期中复习专题07 圆与圆的位置关系讲义【知识清单+10大考点+强化训练】-2026-2027学年上学期高二数学人教A版选择性必修第一册

专题07 圆与圆的位置关系 知识点1： 圆与圆的位置关系及其判定 1、几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与，的关系 2、代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 消元，一元二次方程 知识点2： 两圆的公切线 1、定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线； 2、公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 知识点3： 两圆公共弦所在直线方程 圆：， 圆：， 则为两相交圆公共弦方程. 【注意】（1）若与相切，则表示其中一条公切线方程； （2）若与相离，则表示连心线的中垂线方程. 知识点4： 利用圆系方程求圆的方程 1、过直线与圆的交点的圆系方程是： （） 2、以为圆心的同心圆系方程是：； 3、与圆同心的圆系方程是； 4、过同一定点的圆系方程是． 知识点5： 利用代数法的几何意义求最值 1、形如的最值问题，可以转化为过点和点的动直线斜率的最值问题； 2、形如的最值问题，可以转化为点和点的距离的平方的最值问题； 3、形如的最值问题，可以转化为动直线纵截距的最值问题 知识点6： 圆的参数方程 圆的标准方程，圆心为，半径为， 它对应的圆的参数方程：. 理解：如图，易得有向线段， 有向线段. 圆的参数方程为 考点一 判断圆与圆的位置关系 考点二 利用圆与圆的关系求参数 考点三 圆系方程的应用 考点四 圆中公切线条数的问题 考点五 求两相交圆的公共弦方程 考点六 求两圆的公共弦长 考点七 求圆的公切线方程 考点八 求圆的公切线长 考点九 利用代数式几何意义求最值 考点十 圆中与向量、面积有关的最值 考点一 判断圆与圆的位置关系 1．（26-27高二上·天津红桥·阶段检测）圆和的位置关系是（    ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【详解】圆的标准方程为，其圆心为，半径， 圆的标准方程为，其圆心为，半径， 故，故， 故两圆相交. 2．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）已知圆，圆，则两圆位置关系为（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】B 【分析】求出两圆圆心的距离，再与两圆半径的和差进行比较，得到答案. 【详解】圆，圆， 所以两圆圆心为，， 所以， 两圆半径分别为，， 所以， 所以两圆位置关系为相切（外切）. 3．（25-26高二下·湖南邵阳·期末）已知圆，圆，则圆与圆（     ） A．相交 B．外切 C．内含 D．外离 【答案】B 【分析】由圆的方程可确定两圆的圆心和半径，由两圆圆心距与两圆半径的关系可判断出位置关系. 【详解】由圆方程知：圆心，半径；由圆方程知：圆心，半径； 圆心距，所以，故圆与圆外切. 4．（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）圆和圆的位置关系为（   ） A．外离 B．内切 C．外切 D．相交 【答案】C 【详解】圆即，表示以为圆心，半径为1的圆． 圆即， 表示以为圆心，半径为4的圆． 两圆的圆心距为，等于两半径之和，所以两圆外切， 考点二 利用圆与圆的关系求参数 5．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查两圆内切的位置关系，利用两圆内切的充要条件：圆心距等于两圆半径之差的绝对值，建立等量关系即可求解a的值. 【详解】解：由题知： 圆方程可化为：，所以圆心为，半径， 由圆的方程可知，圆心为，半径， 所以圆心距. 因为圆与圆内切，所以圆心距，即，所以或，而，因此. 6．（2026·山东枣庄·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，圆，若圆与圆相交，则的值可以为（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 【答案】B 【分析】借助两圆相交的性质计算即可得. 【详解】由题知，两圆圆心分别为， 由圆与圆相交，则， 即，解得， 故选项中B正确，ACD错误. 7．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知圆和圆，则使得圆与圆相切的的值有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】确定两圆的圆心坐标与半径，再分两圆相外切与相内切两种情况讨论. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 若圆与圆相外切，则，即，解得或； 若圆与圆相内切，则，即，解得或； 故使得圆与圆相切的的值有、、、，共个. 8．（2026·湖南怀化·一模）已知圆与圆相切，则（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．16或36 【答案】C 【分析】求出两圆的圆心和半径，分内切与外切求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， ， 当两圆外切时，，即，解得； 当两圆内切时，，即，解得； 综上，则或. 考点三 圆系方程的应用 9．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知两圆，圆，过两圆交点，且圆心在直线上的圆的一般方程为____________ 【答案】 【分析】根据题意，设所求圆的方程为，得到圆心坐标，代入直线方程，求得的值，即可求解. 【详解】由圆和圆， 设所求圆的方程为， 即，可得所求圆的圆心为， 因为圆心在直线上，可得，解得， 所以所求圆的方程为， 所以所求圆的方程为. 10．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为____________． 【答案】 【分析】利用圆系方程可求圆的方程. 【详解】设圆的方程为：， 整理得到：， 因为圆过，代入该点得到：即， 故圆的方程为：即， 故答案为：. 11．（2026高二·全国·专题练习）过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆系方程，利用圆心坐标求出参数，建立方程求解即可. 【详解】经过圆：和圆：交点的圆可设为，即， 圆心在直线上，故，解得， 所以圆的方程为. 故选：A. 12．（25-26高三下·江苏苏州·阶段检测）求过直线和圆的交点，且面积最小的圆的方程. 【答案】 【分析】根据题意，设出圆的方程为，求得圆的半径，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设过直线和圆的交点的圆系方程， 可设为， 即， 可得圆的半径为， 故当时对应圆的半径最小，且最小半径为. 故所求圆的方程为. 考点四 圆中公切线条数的问题 13．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆：和圆：有条公切线，则______. 【答案】 【详解】两圆有3条公切线说明两圆外切，圆，圆心，半径为， 圆，化为标准方程， 圆心，半径为，圆心距为， 由外切性质可知，，即，解得. 14．（26-27高二上·江西·阶段检测）设为正数，若圆与圆存在三条公切线，则______． 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 若两圆存在三条公切线，则两圆外切，则， 即，且，解得. 15．（26-27高二上·河北唐山·阶段检测）已知两圆的方程：，：，则它们的公切线的条数为________． 【答案】 【分析】先把两圆一般方程配方求出圆心、半径，计算圆心距，对比圆心距与两半径和、差的大小，判断两圆位置为相交，再利用位置关系对应公切线数量的结论，得到公切线有条. 【详解】圆的圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 圆心距， ，， 因为，所以圆和圆相交， 根据两圆位置关系与公切线条数的对应规则，相交的两圆共有条公切线． 16．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）若圆与圆有四条公切线，则实数的取值范围为_______. 【答案】 【详解】因为两圆有四条公切线，故两圆相离， 而可化为，故此圆的圆心为，半径为， 可化为， 故此圆的圆心为，半径为， 所以，故. 考点五 求两相交圆的公共弦方程 17．（25-26高二上·江苏南京·期末）圆与圆的公共弦所在直线方程是______. 【答案】 【分析】由两圆的方程作差即可求出公共弦所在直线方程. 【详解】由，得，即， 又，两圆方程相减得，即， 所以两圆的公共弦所在直线方程是. 故答案为：. 18．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知圆与圆相交，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将圆的方程化为一般方程，再把两圆的一般式方程相减得到公共弦方程即可. 【详解】由题意得圆方程可化为， 圆方程可化为， 将两圆的方程相减可得， 化简得，则公共弦方程为，故D正确. 故选：D. 19．（25-26高二上·安徽合肥·期末）设圆与圆的交点为，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两圆心连线即是两圆公共弦的垂直平分线，结合两点式直线方程即可求解. 【详解】圆的圆心为，圆的圆心为，两圆的相交弦的垂直平分线即为直线， 所以直线方程为，即， 故选：A. 20．（25-26高二上·陕西咸阳·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两圆的方程相减可得直线方程. 【详解】将圆与圆的方程相减， 即可得公共弦所在直线的方程为. 故选：C 考点六 求两圆的公共弦长 21．（26-27高二上·重庆巴南·阶段检测）（多选）圆和圆的交点为，，则（    ） A．公共弦所在直线的方程为 B．线段中垂线的方程为 C．公共弦的长为 D．两圆圆心距 【答案】ACD 【分析】求得两圆圆心距，可判断选项D；进而可得两圆相交，把两圆方程相减得到公共弦所在直线的方程，即可判断选项A；再把两圆分别化成标准方程，得到圆心和半径，两圆心所在的直线即为线段的中垂线，即可判断选项B；利用一个圆的圆心到直线的距离进而求出弦的长，可判断选项C. 【详解】由，可得，可得圆心为，半径为， 由，可得，可得圆心为，半径为， 所以，所以两圆相交， 两圆方程相减得，所以公共弦所在直线的方程为，故AD正确； 由，，可得， 所以直线所在直线的方程为， 所以线段中垂线所在直线方程为，故B错误； 圆心到公共弦所在直线的距离为， 故公共弦的长为，故C正确. 22．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）已知圆：与圆：． (1)若两圆相交，求半径的范围； (2)若，求两圆公共弦所在直线的方程及公共弦长度． 【答案】(1) 的取值范围为 (2) 公共弦所在直线方程为，公共弦长度为 【分析】（1）根据两圆相交，求出； （2）先求公共弦所在直线方程，再求圆心到直线的距离，从而求出公共弦长. 【详解】（1）圆：的圆心为，半径； 圆：的圆心为，半径. 故，又因为两圆相交， 所以有，解得：. 所以半径的范围为. （2）圆：的一般式方程为  ①， 当时，圆的方程为：，一般式方程为 ②， ②-①得公共弦所在直线方程为： ，即. 圆心到直线的距离， 公共弦的长度为. 故公共弦所在直线方程为：，公共弦的长度为4. 23．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）（多选）已知圆，，圆与圆相交于点，，，下列结论正确的是（     ） A． B．直线的方程是 C．公共弦长 D．四边形的面积是24 【答案】ABD 【分析】化简圆的方程为一般式方程，两方程相减，求得的方程，可判定B正确；联立方程组，求得方程组的解，可判定A正确，利用圆的弦长公式，求得的值，可判定C错误；由四边形的对角线和互相垂直，结合，可判定D正确. 【详解】由圆，即， 圆，即， 且圆心，，半径，， 联立方程组，两式相减，可得，即， 即直线的方程是，所以B正确； 联立方程组，解得或， 因为，所以，所以A正确； 由圆心到直线的距离为， 根据圆的弦长公式，可得，所以C错误； 由圆的性质得，四边形的对角线和互相垂直， 且，， 所以四边形的面积为，所以D正确. 24．（26-27高二上·浙江·阶段检测）（多选）已知圆与圆相交于两点，则下列选项正确的是（    ） A．圆与圆有四条公切线 B．垂直平分 C．直线的方程为 D．线段的长为 【答案】BCD 【分析】由两圆的位置关系判断A；由圆的对称性判断B；联立两圆方程，消去二次项，即可得直线AB的方程，即可判断C；求出两圆的交点坐标，由两点间的距离公式求出的长，即可判断D. 【详解】对于A，因为两圆相交， 所以两圆只有两条公切线，故A错误； 对于B，由图形对称性可知，垂直平分，故B正确； 对于C，联立， 两式相减，得到， 即为直线AB的方程，故C正确； 对于D选项，联立， 可得或， 则，故D正确． 考点七 求圆的公切线方程 25．（2026高三下·福建厦门·专题练习）圆与圆的两条公切线的交点坐标为________. 【答案】 【详解】作图，圆的圆心，半径； 圆，圆心，半径. 而公切线交点在圆心连线上，同侧切点，构成， 所以，且与关于对称，结合中点坐标公式可得. 26．（25-26高二上·云南楚雄·期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知圆，判断圆与圆的位置关系，并写出一条圆与圆的公切线方程. 【答案】(1) (2)圆与圆外切，. 【分析】（1）由题可知直线的方程为， 中点的坐标为，线段的中垂线方程为，与已知直线联立，解得圆心，计算，得到半径； （2）圆心距，恰好等于两圆半径之和，因此两圆外切；设公切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出方程组：解得三组解即得. 【详解】（1）由题可知直线的方程为， 中点的坐标为， 线段的中垂线方程为，所以圆心在直线上， 又圆心在直线上，所以直线与直线的交点就是圆心. 由得即. 又， 所以圆的方程为. （2）由题可知， 所以， 两个圆的半径之和为， 所以圆与圆外切， 所以圆与圆有三条公切线，设其中有斜率的公切线方程为， 由圆心到切线的距离等于半径，得， 解得或或 所以公切线的方程为或或， 故其中一条公切线方程为：.（也可答另外两条中的其中一条） 27．（25-26高二上·江苏南通·期中）（多选）已知圆与圆，则（    ） A．圆心距 B．两圆的公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公共弦长为 D．直线是两圆的一条公切线 【答案】ABD 【分析】根据圆的方程确定圆心坐标后计算圆心距，可得A;两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，再在其中一个圆中计算公共弦弦长可判断B,C;计算两个圆到给定直线的距离是否分别等于各自半径，可判断D. 【详解】根据两圆方程，可知圆的圆心坐标,半径,圆的圆心坐标,半径. 对于A：,故A正确； 对于B：由A可知，,因此两圆相交.两圆的公共弦所在直线方程可由两圆方程相减得到，即将减去, 得到,整理化简得,故B正确； 对于C：两圆相交，存在公共弦，在其中一个圆中计算该弦长即可.圆心到公共弦的距离,故弦长,故C错误； 对于D：圆心到直线的距离,圆心到直线的距离,故直线是两圆的一条公切线，故D正确. 故选：ABD. 28．（25-26高二上·河南郑州·期中）已知与，过点作的切线，切点分别为、. (1)求直线与的方程； (2)求； (3)求与的所有公切线的方程. 【答案】(1)直线与的方程为或. (2) (3)或或 【分析】（1）求出圆的圆心坐标和半径，对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在切线的斜率不存在时，直接验证即可；在切线的斜率存在时，设出切线方程，利用直线与圆的位置关系求出参数的值，综合可得出切线的方程； （2）求出的值，利用二倍角的余弦公式求出的值，利用平面向量数量积的定义可求得的值； （3）分析可知两圆外切，可知两圆的公切线有三条，将两圆方程作差可得出其中一条公切线方程，然后利用三角形相似与对称性可求出另外两条公切线的方程, 【详解】（1）可化为，圆心，半径. 设过且与圆相切的直线为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与相切，符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为直线与相切，所以，解得， 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线与的方程为或. （2）由切线的几何性质可得， ，所以， 又，， 所以. （3）的圆心，半径；的圆心，半径.    因为，所以与外切，因此与共有条公切线. 与两方程相减，得一条公切线为. 设直线是与的一条公切线， 且直线与轴交于点，与相切于点，与相切于点 ，则，所以，即，所以. 所以，，所以. 将代入，得， 所以一条公切线为，即. 根据对称性，直线，即也是与的公切线. 综上所述，与的所有公切线的方程为或或. 考点八 求圆的公切线长 29．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线的长度； (3)过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求当四边形面积最小时，的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，根据题意列出关于的方程，求得即可得出圆的方程； （2）首先得两圆相交，进一步得所求为； （3）首先得四边形面积最小时的条件，再结合求出点的坐标. 【详解】（1）由题意，设，关于直线对称． ，且， ，圆心为，半径为，圆的方程． （2）由（1）知圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为， 两圆相交，有两条公切线． 又公切线的长度等于． （3）圆的半径， 则四边形的面积． 设， ， 当时，，此时四边形的面积最小，为． 当四边形面积最小时，的坐标为. 30．（2026·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】两圆只有一条公切线可得两圆内切，，再利用圆的切线长的公式可解. 【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点， 又圆的半径为1，所以切线长为， 故选：C． 31．（25-26高二上·湖南·阶段检测）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为轴，求公切线的长即可. 【详解】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D 32．（25-26高二上·四川资阳·期末）已知圆经过点，半径小于5，圆心在直线上，直线与相切；圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆的公切线的条数，并求公切线段的长度． 【答案】(1) (2)条， 【分析】（1）设圆心坐标，根据圆心到切线的距离等于半径，圆上点到圆心的距离也等于半径，列出方程，得出圆心坐标及半径，再根据对称得出答案； （2）先确定两圆的位置关系，再利用公切线长度公式即可求得答案. 【详解】（1）设圆的圆心为，由题意可列方程：，解得或（舍）. 所以圆的圆心为，半径.圆的圆心关于直线对称点为. 因此，圆的方程为： （2）圆心距，因为，所以两圆相交，有2条公切线. 对于半径相等的两圆，外公切线段长度公式为：，代入得， 故有2条公切线，且公切线段长度为. 考点九 利用代数式几何意义求最值 33．（26-27高二上·广东汕头·阶段检测）已知点，动点满足，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出点的轨迹并令，再利用几何意义列式求出范围. 【详解】由，得，整理得， 即，则动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 令，则，表示过点，且斜率为的直线， 显然直线与圆有公共点， 因此，即，解得， 所以的取值范围是. 34．（26-27高二上·安徽合肥·阶段检测）（多选）已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．过点作曲线的切线，则切线方程为 【答案】BD 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，找出圆心和半径，A、B、C三个选项分别利用“圆上点到定点距离”、“两点连线斜率”、“截距”的几何意义，结合圆心到直线距离公式求解；D选项利用“点在圆上，切线与半径垂直”的性质求出切线方程． 【详解】因为， 所以圆C的圆心，半径为. 对于A项，表示圆上的点到定点距离的平方，如图所示， 所以的最大值为， 故A项错误； 对于B项，表示圆上的点与点的连线的斜率，如图所示， 设，即，由题意直线与圆C有公共点， 故圆心到直线的距离， 解得，所以的最大值为，故B项正确； 对于选项C：设，则直线方程为， 当直线与圆C有公共点时，圆心到直线的距离 ，即， 即，解得，所以的最小值为，故C错误； 对于D项，设过点作曲线C的切线，则其斜率存在，故可设切线方程为， 由圆心到直线的距离可得，解得， 所以切线方程为，即，故D项正确； 35．（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）如果实数，满足等式，那么的最大值是________． 【答案】 【分析】在以为圆心，3为半径的圆上，设，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，求出答案 【详解】，即， 故在以为圆心，3为半径的圆上， 设，即，表示直线， 要与有公共点， 故，解得， 故的最大值为 36．（2026高二·全国·专题练习）已知实数，满足方程．求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值是，最小值是 【分析】（1）根据圆心坐标和半径可知表示圆上的点与原点连线的斜率，再由直线与圆相切即可得出结果； （2）将目标式看作圆上动点 到定点 距离的平方，利用圆心到定点距离与半径的关系确定距离范围，从而得到平方的最值． 【详解】（1）方程表示以点为圆心，以为半径的圆． 可理解为圆上一点与原点间的斜率， 设，即，当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 此时，解得． 或． 的最大值为，最小值为． （2）， 可理解为圆上的一点与点距离的平方， 又圆心到点的距离为， 所以的最大值是， 最小值是． 考点十 圆中与向量、面积有关的最值 37．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）直线：，若满足条件的所有直线围成的封闭区域边界记为，线段在直线：上运动，点为上任意一点，若上存在两点，，使得成立，则线段长度的最大值为________． 【答案】/ 【分析】先分析动直线围成的封闭区域边界为圆，再利用得，则从点向圆作两条切线，设切线夹角，设切线与的夹角为，则，即，可得，所以线段全部落在以为圆心，半径为的圆内部或圆上，从而可计算线段长度的最大值. 【详解】将直线方程转化为：. 则，即， 所以满足条件的所有直线围成的封闭区域为圆及其外部， 所以封闭区域边界为圆. 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，点在圆外. 因为圆上存在两点，使得成立，所以. 所以从点向圆作两条切线，设切线夹角为，则. 设切线与的夹角为，则. 又因为，所以，所以， 即，所以线段全部落在以为圆心，半径为的圆内部或圆上. 故直线被以为圆心，半径的圆截得的弦长， 所以线段长度的最大值为. 38．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点P到的距离是点P到的距离的2倍. (1)求点P的轨迹的方程； (2)过点B作直线，交轨迹于P，Q两点，P，Q不在y轴上. （i）过点B作与直线垂直的直线，交轨迹于E，F两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； （ii）设轨迹与y轴正半轴的交点为C，直线，相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程. 【答案】(1) (2)（i）28 （ii），设，， 联立消得， 则，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立解得， 则， 所以， 所以点在定直线上. 【分析】（1）设，根据两点距离公式建立方程，整理即可求解； （2）易知直线的斜率存在，设直线方程为，利用点到直线的距离公式和几何法求弦长表示. （i）结合点线距公式、基本不等式和三角形面积公式，分类讨论当、时S的取值范围即可； （ii）设，，直线方程联立圆方程，利用韦达定理表示，同时表示和的方程，求出交点N的坐标即可证明. 【详解】（1）设点，由题意可得， 即，化简得， 所以点的轨迹的方程为. （2）由题直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， （i）若，则直线的斜率不存在， 得，，则； 若，则直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 则 ， 当且仅当即时，取等号， 综上所述，因为，所以S的最大值为28. （ii）略 39．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）过点作直线的垂线，垂足为，点，分别是直线：和直线：上的动点，则当，，变化时，的最小值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．12 【答案】B 【分析】先求得直线经过定点，结合条件求出动点的轨迹方程为，设的中点为，化简目标式为，判断动点的轨迹为直线，利用圆心到直线的距离为圆心到直线上点距离的最小值即可求得的最小值即可. 【详解】即， 由解得，则直线经过定点， 又因，则，故点的轨迹为以为直径的圆，其圆心为，半径为， 则点的轨迹方程为. 因点，分别是直线：和直线：上的动点， 设的中点为，则，则， 易知动点的轨迹为与直线平行且距离相等的直线，其方程为， 因圆心到直线的距离，则， 故的最小值为. 40．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由四边形面积最小，则切线长最小，从而最小，最小值即为圆心到直线的距离，由此计算即可. 【详解】由圆，得圆心，半径， 由题意，四边形的面积为， 在中， 因此，要使四边形的面积最小，只需要最小即可， 此时，即， 所以，， 则四边形的面积的最小值为 1．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）圆和圆的位置关系为（ ） A．内含 B．内切 C．外切 D．外离 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 则两圆的圆心距， 两圆的半径之差为，所以两圆内含. 2．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两圆方程得圆心和半径，判断两圆外离，求公切线时，利用圆心到直线的距离等于半径这一条件，逐一检验选项：分别计算两圆心到各直线的距离，若都等于半径，则该直线为公切线. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 两圆半径相等，圆心距所以两圆外离，有公切线； A选项：，圆心到该直线距离，不是切线，A选项错误； C选项：，圆心到该直线距离，也不是切线，C选项错误； B选项：，圆心到直线距离，不是切线，B选项错误； D选项：，圆心到直线距离，圆心到直线距离， 两者都等于半径，所以是两圆的一条公切线，D选项正确. 3．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）已知圆：与圆：，则“”是“与有公共点”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据“与有公共点”可求得，由此可判断和的推理关系，即可得出答案. 【详解】圆的标准方程为，圆：， 故， 若圆与圆有公共点，则有， 即，解得，能推出， 当时，推不出， 故“”是“圆与圆有公共点”的必要不充分条件. 4．（26-27高二上·河北保定·期中）已知圆：与圆：交于，两点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两圆方程作差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系，利用两点间距离公式，进而求得四边形的面积. 【详解】圆的方程配方得，因此圆心，半径； 圆的方程配方得，因此圆心，半径. 由两点间距离公式得. 将两圆方程相减，消去二次项得到公共弦所在直线方程，即. 点到直线的距离，因此弦长的一半为， 即. 四边形可拆分为以为公共底的两个三角形和， 点到直线的距离， 因此总面积. 5．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）圆与圆的公共弦的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】将圆与圆的方程作差可得， 所以两圆相交弦所在直线的方程为， 圆的圆心为原点，半径为， 原点到直线的距离为， 所以两圆的公共弦长为. 6．（2026·重庆·模拟预测）设圆 与圆 交于 两点，则线段 的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆，圆. 展开圆：，即. 两圆方程相减得公共弦：. 圆心到直线的距离：. 圆半径，弦长. 7．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）古希腊数学家阿波罗尼奥斯有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆：的公切线的条数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义求出点的轨迹方程，再通过比较两圆的圆心距与半径之和，半径之差的大小关系来确定两圆的位置关系，进而得出公切线条数. 【详解】已知，，，因为动点满足， 又，，则， 则， 化简可得， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 已知圆的方程为，则其圆心，半径， 所以， 又因为，即，所以两圆外切， 根据两圆位置关系与公切线条数的对应关系，当两圆外切时，公切线有条. 8．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知圆和圆，则下列结论中正确的是（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 【答案】C 【分析】先求出两圆的圆心坐标和半径，然后根据圆与圆之间的位置关系、勾股定理等知识逐项计算即可. 【详解】将圆和圆化成标准方程为： 圆和圆， 所以两个圆的圆心坐标和半径分别为. 因为与轴的距离为1，小于该圆的半径2，所以圆与轴不相切，A错误； 因为，所以两圆相交， 所以两圆的公共弦所在直线方程为两个圆的方程相减，得到方程， 即，所以B错误； 因为两圆的位置关系是相交，所以有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线，C正确； 根据勾股定理可得，公切线段长为，D错误； 故选：C. 9．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）（多选）已知圆：，圆：，若圆平分圆的周长，则（     ） A．圆的圆心在上 B． C．圆面积的最小值是 D．已知点，，则的最小值为5 【答案】ABD 【分析】先由圆的一般式确定圆的圆心坐标判断A；根据圆平分周长的性质，推导的关系判断B；结合的关系求圆半径的最小值，得到面积最小值判断C；利用将军饮马模型，结合圆心的轨迹求距离和的最小值判断D. 【详解】选项A：圆可化为， 圆心坐标为，纵坐标恒为2，因此圆心在直线上，A正确. 选项B：将两圆方程相减得公共弦所在直线方程为， 圆的标准方程为，圆心为. 因为平分的周长，所以公共弦过，代入公共弦方程得，即，B正确. 选项C：圆的半径平方， 将代入得，因此圆面积的最小值为，C错误. 选项D：圆心在直线上，作点关于的对称点， 则，因此， 即最小值为5，D正确. 10．（26-27高二上·陕西榆林·阶段检测）（多选）瑞士著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若满足，顶点，，且其“欧拉线”与圆：相切，则下列结论正确的是（ ） A．圆上的点到原点的最大距离为 B．圆上存在三个点到直线的距离为 C．若点在圆上，则的最小值是 D．若圆与圆有公共点，则 【答案】AC 【分析】由题意求出的垂直平分线可得的欧拉线，再由圆心到直线的距离求得，得到圆的方程，求出圆心到原点的距离，加上半径判断A；求出圆心到直线的距离判断B；再由的几何意义，即圆上的点与定点连线的斜率判断C；由两个圆有公共点可得圆心距与两个半径之间的关系，求得的取值范围判断D． 【详解】 对于A，由题意，的欧拉线即的垂直平分线， ，，的中点坐标为， 且直线的斜率， 则的垂直平分线方程为，即， 由“欧拉线”与圆：相切， 到直线的距离， 则圆的方程为，圆心到原点的距离为， 则圆上的点到原点的最大距离为，故A正确； 对于B，圆心到直线的距离为， 所以圆心在直线上，且圆的半径为， 所以圆上存在两个点到直线的距离为，故B错误； 对于C，的几何意义为圆上的点与定点连线的斜率， 设过与圆相切的直线方程为，即， 由，解得，所以的最小值是，故C正确； 对于D，圆的圆心坐标，半径为， 圆的圆心坐标为，半径为， 要使圆与圆有公共点， 则圆心距的范围为，即，解得，故D错误． 11．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）（多选）已知圆：，圆：，，则（    ） A．若圆过点，则圆过原点 B．当时，两圆有三条公切线 C．若两圆相交，相交弦所在直线过点，则 D．P为平面内一动点，若以P，，为顶点的三角形为等腰三角形，则P到点距离的最小值为 【答案】AD 【分析】求出判断A；确定两圆位置判断B；求出公共弦所在直线方程判断C；分类求出点的轨迹求解判断D. 【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径，， 对于A，由圆过点，得，圆：过原点，A正确； 对于B，当时，，圆内切于圆，两圆有一条公切线，B错误； 对于C，当圆与圆相交时，，即，两圆公共弦所在直线方程为， 由相交弦所在直线过点，得，解得，C错误； 对于D，由以P，，为顶点的三角形为等腰三角形，得或或， 当时，点的轨迹为，P到点距离的最小值为1， 当时，点的轨迹为，P到点距离的最小值为， 当时，点的轨迹为，P到点距离的最小值为， 因此P到点距离的最小值为，D正确. 12．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知在平面直角坐标系中，点到直线的距离分别为，则这样的直线共有___________条． 【答案】3 【分析】由已知得直线与以为圆心，1为半径的圆相切，且直线与以为圆心，2为半径的圆相切，即直线是圆与圆的公切线，由圆心距离，得两圆相外切，从而求出满足条件的直线有3条． 【详解】点到直线的距离为1， 则直线是以为圆心，1为半径的圆的切线， 即直线与圆相切， 点到直线的距离为2， 则直线是以为圆心，2为半径的圆的切线， 即直线与圆相切， 直线是圆与圆的公切线， 圆心距离， 两圆相外切， 满足条件的直线有3条． 13．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）若圆：与圆：有且仅有条公切线，则_____；的最大值为_______. 【答案】 16 25 【分析】使用两圆外切的几何条件计算，令，使用的几何意义求解. 【详解】由题意知两圆外切，则圆心距等于，即，故， 则点是圆上的点，圆心是原点，半径为， 设，则， 的几何意义为过点的直线在轴的截距的倍， 当直线与圆相切时，截距的绝对值取最值， 此时，解得或， 则的最大值是，故的最大值为. 14．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）圆与圆交点为，，则的面积为________. 【答案】 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， ，则圆与圆相交，且， 因此是正三角形，其面积为. 15．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）已知圆A与圆关于点对称， (1)求圆A的方程； (2)过点的直线l与圆A相交于M，N两点，当时，求直线l的方程； (3)已知实数x，y满足圆A的方程，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 (3) 【分析】（1）先由中点坐标公式，求得点A的坐标，进而得到圆A的标准方程； （2）设直线的方程为，即，根据几何法，结合点到直线的距离公式求得，从而得到直线的方程； （3）根据的几何意义，将转化为圆A上的点到定点的距离的平方即可得其取值范围. 【详解】（1）由，得， 所以圆的圆心为，半径. 设，则，解得， 所以圆的方程为. （2）当直线的斜率为时，其方程为， 圆心到直线的距离为，直线与圆相离，不合题意； 所以直线的斜率不为. 设直线的方程为，即. 设圆心到直线的距离为， 则，化简得， 解得或. 所以直线l的方程为或， 即或. （3）设圆A上任意一点，， 点在圆A外部，，， 则， 即， 所以， 所以的取值范围是. 16．（26-27高二上·上海普陀·阶段检测）已知，圆，直线经过点. (1)若直线的法向量为，且直线与圆相离，求的范围； (2)若圆与圆外切，且直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程（答案写成直线一般式方程）. 【答案】(1) (2)直线的方程为和 【分析】（1）将圆化为标准方程，根据条件写出直线方程，利用直线与圆相离的条件得到圆心到直线的距离，并结合求出的范围； （2）利用外切条件即圆心距等于半径之和求出，从而确定圆的半径，由弦长公式求圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离求出直线的斜率，最后求出直线方程． 【详解】（1）圆的标准方程为，圆心，半径， 直线的法向量为且经过点，则其方程为， 由圆心到直线的距离，可得，解得． 即的范围为 （2）圆的圆心，半径，， 两圆外切时，即，解得， 设直线的斜率为，则其方程为即， 由弦长公式得，代入，解得， 因此圆心到直线的距离， 整理得，解得或， 当时，直线方程为； 当时，直线方程为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆与圆的位置关系 知识点1： 圆与圆的位置关系及其判定 1、几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与，的关系 2、代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 消元，一元二次方程 知识点2： 两圆的公切线 1、定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线； 2、公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 知识点3： 两圆公共弦所在直线方程 圆：， 圆：， 则为两相交圆公共弦方程. 【注意】（1）若与相切，则表示其中一条公切线方程； （2）若与相离，则表示连心线的中垂线方程. 知识点4： 利用圆系方程求圆的方程 1、过直线与圆的交点的圆系方程是： （） 2、以为圆心的同心圆系方程是：； 3、与圆同心的圆系方程是； 4、过同一定点的圆系方程是． 知识点5： 利用代数法的几何意义求最值 1、形如的最值问题，可以转化为过点和点的动直线斜率的最值问题； 2、形如的最值问题，可以转化为点和点的距离的平方的最值问题； 3、形如的最值问题，可以转化为动直线纵截距的最值问题 知识点6： 圆的参数方程 圆的标准方程，圆心为，半径为， 它对应的圆的参数方程：. 理解：如图，易得有向线段， 有向线段. 圆的参数方程为 考点一 判断圆与圆的位置关系 考点二 利用圆与圆的关系求参数 考点三 圆系方程的应用 考点四 圆中公切线条数的问题 考点五 求两相交圆的公共弦方程 考点六 求两圆的公共弦长 考点七 求圆的公切线方程 考点八 求圆的公切线长 考点九 利用代数式几何意义求最值 考点十 圆中与向量、面积有关的最值 考点一 判断圆与圆的位置关系 1．（26-27高二上·天津红桥·阶段检测）圆和的位置关系是（    ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 2．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）已知圆，圆，则两圆位置关系为（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 3．（25-26高二下·湖南邵阳·期末）已知圆，圆，则圆与圆（     ） A．相交 B．外切 C．内含 D．外离 4．（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）圆和圆的位置关系为（   ） A．外离 B．内切 C．外切 D．相交 考点二 利用圆与圆的关系求参数 5．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·山东枣庄·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，圆，若圆与圆相交，则的值可以为（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 7．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知圆和圆，则使得圆与圆相切的的值有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2026·湖南怀化·一模）已知圆与圆相切，则（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．16或36 考点三 圆系方程的应用 9．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知两圆，圆，过两圆交点，且圆心在直线上的圆的一般方程为____________ 10．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为____________． 11．（2026高二·全国·专题练习）过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高三下·江苏苏州·阶段检测）求过直线和圆的交点，且面积最小的圆的方程. 考点四 圆中公切线条数的问题 13．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆：和圆：有条公切线，则______. 14．（26-27高二上·江西·阶段检测）设为正数，若圆与圆存在三条公切线，则______． 15．（26-27高二上·河北唐山·阶段检测）已知两圆的方程：，：，则它们的公切线的条数为________． 16．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）若圆与圆有四条公切线，则实数的取值范围为_______. 考点五 求两相交圆的公共弦方程 17．（25-26高二上·江苏南京·期末）圆与圆的公共弦所在直线方程是______. 18．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知圆与圆相交，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高二上·安徽合肥·期末）设圆与圆的交点为，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高二上·陕西咸阳·期末）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 考点六 求两圆的公共弦长 21．（26-27高二上·重庆巴南·阶段检测）（多选）圆和圆的交点为，，则（    ） A．公共弦所在直线的方程为 B．线段中垂线的方程为 C．公共弦的长为 D．两圆圆心距 22．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）已知圆：与圆：． (1)若两圆相交，求半径的范围； (2)若，求两圆公共弦所在直线的方程及公共弦长度． 23．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）（多选）已知圆，，圆与圆相交于点，，，下列结论正确的是（     ） A． B．直线的方程是 C．公共弦长 D．四边形的面积是24 24．（26-27高二上·浙江·阶段检测）（多选）已知圆与圆相交于两点，则下列选项正确的是（    ） A．圆与圆有四条公切线 B．垂直平分 C．直线的方程为 D．线段的长为 考点七 求圆的公切线方程 25．（2026高三下·福建厦门·专题练习）圆与圆的两条公切线的交点坐标为________. 26．（25-26高二上·云南楚雄·期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知圆，判断圆与圆的位置关系，并写出一条圆与圆的公切线方程. 27．（25-26高二上·江苏南通·期中）（多选）已知圆与圆，则（    ） A．圆心距 B．两圆的公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公共弦长为 D．直线是两圆的一条公切线 28．（25-26高二上·河南郑州·期中）已知与，过点作的切线，切点分别为、. (1)求直线与的方程； (2)求； (3)求与的所有公切线的方程. 考点八 求圆的公切线长 29．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线的长度； (3)过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求当四边形面积最小时，的坐标． 30．（2026·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 31．（25-26高二上·湖南·阶段检测）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 32．（25-26高二上·四川资阳·期末）已知圆经过点，半径小于5，圆心在直线上，直线与相切；圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆的公切线的条数，并求公切线段的长度． 考点九 利用代数式几何意义求最值 33．（26-27高二上·广东汕头·阶段检测）已知点，动点满足，则的取值范围为___________． 34．（26-27高二上·安徽合肥·阶段检测）（多选）已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．过点作曲线的切线，则切线方程为 35．（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）如果实数，满足等式，那么的最大值是________． 36．（2026高二·全国·专题练习）已知实数，满足方程．求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； 考点十 圆中与向量、面积有关的最值 37．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）直线：，若满足条件的所有直线围成的封闭区域边界记为，线段在直线：上运动，点为上任意一点，若上存在两点，，使得成立，则线段长度的最大值为________． 38．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点P到的距离是点P到的距离的2倍. (1)求点P的轨迹的方程； (2)过点B作直线，交轨迹于P，Q两点，P，Q不在y轴上. （i）过点B作与直线垂直的直线，交轨迹于E，F两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； （ii）设轨迹与y轴正半轴的交点为C，直线，相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程. 39．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）过点作直线的垂线，垂足为，点，分别是直线：和直线：上的动点，则当，，变化时，的最小值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．12 40．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）圆和圆的位置关系为（ ） A．内含 B．内切 C．外切 D．外离 2．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）已知圆：与圆：，则“”是“与有公共点”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（26-27高二上·河北保定·期中）已知圆：与圆：交于，两点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）圆与圆的公共弦的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 6．（2026·重庆·模拟预测）设圆 与圆 交于 两点，则线段 的长度为（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）古希腊数学家阿波罗尼奥斯有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆：的公切线的条数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知圆和圆，则下列结论中正确的是（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 9．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）（多选）已知圆：，圆：，若圆平分圆的周长，则（     ） A．圆的圆心在上 B． C．圆面积的最小值是 D．已知点，，则的最小值为5 10．（26-27高二上·陕西榆林·阶段检测）（多选）瑞士著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若满足，顶点，，且其“欧拉线”与圆：相切，则下列结论正确的是（ ） A．圆上的点到原点的最大距离为 B．圆上存在三个点到直线的距离为 C．若点在圆上，则的最小值是 D．若圆与圆有公共点，则 11．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）（多选）已知圆：，圆：，，则（    ） A．若圆过点，则圆过原点 B．当时，两圆有三条公切线 C．若两圆相交，相交弦所在直线过点，则 D．P为平面内一动点，若以P，，为顶点的三角形为等腰三角形，则P到点距离的最小值为 12．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知在平面直角坐标系中，点到直线的距离分别为，则这样的直线共有___________条． 13．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）若圆：与圆：有且仅有条公切线，则_____；的最大值为_______. 14．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）圆与圆交点为，，则的面积为________. 15．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）已知圆A与圆关于点对称， (1)求圆A的方程； (2)过点的直线l与圆A相交于M，N两点，当时，求直线l的方程； (3)已知实数x，y满足圆A的方程，求的取值范围． 16．（26-27高二上·上海普陀·阶段检测）已知，圆，直线经过点. (1)若直线的法向量为，且直线与圆相离，求的范围； (2)若圆与圆外切，且直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程（答案写成直线一般式方程）. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $