辽宁朝阳市第一高级中学2026-2027学年上学期高二数学第2周晚周测试题

朝阳一高高二数学第二周周测 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．已知 (为虚数单位)，则复数的共轭复数等于 A． B． C． D． 2（YC）．已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 3．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 4．为圆锥底面圆的直径，，则圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 5．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 6（YC）．若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 7．如图，测量河对岸塔高时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点和，其中，．现测得，，，在点处测得塔顶的仰角，则塔高为（   ） A． B． C． D． 8（CT）．如图，正方体棱长为2，、、分别为棱，，的中点，是正方体表面上的动点，为直线上一动点，则下列说法正确的是（     ） A．平面 B．直线与直线一定是异面直线 C．若，则点的轨迹长度为 D．三棱锥的体积是定值 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9（YC）．的内角的对边分别为，则（ ） A．当时， B．当时， C．当时，是等腰三角形 D．当时，是等腰三角形 10．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数在上单调递增 D．在上有3个实根 11（CT）．如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是线段，上的动点（不含端点），且，则下列结论正确的是（ ） A．若，则直线与直线的夹角为 B．三棱锥体积的最大值为 C．存在，使得平面 D．若，则三棱锥外接球的表面积为8π 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合.若为终边上一点，则_________. 13．若正四棱台上下底面边长分别为2和3，高为，则该棱台的侧棱与底面所成角的正切值为_________. 14（CT）．将函数的图像向左平移后得到函数的图像，且函数的图像关于直线对称，则________. 四、解答题(15题12分，16题15分。) 15．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，． (1)求A； (2)若，求中线的长； (3)若的内切圆半径，求的面积S. 16．如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 试卷第2页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $第二周周测答案 一、单选题 1.(【市级联考】福建省宁德市高中同心顺联盟校2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题)己 知Q+i少-1-1（石为虚数单位），则复数z的共轭复数等于 A.-1-i B.1-i C.-1+i D.1+i 【答案】A 【解析】由复数的运算法则，化简复数==-1+i,再根据共轭复数的概念，即可求解，得到答案 【详解】由题意，复数满足+少-1-，即：=0+少-三21+) 1-i1-i（1-i01+i) =-1+i, 所以复数z的共轭复数等于2=-1-i,故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及共轭复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则， 准确求解复数z是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题， 2.(云南省临沧地区中学等学校2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题)已知，B是两个不 同的平面，m,n,l是三条不同的直线，则下列命题中正确的是() A.若⊥a,n⊥a,则⊥n B.若m∥a,n∥ax,则m∥n C.若a∩B=l,m∥x,m/1B,则ml∥l D.