在平面内，作平面于点，如图所示， 因为，所以，又因为，则，故， 所以点的轨迹是以点为圆心，以3为半径的四分之一圆， 此时点的轨迹长度为， 综上，点的轨迹的总长度为. 15．(1)证明： 因为且，，且， 所以平面. 因为平面，所以. 又，，平面， 平面，平面， 所以平面， 故. (2) 【分析】（1）根据题意可得，，再结合线面垂直的性质定理证明即可； （2）法一：建立空间直角坐标系，求解向量和平面的法向量，再结合向量法求解线面夹角；法二：利用体积法解出设点到平面的距离为，进而计算线面夹角. 【详解】（1）略 （2）如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 可得， ， ， . 因为 且 ，所以. 所以，，. 设平面 的法向量 ，则， 可得，令，则：，，即. 设与平面所成的角为： 所以 ， 所以与平面所成的角的正弦值为. 法二：在 中，， 在 中，， 由（1）知，则. 在 中，. 在 中，. ， 为直角三角形，则. 设点到平面的距离为，与平面所成角为， 由得： ，即， 解得：. 所以. 16．(1)是等边三角形，是中点，则， 又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，而平面，所以， 因为，是等边三角形，所以，又，所以， 而，所以，所以，即， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以； (2) 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面，从而得，计算出的长后由勾股定理的逆定理得，再由线面垂直判定定理得证平面，从而可证得线线垂直； （2）分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，设，再求出，由直线与平面所成角正弦值等于与夹角的余弦值的绝对值求得正弦值，然后结合函数性质得最大值. 【详解】（1）略 （2）分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 设，则， 记直线与平面所成角为，则，当且仅当时取等号， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 答案第2页（共13页） 答案第2页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $