第06讲 含参数二次函数的最值、单调性、恒成立问题期中复习讲义（2大知识点+6大题型归纳+测试）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第06讲 含参数二次函数的最值、单调性、恒成立问题 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：一元二次不等式 3 知识点二：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 3 03 题型精讲 4 题型一：单调性问题 4 题型二：含参二次函数最值问题——动轴定区间 4 题型三：含参二次函数最值问题——定轴动区间 5 题型四：恒成立问题 6 题型五：能成立问题 7 题型六：双变量问题 7 04 过关测试 10 知识点一：一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 知识点二：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 二次函数 （）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R 题型一：单调性问题 【典例1】（2026·高一·福建龙岩·阶段检测）函数在区间上递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·高一·福建泉州·阶段检测）函数在区间上递增，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高一·浙江衢州·阶段检测）函数在上单调，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高一·甘肃武威·期中）若函数的单调减区间是，则（    ） A． B． C． D． 题型二：含参二次函数最值问题——动轴定区间 【典例2】已知函数，求在上的最小值； 【变式2-1】（2026·高一·北京·期中）设，函数.求函数在区间上的最小值. 【变式2-2】（2026·高一·广西桂林·阶段检测）已知是二次函数，满足，当时取得最小值0. (1)求函数的解析式； (2)解不等式； (3)设函数在区间上不单调，求在区间上最大值的表达式； 【变式2-3】（2026·高二·云南昭通·阶段检测）已知函数. (1)求函数的最小值的表达式； (2)若函数在区间上的最大值为10，求实数的值. 题型三：含参二次函数最值问题——定轴动区间 【典例3】（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）已知二次函数满足以下条件：①图象过点；②时的函数值与时的函数值相等；③函数的最小值为. (1)求该二次函数的解析式； (2)解不等式; (3)当时，该二次函数的最小值为0，求实数的值. 【变式3-1】（2026·高一·天津静海·阶段检测）已知函数的图象过点，且满足． (1)求函数的解析式： (2)求函数在上的最小值； 【变式3-2】（2026·高三·天津和平·期中）已知函数为二次函数.的图象过点.对称轴为.函数在上的最小值为. （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）当 时.求函数的最小值（用表示）. 【变式3-3】（2026·高一·黑龙江大庆·期中）已知二次函数的最小值为1，． (1)求的解析式； (2)若，试求的最小值． 题型四：恒成立问题 【典例4】（2026·高一·广东江门·阶段检测）已知函数． (1)若不等式的解集为，求实数m的取值范围； (2)若不等式y对一切恒成立，求实数m的取值范围； (3)若存在，使不等式y>2成立，求x的取值范围． 【变式4-1】（2026·高一·江苏淮安·阶段检测）已知函数满足：. (1)求的解析式: (2)若在的最小值为6，求m的值 (3)对任意实数，都有恒成立，求a的取值范围. 【变式4-2】（2026·高一·山西吕梁·阶段检测）已知关于的不等式. (1)若，求不等式的解集； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)，恒成立，求实数的取值范围. 【变式4-3】（2026·高一·广西南宁·阶段检测）已知二次函数． (1)当时，求关于的不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； (3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 题型五：能成立问题 【典例5】（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若存在，使得不等式有解，求实数的取值范围． 【变式5-1】（2026·高一·吉林长春·阶段检测）已知二次函数． (1)若的解集为，解关于x的不等式； (2)若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【变式5-2】（2026·高一·湖北·期中）（1）已知，，，且不等式恒成立，求实数a的取值范围. （2）设命题q：，使得不等式成立，若q为真命题，求实数m的取值范围. 【变式5-3】（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）已知函数，其中． (1)若不等式的解集是，求的值； (2)若，对任意，都有成立，且存在，使得成立，求实数a的取值范围． 题型六：双变量问题 【典例6】（2026·高一·甘肃兰州·阶段检测）设函数． (1)若存在，使成立，求m的取值范围； (2)若对，恒成立，求x的取值范围． 【变式6-1】（2026·高一·全国·期中）已知函数．若对，有成立，求实数a的取值范围； 【变式6-2】（2026·高一·上海宝山·阶段检测）已知二次函数，一次函数． (1)若时，的解集为，求：关于的不等式的解集． (2)若的解集为，对于任意，总存在，使得成立，求：实数的取值范围． (3)若对任意，不等式恒成立，求的最大值． 【变式6-3】（2026·高一·辽宁朝阳·阶段检测）设为实数，已知． (1)若对任意，恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 1．（2026·高一·山西·阶段检测）已知二次函数，则函数的值域为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·上海宝山·阶段检测）若存在，，当时，成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·广东江门·阶段检测）已知命题：当时，为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·陕西宝鸡·阶段检测）当时，若恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·湖南·阶段检测）若存在实数满足，使得不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·浙江金华·阶段检测）已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·山东青岛·阶段检测）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）若至少存在一个，使得成立，则实数的取值集合是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·高一·天津河东·阶段检测）已知函数 ，．若 ，都 ，使 成立，则实数 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高一·山西·阶段检测）已知函数，则下列说法正确的有（     ） A．若该函数的图象与轴有且只有一个交点，则 B．若该函数的最大值为0，则或 C．若该函数在上单调递减，则实数的取值范围是 D．存在实数，使得该函数在上的值域恰好是 11．（多选题）（2026·高一·河南南阳·阶段检测）已知函数 若对任意都有恒成立，则实数的值可能为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．4 12．（2026·高一·上海宝山·阶段检测）已知等式恒成立，则的值为______. 13．（2026·高一·陕西西安·阶段检测）若函数的定义域为，则的取值范围是______． 14．（2026·高一·安徽芜湖·阶段检测）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 _____． 15．（2026·高一·浙江嘉兴·阶段检测）已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)，使得成立，求的取值范围． 16．（2026·高一·江苏镇江·阶段检测）设，，其中，记． (1)若，求的值域； (2)若的图象始终在的图象上方，求实数的取值范围； (3)若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围； 17．（2026·高一·浙江宁波·阶段检测）已知函数，． (1)求在上的最小值； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 18．（2026·高一·江西南昌·阶段检测）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求，的值； (2)若存在，使成立，求实数的取值范围； (3)当时，对恒成立，求实数的取值范围. 2/2 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 含参数二次函数的最值、单调性、恒成立问题 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：一元二次不等式 3 知识点二：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 3 03 题型精讲 4 题型一：单调性问题 4 题型二：含参二次函数最值问题——动轴定区间 5 题型三：含参二次函数最值问题——定轴动区间 7 题型四：恒成立问题 10 题型五：能成立问题 14 题型六：双变量问题 14 04 过关测试 21 知识点一：一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 知识点二：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 二次函数 （）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R 题型一：单调性问题 【典例1】（2026·高一·福建龙岩·阶段检测）函数在区间上递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，在区间上递增，满足条件； 当时，若函数在区间上递增， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 【变式1-1】（2026·高一·福建泉州·阶段检测）函数在区间上递增，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，显然在区间上递增， 当时，要使函数在区间上递增， 须满足，解之得：， 综上可知实数的取值范围是. 故选：C. 【变式1-2】（2026·高一·浙江衢州·阶段检测）函数在上单调，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在函数中，对称轴为. 二次函数的二次项系数，所以函数图象开口向下. 如果对称轴在区间的左侧（包含端点），即，得到. 如果对称轴在区间的右侧（包含端点），即，得到. 综上，的取值范围是. 故选：D. 【变式1-3】（2026·高一·甘肃武威·期中）若函数的单调减区间是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为的对称轴为且开口向上，单调减区间是，所以，所以． 故选：B． 题型二：含参二次函数最值问题——动轴定区间 【典例2】已知函数，求在上的最小值； 【解析】函数的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为， （i）当时，函数在上单调递增， ； （ii）当时，函数在上单调递减，在上单调递增 ； （ⅲ）当时，函数在上单调递减， . 【变式2-1】（2026·高一·北京·期中）设，函数.求函数在区间上的最小值. 【解析】函数的图象开口向上，对称轴为. 当，即时，函数在区间上单调递增，此时； 当，即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，此时； 当，即时，函数在区间上单调递减，此时. 综上可得：当时， ； 当时， ； 当时， . 【变式2-2】（2026·高一·广西桂林·阶段检测）已知是二次函数，满足，当时取得最小值0. (1)求函数的解析式； (2)解不等式； (3)设函数在区间上不单调，求在区间上最大值的表达式； 【解析】（1）由时取得最小值0，可设，， ，，解得，. （2）由或， 或， 所以，原不等式的解集为. （3）. 是开口向上的二次函数，对称轴为直线， 在区间上不单调，， ∴当时，在区间上的最大值为， 当时，在区间上的最大值为， 综合，函数在区间上最大值的表达式为. 【变式2-3】（2026·高二·云南昭通·阶段检测）已知函数. (1)求函数的最小值的表达式； (2)若函数在区间上的最大值为10，求实数的值. 【解析】（1）由函数，可得抛物线的开口向上，且对称轴为， ①当时，函数在区间上单调递增，此时； ②当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 此时； ③ 当时，函数在区间上单调递减，此时， 综上可得，函数的最小值. （2）由函数，可得其图象开口向上，且对称轴为， 当时，根据抛物线的对称性，可得，解得； 当时，根据抛物线的对称性，可得， 解得，前后矛盾，舍去， 综上可得，实数的值为. 题型三：含参二次函数最值问题——定轴动区间 【典例3】（2026·高一·安徽阜阳·阶段检测）已知二次函数满足以下条件：①图象过点；②时的函数值与时的函数值相等；③函数的最小值为. (1)求该二次函数的解析式； (2)解不等式; (3)当时，该二次函数的最小值为0，求实数的值. 【解析】（1）由和函数值相等，得对称轴为， 因为二次函数的最小值为， 所以设二次函数的顶点式为，又图象过点， 所以，得，故， 故该二次函数的解析式； （2）不等式，即为，所以， 即，得， 故不等式的解集是； （3）对称轴为，开口向上，分三类讨论： 当，即，此时最小值在，，舍去， 当，即，函数在上单调递增， 所以二次函数在取得最小值， 故，得或， 不满足，舍去，得； 当，即，函数在单调递减， 所以二次函数在 取得最小值， 故，得或， 不满足，舍去，得. 综上， 或 【变式3-1】（2026·高一·天津静海·阶段检测）已知函数的图象过点，且满足． (1)求函数的解析式： (2)求函数在上的最小值； 【解析】（1）函数满足，则函数的图象关于对称， 可得，解得，即， 又由函数的图象过点，可得，解得， 所以函数的解析式为. （2）由（1）知，可得其图象开口向上，对称轴为， 当时，可得在区间上单调递增，所以； 当时，可得在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以； 当时，可得在上单调递减，所以， 所以函数在上的最小值. 【变式3-2】（2026·高三·天津和平·期中）已知函数为二次函数.的图象过点.对称轴为.函数在上的最小值为. （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）当 时.求函数的最小值（用表示）. 【解析】（Ⅰ）设二次函数的解析式为.其中． 由题意可知.                              解得．                               所以的解析式为．                 （Ⅱ）由，则其对称轴方程为. 当时.函数在上单调递减.此时的最小值为 ；                                         当.即时.函数在上单调递减.在上单调递增. 此时的最小值为；                    当.即时.函数在上单调递增.此时的最小值为．                                     综上所述.当时.的最小值为； 当时.函数的最小值为； 当时.的最小值为． 【变式3-3】（2026·高一·黑龙江大庆·期中）已知二次函数的最小值为1，． (1)求的解析式； (2)若，试求的最小值． 【解析】（1）∵是二次函数，且， ∴图象的对称轴为． 又的最小值为1， ∴设． 又，∴． ∴． （2）由（1）知，函数的图象的对称轴为． ①若，则在上是增函数，； ②若，即，则在上是减函数，； ③若，即，则． 综上所述，函数的最小值． 题型四：恒成立问题 【典例4】（2026·高一·广东江门·阶段检测）已知函数． (1)若不等式的解集为，求实数m的取值范围； (2)若不等式y对一切恒成立，求实数m的取值范围； (3)若存在，使不等式y>2成立，求x的取值范围． 【解析】（1）由题意，要求对任意恒成立. 当时，不等式化为，不能对任意实数恒成立. 当时，要使二次式对任意实数恒小于，必须且只需 其中 于是即或 结合，得 因此的取值范围为 （2）给定区间为. 因为在该区间内，所以由得即. 下面验证充分性. 当时， 此时，且 所以对任意实数都有，当然对也恒成立. 因此的取值范围为 （3）由且 可知对固定的，随的增大而严格增大. 若存在使，则必有 反之，若上式成立，则取充分接近且小于的正数，即可使. 因此条件等价于即 因所以或 故的取值范围为 【变式4-1】（2026·高一·江苏淮安·阶段检测）已知函数满足：. (1)求的解析式: (2)若在的最小值为6，求m的值 (3)对任意实数，都有恒成立，求a的取值范围. 【解析】（1）令，则， 由，得， 所以； （2）由（1）可得. 当，即时，， 所以，解得，符合题意； 当，即时，， 所以，解得，不符合题意； 当，即时，， 所以，解得，不符合题意； 综上所述：. （3）因为对任意实数，都有恒成立， 所以对任意实数恒成立， 即对任意实数恒成立. 又，当且仅当，即时取等号. 所以a的取值范围为. 【变式4-2】（2026·高一·山西吕梁·阶段检测）已知关于的不等式. (1)若，求不等式的解集； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，则， 即，因式分解可得：， 所以或， 则不等式的解集为. （2） 当时，则为，即， 当时，则， 因式分解可得：， 当时，有，则此时不等式解集为 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为或， 若，即时，不等式解集为或， 若，即时，不等式解集为， 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为或， 当时，解集为或. （3），恒成立， 化简可得：，恒成立， 等价在恒成立， 由于恒成立， 可得在恒成立， 则，， 令，因为，所以， 则， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，即， 所以实数a的取值范围为. 【变式4-3】（2026·高一·广西南宁·阶段检测）已知二次函数． (1)当时，求关于的不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； (3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，不等式，解得或， 所以所求解集为或. （2）不等式， 当时，不等式的解集为， 由中恰有3个整数，得，解得，则； 当时，不等式的解集为， 由中恰有个整数，得，解得，则； 当时，不等式的解集为，不合题意， 所以实数的取值范围是或. （3）当时，不等式恒成立， 而，因此不等式对恒成立， 设，则， ，当且仅当，即时取等号， 因此，所以实数的取值范围是. 题型五：能成立问题 【典例5】（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若存在，使得不等式有解，求实数的取值范围． 【解析】（1）由得， 由的解集为， 得：，解得：； 即实数的取值范围是； （2）. 当，解集为； 当，，解集为； 当，解集为. （3）不等式，即，可得， 且，可得， 由题意存在，使得不等式有解，则， 因为，当且仅当时，等号成立， 则，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式5-1】（2026·高一·吉林长春·阶段检测）已知二次函数． (1)若的解集为，解关于x的不等式； (2)若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【解析】（1）若的解集为，则，且和是方程的两个实根，根据韦达定理：，代入不等式得，解得. （2），令，函数在上单调递增，故，题目要求是存在，故只需即可. 【变式5-2】（2026·高一·湖北·期中）（1）已知，，，且不等式恒成立，求实数a的取值范围. （2）设命题q：，使得不等式成立，若q为真命题，求实数m的取值范围. 【解析】（1）由题意可知：，   当且仅当，即，时取等号， 因为不等式恒成立，所以，   即，即， 解得，即实数的取值范围是. （2）当为真命题时，对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为， 则在区间上，， 故，成立等价于，   即， 故实数的取值范围是. 【变式5-3】（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）已知函数，其中． (1)若不等式的解集是，求的值； (2)若，对任意，都有成立，且存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【解析】（1）依题意，不等式的解集是， 所以，所以. （2）若，则， 由于对任意，都有成立，所以， 解得①， 依题意，存在，使得成立， 即存在，使得成立， 所以， 解得或②， 由①②得的取值范围是. 题型六：双变量问题 【典例6】（2026·高一·甘肃兰州·阶段检测）设函数． (1)若存在，使成立，求m的取值范围； (2)若对，恒成立，求x的取值范围． 【解析】（1）对于，对称轴为直线 若，则在单调递增，，得 若，则在单调递减，，得，又，得 若，则恒成立，符合条件． 综上， （2），，， ∵对一切实数，恒成立，且， 是单调递增的∴只需，解得． 的取值范围是． 【变式6-1】（2026·高一·全国·期中）已知函数．若对，有成立，求实数a的取值范围； 【解析】，有成立，则， 解得或， 故实数的范围为或 【变式6-2】（2026·高一·上海宝山·阶段检测）已知二次函数，一次函数． (1)若时，的解集为，求：关于的不等式的解集． (2)若的解集为，对于任意，总存在，使得成立，求：实数的取值范围． (3)若对任意，不等式恒成立，求的最大值． 【解析】（1）当，解集为， 则， 所以，．不等式即， 因式分解，解得或， 所以不等式解集为． （2）由的解集为， 则，得，故， 令，， 且，， 要使，总，使得成立， 所以，只需，而的对称轴为， ①当，即时，只需，即， ②当，即时， 只需，即，不符合条件， ③当，即时，只需，即，不符合条件， 综上，即实数的取值范围为． （3）若对任意，不等式恒成立， 整理得恒成立，显然， 所以，则， 所以， 令，因为，所以， 若时，此时， 若时，， 当且仅当时，即时，上式取得等号， 综上：的最大值为． 【变式6-3】（2026·高一·辽宁朝阳·阶段检测）设为实数，已知． (1)若对任意，恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，，对任意，不恒成立，不符合题意； 当时，为二次函数，要使对任意，恒成立， 需要满足，解不等式组，可得， 所以实数的取值范围是. （2）将代入不等式， 得，整理得， 当时，不等式化为，解得，即此时不等式的解集为； 当时，令，因式分解得， 解得方程的根为和， 设， 若，则为开口向上的二次函数，且， 所以不等式的解集为； 若，则为开口向下的二次函数，且， 所以不等式的解集为； 若，则为开口向下的二次函数，且， 所以不等式的解集为； 若，则为开口向下的二次函数，且， 所以不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）设，， 由题意，对任意的，总存在，使得成立， 因为在单调递增，所以， 即在上的值域为， 要存在使得成立，等价于对任意的恒成立， 即在上恒成立， 整理得，， 令，设，因为，所以， 所以， 当时，， 当时，， 又由均值不等式可得，当且仅当，即取得等号，此时， 所以， 又，所以， 综上所述，在上的值域为， 又在上恒成立，所以， 所以实数的取值范围是. 1．（2026·高一·山西·阶段检测）已知二次函数，则函数的值域为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】二次函数，对称轴为， 当时，有最小值，， 当时，有最大值，， 所以函数的值域为. 2．（2026·高一·上海宝山·阶段检测）若存在，，当时，成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，， 分别代入得： 所以， 由绝对值不等式性质得 则，即，解得. 验证等号成立条件：取，此时， 当时，的取值范围为，满足，故可取. 因此的最小值为. 3．（2026·高一·广东江门·阶段检测）已知命题：当时，为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为命题为真命题，故当时，恒成立， 故当时，恒成立， 设， 其对称轴为，且， 故其最小值为， 故的取值范围为. 4．（2026·高一·陕西宝鸡·阶段检测）当时，若恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】构造函数，， 对函数配方得：，该函数为开口向上的二次函数，对称轴为直线，且， 当时，取得最小值；当或时，取得最大值，因此在上的值域为， 若对任意恒成立，则需，即， 故实数的取值范围是. 5．（2026·高一·湖南·阶段检测）若存在实数满足，使得不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】存在实数满足，使得不等式成立， 等价于，其中， 令，，当时，，所以． 6．（2026·高一·浙江金华·阶段检测）已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在时，要求递减，； 在时，要求递减，对称轴，要保证区间在对称轴右侧，则； 再考虑衔接点，. 结合三个条件，可得. 7．（2026·高一·山东青岛·阶段检测）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，函数取得最小值， 令，则，解得或， 函数在闭区间上最小值为，最大值为， 要取到最小值，需对称轴落在区间内，即， 要保证最大值不超过，区间右端点不能大于，即， 解得， 故的取值范围是. 8．（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）若至少存在一个，使得成立，则实数的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，， 故实数的取值集合是 9．（2026·高一·天津河东·阶段检测）已知函数 ，．若 ，都 ，使 成立，则实数 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ，都 ，使 成立，； 当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 又时，，时，， 当时，； 又的对称轴为， ①当，即时，在上单调递增， ， ，解得：， ； ②当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， ， ，解得：，或， ； ③当，即时，在上单调递减， ， ，解得：， . 综上所述：的取值范围为. 10．（多选题）（2026·高一·山西·阶段检测）已知函数，则下列说法正确的有（     ） A．若该函数的图象与轴有且只有一个交点，则 B．若该函数的最大值为0，则或 C．若该函数在上单调递减，则实数的取值范围是 D．存在实数，使得该函数在上的值域恰好是 【答案】BD 【解析】∵函数 ， ∴二次项系数 ，抛物线开口向下，对称轴：， 选项 ：∵函数图像与 轴有且只有一个交点， ∴， 解得： 或 ， 错误； 选项 ：∵开口向下，则最大值在对称轴 处， ∴， 令最大值为 0：则，即 解得 或 ， 正确； 选项 ：开口向下，递减区间： 要求 在递减区间内，即区间全部在对称轴右侧， 则，∴， 错误； 选项 ：代入 ，函数：， 对称轴 ，开口向下，区间 在对称轴左侧，函数在 单调递增， ，， ，， ∴值域为 ， 正确. 11．（多选题）（2026·高一·河南南阳·阶段检测）已知函数 若对任意都有恒成立，则实数的值可能为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．4 【答案】AD 【解析】函数是开口向上的二次函数，对称轴为， 因此在区间上单调递增，区间内最小值为， ， 要使在上恒成立，只需， 即，解得或， 选项A：，满足条件，符合； 选项B：，不满足条件，不符合； 选项C：，不满足条件，不符合； 选项D：，满足条件，符合. 12．（2026·高一·上海宝山·阶段检测）已知等式恒成立，则的值为______. 【答案】 【解析】把右侧的代数式展开整理. 已知恒成立， 因此对应系数相等可得，解得. 故. 13．（2026·高一·陕西西安·阶段检测）若函数的定义域为，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】函数的定义域为，即恒成立， 则，解得. 所以的取值范围是. 14．（2026·高一·安徽芜湖·阶段检测）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】由 ，在区间上单调递增，当时，； 当时，，即. 由，在区间上单调递减， 当时，；当时，，即. 由条件得，即，解得. 所以实数的取值范围是. 15．（2026·高一·浙江嘉兴·阶段检测）已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)，使得成立，求的取值范围． 【解析】（1）设， 则，因此，解得， 又，故，因此． （2）由于，故当时， “，”等价于， 即，解得或． 所以的取值范围为或. 16．（2026·高一·江苏镇江·阶段检测）设，，其中，记． (1)若，求的值域； (2)若的图象始终在的图象上方，求实数的取值范围； (3)若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围； 【解析】（1）时，， 故， ， 当时，； 当时，， 故的值域为. （2）的图象始终在的图象上方即为， 故对任意恒成立， 故，故，而， 故. （3）， 因为对任意，总存在，使得成立， 故在上的值域为的子集， 因为，故，故， 所以，解得. 17．（2026·高一·浙江宁波·阶段检测）已知函数，． (1)求在上的最小值； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）函数，，开口向上，对称轴， 在上，当，即时，函数单调递增， 所以； 当，即时，函数单调递减， 所以； 当，即时，函数在上先减后增， 所以； 综上所述：. （2）若，，即， 可得，可得， 即， 令， 设，，令，可得， 则在上，单调递减，在上，单调递增， 又因为，， 所以， 所以恒成立，所以， 所以实数的取值范围为． 18．（2026·高一·江西南昌·阶段检测）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求，的值； (2)若存在，使成立，求实数的取值范围； (3)当时，对恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意得不等式的解集为， 则方程的根为， 得到，解得，故； （2）存在时，使成立，整理得成立，令，只需，， 此时，当且仅当时取等号 所以，可得. （3）当时 和对 都成立， 令，得在上恒成立， 当时，只需即可，解得； 当时，只需即可，解得（舍）； 综上 2/2 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $