2026-2027学年人教版数学八年级上册 尺规作图分类与推理 训练

2026-2027学年人教版数学八年级上学期数学尺规作图分类与推理 目录 一、 作角平分线… 二、作相等角（作平行线） .6 三、作垂直平分线.… 9 四、过直线外一点作垂线… .12 五、过直线上一点作垂线19 一、作角平分线 1.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D. (I)尺规作图：作∠CBA的角平分线，交CD于点P,交AC于点Q;(保留作图痕迹，不写做法) (2)若∠BAC=40°，求∠CPO的度数. B 2.如图，在△ABC中，AE是△ABC的高， (I)利用尺规作图法作出∠BAC的平分线，交BC边于点D(要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母)； (2)在(1)的条件下，若∠B=39°，∠C=63°，求∠DAE的度数. E 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC<BC, (I)尺规作图：分别作∠A、∠B的平分线相交于点P: (2)在(1)的条件下，求∠APB的度数. C B 2 4.如图，在△ABC中，BD是AC边上的高. (I)作∠ACB的平分线，交BD于点E(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； (2)在(1)的条件下，若∠A=70°，∠BEC=115°，求∠ABC的度数. B C 5.如图，∠ACD是△ABC的外角，且AC=CD, Q清用尺短作图法在∠ACD内部求作射线CP,使得∠DCPA+∠®)。《不写作法，保留作图痕达) (2)在(1)的条件下，连接PA、PD、证明：PA=PD A B D 3 6.如图，已知在四边形ABCD中，AD‖BC,连接AC、BD. (I)用基本尺规作图：作∠ACB的角平分线CM,交DA的延长线于点E,交BD于点F;(保留作图痕迹， 不写作法) (2)若F是BD的中点，DE=5,求BC的长， A D B 7.如图，已知△ABC中，AB=AC,在AC上有一点D,延长BD,并在BD的延长线上取点E,使 AE=AB,连接AE (I)作图：作∠EAC的平分线AF,交DE于点F,(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)的条件下，连接CF,求证：∠AEF=∠ACF. E A D B 4 8.如图，已知在四边形ABCD中，ADBC,连接AC、BD (1)用基本尺规作图：作∠ACB的角平分线CM,交DA的延长线于点E,交BD于F(保留画图的痕迹， 不写作法)； (2)若F是BD的中点，AD=4,AC=3,求BC的长， D B C 9.如图，在Rt△ABC中，LC=90°，AC=BC,D是AB上一点，满足BD=BC. (I)尺规作图：作∠ABC的角平分线，交AC于点E;(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(I)的条件下，连接DE,证明：AD=CE. B 10.已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D为AC中点，F为BC上一点，AF⊥BD于E. (I)使用尺规完成基本作图：作∠BAC的角平分线交BD于G.(保留作图痕迹，不写作法，不下结论) (2)求证：AG=CF A D E 二、作相等角（作平行线） I1.如图，在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线EF交AB于点E,交AC的延长线于点F,且 AE=AF (I)尺规作图：过点C作CG∥AB交EF于点G;(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，求证：BE=CF, F D A E B 6 12.在四边形ABCD中，AB∥CD,BD为对角线。 (I)尺规作图：在线段BD上找一点E,使得∠DCE=∠ADB;(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)条件下，若BD=CD,求证：AD=CE B 13.如图，点B、点D在线段AE上，且AD=BE,CD平分∠ACB (I)尺规作图：在线段DE的上方作△DEF,使得∠DEF=∠BAC,EF=AC;(不写作法，保留作图痕迹， 并写出结论) (2)在(1)的条件下，若∠A=50°，∠FDE=40°，求∠BCD的度数. D B E 1 14.如图，在△ABC中，∠B=∠C,D为边BC上一点，满足AB=CD,连接AD (I)尺规作图：以AD为边，D为顶点作∠ADE=∠B,DE交线段AC于点E(保留作图痕迹，不写作法). (2)小明同学准备在(1)问所作图形中，求证AD=DE,他的思路是借助三角形全等完成线段相等的证明. 15.如图，在△ABC中，AB=AC,点D点E分别是边AB边BC上的点，BD=EC (I)用尺规完成以下基本作图；在DE的右侧作∠DEF=∠B,交AC于点F;(要求保留作图痕迹，不写作 法)： (2)小胡判断DE=EF,他的证明思路是：利用等腰三角形的性质及外角定理，通过全等从而得到DE与 EF相等； D B E P 三、作垂直平分线 16.如图，在△ABC中，AD⊥BC, (I)请用尺规作图的方法作出AB的垂直平分线EF,交AB于F点，交BC于E点.（不写作法，保留作图 痕迹，先用铅笔画，再用黑色签字笔描) (2)若D为CE的中点.