拓展专题04 与圆有关的最值问题（期中复习讲义）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04与圆有关的最值问题 内容概览 01 期中考情透视 02知识体系构建 03核心考点精讲 考点一圆上的点到定点的距离 考点二圆上的点到直线的距离 考点三圆的切线长度 考点四过圆内定点的弦长 考点五代数法的几何意义 04重难题型突破 题型一圆上的点到定点的距离最值 题型二两圆上动点的距离最值 题型三圆上的点到直线的距离最值 题型四圆的切线长度最值问题 题型五过圆内定点的弦长最值 题型六利用代数式几何意义求最值 05限时分层演练 基础固本练/综合进阶练 01期中考情透视 一、考点与题型命题特点 本专题是直线与圆章节期中高频中档考点，多设置在选择、填空，少量嵌入解答题小问，一般不作为整道 大题独立考查。小题重点考查定点与圆上点距离最值、圆上点到定直线距离最值、弦长最值、切线长最值， 还有斜率型、截距型、距离平方类代数式的几何意义转化；常结合动点，利用圆心、半径进行几何分析， 侧重数形结合。命题以显性圆为主，少量简单隐圆，核心思路优先几何法，辅以代数函数法求解，常作为 多选、填空压轴小题拉分。 二、试题难易度分布 整体难度中等。 基础：直接套用圆心半径模型求距离最值： 中档：需要识别代数式几何意义、结合垂径定理分析弦长、切线长最值： 难题：多为多动点组合最值，需要两次转化、利用三点共线条件分析，对几何直观要求高。 三、整体命题核心规律 解题优先几何法，抓住圆心作为核心媒介，利用圆心到定点、定直线距离加减半径求最值：代数法多用于 不方便几何转化的情况，注意自变量取值范围。 1/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 易错点：忽略点在圆内/圆外的区分、弦长最值忘记垂径定理、求斜率最值漏掉切线斜率不存在的情况： 做题先画图，把代数式翻译成几何图形，减少代数运算失误。 2/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 02知识体系构建 考点1圆上的点到定点的距离 考点2圆上的点到直线的距离 考点3圆的切线长度 代数法 几何法 与圆有关的最值问题 考点4过圆内定点的弦长 斜率型 考点5代数法的几何意义 距离型 截距型 03核心考点精讲 考点一圆上的点到定点的距离 般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值 已知圆C及圆外一定点P,设圆C的半径为T 则圆上点到P点距离的最小值为PM=PCI,最大值为|P=PC+r 即连结PC并延长，M为PC与圆的交点，N为PC延长线与圆的交点， 考点二圆上的点到直线的距离 己知圆C和圆外的一条直线1，则圆上点到直线距离的最小值为P☑=d。1-',距离的最大值为 PN=d,+r(过圆心C作1的垂线，垂足为P,CP与圆C交于M,其反向延长线交圆C于N 3/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点三圆的切线长度 1、代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值： 2、几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题. 己知圆C和圆外的一条直线L,则过直线I上的点作圆的切线，切线长的最小值为PM M 考点四过圆内定点的弦长 己知圆C及圆内一定点P,则过P点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦N 考点五代数法的几何意义 y=业b 1、斜率型：形如x一a，可以转化为过点X,y)和点a,b)的动直线斜率的最值问题； 2、距离型：形如2=x一aP+(y-b尸，可以转化为点x,y和点(a,b)的距离的平方的最值问思， 3、截距型：形如Z=aX+by,可以转化为动直线纵截距的最值问题。 04重难题型突破 题型一圆上的点到定点的距离最值 【典例1】(26-27高二上湖南邵阳阶段检测)圆C:x2+y+2x-4y-4=0上的点到坐标原点0的最小 距离为( A.5-3 B.3-V5 C.5 D.3+V5 4/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式1-1】(25-26高二上云南保山期末)已知点A(3,0),点P在圆x2+y2-2x-4y+1=0上运动，则 PA的取值范围为 【变式1-2】(26-27高二上重庆渝中阶段检测)己知在平面直角坐标系0-y中，A(3,0),B(0,-3)， 动点P(x,y)满足PB=2PA,则PA+PB的最小值为( A.9 B.10 C.9+√2 D.12 【变式1-3】(26-27高二上湖南永州阶段检测)已知圆x2+y=9上的动点M和定点A(-1,0),B(2,2), 则3M4+MB的最小值为( A.2√6 B.5V5 C.4v2 D.2W10 题型二两圆上动点的距离最值 【典例2】(25-26高二上河北石家庄·期末)若P,9分别是圆C:x2+y2=1与圆 C,:x2+y-8x-6y+21=0上的点，则P的最小值为( A.3 B.2, C.1 D.0 【变式2-1】(2026湖北荆州一模)己知点P,0分别在圆C:x+y=1,C2:x+y-4x+2y+4=0上运 