若∩B=1,nca,m⊥1，则m/1B 【答案】C 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，判断选项 【详解】心，B是两个不同的平面，，n,l是三条不同的直线， 对于A,若m⊥a,n⊥，则由线面垂直的性质得m∥n,故A错误： 对于B,若m∥a,n∥a,则m与n相交、平行或异面，故B错误； 对于C,若a∩B=1,m∥a,m11B,则由线面平行的性质得m∥1，故C正确： 简单证明：如图，m/a,过m的一个平面与a交于a,则m/1a同理，m/n,则a/n, ac,nta,则n/1a,ncB,ax∩B=l,则n/l,所以m/l. m B n 对于D,若a∩B=l,mC&,m⊥l,则m与B相交，故D错误. 试卷第1页（共14页） 故选：C 3.(安微省马按山市2026届高三第=次教学质量监测数学试卷)将函数y=m3x星)的闲象向右平移晋 个单位长度，得到函数y=(x)的图象， 则f 18() 1 A.- B. C. D. 2 2 【答案】C 【详解】因为函数y=8血(3x-甲到的图象向右平移受个单位长度，得到函数=)的图象。 12 所以)-m3周副牙mx到osx， 6 2 4.(辽宁沈阳市第一二0中学2025-2026学年高一下学期期末质量监测数学试卷)AC为圆锥S0底面圆0 的直径，S0=oC=2,则圆锥S0的侧面积为() A.8√2元 B.4V2元 C.2√2元 D.√2元 【答案】B 【详解】由题可知底面圆心为O,OC是底面半径，因此r=OC=2, 圆锥的高SO1底面，故△SOC是直角三角形， 由勾股定理得母线长SC=1=√S0+0C2=V22+22=2√2， S刚=70l=π×2×2W2=4√2π 5.(甘肃省九师联盟2026届高三上学期12月质量检测数学试题)已知0<a:< π 且cos a+ cosa=（) A.3+2 B. 2W3+1 3V3+4 9 C. 5 10 10 D.10 【答案】C 【分析】利用和差倍角的余弦公式进行求解计算即可， 【样潮1因为0ca受所以后a吾号X+司} 6 所以a+君所以 6 6525210 故选：C 试卷第2页（共14页） 6.(湖北武汉市黄陂区2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题)若非零向量m,元满足减=|m+列， 则3-i在元方向上的投影向量为() 3 A.2元 B.-2i C.-3元 D. -n 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律，结合投影向量的定义求解. 【详解】由例=m+列，得m2=㎡+2流.元+元，则m元=上元. 2 3-0礼=3m-开 所以3m-在元方向上的投影向量为 7.(江苏无锡市2025-2026学年高一下学期调研考试数学试题)如图，测量河对岸塔高AB时，选取与塔 底B在同一水平面内的两个测量基点C和D,其中∠BCD=a,∠BDC=B.现测得a=15°，B=120°， CD=10,在点C处测得塔顶A的仰角8=60°，则塔高AB为() A.10v2m B.15v2m C.30√2m D.35√2m 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得∠CBD=45°，由正弦定理可得BC,然后在Rt△ABC中，由 AB=BC.tan0,即可得到结果. 【详解】在△BCD中，∠CBD=180°-15°-120°=45°， CD BC 10x V3 由正弦定理可得， sin CBDsinCcD.sind sin∠CBD√ 2=56m, 2 在Rt△ABC中，AB=BC.tan0=5√6×√5=15√2m 8.(辽宁本溪市某校2025-2026学年高一下学期期末数学试卷)如图，正方体ABCD-AB,C,D棱长为2， E、F、G分别为棱AD,AB,BB的中点，P是正方体表面上的动点，M为直线BD上一动点，则下 列说法正确的是() 试卷第3页（共14页） C B G B A.AB⊥平面EFG B.直线AM与直线EG一定是异面直线 C.若AP=2,则点P的轨迹长度为π D.三棱锥M-EFG的体积是定值 【答案】D 【分析】若AB⊥平面EFG,可得AB⊥BD,进而可判断A;由题意可得平面AB,DII平面EFG,进而 可判断B;点P轨迹为以A为球心，2为半径的球与正方体表面的交线，计算可判断C:根据BD/1平面 EFG,可判断D. 【详解】对于A,若AB⊥平面EFG,又EFC平面EFG,所以AB⊥EF, 又因为E、F分别为棱AD,AB的中点，所以EF//BD,所以AB⊥BD, 因为△ABD是等边三角形，所以∠ABD=60°，与AB1BD矛盾， 所以AB不垂直于平面EFG,故A错误； D B G B 对于B,连接BD,AB,AD, 因为F、G分别为棱AB,BB的中点，所以AB,/FG, 又AB,T平面EFG,FGC平面EFG,所以ABII平面EFG, 由正方体ABCD-AB,C1D的性质可得BD //BD,又EF//BD,所以BDI/EF, 又BDC平面EFG,EFC平面EFG,所以BD/I平面EFG, 又BD∩AB,=B,BD,ABC平面ABD,所以平面AB D 11平面EFG, 试卷第4页（共14页） 又AMC平面ABD,Gc平面EFG, 故直线AM与直线EG是异面直线或AMI/EG,故B错误： M B B 对于C,由AP=2知点P轨迹为以A为球心，2为半径的球与正方体表面的交线，如图所示， 由正方体棱长为2得，交线为三段半径为2的四分之一圆，长度为3π，故C错误 D B G D B 对于D,因为BD/I平面EFG,又M∈BD, 所以点M到平面EFG的距离d为定值，又SrG为定值， 所以w有8d为定值，故D正确， 二、多选题 9.(辽宁省丹东市2021-2022学年高一下学期期末数学试题)△ABC的内角A,B,C的对边分别为4，b,c,则 () A.当A>B时，sinA>sinB B.当A>B时，cosA<coSB C.当sin2A=sin2B时，△ABC是等腰三角形 D.当a cos B=bcosA时，△ABC是等腰三角形 【答案】ABD 【分析】由三角形大角对大边，结合正弦定理可知A正确；根据余弦函数在(0，)上的单调性可知B正确： 由正弦值相等可知2A=2B或2A+2B=π，由此可知△ABC是等腰或直角三角形，知C错误；利用正弦定 理边化角和两角和差正弦公式可求得sn(A-B)=0,由此可得A=B,知D正确. 【详解】对于A,当A>B时，a>b,由正弦定理可知：sinA>sinB,A正确； 试卷第5页（共14页） 对于B,:A,B∈(0，)，y=COsx在(O,)上单调递减，当A>B时，cosA<cosB,B正确： 对于C,当sin2A=sin2B时，2A=2B或2A+2B=T,A=B或A+B= 2 △ABC是等腰三角形或直角三角形，C错误： 对于D,由正弦定理得：sinAcos B=sin B cosA,.sinAcos B-sin B cosA=sin(A-B)=0, :AB∈(0，π，A-B∈(-元，π)，A-B=0,即A=B, △ABC是等腰三角形，D正确. 故选：ABD 10.(辽宁大连市普兰店区第一中学2025-2026学年第二学期期末考试高一数学(C)已知函数 f儿)=o[2+引-1，则下列流法正的是(） A.f(x)=f(x+π) B.函数f(x)的图象关于点（←匹，1）中心对称 61 C.西数)在[受牙上单调递增 6 D.f)=1[-元孕上有3个实根 【答案】ACD 【分析】结合余弦型函数的周期性、对称性、单调性及零点求解方法逐一验证选项即可. 【详解】对于A:因为函数了()的最小正周期为T-受=，所以了)-J+),故A正确， 对于B:当x=君时，八爱-co2x(孕+孕1=2为f()的最大值， 所以f()关于直线x=-亚对称，故B错误： 6 对于C:当l受急时，2x子，因为余弦雨数L年则单洞道蹈， 所以f四在[分名上单调递暗，故C正确： 对打D:令f)=1,得o2+引=0，因为e.所以2晋对. 所以x中受或2x+号或2x子 32 33, 则晋或x沿或x沿回了-1上有3个实粮，放D正确 11.(湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题)如图，在棱长为2的正方体 ABCD-AB,C1D中，M,N分别是线段AB,AC上的动点（不含端点），且AM=AN=a,则下列结论 正确的是（) 试卷第6页（共14页） A B C D A.若a=V5,则直线N与直线马A的夹角为写 B。三校能M,ABN体积的最大值为 C.存在a∈0,2√2)，使得MN1/平面B,CD D.若a=√2，则三棱锥M-ABN外接球的表面积为8π 【答案】ABC 【分析】当a=√2时，M,N分别为AB,AC的中点，所以N也是BD的中点利用中位线定理及异面直线所 成的角的定义求出直线MN与直线RD的夹角，判断A;将三棱锥M-ABN体积表示成a的函数，根据二 次函数的最值求法求得三棱锥M-ABN体积的最大值，判断B;当a=√2时，易得N//平面B,CD,可 判断C正确：当a=√2时，求得三棱锥M-ABN的外接球表面积，判断D. 【详解】对A,因为AB=AC=2√2，所以 当a=√2时，M,N分别为AB,AC的中点，所以N也是BD的中点. 过M作MQ⊥AB于Q,连接NO,则MQ=NO=1,所以MW=√2 因为BD 1IBD,所以直线MN与直线BD的夹角等于直线MN与直线BD的夹角，即∠B☑M. B1 C BE- 又因为BM-BN=5=AM,所以∠BM-号故A正确 对B,过M作MQ⊥AB于Q, 因为平面AABB,⊥平面ABCD,平面AABB,⌒平面ABCD=AB,MQC平面AABB, 试卷第7页（共14页） 所以MQ⊥平面ABCD,即三棱锥M-ABN的高为MQ, XM-Msim45-x(2-a)-2-a. 2 2 所以三棱锥M-ABN体积 e小片想返小同矿 当a=反时，化e）有放B正确 对C,当a=√时，N是AC的中点，所以N也是BD的中点. 因为M是AB的中点，所以N/AD/1BC. 又Nc平面BCD,B,CC平面BCD,所以MNI/平面BCD,故C正确. 对D,当a=√2时，M0=MB sin45°=1，故Q为AB的中点， 又N为AC的中点，所以BN=AN,BN⊥AN, 所以Q到A,B,MN的距离都为1， 即三棱锥M-ABW外接球的球心为Q,球半径为1，所以外接球表面积S=4π，故D错误. 三、填空题 12.(辽宁辽南协作体2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题)已知角的顶点为坐标原点，始 边与x轴的非负半轴重合若P1,-l)为a终边上一点，则sma+ 3π 【答案】-巨 y 【详解】由题可得sina= +P+可 2, cos a= 12 V+2+12 2 13.(辽宁辽南协作体2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题)若正四棱台上下底面边长分别为 2和3，高为√，则该棱台的侧棱与底面所成角的正切值为 【答案】√6 【详解】如图正四棱台ABCD-AB,CD中，O,O分别为下底面和上底面的中心， 过A作底面的垂线，垂足为E,E落在AO上，则∠AAE为该棱台的侧棱与底面所成的角， 试卷第8页（共14页） B 连接OA,OA,O0, 则4B=00-=5,04=3504=5, 2 所以B=04-Q4=5 2 所以tan∠4AE= AE ② =√6 2 即该棱台的侧棱与底面所成角的正切值为√6 14.(上海市闸北第八中学2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷)将函数 y=3sin (2x+子+p网子的图像向左平移胥后得到函数y=)的图像，且西数=8)的图像关于直 4 线x=行对称，则9 【答案】55 1212 【分析】由图象的平移变换可得到g(x)的表达式，结合其对称轴，即可求得P的表达式，即得答案 【详解】将函数y=3sin 的别象向左7彩写得到玉数v=3n+写到引行+9的闲家， 所以8(x)=3sin 西数国的图像关于直线音对称，则2及 1212 +0=2+m,ke2, 解得p= +机kez,又受所以k=1.9 5π 12 12 四、解答题 15.(湖北武汉市5G联合体2025-2026学年下学期期中高一数学试卷)设△ABC的内角A,B,C所对的边 分别为a,b,c,且满足2 acos B+b=2c,a=6. (1)求A: (2)若bc=9,求中线AM的长； ()若a1BC的内切圆半径，=3 ,求△ABC的面积S 2 【答案】()4= 3 试卷第9页（共14页） (236 2 3)35 4 【分析】(1)由正弦边角关系及三角恒等变换化简条件得sinB-2 cos Asin B,即可得； (2)由余弦定理得b2+c2=45,结合cos∠AMB+cos∠AMC=0列方程求AM: (3)应用等面积法、余弦定理得到(b+c)-36=54+9(b+c),从而求出b+c,即可求. 【详解】(1)由2 acos B+b=2c,可得2 sinAcos B+sinB=2sinC. .2sin Acos B+sin B=2sin(A+B), .2sin Acos B+sin B=2sin Acos B+2cos Asin B ∴.sinB=2 cos Asin B,又B∈(0，)，则sinB≠0， :cosA号又4e0网， A-骨 (2)在△ABC中，ad2=b+c2-2 bccos4,则b2+c2=45, 在a1BM中，有cos∠B=nA,即os∠AB=r+9-c 2AM·BM 6AM, 2AM.CM，即cos∠AMC=A+9-b2 在a1CM中，有cos∠AMC=AM+CM2-AC2 6AM 又∠AMB+∠AMC=π，则cos∠AMB+cos∠AMC=0, 得1+9C+4M+9-B=0,解得AM=2, 6AM 6AM ，得AM=36」 2: A B M (3)由SABc= bcsind-+bc)r 2 e-6++ex 3,即bc=18+3b+c), 4 2 由余弦定理得b2+c2-d=bc,得(b+c)-36=3bc, :(b+c)-36=54+9(b+c),即(b+c)-9(b+c)-90=0,解得b+c=15或-6（舍）， 所以sa-6+p=宁2129-645 2 4 16.(2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷Ⅱ）)如图，在三棱锥P-ABC中， 试卷第10页（共14页） AB=BC=2N2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点. ◇ O月 M (1)证明：PO1平面ABC; (2)若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值. 【答案】 (1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点， 所以OP⊥AC,且OP=2√3. 连结OB. 因为AB=BC=Y5AC,所以aABC为等腰直角三角形， 2 且OB1AC,OB=AC=2,由OP+OB'=PB知PO1OB. 由OP⊥OB,OP⊥AC知，PO⊥平面ABC. (2)6 4 【分析】(I)根据等腰三角形性质得PO垂直AC,再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB,最后根据 线面垂直判定定理得结论： (2)方法一：根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用 向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用 向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果.方法二：通过 作垂线构造二面角的平面角，再利用体积法求点到面的距离，最终转化为线面角的正弦值方法三：构造线 面角定义所需的垂线，直接求出线面角的正弦值.方法四：先找出点C到平面PAM的垂足T,再利用二面 角的平面角关系直接求出垂线长度，最后在直角三角形中计算线面角正弦值 【详解】(1)略 (2)[方法一]： 如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O-yz. 试卷第11页（共14页） 由己知得0(0,0,0)，B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2√3)，AP=(0,22W3), 取平面PAC的法向量OB=(2,0,0) 设M(a,2-a,0)0<a≤2)，则AM=(a,4-a,0). 设平面PAM的法向量为i=(x,y,z). 2y+25z=0 由AP.元=0，Mi=0得 ax+(4-ay=0 可取2n=(W5(a-4),V3a,-a, 所以cos(OB,= 2W3(a-4 2V3(a-4)2+3a+a2 由已知得cosO=3 2 2w3a-4|-V3 4 所以2√5a+3+了.解得a4(舍去.a了· 所以= 83454 333 又Pc=0,2-2,所以cos)=目 4 所以PC与平面PMM所成角的正弦值为V5 4 [方法二]： 由(1)知PO⊥平面ABC,可得平面PAC⊥平面ABC. 如图5，在平面ABC内作MN⊥AC,垂足为N,则MN⊥平面PAC. 在平面PAC内作NF⊥AP,垂足为F,联结MF, 则MF⊥AP,故∠MFN为二面角M-PA-C的平面角，即∠MN=30°. 试卷第12页（共14页） 图5 设N=a,则C=aAN=4-a,在Ri△APN中，N-5(4-0. 在RtAMEN中，由Ey3.3.4-,得3则FM=2a=S 4 32 设点C到平面PAM的距离为h, 由ae=。w,得5.148h,解得h=V5, 343323 则PC与平面P1M所成角的正弦值为V5 4 [方法三]： 由(1)知PO⊥平面ABC,可得平面PAC⊥平面ABC. 如图6，在平面ABC内作N⊥AC,垂足为N,则MN⊥平面PAC, 在平面PAC内作NF⊥AP,垂足为F,联结MF,则MF⊥AP, 故∠MFN为二面角M-PA-C的平面角，即∠MFN=30°. 同方法二可得MN=a= 3 P E M B G 图6 在△APC中，过N作NE/PC,在△FM中，过N作NG⊥FM,垂足为G,联结EG. 在RINGM中，NG=MM=Y3.43W3 233 因为E1IPC,所以E=M=4-a= 3 由PA⊥平面FN,可得平面PAM⊥平面FMN,交线为FM. 在平面FMN内，由NG⊥FM,可得NG⊥平面PAM, 则∠NEG为直线NE与平面PAM所成的角. 试卷第13页（共14页） NG 5 设∠NEG=a,则sina= 3 NE 8 4 又B/PC,所以直线PC与平面PAM所成角的正弦值为 4 [方法四]： 如图7，取PA的中点H,联结CH,则CH=2√. 过C作平面PAM的垂线，垂足记为T(垂足T在平面PAM内) 连结HT,则∠CHT即为二面角M-PA-C的平面角，即∠CHT=30°，得CT=√3. 沙C M B 图7 联结PT,则∠CPT为直线PC与平面PAM所成的角. 在Rt△PCT中，PC=4,CT=3,所以n∠CP7= 4 【整体点评】(2)方法一：根据题目条件建系，由二面角的向量公式以及线面角的向量公式硬算即可求出， 是该类型题的通性通法； 方法二：根据三垂线法找到二面角的平面角，再根据等积法求出点到面的距离，由定义求出线面角，是几 何法解决空间角的基本手段： 方法三：根据三垂线法找到二面角的平面角，再利用线面角的等价转化，然后利用定义法找到线面角解出， 是几何法解决线面角的基本思想，对于该题，略显麻烦： 方法四：直接根据二面角的定义和线面角的定义解决，原理简单，计算简单，是该题的最优解， 试卷第14页（共14页）