求证：BE=AC: (3)若∠B=35°，求∠BAC的度数. B D 17.如图，在△ABC中，AB=AC (I)利用尺规作线段AB的垂直平分线DE,垂足为E,交AC于点D(保留作图痕迹，不写作法)· (2)在(1)的条件下，若∠BAC=30°，求∠DBC的度数. B 0 18.如图，在△ABC中，∠C=30° (I)请用尺规作图法，作AC的垂直平分线DE,交BC于点D,交AC于点E.(保留作图痕迹，不写作 法) (2)在(1)的条件下，若AB=4,∠B=60°，则AD= A B 19.尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）： (I)在如图所示的△ABC中，作AB边上的垂直平分线EF,交AB于点E,交BC于点F. (2)在(1)的条件下，连接AF,若AE=3,△ABC的周长为18，求△ACF的周长. B 10 20.如图，已知△ABC,AD平分∠BAC」 (I)用尺规完成以下基本作图：作AD的垂直平分线交AB于点E,交AC于点F,交AD于点G.连接DE, DF.(不写作法，不下结论，保留作图痕迹) (2)若AE=2,求四边形AEDF的周长. A D B 21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=25 (I)尺规作图：作边AB的垂直平分线，交AB于点D,交BC于点M(不写作法，保留作图痕迹)； (2)在(1)的条件下，连接CD,求CD的长 C B 11 四、过直线外一点作垂线 22.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC. (I)作出△ABC的边BC上的高AE(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； (2)若∠B=40°，∠C=60°，求∠DAE的度数： A B D 23.如图，直角△ACB中，∠ACB=90°. (I)请在AC边上截取线段CD,使得CD=BC,过点D作直线AB的垂线，垂足为点E，,交BC的延长线于 点F(要求：使用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)： (2)若BC=2.5cm,AD=3cm,求BF的长. 12 B 24.如图，在△ABC中，点E在BC上，AB=CE,AD⊥BC,垂足为点D,△ABC的周长为52， AC=20 (I)过点E作EF⊥AC于点F;(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，若点F是边AC的中点，求线段CD的长度. B D C 25.如图：已知△ABC. (I)用直尺和圆规按下列要求作图：①作△ABC的角平分线AD;②作∠CBE=∠ADC,BE交CA的延长线 于点E:③作AF⊥BE,垂足为F, (2)试证明EF=BF. 13 B 26.如图，在△ABC中，AB=AC,AB>BC,BD垂直AC, (1)用圆规和无刻度的直尺作图：作AB边上的高CE: (②)在(1)的条件下，若BD与CE相交于点O,请证明BO=CO, B 27.如图，在△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC,点D为AB上一点，BE⊥CD交CD的延长线于点E. (I)请你利用尺规作图：过点A作CD的垂线交CD于点F.(保留作图痕迹，不写作法，不下结论) (2)求证：BE=CF, 14 B 28.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥AB于点E. (I)用尺规完成以下基本作图：过点D作DF⊥BC于点F,连接EF.(不写作法，保留作图痕迹，要写结 论) (2)在(1)中所作的图形中，求证：BD垂直平分EF. E B 29.在学习了全等三角形和等腰三角形的相关知识后，小华通过研究发现等腰三角形底边上的中点到两腰 的距离相等，可利用证明三角形全等得到此结论.根据此思路完成以下作图和证明过程： (I)如图，在△ABC中，AB=AC,D为底边BC的中点，DE⊥AB于点E.利用尺规作图，过点D作 15 DF⊥AC于点F,(保留作图痕迹，不写作法，不写结论) (2)在(1)的条件下，求证：DE=DF. E B D 30.在学习了全等三角形和等腰三角形的相关性质后，我们通过进一步研究发现，等腰三角形中两腰上的 高有相等关系，可利用证明三角形全等得到此结论.根据此想法和思路，完成以下作图和填空： (I)如图，在△ABC中，AB=AC,CD⊥AB交AB于点D.利用尺规作图，过点B作BE⊥AC于点E. (只保留作图痕迹，不写作法，不下结论) (2)在(1)作法下，求证：CD=BE. A D ⊙ 31.如图，在△ABC中，AB=AC,CD⊥AB,垂足为D,AD=CD.请完成以下作图与填空 16 (I)用尺规过点A作BC的垂线，分别交DC,BC于点E,F:(不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)条件下，求证：AE=2BF. A D B 32.如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D,AE平分∠BAC交BD于点E, 请完成以下作图与证明： (I)用直尺和圆规，过点D作BC的垂线与BC交于点F,连接AF(不写作法，只保留作图痕迹) (2)在(1)所作的图中，求证：BE=AF. E B 33.如图，在Rt△ACB中∠BAC=9O°，D是AC上一点，连接BD,E是射线BD上一点，连接CE, 17 ∠DCE=∠ABD (I)请用直尺和圆规完成作图：过点A作BD的垂线AF,交BD于点F. (2)若D为AC中点，求证：AF=CE. B 34.在几何学习中，我们遇到这样一个题目：“在四边形ABCD中，AB>AD.若AC平分∠BAD, BC=CD,求证：∠B+∠ADC=180°.”结合学过的知识，可以知道：首先过点C分别作出AB、AD的 垂线，将其转化为证明三角形全等，然后结合补角的知识使问题得到解决. (I)尺规作图：用直尺和圆规，过点C分别作出AB、AD的垂线，垂足分别是点E、F(只保留作图痕迹)； (2)求证：∠B+∠ADC=180 B 35.如图，点C在线段AB上，AD∥BE,AC=BE,AD=BC,DE交AB于点G. 18 (I)尺规作图：过点A作线段DE的垂线交DE于点F.(基本作图，保留作图痕迹，不写做法，不下结 论) (2)求证：DF=FG. 36.如图，在△ABC中，BA=BC,AD为BC边上的高，F为AB边上一点，连接CF交AD于点E,且 AF=AE (I)用无刻度的直尺和圆规过点B作AC的垂线，交AC于点P,交CF于点G,再连接AG.(不写作法， 保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，证明：EG=FG B E D 19 五、过直线上一点作垂线 37.如图，在△ABC中，E是AC的中点. (I)尺规作图：作DE⊥AC,交BC于点D,连接AD: (2)在(1)的情况下，若AE=3,△ABD的周长为13，求△ABC的周长. A E 38.如图，∠ACB=90°，AD是△ABC的中线，CG为高，BC=2AC. (I)尺规作图：过点D作AD的垂线与AB交于点E,(只保留作图痕迹，不写作法)： (2)证明：AD=DF+DE B 39.如图，在△ABC外有一点D,满足BC⊥BD且BC=BD. 20 (I)过点B作直线AB的垂线，交AC于点F,并在射线BF上取BE=BA,连接DE交AC于点G;(尺规作 图，保留作图痕迹) (2)求∠AGD的大小. C A B D 21 2026-2027学年人教版数学八年级上学期数学 尺规作图分类与推理 目录 一、作角平分线 1 二、作相等角（作平行线） 8 三、作垂直平分线 11 四、过直线外一点作垂线 16 五、过直线上一点作垂线 27 一、作角平分线 1．如图，中，，于． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写做法） (2)若，求的度数． 【答案】(1) 解：如图所示，是的角平分线， (2) 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， ∴， ∵平分， ∴ ∵于， ∴在中，， ∵是的外角， ∴． 2．如图，在中，是的高． (1)利用尺规作图法作出的平分线，交边于点（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 【答案】(1)如图，即为所求， (2) 【详解】（1）解：略； （2）解：∵，， ∴, ∵平分， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在中，，． (1)尺规作图：分别作、的平分线相交于点P； (2)在（1）的条件下，求的度数． 【答案】(1)解：如图，点P即为所求作； (2) 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ， ∵、的平分线相交于点P， ， ， ． 4．如图，在中，是边上的高． (1)作的平分线，交于点（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 【答案】(1)如图，为所求作； (2) 【详解】（1）略 （2）解：是边上的高， ， ， ， 平分， ， ， 在中，， ． 5．如图，是的外角，且， (1)请用尺规作图法在内部求作射线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接、、证明： 【答案】(1) (2)证明：是的外角， ， ， ， ， 又，， ． 【详解】（1）解：∵，，∴；图略 （2）略 6．如图，已知在四边形中，，连接、． (1)用基本尺规作图：作的角平分线，交的延长线于点E，交于点F；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若F是的中点，，求的长． 【答案】(1) 如图，CM即为所求； (2) 【详解】（1） 略 （2）解：∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．如图，已知中，，在上有一点D，延长，并在的延长线上取点E，使，连接． (1)作图：作的平分线，交于点F，（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】(1)解：作图，如下图所示： (2)证明：如图所示， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在与中 ∴， ∴． 8．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，连接AC、BD． （1）用基本尺规作图：作∠ACB的角平分线CM，交DA的延长线于点E，交BD于F（保留画图的痕迹，不写作法）； （2）若F是BD的中点，AD＝4，AC＝3，求BC的长． 【答案】（1）见解答；（2）7 【详解】解：（1）如图，CM为所作； 以C为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AC，BC与G、N两点，分别以G、N为圆心，以大于GN的一半长为半径画弧，交于点H，连接CH并延长交DA的延长线于E. （2）∵CM平分∠ACB， ∴∠BCE＝∠ACE， ∵AD∥BC， ∴∠AEC＝∠BCE， ∴∠ACE＝∠AEC， ∴AE＝AC＝3， ∵F是BD的中点， ∴BF＝AF， 在△BCF和△DEF中， ， ∴△BCF≌△DEF（AAS）， ∴BC＝DE＝4+3＝7． 9．如图，在中，，，是上一点，满足． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点；(保留作图痕迹，不写作法) (2)在（1）的条件下，连接，证明：． 【答案】(1)线段即为所求： (2)证明：∵是的角平分线， ∴． 在与中， ， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 10．已知：如图，中，，，D为中点，F为上一点，于E． (1)使用尺规完成基本作图：作的角平分线交于G．（保留作图痕迹，不写作法， 不下结论） (2)求证：． 【答案】(1) 如图，为所作； (2)；角平分线的定义； 【详解】（1）略 （2）求证：． 证明：∵， ∴           ∵平分 （角平分线的定义） ∴ ∵ ∴            ∴， ∴ 在和中： ∴ ∴ 二、作相等角（作平行线） 11．如图，在中，D是的中点，过点D的直线交于点E，交的延长线于点F，且． (1)尺规作图：过点C作交于点G；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1) 如图，即为所作； (2) 证明： D是的中点， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ． 【详解】（1）略 （2）略 12．在四边形中，为对角线．      (1)尺规作图：在线段上找一点E，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）条件下，若，求证：． 【答案】(1) 如图，即为所求；    (2) ∵， ∴， ∵，， ∴； ∴． 【详解】（1）略 （2）略 13．如图，点B、点D在线段上，且，平分． (1)尺规作图：在线段的上方作，使得，；（不写作法，保留作图痕迹，并写出结论） (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：如图所示，①分别以点A、E为圆心，任意长为半径画弧，②用圆规量取弧与、交点的长度，③以过点E画弧交的点为圆心画弧交之前的弧于一点，④连接E与交点，⑤以圆规量取的长度，过点E画弧，交点为F， 则； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 14．如图，在中，，D为边上一点，满足，连接． (1)尺规作图：以为边，D为顶点作，交线段于点E（保留作图痕迹，不写作法）． (2)小明同学准备在（1）问所作图形中，求证，他的思路是借助三角形全等完成线段相等的证明， 【答案】(1) 如图所示： （2）证明：∵， 又∵， 且． ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 15．如图，在中，，点D点E分别是边边上的点，． (1)用尺规完成以下基本作图；在的右侧作，交于点F；（要求保留作图痕迹，不写作法）； (2)小胡判断，他的证明思路是：利用等腰三角形的性质及外角定理，通过全等从而得到DE与EF相等； 【答案】(1) 如图，即为所求． (2)证明：∵ ∴， ∵， 又， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、作垂直平分线 16．如图，在中，， (1)请用尺规作图的方法作出的垂直平分线，交于点，交于点．（不写作法，保留作图痕迹，先用铅笔画，再用黑色签字笔描） (2)若为的中点．求证：； (3)若，求的度数． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 证明：连接， ∵于点D，且D为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 17．如图，在中，． (1)利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为E，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）略 （2）解：∵的垂直平分线交于D， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 18．如图，在中， (1)请用尺规作图法，作的垂直平分线，交于点D，交于点E．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，则________． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求： (2)4 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴是等边三角形， ∴ 故答案为：4． 19．尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）： (1)在如图所示的中，作边上的垂直平分线，交于点，交于点． (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长为18，求的周长． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2)的周长为12． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，， ∵的周长为18， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为12． 20．如图，已知，平分． (1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线交于点，交于点，交于点．连接，．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹） (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1) 解：如图所示 (2)8 【详解】（1）略 （2）解：∵垂直平分， ∴，， ， 又∵平分， ∴， 在和中 ， （）， ∴， ∴， ∴四边形的周长为8． 21．如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求的长． 【答案】(1) 解：如图所示，直线即为所作； (2) 【详解】（1）略 （2）解：如图，延长到点E，使，连接， ∵直线为的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 四、过直线外一点作垂线 22．如图，在中，平分． (1)作出的边上的高（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的度数； 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2) 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴. 23．如图，直角中，． (1)请在边上截取线段，使得，过点作直线的垂线，垂足为点，交的延长线于点（要求：使用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的长． 【答案】(1)点，点即为所作； (2) 【详解】（1）解：如图，以为圆心，的长为半径画弧交于，以为圆心，的长为半径画弧交于，作的垂直平分线，交于，连接并延长，交的延长线于，点，点，点即为所作； （2）解：由题意知，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 24．如图，在中，点E在上，，，垂足为点D，的周长为52，． (1)过点E作于点F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若点F是边的中点，求线段的长度． 【答案】(1) 作图如下： (2) 【详解】（1）略 （2）解：连接， 设，在（1）的条件下，点F是边的中点， ， ， ， ， 为的中点， 的周长为52，， ， ， ． 25．如图：已知． (1)用直尺和圆规按下列要求作图：①作的角平分线；②作，交的延长线于点E；③作，垂足为F． (2)试证明． 【答案】(1)解：如图： ①射线即为所求： ②如图1所示；点即为所求， ③如图1所示；垂直平分线即为所求， (2)证明：由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴是等腰三角形 ∵ ∴． 26．如图，在中，，，垂直， (1)用圆规和无刻度的直尺作图：作边上的高； (2)在（1）的条件下，若与相交于点O，请证明． 【答案】(1) 作图如下 高即为所示； (2) 证明：如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【详解】（1）解：连接、、，如图， 根据作图有，，即是等腰三角形， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）略． 27．如图，在中，，点D为上一点，交的延长线于点E． (1)请你利用尺规作图：过点A作的垂线交于点F．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） (2)求证：． 【答案】(1) 如图，即为所求作的垂线； (2)证明：∵， ∴． ∵； ∴． ∴ 在和中 ∴． ∴． 28．如图，在中，平分交于点，于点． (1)用尺规完成以下基本作图：过点作于点，连接.（不写作法，保留作图痕迹，要写结论） (2)在（1）中所作的图形中，求证：垂直平分． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2)证明：是的平分线，，， ， 在和中，， ∴． ． 垂直平分． 29．在学习了全等三角形和等腰三角形的相关知识后，小华通过研究发现等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等，可利用证明三角形全等得到此结论．根据此思路完成以下作图和证明过程： (1)如图，在中，，为底边的中点，于点．利用尺规作图，过点作于点．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论） (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1) 解：如图，， (2)证明：，， ，， ， 为底边的中点， 在和中 ． 30．在学习了全等三角形和等腰三角形的相关性质后，我们通过进一步研究发现，等腰三角形中两腰上的高有相等关系，可利用证明三角形全等得到此结论．根据此想法和思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在中，，交于点．利用尺规作图，过点作于点．（只保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）在（1）作法下，求证：． 【答案】（1）如图所示，图形即为所求： （2）证明： 在和中 ． 31．如图，在中，，，垂足为，．请完成以下作图与填空． (1)用尺规过点作的垂线，分别交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）条件下，求证：． 【答案】(1) 作图如下， (2)证明：∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴． 32．如图，在等腰直角中，平分交于点D，平分交于点，请完成以下作图与证明： (1)用直尺和圆规，过点作的垂线与交于点，连接（不写作法，只保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，求证：． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)证明：∵是等腰直角三角形， ∴ ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵平分，， ∴ ∴， ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴． 33．如图，在中，是上一点，连接，是射线上一点，连接，． (1)请用直尺和圆规完成作图：过点作的垂线，交于点． (2)若为中点，求证：． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) 证明：由（1）可得， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∵为中点， ∴ 在与中， ∴ ∴ 34． 在几何学习中，我们遇到这样一个题目：“在四边形中，．若平分，，求证：．”结合学过的知识，可以知道：首先过点C分别作出、的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后结合补角的知识使问题得到解决． (1)尺规作图：用直尺和圆规，过点C分别作出、的垂线，垂足分别是点 E、F（只保留作图痕迹）； (2）求证： 【答案】(1) 、为所作直线： (2)∵，， ∴， 又∵平分， ∴． 在和中， ∴ ∴． 又 ． ∴． 35．如图，点C在线段上，，，，交于点G． (1)尺规作图：过点A作线段的垂线交于点F．（基本作图，保留作图痕迹，不写做法，不下结论） (2)求证. 【答案】(1) 如图，即为所求：    (2)证明：∵ ∴ 在和中， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 36．如图，在中，，为边上的高，为边上一点，连接交于点，且． (1)用无刻度的直尺和圆规过点作的垂线，交于点，交于点，再连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，证明：． 【答案】(1)解：由题意，作图如下： (2)证明：，且， ， 在和中， ， 为边上的高， ， ， ， ， ， ， ， 又， ． 五、过直线上一点作垂线 37．如图，在中，E是的中点． (1)尺规作图：作，交于点D，连接； (2)在（1）的情况下，若，的周长为13，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）略 （2）解：E是的中点，， 是线段的垂直平分线， ． ， ． 的周长为13， ． 的周长为． 38．如图，，是的中线，为高，． (1)尺规作图：过点作的垂线与交于点，（只保留作图痕迹，不写作法）； (2)证明： 【答案】(1) 如图，点即为所求； (2)证：是的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， 为高， ， ， 在和中， （） ， ， ． 39．如图，在外有一点D，满足且． (1)过点B作直线的垂线，交于点F，并在射线上取，连接交于点G；（尺规作图，保留作图痕迹） (2)求的大小． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求； (2) 【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，全等三角形的判定及性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）根据作垂线的方法作图即可； （2）先利用证明，得，再结合直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴，则， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $