精品解析：重庆渝北区重庆市渝北区石鞋学校等校2025-2026学年八年级上学期半期考试数学试题

八年级数学试题 一、单选题 1. 下列各数中，最大的数是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，6 B. 3，3，6 C. 2，5，8 D. 4，5，7 3. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. a2+a3=a5 B. （a2）3=a6 C. a2•a3=a6 D. 3a﹣2a=1 5. 如图，在△ABC和△DEF中，如果AB＝DE，BC＝EF．在下列条件中不能保证△ABC≌△DEF的是（ ） A. ∠B＝∠DEF B. ∠A＝∠D C. AB∥DE D. AC＝DF 6. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，……按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（ ） A. 24 B. 26 C. 27 D. 30 7. 如图，在中，，D为边上一点，E点在边上，，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，，在内部绕点旋转，两边分别交、于点、，连接，当周长最小时，为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，和分别为的两条角平分线，和相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③点到边的距离相等；④其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④ 10. 有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有如下结论：①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2；②若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是4；③若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最小值是0；④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10，那么k的最小值是6．上述结论中，正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 11. 计算：________；________． 12. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 13. 如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则_____°． 14. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于，，若，的周长为，则的周长等于______． 15. 已知关于，的方程组的解满足，且关于的不等式组无解，那么所有符合条件的整数的和为______． 16. 若一个各个数位上的数字均不相等的四位正整数，千位数字比十位数字大2，百位数字比个位数字大3，则称这个四位正整数为“恭州数”．例如：对于四位正整数6542，∵6，5，4，2互不相等且千位6比十位4大2，百位5比个位2大3，∴6542是“恭州数”．请直接写出最大的“恭州数”为 _________．若一个正整数是另外一个正整数的平方，则称这个正整数为完全平方数，例如：，则9为完全平方数．若四位正整数m是“恭州数”，记，当是一个完全平方数时，则满足条件的“恭州数”m的最小值为_________． 三、解答题 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）画出关于直线的对称图形（不写画法）； （2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积． 19. 如图，已知，，，求的度数． 20. （深度求索）是一款人工智能模型，团队为了解用户对此模型的体验感设计了调查问卷，用户对调查问卷中的四个选项进行单项选择且调查问卷均有效．团队从所有的调查问卷中抽取了部分调查问卷绘制成如图所示不完整的统计图．设定选项A为“功能建议”，选项B为“界面优化”，选项C为“报告”，选项D为“其他反馈”． 请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）抽取的调查问卷共 份， （2）补全条形统计图； （3）求扇形统计图中选项A“功能建议”对应扇形的圆心角度数； （4）团队收集了3000份调查问卷，请估计选择“界面优化”和“报告”的总人数． 21. 如图，已知中，． （1）请用基本的尺规作图：作的角平分线交于点D，在上取一点E，使得，连接（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）： （2）在（1）所作的图形中，探究线段与之间的数量关系．小明遇到这个问题时，给出了如下的解决思路，请根据小明的思路完成下面的填空． 解：，理由如下： ∵平分， ∴ ， 在与中， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 22. 据《2024中国新能源汽车产业白皮书》显示，激光雷达是整车智能模块的重要组成部分，供应链稳定性直接影响企业产能．某企业旗下智能汽车搭载级自动驾驶系统，核心部件依赖国产激光雷达．为应对产能现状，企业准备优化以下两款旗舰车型的生产结构： 星曜：专注高速领航功能，每辆需配备4枚激光雷达；单台车净利润为万元； 雷霆：主打城市智能驾驶，每辆需配备6枚激光雷达；单台车净利润为万元； （1）根据生产日志，6月份两条产线共交付车辆150台，激光雷达使用总量为840枚．求出星曜与雷霆的具体产量； （2）受产能波动影响，7月份激光雷达到货量不超过6月份．管理层决议：在确保月度利润不低于6月份的情况下，为履行采购合同，星曜产量必须比6月份增长．求该企业7月份雷霆汽车的生产数量． 23. 如图，在中，，点、F，分别在边，上，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 24. 【问题背景】 如图，已知 和 ，，，，与交于点，点在上． 【问题探究】 （1）试说明：； 【问题拓展】 （2）若，． ①求的度数； ②判断与的数量关系，并说明理由． 25. 已知：中，，，连接，在直线右侧作, （1）如图1，当点D在线段上时，过点E作于F，若；求 （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点P．若．求证：； （3）如图3，当点D在延长线上时，连接交的延长线于点P,请直接写出的值（不需要计算过程）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试题 一、单选题 1. 下列各数中，最大的数是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正数都大于0，0大于负数，据此即可解答． 【详解】∵， ∴最大的数是， 故选：D． 【点睛】本题考查实数的大小比较，解题关键是熟练掌握实数大小的比较法则． 2. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，6 B. 3，3，6 C. 2，5，8 D. 4，5，7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据“三角形任意两边之和大于第三边”即可逐个判断． 【详解】A：，故2，3，6不能组成三角形； B：，故3，3，6不能组成三角形； C：，故2，5，8不能组成三角形； D：，故4，5，7能组成三角形． 故选：D． 3. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. a2+a3=a5 B. （a2）3=a6 C. a2•a3=a6 D. 3a﹣2a=1 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：利用幂的有关运算性质逐一计算后即可确定正确的选项．A、a2与a3不是同类项，不能合并，故错误；B、（a2）3=a6，正确，符合题意；C、a2•a3=a5，故错误；D、3a﹣2a=a，故错误， 考点：（1）幂的乘方与积的乘方；（2）合并同类项；（3）同底数幂的乘法 5. 如图，在△ABC和△DEF中，如果AB＝DE，BC＝EF．在下列条件中不能保证△ABC≌△DEF的是（ ） A. ∠B＝∠DEF B. ∠A＝∠D C. AB∥DE D. AC＝DF 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定定理（定理和定理）即可得出答案． 【详解】解：A、利用定理可得，则此项不符合题意； B、此项是，不能得出，则此项符合题意； C、， ， 则利用定理可得，此项不符合题意； D、利用定理可得，则此项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理、平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 6. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，……按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（ ） A. 24 B. 26 C. 27 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索； 由图形得出第n个图形有个圆圈，然后代入计算即可． 【详解】解：由图得：第1个图形有个圆圈， 第2个图形有个圆圈， 第3个图形有个圆圈， … ∴第n个图形有个圆圈． ∴第⑦个图形中小圆圈的个数为， 故选：A． 7. 如图，在中，，D为边上一点，E点在边上，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】该题主要考查了等腰三角形的性质和三角形外角的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 根据三角形外角的定义得出，，再根据等腰三角形的性质得出，即可得出，即可求解； 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 8. 如图，在四边形中，，，在内部绕点旋转，两边分别交、于点、，连接，当周长最小时，为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作点A关于的对称点H，作点A关于的对称点G，连接，与、分别相交于点F、点E，此时的周长最小，通过三角形的内角和定理，可求出，进而求出的度数．最后即可求出的度数． 【详解】如图，作点A关于的对称点H，作点A关于的对称点G，连接，与、分别相交于点F、点E， ∵， ∴， ∵点G和点H为点A的对称点， ∴，， ∵，即，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴ ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了利用轴对称确定最短路径问题，熟练地掌握用轴对称图形的作法，三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质是解题的关键． 9. 如图，在中，和分别为的两条角平分线，和相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③点到边的距离相等；④其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】分别对四个结论进行分析，利用三角形内角和、角平分线性质、全等三角形判定与性质等来判断． 【详解】解：在中，， ∴． ∵，分别平分，， ∴，． ∴． 在中，，故①项正确． ∵，分别为的两条角平分线，且相交于点，根据三角形三条角平分线交于一点， ∴平分．故②项正确． ∵在，，的角平分线上，根据角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴点到边，，的距离相等．故③项正确． 如图，在上截取，连接． ∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴． 由①知， ∴，， ∴． 又∵， ∴． ∵平分， ∴，又， ∴， ∴． ∴．故④项正确． 综上，①②③④都正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 10. 有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有如下结论：①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2；②若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是4；③若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最小值是0；④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10，那么k的最小值是6．上述结论中，正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据输入数据与输出结果的规则进行计算，判断①②③；只有三个数字时，当最后输入最大数时得到的结果取最大值，当最先输入最大数时得到的结果取最小值，由此通过计算判断④． 【详解】解：根据题意，依次输入1，2，3，4时， ， ， ，故①正确； 按照1，3，4，2的顺序输入时， ， ， ，为最小值，故③正确； 按照1，3，2，4的顺序输入时， ， ， ，为最大值，故②正确； 若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k， k的最大值为10， 设b为较大数字，当时， ， 解得， 故此时任意输入后得到的最小数是： ， 设b为较大数字，当时， ， 则，即 故此时任意输入后得到的最小数是： ， 综上可知，k的最小值是6，故④正确； 故选D． 【点睛】此题考查绝对值有关的问题，解题的关键是要有试验观察和分情况讨论的能力． 二、填空题 11. 计算：________；________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，即可求解． 【详解】解：∵ ∴； 故答案为：；． 【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根的定义是解题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标，根据平面直角坐标系中任意一点，关于x轴的对称点的坐标是，关于y轴对称的点的坐标为，从而得出答案． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 13. 如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则_____°． 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的性质等知识点，根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，即可求出的度数，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【详解】解：∵是中的平分线，是的外角的平分线， ∴，， ∵是的外角， ∴， 故答案为：30． 14. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于，，若，的周长为，则的周长等于______． 【答案】19 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长， 故答案为：19． 15. 已知关于，的方程组的解满足，且关于的不等式组无解，那么所有符合条件的整数的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组和解一元一次不等式组，解关于，的方程组，结合，可求得的取值范围，解关于的不等式组，根据不等式组无解，可再次可求得的另一取值范围． 【详解】解关于，的方程组，得 则， 即 解得， 解关于的不等式组 由不等式，得 ， 由不等式，得， ， 因为关于的不等式组无解，可得 ， 解得 ， 综上所述可知 ， 所以，所有符合条件的整数为，，，，，，，这些整数的和为， ． 故答案为：． 16. 若一个各个数位上的数字均不相等的四位正整数，千位数字比十位数字大2，百位数字比个位数字大3，则称这个四位正整数为“恭州数”．例如：对于四位正整数6542，∵6，5，4，2互不相等且千位6比十位4大2，百位5比个位2大3，∴6542是“恭州数”．请直接写出最大的“恭州数”为 _________．若一个正整数是另外一个正整数的平方，则称这个正整数为完全平方数，例如：，则9为完全平方数．若四位正整数m是“恭州数”，记，当是一个完全平方数时，则满足条件的“恭州数”m的最小值为_________． 【答案】 ①. 9875 ②. 3714 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方式，列代数式，数位上的数字的特征，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．利用“恭州数”的定义即可求得最大的“恭州数”；利用“恭州数”的定义设的十位数字为，个位数字为，则，求得，利用数位上的数字的特征求得，的值即可． 【详解】解：最大的“恭州数”为9875． 设的十位数字为，个位数字为，的整数，的整数， 四位正整数是“恭州数”， ， ， 是一个完全平方数， ，为正整数， 的整数，的整数， 的整数，的整数， 的整数，的整数是一个两位数， 可能为6，7，8，9，10， 当时，， ，， ； 当时，， ，，不合题意； 当时，， ，， ； 当时，， ，，不合题意； 当时，， ，，不合题意； 综上，满足条件的“恭州数” 的最小值为3714． 故答案为：9875；3714． 三、解答题 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，积的乘方计算，单项式乘以单项式： （1）先计算同底数幂乘除法，再合并同类项即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）画出关于直线的对称图形（不写画法）； （2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积． 【答案】（1）答案见解析 （2）8.5 【解析】 【分析】（1）直接利用关于直线对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用△ABC所在矩形面积减去周围多余直角三角形的面积进而得出答案. 【小问1详解】 解：如图所示即为所求 【小问2详解】 解：的面积为． 【点睛】此题主要考查了轴对称变换、网格中三角形面积求法，正确找出对应点位置是解题关键． 19. 如图，已知，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和三角形的内角和定理，熟知全等三角形的对应角相等是解答的关键． 20. （深度求索）是一款人工智能模型，团队为了解用户对此模型的体验感设计了调查问卷，用户对调查问卷中的四个选项进行单项选择且调查问卷均有效．团队从所有的调查问卷中抽取了部分调查问卷绘制成如图所示不完整的统计图．设定选项A为“功能建议”，选项B为“界面优化”，选项C为“报告”，选项D为“其他反馈”． 请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）抽取的调查问卷共 份， （2）补全条形统计图； （3）求扇形统计图中选项A“功能建议”对应扇形的圆心角度数； （4）团队收集了3000份调查问卷，请估计选择“界面优化”和“报告”的总人数． 【答案】（1）200，10 （2） 补全条形统计图如图所示： （3） （4）1650人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图信息相关联、求扇形的圆心角、用样本估计总体， （1）利用选项A的频数除以其所占的百分比求得样本容量，再利用选项D的频数除以样本容量求解即可； （2）先利用选项B所占百分比乘以样本容量求得其频率，再补全统计图即可； （3）利用选项A的百分比乘以即可求解； （4）先求得选项B和选项C所占百分比的和，再乘以总人数即可． 【小问1详解】 解：由图得，抽取的调查问卷共（份），， 故答案为：200，10； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：， 答：选项A“功能建议”对应扇形的圆心角度数为； 【小问4详解】 解：由题意得，（人）， 答：选择“界面优化”和“报告”的总人数为1650人． 21. 如图，已知中，． （1）请用基本的尺规作图：作的角平分线交于点D，在上取一点E，使得，连接（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）： （2）在（1）所作的图形中，探究线段与之间的数量关系．小明遇到这个问题时，给出了如下的解决思路，请根据小明的思路完成下面的填空． 解：，理由如下： ∵平分， ∴ ， 在与中， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 【答案】（1）图形见解答 （2）∠EAD，DB，∠C，BD 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识． （1）根据要求作出图形即可； （2）根据证明，推出，，再证明，可得结论． 【小问1详解】 解：图形如图所示： 【小问2详解】 ，理由如下： ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 22. 据《2024中国新能源汽车产业白皮书》显示，激光雷达是整车智能模块的重要组成部分，供应链稳定性直接影响企业产能．某企业旗下智能汽车搭载级自动驾驶系统，核心部件依赖国产激光雷达．为应对产能现状，企业准备优化以下两款旗舰车型的生产结构： 星曜：专注高速领航功能，每辆需配备4枚激光雷达；单台车净利润为万元； 雷霆：主打城市智能驾驶，每辆需配备6枚激光雷达；单台车净利润为万元； （1）根据生产日志，6月份两条产线共交付车辆150台，激光雷达使用总量为840枚．求出星曜与雷霆的具体产量； （2）受产能波动影响，7月份激光雷达到货量不超过6月份．管理层决议：在确保月度利润不低于6月份的情况下，为履行采购合同，星曜产量必须比6月份增长．求该企业7月份雷霆汽车的生产数量． 【答案】（1）星曜生产台，则雷霆生产台． （2）该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台． 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用； （1）设星曜生产台，则雷霆生产台，根据激光雷达使用总量为840枚，可得，再解方程即可； （2）先求解6月份的利润为：（万元），该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台，可得，再进一步解不等式组即可求解． 【小问1详解】 解：设星曜生产台，则雷霆生产台，则 ， 解得：， ∴， 答：星曜生产台，则雷霆生产台． 【小问2详解】 解：由题意可得：6月份的利润为：（万元）， 该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台，则 ， 由①得：， 由②得：， ∴， ∵为整数， ∴， 答：该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台． 23. 如图，在中，，点、F，分别在边，上，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角得到，然后证明出即可； （2）设，根据题意得到，然后表示出，，然后利用三角形内角和列方程求解即可． 【小问1详解】 ∵ ∴ 又∵ ∴； 【小问2详解】 设 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴在中， ∴ 解得 ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 24. 【问题背景】 如图，已知 和 ，，，，与交于点，点在上． 【问题探究】 （1）试说明：； 【问题拓展】 （2）若，． ①求的度数； ②判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）过程见解析；（2）①；②，理由见解析 【解析】 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出结论； （2）①结合三角形外角的性质及全等三角形的性质求出，由全等三角形的性质得出，由等腰三角形的性质可求出答案； ②证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； ②．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，证明是解题的关键． 25. 已知：中，，，连接，在直线右侧作, （1）如图1，当点D在线段上时，过点E作于F，若；求 （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点P．若．求证：； （3）如图3，当点D在延长线上时，连接交的延长线于点P,请直接写出的值（不需要计算过程）． 【答案】（1）2； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）由结合已知得结合题意证，利用全等的性质代入计算即可； （2）如图2，过点E作，由垂直得结合已知证，得到，，再证得，利用角所对的直角边等于斜边的一半换算即可； （3）当点D在延长线上时，如图，交的延长线于N，由，设则，解出，分别，，利用全等的性质求出，最后利用三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵, ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图2，过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵,， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当点D在延长线上时，如图，交的延长线于N， ∵， ∴设则， ∴， ∵，， ， ∴， ∴， 又∵,， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角所对的直角边等于斜边的一半、三角形面积公式；解题的关键是证明三角形全等并运用性质进行等量换算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $