期中培优：函数的定义域问题、函数的解析式问题、函数的值域问题、相等函数问题复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册讲义 期中培优：函数的定义域问题、函数的解析式问题、函数的值域问题、相等函数问题复习讲义 考点目录 函数的定义域问题 函数的解析式问题 函数的值域问题 相等函数问题 考点一 函数的定义域问题 一、核心本质 函数的定义域是自变量 的取值范围，是函数有意义的前提。求解核心是根据解析式的结构特征列出所有限制条件，解不等式（组）得到自变量的取值范围；实际问题还需保证变量符合现实意义。 二、核心限制条件（定义域求解依据） 1. 分式型：分母不等于0； 1. 偶次根式型：被开方数大于等于0； 1. 零次幂/负指数幂型：底数不等于0； 1. 实际应用型：保证长度、时间、数量为非负，符合现实约束。 三、常见题型与解法 1. 具体函数求定义域 · 特征：给出明确的解析式，求 的取值范围。 · 解法：逐一列出所有限制条件，联立成不等式组，求解集的交集，最终用区间或集合表示。 2. 抽象函数求定义域 · 核心原则：对应法则 作用的整体范围始终不变，定义域永远指自变量 的取值范围。 · 两类典型场景： ① 已知 的定义域为 ，求 的定义域：令 ，解 的范围； ② 已知 的定义域为 ，求 的定义域：求 在 上的值域，即为 的定义域。 3. 已知定义域求参数 · 特征：解析式含参数，已知定义域为 或特定区间，求参数的取值范围。 · 解法：转化为不等式恒成立问题，结合二次函数判别式、分类讨论求解。 例1．（26-27高一上·河北保定·阶段检测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于函数，则有，解得且， 所以函数的定义域为. 例2．（26-27高一上·河南新乡·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据具体函数定义域及抽象函数定义域的求法列不等式，解不等式即可. 【详解】由的定义域为， 在中，得， 则的定义域为. 例3．（26-27高一上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）已知函数的定义域为，则的定义域为______ 【答案】 【详解】函数的定义域为，则满足，故， 分母，解得， 故的定义域为． 例4．（26-27高一上·四川德阳·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为__________． 【答案】 【详解】由， 故函数的定义域为. 变式1．（26-27高一上·广东佛山·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，得，解得且， 则函数的定义域是. 变式2．（25-26高一上·四川乐山·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据使函数有意义得到不等式组，解得即可. 【详解】由有意义可得， ， 解得，即， 所以函数的定义域为. 变式3．（26-27高一上·安徽铜陵·阶段检测）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是______． 【答案】 【详解】由 的定义域可得 的范围，再注意分母不为零. 【解答】由 得 ； 又需 ，即 ， 所以定义域为 . 变式4．（26-27高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数的定义域是，函数，则函数的定义域是________ 【答案】 【分析】根据抽象函数的定义域求解即可. 【详解】由题意知：，即，解得：或， 所以函数的定义域是. 考点二 函数的解析式问题 一、核心本质 求函数的对应法则表达式，核心是确定自变量 与函数值 的对应关系，完整的解析式必须同时注明定义域。 二、五大核心求解方法 1. 待定系数法 · 适用场景：已知函数的类型（一次函数、二次函数、反比例函数等）。 · 步骤： ① 设出对应类型的函数解析式，包含未知系数； ② 代入已知条件，列出关于系数的方程（组）； ③ 解出系数，回代得到完整解析式。 2. 换元法 · 适用场景：已知复合函数 的表达式，求 的解析式。 · 步骤： ① 令 ，反解出 关于 的表达式； ② 将原式中的 全部替换为 的表达式，得到 ； ③ 将 换为 ，注明定义域（即 的取值范围）。 3. 配凑法 · 适用场景：复合函数的表达式容易配凑出内层整体的形式。 · 步骤：将 的表达式变形，配凑出只含 和常数的式子，直接替换得到 ，注意同步修正定义域。 4. 方程组法（消元法） · 适用场景：已知 与 、或 与 的关系式。 · 步骤： ① 将原式中的 替换为 （或 ），得到第二个方程； ② 联立两个方程，消去 （或 ），解出 。 5. 实际建模法 · 适用场景：实际应用问题，求函数关系式。 · 步骤：分析数量关系，选取自变量，用 表示相关量，推导函数解析式，注明实际定义域。 例1．（26-27高一上·吉林四平·阶段检测）若函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，整理得，由原式可知，则，所以. 由移项，得. 对等式右侧配方：，将代入，得. 结合，将换为自变量，得. 例2．（26-27高一上·甘肃嘉峪关·阶段检测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 替换自变量，所以， 所以. 例3．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知，则解析式为______． 【答案】 【分析】采用换元法，设，用表示代入原式化简，再换回，求出解析式即可. 【详解】由题意得， 令，则， 可得，所以． 例4．（26-27高一上·河南郑州·阶段检测）求下列函数的解析式： (1)已知 ，求函数 的解析式． (2)已知函数 对于任意 都有 ，求函数 的解析式． (3)已知函数 为二次函数，且 ，求 的解析式． 【答案】(1)（）； (2) (3) 【分析】（1）使用换元法，令并确定的范围，代入原式化简即可求得解析式； （2）利用解方程组法，将替换为构造新方程，与原方程联立消去即得解析式； （3）运用待定系数法，设出二次函数一般式代入已知条件，利用对应项系数相等列方程组求解. 【详解】（1）令 ，则 ，，． ， （）． （2）　…① 把换成得　…② ①+②得，即， ． （3）设（）， 则， ， 由比较系数得 ，解得，，， ． 变式1．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知函数满足且，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用配凑法得到函数解析式，进而求解即可. 【详解】因为， 所以， 令，则. 变式2．（25-26高二下·黑龙江绥化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B． C．（） D．（） 【答案】D 【详解】令,则, 已知, 所以, 所以. 变式3．（26-27高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知，则函数的解析式为_________. 【答案】 【详解】令，由，得， 且，， 代入原式 将换为，得. 变式4．（26-27高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（1）已知函数，求； （2）已知，求的解析式； （3）已知函数是二次函数，且，，求的解析式． 【答案】（1）.（2），. （3）. 【分析】（1）根据分段函数的解析式，直接代入计算即可； （2）令，利用换元法即可求解； （3）设，根据已知条件列方程组求解即可. 【详解】（1），故. （2）令，则，， 因为，所以， 所以，. （3）设所求二次函数为， 因为，所以，则， 又， 所以，即， 所以，即， 所以. 考点三 函数的值域问题 一、核心本质 值域是函数值的集合，由定义域和对应法则共同决定。求解核心是根据函数的结构特征选择合适的方法，转化为可求解的最值问题，最终结果必须用集合或区间表示。 二、常用求解方法 1. 观察法（直接法） · 适用：简单的一次函数、反比例函数、简单根式函数等。 · 思路：根据函数结构和定义域，直接判断函数值的范围。 2. 配方法 · 适用：二次函数型、可化为二次函数的复合函数。 · 思路：通过配方将函数化为顶点式，结合定义域，利用二次函数的单调性求最值。 3. 换元法 · 适用：含根式的函数、指对复合的一次型函数；带平方和结构的函数可用三角换元。 · 思路：令根式/内层函数为 ，转化为关于 的常见函数，结合 的范围求值域。 4. 分离常数法 · 适用：分子分母均为一次式的分式函数（一次比一次）。 · 思路：将分子配成分母的倍数，拆分出常数，将函数化为“常数 + 反比例型”，结合反比例函数性质求值域。 5. 单调性法 · 适用：能直接判断或证明单调性的函数。 · 思路：先确定函数在定义域内的单调性，再代入端点求出最值，得到值域。 6. 基本不等式法 · 适用：满足“一正二定三相等”的分式型、对勾函数型。 · 思路：变形后凑出和为定值或积为定值，用基本不等式求最值，必须验证等号成立条件。 例1．（26-27高一上·山东烟台·阶段检测）函数的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离常数，利用. 【详解】.因为，所以，故， 例2．（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】换元转化为一元二次函数求最值. 【详解】函数的定义域为， 令，则，当且仅当时取等号. 由二次函数的性质可知，函数的值域为， 所以函数的值域是. 例3．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的值域为________________． 【答案】 【详解】当时，；当时，， 因为在为减函数，上为增函数，且时，， 故的值域为，故的值域为， 综上，的值域为. 例4．（25-26高一上·上海·阶段检测）求下列函数的值域： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）化简的解析式，利用换元法，结合对勾函数的性质求得正确答案. （2）化简的解析式，利用换元法，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 令，根据对勾函数的单调性可知在上是严格递增函数， 所以，所以，所以， 所以的值域为. （2）函数， 当时，； 当时，， 若时，，当且仅当即取等号， 则，所以， 若时，，当且仅当即取等号， 则，所以， 综上所述，函数在上的值域是. 变式1．（26-27高一上·贵州贵阳·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，因为，所以，，， 所以，即的值域为. 变式2．（26-27高一上·福建龙岩·阶段检测）函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，再利用换元法并结合二次函数性质求出值域. 【详解】函数的定义域为， 令，则原函数为， ，而， 因此，解得，所以原函数的值域为. 变式3．（25-26高二下·云南曲靖·期末）函数的值域为__________． 【答案】 【分析】利用换元法、配方法，结合反比例函数的性质进行求解即可. 【详解】令， 因为函数在上单调递减， 所以，且， 所以函数的值域为. 变式4．（25-26高一上·广东汕头·阶段检测）已知函数， (1)求的值域． (2)，求的最小值． (3)，求的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）函数在上单调递减，所以，即，所以值域为. （2）函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. （3）函数在在上单调递增， 所以，即，所以值域为. 考点四 相等函数问题 一、核心本质 两个函数相等的充要条件：定义域完全相同，且对应法则完全一致（解析式化简后本质相同），二者缺一不可。值域由定义域和对应法则共同决定，因此相等函数的值域必然相同，无需单独验证。 二、解题步骤 1. 先看定义域：分别求出两个函数的定义域，若定义域不同，直接判定不相等； 1. 再看对应法则：在定义域相同的前提下，化简解析式，若化简后完全一致，则为相等函数；否则不相等。 三、常见易混案例 1. 形式不同但本质相等：如 与 ，定义域均为 ，对应法则一致，是相等函数； 1. 形式相同但本质不等：如 与 ，后者定义域不含0，定义域不同，不是相等函数； 1. 化简后定义域改变：约去公因式、平方开方后定义域扩大或缩小，不能直接判定相等。 例1．（26-27高一上·河北保定·阶段检测·多选）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】BC 【详解】A选项：函数的定义域为； 函数的定义域需满足，即. 两函数定义域不同，故不是同一个函数. B选项：函数的定义域为； 函数，其定义域为. 两函数的定义域和对应关系均相同，故是同一个函数. C选项：函数的定义域为； 函数，其定义域为. 两函数虽然自变量字母不同，但定义域和对应关系完全相同，根据函数定义，它们也是同一个函数. D选项：函数的定义域需满足且，即； 函数的定义域需满足，即或. 两函数定义域不同，故不是同一个函数. 例2．（26-27高一上·广东汕头·阶段检测·多选）下列各项中，与表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【详解】对于A，两函数定义域和对应关系完全相同，故表示同一个函数，故A正确； 对于B，的定义域为，的定义域为，故两者不是同一个函数，故B错误； 对于C，，两函数定义域和对应关系都相同，故C正确； 对于D，，解得或，则的定义域为， ，解得，则的定义域为，两函数定义域不同，故D错误. 变式1．（26-27高一上·安徽蚌埠·阶段检测·多选）下列函数是同一个函数的是 （    ） A．与 B．和 C．和 D．和 【答案】BC 【详解】对于A，，定义域为，而的定义域为， 二者定义域不同，故不是同一个函数，A错误； 对于B，函数，的定义域均为， 且对应关系相同，是同一个函数，B正确； 对于C，函数，的定义域均为，且， 这两个函数的对应关系相同，是同一个函数，C正确； 对于D，对于函数，有，解得，即函数的定义域为． 对于函数，有，解得或， 即函数的定义域为， 这两个函数的定义域不同，不是同一个函数，D错误． 变式2．（26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测·多选）下列各组函数中是同一函数的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】CD 【详解】对于A：定义域为， ，对应法则不同，不是同一函数，故A错误； 对于B：定义域为， 定义域为，定义域不同，不是同一函数，故B错误； 对于C：定义域为， 定义域为，化简后，当时，，定义域与对应法则都相同，是同一函数，故C正确； 对于D：定义域为， 定义域为，自变量只是符号不同，定义域与对应法则都相同，是同一函数，故D正确. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册讲义 期中培优：函数的定义域问题、函数的解析式问题、函数的值域问题、相等函数问题复习讲义 考点目录 函数的定义域问题 函数的解析式问题 函数的值域问题 相等函数问题 考点一 函数的定义域问题 一、核心本质 函数的定义域是自变量 的取值范围，是函数有意义的前提。求解核心是根据解析式的结构特征列出所有限制条件，解不等式（组）得到自变量的取值范围；实际问题还需保证变量符合现实意义。 二、核心限制条件（定义域求解依据） 1. 分式型：分母不等于0； 1. 偶次根式型：被开方数大于等于0； 1. 零次幂/负指数幂型：底数不等于0； 1. 实际应用型：保证长度、时间、数量为非负，符合现实约束。 三、常见题型与解法 1. 具体函数求定义域 · 特征：给出明确的解析式，求 的取值范围。 · 解法：逐一列出所有限制条件，联立成不等式组，求解集的交集，最终用区间或集合表示。 2. 抽象函数求定义域 · 核心原则：对应法则 作用的整体范围始终不变，定义域永远指自变量 的取值范围。 · 两类典型场景： ① 已知 的定义域为 ，求 的定义域：令 ，解 的范围； ② 已知 的定义域为 ，求 的定义域：求 在 上的值域，即为 的定义域。 3. 已知定义域求参数 · 特征：解析式含参数，已知定义域为 或特定区间，求参数的取值范围。 · 解法：转化为不等式恒成立问题，结合二次函数判别式、分类讨论求解。 例1．（26-27高一上·河北保定·阶段检测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例2．（26-27高一上·河南新乡·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 例3．（26-27高一上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）已知函数的定义域为，则的定义域为______ 例4．（26-27高一上·四川德阳·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为__________． 变式1．（26-27高一上·广东佛山·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·四川乐山·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 变式3．（26-27高一上·安徽铜陵·阶段检测）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是______． 变式4．（26-27高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数的定义域是，函数，则函数的定义域是________ 考点二 函数的解析式问题 一、核心本质 求函数的对应法则表达式，核心是确定自变量 与函数值 的对应关系，完整的解析式必须同时注明定义域。 二、五大核心求解方法 1. 待定系数法 · 适用场景：已知函数的类型（一次函数、二次函数、反比例函数等）。 · 步骤： ① 设出对应类型的函数解析式，包含未知系数； ② 代入已知条件，列出关于系数的方程（组）； ③ 解出系数，回代得到完整解析式。 2. 换元法 · 适用场景：已知复合函数 的表达式，求 的解析式。 · 步骤： ① 令 ，反解出 关于 的表达式； ② 将原式中的 全部替换为 的表达式，得到 ； ③ 将 换为 ，注明定义域（即 的取值范围）。 3. 配凑法 · 适用场景：复合函数的表达式容易配凑出内层整体的形式。 · 步骤：将 的表达式变形，配凑出只含 和常数的式子，直接替换得到 ，注意同步修正定义域。 4. 方程组法（消元法） · 适用场景：已知 与 、或 与 的关系式。 · 步骤： ① 将原式中的 替换为 （或 ），得到第二个方程； ② 联立两个方程，消去 （或 ），解出 。 5. 实际建模法 · 适用场景：实际应用问题，求函数关系式。 · 步骤：分析数量关系，选取自变量，用 表示相关量，推导函数解析式，注明实际定义域。 例1．（26-27高一上·吉林四平·阶段检测）若函数，则（     ） A． B． C． D． 例2．（26-27高一上·甘肃嘉峪关·阶段检测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 例3．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知，则解析式为______． 例4．（26-27高一上·河南郑州·阶段检测）求下列函数的解析式： (1)已知 ，求函数 的解析式． (2)已知函数 对于任意 都有 ，求函数 的解析式． (3)已知函数 为二次函数，且 ，求 的解析式． 变式1．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知函数满足且，则实数（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·黑龙江绥化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B． C．（） D．（） 变式3．（26-27高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知，则函数的解析式为_________. 变式4．（26-27高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（1）已知函数，求； （2）已知，求的解析式； （3）已知函数是二次函数，且，，求的解析式． 考点三 函数的值域问题 一、核心本质 值域是函数值的集合，由定义域和对应法则共同决定。求解核心是根据函数的结构特征选择合适的方法，转化为可求解的最值问题，最终结果必须用集合或区间表示。 二、常用求解方法 1. 观察法（直接法） · 适用：简单的一次函数、反比例函数、简单根式函数等。 · 思路：根据函数结构和定义域，直接判断函数值的范围。 2. 配方法 · 适用：二次函数型、可化为二次函数的复合函数。 · 思路：通过配方将函数化为顶点式，结合定义域，利用二次函数的单调性求最值。 3. 换元法 · 适用：含根式的函数、指对复合的一次型函数；带平方和结构的函数可用三角换元。 · 思路：令根式/内层函数为 ，转化为关于 的常见函数，结合 的范围求值域。 4. 分离常数法 · 适用：分子分母均为一次式的分式函数（一次比一次）。 · 思路：将分子配成分母的倍数，拆分出常数，将函数化为“常数 + 反比例型”，结合反比例函数性质求值域。 5. 单调性法 · 适用：能直接判断或证明单调性的函数。 · 思路：先确定函数在定义域内的单调性，再代入端点求出最值，得到值域。 6. 基本不等式法 · 适用：满足“一正二定三相等”的分式型、对勾函数型。 · 思路：变形后凑出和为定值或积为定值，用基本不等式求最值，必须验证等号成立条件。 例1．（26-27高一上·山东烟台·阶段检测）函数的值域是（　　） A． B． C． D． 例2．（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的值域为________________． 例4．（25-26高一上·上海·阶段检测）求下列函数的值域： (1)； (2) 变式1．（26-27高一上·贵州贵阳·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 变式2．（26-27高一上·福建龙岩·阶段检测）函数的值域是（ ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·云南曲靖·期末）函数的值域为__________． 变式4．（25-26高一上·广东汕头·阶段检测）已知函数， (1)求的值域． (2)，求的最小值． (3)，求的值域． 考点四 相等函数问题 一、核心本质 两个函数相等的充要条件：定义域完全相同，且对应法则完全一致（解析式化简后本质相同），二者缺一不可。值域由定义域和对应法则共同决定，因此相等函数的值域必然相同，无需单独验证。 二、解题步骤 1. 先看定义域：分别求出两个函数的定义域，若定义域不同，直接判定不相等； 1. 再看对应法则：在定义域相同的前提下，化简解析式，若化简后完全一致，则为相等函数；否则不相等。 三、常见易混案例 1. 形式不同但本质相等：如 与 ，定义域均为 ，对应法则一致，是相等函数； 1. 形式相同但本质不等：如 与 ，后者定义域不含0，定义域不同，不是相等函数； 1. 化简后定义域改变：约去公因式、平方开方后定义域扩大或缩小，不能直接判定相等。 例1．（26-27高一上·河北保定·阶段检测·多选）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 例2．（26-27高一上·广东汕头·阶段检测·多选）下列各项中，与表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 变式1．（26-27高一上·安徽蚌埠·阶段检测·多选）下列函数是同一个函数的是 （    ） A．与 B．和 C．和 D．和 变式2．（26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测·多选）下列各组函数中是同一函数的是（     ） A．， B．， C．， D．， 2 学科网（北京）股份有限公司 $