动，点M在直线上x-y+2=0上运动，则MP+M№的最小值为( ) A.V5-2 B.3 C.5-1 D.4 【变式2-2】(26-27高二上北京阶段检测)已知圆G(x-2+(y-3)2=2,圆C2:(x-3}+(y-4)}-9, M,N分别是圆C,C,上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为( ) A.5V2 B.2 C.4v2-3 D.3-22 【变式2-3】(25-26高二上北京平谷期末)已知直线1：x-y-k=0与圆C:x2+y2-x+2y-1=0相交 于A、B两点，则弦长AB最短时直线I方程为( 5/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11 11 A.y=2x- 2 B.y=2x+2 2 C.y=2x-2 D.y=-2x+2 题型三圆上的点到直线的距离最值 【典例3】(26-27高二上北京东城阶段检测)已知直线：4x+3y=0和圆C:c-4)}+0-32=4,点P在 直线1上，点？在圆C上，则P巴最小值为( ) A.1 B.3 C.6 D.9 【变式3-1】(25-26高二上河南郑州期中)已知圆C:(x+2)2+(0y+1)2=4和直线 1:(1+3)x+(1+)y-2-4=0(2∈R),若点P在圆C上，则点P到直线l的距离的最大值为 ( A.13 B.V13-2 C.3+2 D.V13+4 【变式3-2】(25-26高二下河南平顶山期末)已知aeR,则圆(x-a)2+0y-2a2=9上任意一点到直线 3x-4y+5a+10=0的距离的最大值为( A.2 B.3 C.5 D.6 【变式3-3】(25-26高二上福建厦丁阶段检测)已知点0是坐标原点，点9是圆(x-3)+(y+4)2=1上 的动点，点P是直线x+y+4=0上的一个动点，则Pg+PO的最小值为( A.7 B.6 C.5 D.4 题型四圆的切线长度最值问题 【典例4)(26-27高二上山东青岛阶段检测)若A(3,4),圆M:(x-a)+y2=2,则过A作圆M的切线， 切点为P,则AP的最小值为」 【变式4-1】(26-27高二上江西阶段检测)过圆G:x+y2-4y=0上的点P作圆C: x2+y2-6x+4y+12=0的切线，切点为9，则P最大值为() 6/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.22 B.3V3 C.45 D.5V2 【变式4-2】(25-26高二上河南南阳期中)己知P是直线1：3x+4y-8=0上一动点，过点P作圆C: (x+2)+(y-I)=3的两条切线PM,PN,切点分别为M,N,则∠MPW的最大值为 【变式43】(26-27高二上山东菏泽阶段检测)在平面直角坐标系x0y中，已知圆0：x2+y=16,点P 在直线2x+y+10=0上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A,B,则四边形OAPB面积的最小值 为 题型五过圆内定点的弦长最值 【典例5】(26-27高二上安徽宣城阶段检测)己知直线1过点P(-山，-2)，则1被圆C:x2+y+)2=4截得 的弦长最小值为 【变式5-1】(26-27高二上福建三明阶段检测)己知直线：m(x+y+)+y-x=0,m∈R,圆C: (x-1}+(y-2=9,则直线1被圆C截得的最短弦的长度为— 【变式5-2】(25-26高二下湖北期中)已知圆C:(x-1+(y-3)=25,直线 1:(m+2)x+(2m+1)y-7m-8=0,则直线l被圆C截得的最短弦长为( A.2V5 B.4V5 C.210 D.4V10 【变式5-3】(26-27高三上河南许昌阶段检测)己知圆C:x2+y2-4x-5=0,过点P(3,-2)作直线1与圆 C相交于点M、N.当MW最小时，△MNC的面积为( ) A.5 B.2W5 C.35 D.4V5 题型六利用代数式几何意义求最值 【典例6】(25-26高二上江苏泰州期中)如果实数x、y满足x+y-8x+12=0,那么x+y的最大值是 7/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.2 B.4 C.6 D.36 【变式61】(25-26高二上江苏南通期中)若实数x,y满足x2+y=4,则x+y的最大值是 ( A.2 B.2√2 C.4 D.4v2 【变式621(220有=上甘肃定西期中)若实数y满足等式：-+=，则片的最大值为 ( A日 B.5 D.为 5 【变式6-3】(26-27高二上·黑龙江齐齐哈尔阶段检测)（多选）已知实数x,'满足曲线C的方程 x2+y2-2x-3=0,则下列选项正确的是( B. y+2 12 A.x2+y2的最大值是9 x+2的最大值是5 C.x+y的最大值是2W2+1 D.x-y+3的最小值是22-V5 05限时分层演练 冒基础固本练（限时：15分钟） 1.(2425高二下贵州遵义期中)已知点P(x,y)满足y=V4x-x,点A(-2,3),则P4的最大值为 A.3 B.2W5 C.35 D.6 2.(25-26高二上北京海淀阶段检测)已知点P(cos9,sin0),直线1：x+m-2=0,当0，m在变化时， 点P到直线的距离的最大值为( A.1 B.2 C.3 D.4 8/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(25-26高二上广东东莞期中)己知直线1：m+y-m+1=0与圆0：x+y2=4相交于A,B两点，则当 AB取最小值时，m=（ ) 1 A.1 B.-1 C.2 D.2 4.(26-27高三上黑龙江辽宁开学考试)已知直线1：3x+4y-20=0,圆0：x2+y=9,卫，0分别为直 线1与圆O上的动点，则P四的最小值为 5.(25-26高二上重庆阶段检测)己知圆C:x2+y=4,过M(m,4-m)作圆C的一条切线MP,切点 为P,则PM的最小值为一 6.(25-26高二上河北石家庄期末)已知圆C:(x-1)+(y-2=25,直线 1:(2m+)x+(m+1)y-7m-4=0,直线l被圆C截得最短弦长是 7.(25-26高二上陕西咸阳期中)已知P,0两点分别在圆C:x+0y-12)2=9和圆 C2:x2+y2-10x+21=0上，则P的最小值为 y 8.(26-27高二上重庆沙坪坝：阶段检测)已知实数x,y满足X2+(y-2)}=4，则x+2√3的最大值为- 目综合进阶练（限时：15分钟） 1.(26-27高二上黑龙江哈尔滨阶段检测)己知点A(1,2),点9是圆(x-5)+(y-6=1上的动点，点 P是直线x-y-1=0上的一个动点，则P四+PA的最小值为( A.210+1 B.210-1 C.4V2+1 D.4W2-1 2.(25-26高二上天津武清阶段检测)己知点4(2,0)，圆0：x2+y=4,点B在圆0上运动，点M满 足W=2动点N在+0-=1上，则N的装小指为() 9/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A等 B.19 c.3 3.(26-27高二上山东青岛阶段检测)己知点A,B分别为x,y轴上的两个动点，且满足AB=10,点M 为线段AB的中点，已知P(I0,0),C(6,3),则PM+2CM的最小值为 4.(25-26高二上四川成都期中)己知圆0：x2+y=16,直线1：4x+3y-12=0,点A(-3,0),点P在 圆0上运动，点Q满足00=OA+OP(0为坐标原点)，则点0到直线1距离的最大值为 5.(25-26高二上江苏宿迁期中)已知点M为直线x-y-2=0上的动点，过点M引圆x+y2=1的两条 切线，切点分别为A,B,则点P(O,D到直线AB的距离的最大值为一 10/10 专题04 与圆有关的最值问题 01 期中考情透视 02 知识体系构建 03 核心考点精讲 考点一 圆上的点到定点的距离 考点二 圆上的点到直线的距离 考点三 圆的切线长度 考点四 过圆内定点的弦长 考点五 代数法的几何意义 04 重难题型突破 题型一 圆上的点到定点的距离最值 题型二 两圆上动点的距离最值 题型三 圆上的点到直线的距离最值 题型四 圆的切线长度最值问题 题型五 过圆内定点的弦长最值 题型六 利用代数式几何意义求最值 05 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 一、考点与题型命题特点 本专题是直线与圆章节期中高频中档考点，多设置在选择、填空，少量嵌入解答题小问，一般不作为整道大题独立考查。小题重点考查定点与圆上点距离最值、圆上点到定直线距离最值、弦长最值、切线长最值，还有斜率型、截距型、距离平方类代数式的几何意义转化；常结合动点，利用圆心、半径进行几何分析，侧重数形结合。命题以显性圆为主，少量简单隐圆，核心思路优先几何法，辅以代数函数法求解，常作为多选、填空压轴小题拉分。 二、试题难易度分布 整体难度中等。 基础：直接套用圆心半径模型求距离最值； 中档：需要识别代数式几何意义、结合垂径定理分析弦长、切线长最值； 难题：多为多动点组合最值，需要两次转化、利用三点共线条件分析，对几何直观要求高。 三、整体命题核心规律 解题优先几何法，抓住圆心作为核心媒介，利用圆心到定点、定直线距离加减半径求最值；代数法多用于不方便几何转化的情况，注意自变量取值范围。 易错点：忽略点在圆内/圆外的区分、弦长最值忘记垂径定理、求斜率最值漏掉切线斜率不存在的情况；做题先画图，把代数式翻译成几何图形，减少代数运算失误。 考点一 圆上的点到定点的距离 一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值 已知圆及圆外一定点，设圆的半径为 则圆上点到点距离的最小值为，最大值为 即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点. 考点二 圆上的点到直线的距离 已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于 考点三 圆的切线长度 1、代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值； 2、几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题． 已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为. 考点四 过圆内定点的弦长 已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦. 考点五 代数法的几何意义 1、斜率型：形如，可以转化为过点和点的动直线斜率的最值问题； 2、距离型：形如，可以转化为点和点的距离的平方的最值问题； 3、截距型：形如，可以转化为动直线纵截距的最值问题。 题型一 圆上的点到定点的距离最值 【典例1】（26-27高二上·湖南邵阳·阶段检测）圆C：上的点到坐标原点O的最小距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆C：，即， 圆心为，半径为， ， ，所以点在圆内， 圆C上的点到坐标原点O的最小距离为. 【变式1-1】（25-26高二上·云南保山·期末）已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】圆的标准方程为， 则圆心为，半径， 又圆心到点A的距离，所以点A在圆外， 则的最大值为，的最小值为， 则的取值范围为 【变式1-2】（26-27高二上·重庆渝中·阶段检测）已知在平面直角坐标系 中， ，动点 满足 ，则 的最小值为（    ） A．9 B．10 C． D．12 【答案】B 【解析】因为，， 而，所以， 整理得，即点在以为圆心，半径的圆上， 而，所以， 而点在圆的内部，所以， 故的最小值为 【变式1-3】（26-27高二上·湖南永州·阶段检测）已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图，取点，连接， ，， ，， ， ， ，当且仅当三点共线时等号成立, 的最小值为的长， ， ，即的最小值为. 题型二 两圆上动点的距离最值 【典例2】（25-26高二上·河北石家庄·期末）若，分别是圆与圆上的点，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【解析】圆，可化为， 圆， 所以，， 所以， 所以圆与圆外离， 所以.故选：B 【变式2-1】（2026·湖北荆州·一模）已知点分别在圆上运动，点M在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【解析】如图，作圆关于直线对称的圆， 设，则，解得，则 连接与圆相交于点,连接与圆相交于点,关于直线对称的点记为， 则（当M，，共线时取等号）， （当M，，共线时取等号）， 由于，则， 因此，当M，，共线时取等号，所以所求最小值为3. 【变式2-2】（26-27高二上·北京·阶段检测）已知圆，圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得圆的圆心，半径，， 圆的圆心，半径，， 则， 当且仅当在线段上、在线段上时，等号成立， 作关于轴对称点， 则， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 故的最小值为. 【变式2-3】（25-26高二上·北京平谷·期末）已知直线：与圆：相交于、两点，则弦长最短时直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆：，配方得. 圆心，半径. 直线：，整理为，故直线恒过点. 经验证，点在圆内，当直线时，弦长最短. 又，所以. 此时直线的方程为，即.故选：B. 题型三 圆上的点到直线的距离最值 【典例3】（26-27高二上·北京东城·阶段检测）已知直线和圆，点在直线上，点在圆上，则最小值为（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【解析】圆心到直线的距离为：， 所以直线上的点与圆上的点的距离的最小值为： . 【变式3-1】（25-26高二上·河南郑州·期中）已知圆和直线，若点在圆上，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由圆得圆心，直线的方程， 可化为，联立，解得， 所以直线经过定点，且，所以在圆C的外部， 当时，圆心到直线的最大距离为， 因为点在圆上，则点到直线的距离的最大值为，故选：C. 【变式3-2】（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【解析】该圆的圆心为，半径为3， 圆心到直线的距离为， 所以该圆上任意一点到该直线距离的最大值为2+3=5. 【变式3-3】（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【解析】圆的方程为，圆心，半径， 原点关于直线的对称点为，设， 则：，解得，所以， 由对称性，， 所以， 当为线与直线的交点时取等号， 所以问题转化为求圆上的动点到定点距离的最小值， 因为圆心到的距离为， 所以圆上点到 的最小距离为． 所以的最小值为． 题型四 圆的切线长度最值问题 【典例4】（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）若，圆，则过作圆的切线，切点为，则的最小值为_________. 【答案】 【解析】圆：，圆心，半径， 是切线，为切点，由切线性质：，为直角三角形， 由勾股定理：，其中， 所以 要最小，即最小，故当时，， 所以，的最小值为. 【变式4-1】（26-27高二上·江西·阶段检测）过圆：上的点作圆：的切线，切点为，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆：的圆心为，半径， 圆：的圆心为，半径， 则， 又 因为的最大值为，所以最大值为. 【变式4-2】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则的最大值为______. 【答案】 【解析】由题意，得圆C：的圆心到直线l：的距离 ， 所以l与圆C相离，如图，可知当取得最大值时，取最小值， 的最小值为点C到l的距离，即， 此时，所以，故的最大值为. 【变式4-3】（26-27高二上·山东菏泽·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知圆，点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为_____________. 【答案】8 【解析】由题意，得圆的半径为4，， 所以， 四边形的面积， 所以当取得最小值时，四边形的面积取得最小值，此时也取得最小值， 由题意可知，的最小值是圆心到直线的距离， 因为，所以的最小值为2，四边形面积的最小值为8. 题型五 过圆内定点的弦长最值 【典例5】（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知直线过点，则被圆截得的弦长最小值为_________． 【答案】 【解析】由圆的方程可知，圆心，半径. ∵ ，∴ 点在圆内部. ∵ 过圆内一点的弦中，当直线与点和圆心的连线垂直时，圆心到直线的距离最大，此时弦长最小， ∴ 此时圆心到直线的最大距离， ∴ 最短弦长为. 【变式5-1】（26-27高二上·福建三明·阶段检测）已知直线，，圆:,则直线被圆截得的最短弦的长度为________． 【答案】 【解析】由，令，得， 所以直线恒过定点， 圆的圆心，半径， 由，可得点在圆内部，即直线与圆始终相交， 因直线被圆截得的弦长公式为，为圆心到直线的距离， 当取最大值时，弦长最短，则当时， ， 此时最短弦的长度为. 【变式5-2】（25-26高二下·湖北·期中）已知圆，直线，则直线被圆截得的最短弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径． 将直线的方程整理为关于的式子：． 令，解得，即直线恒过定点． 由于恒过定点，故当时，直线被圆截得的弦最短． 计算． 最短弦长 【变式5-3】（26-27高三上·河南许昌·阶段检测）已知圆，过点作直线与圆相交于点、．当最小时，的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由平面内两点间的距离公式可得， 设点到直线的距离为，则， 当且仅当时，即当为的中点时，等号成立， 故的最大值为，此时取最小值，且最小值为， 此时的面积为. 题型六 利用代数式几何意义求最值 【典例6】（25-26高二上·江苏泰州·期中）如果实数、满足，那么的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得可得，解得， 由可得，故的最大值为.故选：D. 【变式6-1】（25-26高二上·江苏南通·期中）若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知表示圆心为坐标原点，半径为2的圆， 设，即，为该直线在纵轴上的截距， 当直线与圆相切时，截距可取到最值， 此时原点到直线的距离为， 所以的最大值为.故选：B 【变式6-2】（25-26高二上·甘肃定西·期中）若实数满足等式，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，即， 又表示以为圆心，半径的圆， 依题意可得，解得，所以的最大值为.故选：D 【变式6-3】（26-27高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）（多选）已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是9 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】ABC 【解析】由，可得, 即曲线为圆心为，半径为2的圆. 对于A，几何意义为曲线到原点距离平方最大值， 所以当时，曲线到原点距离平方最大，最大值为9，A正确. 对于B，几何意义为曲线上的点与连线的斜率的最大值， 如下图所示，当过的直线与圆相切时，斜率有最大值， 设直线方程为， 则，即，解得或， 由图可知，的最大值是. 对于C，几何意义为曲线上与直线有交点时，直线截距的最大值， 如图，当直线与圆相切时，直线截距有最大值. 此时有，解得或（舍去）， 所以的最大值是，C正确. 对于D，设， 则可化为 因为，所以， 故的最小值是，D错误. 基础固本练（限时：15分钟） 1．（24-25高二下·贵州遵义·期中）已知点满足，点，则的最大值为（    ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【解析】 因为，变形得， 所以轨迹是以为圆心，以为半径的圆的上半部分，如图所示， 则当与点重合时线段长度最大， 可知当与点重合时，, 在中根据勾股定理可知.故选：C. 2．（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）已知点，直线：，当，在变化时，点到直线的距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为，即， 所以的轨迹是圆心在原点，半径为1的圆， 直线过定点，如图所示： 过作，垂足为，则 所以点到直线的距离的最大值为， 当与重合，即时，直线，等号成立. 所以点到直线的距离的最大值为3.故选：C. 3．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知直线与圆相交于两点，则当取最小值时，（    ） A．1 B．-1 C． D．2 【答案】B 【解析】直线化简为，即直线恒过定点. 当时，取得最小值. ，则直线的斜率为，解得.故选：B 4．（26-27高三上·黑龙江辽宁·开学考试）已知直线，圆，P，Q分别为直线l与圆O上的动点，则的最小值为__________． 【答案】1 【解析】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此直线与圆相离，所以的最小值为. 5．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知圆：，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为______. 【答案】2 【解析】因为点在直线上，过点作圆的一条切线，切点为，则， 所以在中，， 要使最小，只需最小，因为点在直线上，圆心， 则的最小值即为点到直线的距离， 即，， 6．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知圆，直线，直线被圆截得最短弦长是_____________. 【答案】 【解析】由直线，得， 联立，解得，故直线过定点 ， 由圆，知圆心，半径, 因为， 所以点在圆 的内部， 故直线被圆截得的弦长最短时，垂直于直线， 此时弦长为. 7．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知两点分别在圆和圆上，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】因为，， 所以， 所以圆与圆外离， 所以. 8．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知实数 满足 ，则 的最大值为_____ 【答案】 【解析】设，其几何意义为圆上的动点与定点连线的斜率，当直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小值， 整理得直线的方程为， 已知该圆的圆心为，半径，当直线为圆的切线时，圆心到直线的距离等于半径， 即 ，得， 得 ，化简得，解得或， 因此的最大值为，即的最大值为. 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设关于直线的对称点， 则，解得，所以，由对称可知，， 所以， 由圆的性质可知，圆心，， 所以， 当且仅当四点共线时，等号成立，如图所示. 2．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知点，圆：，点在圆上运动，点满足，动点在圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，，则，， 因为，所以，即， 因为点在圆上运动，所以，即， 整理得，即点的轨迹为以为圆心，半径的圆. 动点在圆上，该圆的圆心为，半径. 因为，所以两圆相离， 所以的最小值为两圆圆心距减去两圆半径之和， 即.故选：A. 3．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知点分别为轴上的两个动点，且满足，点为线段的中点，已知，，则的最小值为_________ 【答案】 【解析】由分别为轴上的两个动点，且满足，点为线段的中点， 可得：点的轨迹为圆， 设存在点对于圆上任意一点都满足，， 则点到点的距离为点到点的距离的两倍， 点到点的距离为点到点的距离的两倍，， 对圆上的点任意一点， 都有相似三角形关系（两边成比例，共角）， 因此 则圆上的点满足: ， 所以， 因为， 所以. 4．（25-26高二上·四川成都·期中）已知圆O：，直线l：，点，点P在圆O上运动，点Q满足（O为坐标原点），则点Q到直线l距离的最大值为_________. 【答案】/8.8 【解析】设，由有， 所以，又点在圆上，所以， 即，所以点轨迹是以为半径，圆心为的圆， 由圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最大值为：. 5．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）已知点为直线上的动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为______. 【答案】 【解析】因点为直线上，所以设，而和均为直角三角形， 所以四点在一个圆上，圆心为的中点，直径为， 所以方程为，即， 与相减得直线的方程：，， 令，得，所以直线过定点. 根据平面几何知识，当时点到直线的距离最大， . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $