第28章 反比例函数 学案（定义 · 图像 · 性质 · 六类模型）2026--2027学年人教版九年级数学上册

反比例函数 定义 · 图像 · 性质 · 六类模型 · 六道精讲 · 四十二道练习 01 学习目标 1．能说出反比例函数的三种等价形式、、，并交代、。 2．会用待定系数法由图像上一个点求，并写出解析式；会把“ 与 成反比例”翻译成。 3．能由 的符号判断图像所在象限，按“列表—描点—连线”画出双曲线的草图。 4．能默写、 两种情况的增减性，并说清“在每一个象限内”这一限制。 5．能用 求矩形面积、用 求三角形面积，并由面积反求（两解都写）。 6．会比较同支、异支上两点的函数值大小，会求与一次函数的交点并用图像法写不等式解集。 7．能建立行程、工程、气压、杠杆等实际模型，并写出自变量取值范围。 02 重点 · 难点 本节重点 本节难点 ·定义与三种等价形式， 的限制 ·待定系数法：一个点定 ·图像：两支双曲线，象限由 定 ·增减性（必须加“在每个象限内”） · 的几何意义： 与 ·与一次函数的交点、图像法比大小 ·增减性漏掉“同一象限”，判断直接出错 ·异支上两点比大小不会先分正负 ·面积模型忘记取绝对值（ 时） ·“ 与 成反比例”设错解析式 ·不等式解集漏分段、漏写 ·实际背景忽略，只画一支 03 知识结构图 ① 概念与解析式 三种形式，一个点定 k 反比例函数 六 类 模 型 ④ 面积模型 矩形 |k|，三角形取 |k| 的一半 ② 图像与象限 看 k 的符号，定两支位置 ⑤ 一次函数综合 联立求交点，图像读解集 ③ 增减与对称 同支看增减，异支看正负 ⑥ 实际建模 乘积一定，写清范围 看图口诀：先看 定象限，再看同支谈增减；面积一律带绝对值，交点对称于原点。 04 知识清单 三种等价形式 形式 表达式 主要用途 分式 （） 判断是否反比例函数、设解析式 乘积 （） 由一点求，推导面积结论 幂式 （） 与负指数运算衔接 三条约定 ·自变量取值范围，函数值范围。 · 是定义的一部分， 不是反比例函数。 ·判断只看“能否化成（）”，与字母叫什么无关。 图像与性质 ·图像位于第一、三象限 ·在每个象限内， 随 的增大而减小 ·两支分别“左上—右下”“右下—左上”包住原点 ·典型点：、 ·图像位于第二、四象限 ·在每个象限内， 随 的增大而增大 ·两支分别“右上—左下”“左下—右上”包住原点 ·典型点：、 公共性质 ·图像是双曲线，两支互不连接，不能连成一条线。 ·关于原点成中心对称：若 在图像上，则 也在。 ·（拓展）关于直线、 成轴对称：若 在图像上，则 也在。 ·无限接近坐标轴，但与坐标轴没有交点。 · 越大，双曲线离原点越远； 越小，越贴近坐标轴。 的几何意义 过图像上任意一点 向两坐标轴作垂线，围成的矩形面积为，与原点连成的三角形面积为，都与 的位置无关。 画图三步 ①列表：在 两侧取对称的 个 值，算出对应；②描点：按 描出；③连线：两支分别用平滑曲线连接，不能连成一条，也不能与坐标轴相交。 易错提醒 ·漏写，或把 当反比例函数。 ·增减性不加“在每一个象限内”，直接说“ 随 增大而减小”。 ·面积写成 而不是， 时算出负面积。 ·“ 与 成反比例”设成，正确是。 ·认为双曲线过原点，或与坐标轴有交点。 ·把 越大理解成图像越靠近原点（实际是越远）。 类型一 概念辨析与解析式 模型特征 题干出现“是反比例函数”“ 与 成反比例”“ 与 成反比例”，或给出图像上一个点让求解析式。前者考“化成标准形式”，后者考“一个点定”。 通法三步 ①化形：把式子化成（）的样子；②代点：由 求比例系数；③写式：写出解析式并注明。 口诀：一个点定， 就是横纵坐标之积。 核心结论 “ 与 成反比例”写作；“ 与 成反比例”写作，都是整体代换。 易错提醒 ·漏掉：形如 不是反比例函数。 ·把、 误判为反比例函数。 ·“成反比例”的对象是整体，不是单个字母。 ·代入点求 时算成，正确是。 例题精讲 例 已知， 与 成正比例， 与 成反比例。当 时；当 时。求 关于 的解析式。 例题精练 1．下列函数中， 是 的反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 2．若 与 成反比例，且当 时，则 关于 的解析式是（ ） A． B． C． D． 3．若函数 是反比例函数，则 的值为（ ） A．1 B．0 C． D． 4．已知 与 成反比例，且当 时，则 关于 的解析式是（ ） A． B． C． D． 5．已知反比例函数的图像经过点，则下列点也在图像上的是（ ） A． B． C． D． 6．已知 与 成反比例，当 时，则当 时 的值为（ ） A． B． C． D． 7．反比例函数 的图像经过点 与，则 的值为（ ） A． B． C． D． 本类小结 七道题都在做同一件事：先把式子化成 的样子并检查，再由 写解析式。第 3 题考系数与指数两个条件，第 4 题考整体代换。 类型二 图像与性质 模型特征 题干问“图像位于哪些象限”“下列说法正确的是”“求 的取值范围”，或给图像让判断 的符号。本质只有一句： 的符号决定象限与增减。 通法三步 ①定符号：看（或含 的式子）的正负；②定象限： 一、三， 二、四；③谈增减：只在“每一个象限内”成立。 口诀：先看 定象限，再按象限谈增减。 核心结论 ：第一、三象限，每支递减；：第二、四象限，每支递增 图像关于原点中心对称，与坐标轴无交点； 越大越远离原点。 易错提醒 ·“在每个象限内”不能省，跨支说增减必错。 · 的符号与象限记反： 是第二、四象限。 ·形如 时，判的是 的符号，不是。 ·认为图像过原点，或与坐标轴有交点。 例题精讲 例 如图，反比例函数 的图像两支分别在第二、四象限。（1）求 的取值范围；（2）当 时， 随 的增大怎样变化？ 例题精练 1．反比例函数 的图像位于（ ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 2．关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A．图像经过点 B．图像位于第一、三象限 C．当 时， 随 的增大而增大 D．图像与 轴有交点 3．若反比例函数 的图像经过点，则当 时， 随 的增大而（ ） A．增大 B．减小 C．不变 D．先增大后减小 4．若反比例函数 的图像位于第二、四象限，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．关于反比例函数（）的图像，下列说法错误的是（ ） A．图像关于原点对称 B．图像与坐标轴没有交点 C．当 时，两支分别在第一、三象限 D．当 时，在每个象限内 随 的增大而减小 6．反比例函数 的图像经过点，则下列说法正确的是（ ） A．图像位于第一、三象限 B．在每个象限内 随 的增大而减小 C．图像位于第二、四象限 D．当 时 7．若反比例函数 的图像位于第二、四象限，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 本类小结 七道题都走同一条路：先定（或含 的式子）的符号，再定象限，最后才谈增减。第 5 题是标准“找错题”，错点永远在“每个象限内”这五个字上。 类型三 比较函数值大小 模型特征 题干给出同一条双曲线上的三个点，问、、 的大小关系；或给 这类条件。考的是“先分正负，再比同支”。 通法三步 ①定符号：看 的正负；②分两支：把点按所在象限分组；③同支比：同支用增减性，异支直接按正负。 口诀：跨支先比正负，同支再比大小。 核心结论 ：第一象限，第三象限；：第二象限，第四象限 同一支上， 递减、 递增；所以异支比较时，正值一定大于负值。 易错提醒 ·直接按 的大小排序，忘了跨支要先分正负。 ·把“ 越大 越大”当成整条双曲线的规律。 ·两点横坐标互为相反数时，误以为纵坐标相等（实际是互为相反数）。 ·代入特殊值验证是好习惯，但别只代一个点就下结论。 例题精讲 例 如图，点、、 都在 的图像上，比较、、 的大小。 例题精练 1．若点、、 都在反比例函数 的图像上，则（ ） A． B． C． D． 2．若点、、 在反比例函数 的图像上，则（ ） A． B． C． D． 3．已知反比例函数，当 时， 随 的增大而减小。若点、 在图像上，且，则（ ） A． B． C． D．无法确定 4．若点、、 在反比例函数（）的图像上，则（ ） A． B． C． D． 5．已知点、 在反比例函数 的图像上，且，则（ ） A． B． C． D．无法确定 6．若点、、 都在反比例函数 的图像上，则（ ） A． B． C． D． 7．若点、 在 的图像上，且，则（ ） A． B． C． D．无法确定 本类小结 七道题共用一个流程：定符号、分两支、同支比。第 3 题由增减性反推 的符号，第 5 题由 的范围锁定象限，都是同一模型的变式。 类型四 的几何意义与面积 模型特征 题干出现“过点作坐标轴的垂线”“求矩形面积”“求三角形面积”，或反过来“已知面积为，求”。核心只有一句：面积只认。 通法三步 ①设点：设图像上一点；②用等式：由；③写面积：矩形取，三角形取。 口诀：矩形，三角一半；反求，两解都算。 核心结论 矩形；三角形 面积与点的位置无关；已知面积 反求 时，矩形对应，三角形对应，都要带。 易错提醒 ·忘记绝对值， 时算出负面积。 ·把矩形面积写成，或把三角形写成。 ·由面积反求 只写一个解，丢掉。 ·把“两点各自与原点围成的三角形面积”当成与 距离有关。 例题精讲 例 如图，点 是（）图像上一点， 轴于， 为原点，若 的面积为，求。 例题精练 1．点 在 的图像上，过 分别作 轴、 轴的垂线，垂足为、， 为原点，则矩形 的面积为（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．点 在 的图像上，过 作 轴的垂线，垂足为， 为原点，则 的面积为（ ） A．3 B．6 C．12 D．1.5 3．若反比例函数 的图像上一点 与两坐标轴围成的矩形面积为，则 的值为（ ） A．6 B． C． D． 4．点、 都在 的图像上，过、 分别作 轴的垂线，垂足为、，则 与 的面积之比为（ ） A． B． C． D． 5．反比例函数 的图像经过点，过 分别作 轴、 轴的垂线，垂足为、，则四边形 的面积为（ ） A．3 B．12 C．6 D．24 6．若反比例函数的图像位于第二、四象限，且其上一点与两坐标轴围成的三角形面积为，则 的值为（ ） A． B． C． D． 7．若点 在（）的图像上，且 到 轴、 轴的距离分别为 和，则 的值为（ ） A． B． C． D． 本类小结 七道题只考两件事：面积等于 或，以及由面积反求 时的。第 4 题提醒：面积与点的位置无关。 类型五 与一次函数的综合 模型特征 题干出现“双曲线与直线交于、”“求交点坐标”“求 的面积”“求不等式 的解集”。交点坐标是全部问题的钥匙。 通法三步 ①联立：把两个解析式写成同一个方程；②求交：解方程得横坐标，再代回求纵坐标；③用图：不等式看上下位置，面积用。 口诀：先求交点，再读图像。 核心结论 过原点的正比例函数与双曲线的两个交点关于原点对称；不等式解集要按、 两支分段，并剔除。 易错提醒 ·不等式解集不分段，直接把两交点之间整段写进去。 ·解集里漏掉，或把 写进区间。 ·面积算成，漏掉。 ·忘记交点关于原点对称，多做一遍联立。 例题精讲 例 如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于、 两点。（1）求、、；（2）求 的面积；（3）直接写出不等式 的解集。 例题精练 1．直线 与双曲线 的交点坐标为（ ） A． B．、 C．、 D．、 2．一次函数 与反比例函数 的图像交点个数为（ ） A．2 B．1 C．0 D．3 3．已知直线 与双曲线 交于、 两点， 为原点，则 的面积为（ ） A．1 B．3 C．1.5 D．6 4．若直线 与双曲线 只有一个公共点，则 的值为（ ） A． B．4 C．8 D． 5．反比例函数 与直线 交于、，则不等式 的解集是（ ） A． 或 B． 或 C． 或 D． 6．正比例函数 的图像与反比例函数 的图像交于、 两点，则点 的坐标为（ ） A． B． C． D． 7．若直线 与双曲线 只有一个公共点，则 的值为（ ） A． B． C． D． 本类小结 七道题都从“求交点”开始：第 1、4 题只用联立，第 3 题用面积公式，第 5 题转成图像读解集。交点对称性与分段讨论是两条保命线。 类型六 实际应用建模 模型特征 题干出现行程、工程、气压、杠杆、电学、矩形面积等背景，并给出“两个量的乘积一定”。解题第一步永远是找出这个不变量。 通法三步 ①找不变量：确认两量之积为常数；②设式求：写成，代一组数据求；③写范围作答：实际背景多为，图像只取第一象限一支。 口诀：乘积一定，反比成形；范围不写，答案不全。 核心结论 常见模型：（路程一定）、工作效率为总量除以时间、（压力一定）、 为定值、（电压一定）、矩形面积（面积一定）。 易错提醒 ·忽略，把第三象限那一支也画进实际图像。 ·把反比例关系误设成正比例。 ·单位不统一就直接代数据求。 ·只写解析式，不回答题目所问的具体数值或范围。 例题精讲 例 某气球内气体的气压（kPa）是体积（m³）的反比例函数，当 时。（1）求 关于 的解析式；（2）当 时求；（3）若 不超过 kPa，求 的取值范围。 例题精练 1．已知矩形的面积为，长 与宽（）之间的函数关系式是（ ） A． B． C． D． 2．已知电源电压 V 保持不变，电流 与电阻 满足。当Ω 时，（ ） A．0.5 A B．18 A C．2 A D．3 A 3．温度不变时，气球内气体的气压（kPa）是体积（m³）的反比例函数，图像经过点，则 关于 的函数关系式是（ ） A． B． C． D． 4．甲、乙两地相距 120 km，汽车行驶时间（h）与速度（km/h）满足。若要求 不超过 3 h，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．某工程队修一条 800 m 的路，每天修 m，需 天，则 与 的函数关系及自变量取值范围是（ ） A．（） B．（） C．（） D．（） 6．已知 与 成反比例，当 时，则当 时 的值为（ ） A． B． C． D． 7．某工厂要加工 1200 个零件，每天加工 个，需 天完成。若要求 10 天内完成，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 本类小结 七道题都在写“乘积一定”的等式：面积、电压、气压、路程、工程量。答案的最后一步永远是取值范围，第 4 题还要求解一个不等式。 05 方法对照总表 类型 识别关键词 一句话做法 一 概念与解析式 “是反比例函数”、成反比例、给一个点 化成，一个点定 二 图像与性质 问象限、问增减、判断说法正误 先定 的符号，再定象限 三 比较大小 几个点比较、、 同支看增减，异支看正负 四 面积模型 作垂线、矩形或三角形面积 矩形，三角形 五 一次函数综合 交点、不等式、三角形面积 联立求交点，图像读解集 六 实际建模 行程、工程、气压、杠杆 乘积一定，写解析式与范围 最后三句话 一、反比例函数的结论只有两个源头：定义式（）与双曲线的对称性。想不起来的结论，都能从这两处推出。 二、动笔前先问三句： 的符号是什么？两个点在同一支吗？面积要不要取绝对值？三问答完，公式自然对。 三、图像性质靠草图记，面积结论靠验算保：画一张草图、代一个点、算一次面积，比背十条结论更可靠。 学科网（北京）股份有限公司 $ 反比例函数 01 学习目标 1．能说出反比例函数的三种等价形式、、，并交代、。 2．会用待定系数法由图像上一个点求，并写出解析式；会把“ 与 成反比例”翻译成。 3．能由 的符号判断图像所在象限，按“列表—描点—连线”画出双曲线的草图。 4．能默写、 两种情况的增减性，并说清“在每一个象限内”这一限制。 5．能用 求矩形面积、用 求三角形面积，并由面积反求（两解都写）。 6．会比较同支、异支上两点的函数值大小，会求与一次函数的交点并用图像法写不等式解集。 7．能建立行程、工程、气压、杠杆等实际模型，并写出自变量取值范围。 02 重点 · 难点 本节重点 本节难点 ·定义与三种等价形式， 的限制 ·待定系数法：一个点定 ·图像：两支双曲线，象限由 定 ·增减性（必须加“在每个象限内”） · 的几何意义： 与 ·与一次函数的交点、图像法比大小 ·增减性漏掉“同一象限”，判断直接出错 ·异支上两点比大小不会先分正负 ·面积模型忘记取绝对值（ 时） ·“ 与 成反比例”设错解析式 ·不等式解集漏分段、漏写 ·实际背景忽略，只画一支 03 知识结构图 ① 概念与解析式 三种形式，一个点定 k 反比例函数 六 类 模 型 ④ 面积模型 矩形 |k|，三角形取 |k| 的一半 ② 图像与象限 看 k 的符号，定两支位置 ⑤ 一次函数综合 联立求交点，图像读解集 ③ 增减与对称 同支看增减，异支看正负 ⑥ 实际建模 乘积一定，写清范围 看图口诀：先看 定象限，再看同支谈增减；面积一律带绝对值，交点对称于原点。 04 知识清单 三种等价形式 形式 表达式 主要用途 分式 （） 判断是否反比例函数、设解析式 乘积 （） 由一点求，推导面积结论 幂式 （） 与负指数运算衔接 三条约定 ·自变量取值范围，函数值范围。 · 是定义的一部分， 不是反比例函数。 ·判断只看“能否化成（）”，与字母叫什么无关。 图像与性质 ·图像位于第一、三象限 ·在每个象限内， 随 的增大而减小 ·两支分别“左上—右下”“右下—左上”包住原点 ·典型点：、 ·图像位于第二、四象限 ·在每个象限内， 随 的增大而增大 ·两支分别“右上—左下”“左下—右上”包住原点 ·典型点：、 公共性质 ·图像是双曲线，两支互不连接，不能连成一条线。 ·关于原点成中心对称：若 在图像上，则 也在。 ·（拓展）关于直线、 成轴对称：若 在图像上，则 也在。 ·无限接近坐标轴，但与坐标轴没有交点。 · 越大，双曲线离原点越远； 越小，越贴近坐标轴。 的几何意义 过图像上任意一点 向两坐标轴作垂线，围成的矩形面积为，与原点连成的三角形面积为，都与 的位置无关。 画图三步 ①列表：在 两侧取对称的 个 值，算出对应；②描点：按 描出；③连线：两支分别用平滑曲线连接，不能连成一条，也不能与坐标轴相交。 易错提醒 ·漏写，或把 当反比例函数。 ·增减性不加“在每一个象限内”，直接说“ 随 增大而减小”。 ·面积写成 而不是， 时算出负面积。 ·“ 与 成反比例”设成，正确是。 ·认为双曲线过原点，或与坐标轴有交点。 ·把 越大理解成图像越靠近原点（实际是越远）。 类型一 概念辨析与解析式 模型特征 题干出现“是反比例函数”“ 与 成反比例”“ 与 成反比例”，或给出图像上一个点让求解析式。前者考“化成标准形式”，后者考“一个点定”。 通法三步 ①化形：把式子化成（）的样子；②代点：由 求比例系数；③写式：写出解析式并注明。 口诀：一个点定， 就是横纵坐标之积。 核心结论 “ 与 成反比例”写作；“ 与 成反比例”写作，都是整体代换。 易错提醒 ·漏掉：形如 不是反比例函数。 ·把、 误判为反比例函数。 ·“成反比例”的对象是整体，不是单个字母。 ·代入点求 时算成，正确是。 例题精讲 例 已知， 与 成正比例， 与 成反比例。当 时；当 时。求 关于 的解析式。 解析设，，则。代入两组值得，，解得、，故（）。两个待定系数，必须两组值。 例题精练 1．下列函数中， 是 的反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 答案 A 。B 是正比例函数；C 多了常数项，不能化成 的形式；D 也是正比例函数。只有 A 符合（）。 2．若 与 成反比例，且当 时，则 关于 的解析式是（ ） A． B． C． D． 答案 B 。设，代入 得，故。一个点定，。 3．若函数 是反比例函数，则 的值为（ ） A．1 B．0 C． D． 答案 C 。反比例函数要求 的指数为 且系数不为：由 得，又，所以。指数条件与系数条件缺一不可。 4．已知 与 成反比例，且当 时，则 关于 的解析式是（ ） A． B． C． D． 答案 C 。设，代入、 得，故。整体代换：把 当成一个整体。 5．已知反比例函数的图像经过点，则下列点也在图像上的是（ ） A． B． C． D． 答案 D 。由，图像上的点都满足。逐项验算，只有 满足，其余三项的积都是。 6．已知 与 成反比例，当 时，则当 时 的值为（ ） A． B． C． D． 答案 C。 由 得，令，得。把 代入解析式求，不要用 求 的公式硬套。 7．反比例函数 的图像经过点 与，则 的值为（ ） A． B． C． D． 答案 D。 由，图像上任意一点的坐标之积都是。把 代入得，故。用“坐标之积恒为”最快。 本类小结 七道题都在做同一件事：先把式子化成 的样子并检查，再由 写解析式。第 3 题考系数与指数两个条件，第 4 题考整体代换。 类型二 图像与性质 模型特征 题干问“图像位于哪些象限”“下列说法正确的是”“求 的取值范围”，或给图像让判断 的符号。本质只有一句： 的符号决定象限与增减。 通法三步 ①定符号：看（或含 的式子）的正负；②定象限： 一、三， 二、四；③谈增减：只在“每一个象限内”成立。 口诀：先看 定象限，再按象限谈增减。 核心结论 ：第一、三象限，每支递减；：第二、四象限，每支递增 图像关于原点中心对称，与坐标轴无交点； 越大越远离原点。 易错提醒 ·“在每个象限内”不能省，跨支说增减必错。 · 的符号与象限记反： 是第二、四象限。 ·形如 时，判的是 的符号，不是。 ·认为图像过原点，或与坐标轴有交点。 例题精讲 例 如图，反比例函数 的图像两支分别在第二、四象限。（1）求 的取值范围；（2）当 时， 随 的增大怎样变化？ 解析（1）图像在第二、四象限，说明比例系数为负：，解得。（2），在每一支上 随 的增大而增大，故当 时 随 的增大而增大。先定分子整体的符号，再谈增减。 例题精练 1．反比例函数 的图像位于（ ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 答案 B 。，两支分别在第一、三象限。 2．关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A．图像经过点 B．图像位于第一、三象限 C．当 时， 随 的增大而增大 D．图像与 轴有交点 答案 C 。：图像在第二、四象限，过点，与 轴无交点； 时对应第四象限那一支，该支上 随 增大而增大。 3．若反比例函数 的图像经过点，则当 时， 随 的增大而（ ） A．增大 B．减小 C．不变 D．先增大后减小 答案 A 。由， 时图像在第四象限，每一支上 随 增大而增大。 4．若反比例函数 的图像位于第二、四象限，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案 C 。图像在第二、四象限，说明比例系数为负：，解得。判的是整个分子。 5．关于反比例函数（）的图像，下列说法错误的是（ ） A．图像关于原点对称 B．图像与坐标轴没有交点 C．当 时，两支分别在第一、三象限 D．当 时，在每个象限内 随 的增大而减小 答案 D 。 时，在每一个象限内 随 的增大而增大，D 说反了；A、B、C 均正确。 6．反比例函数 的图像经过点，则下列说法正确的是（ ） A．图像位于第一、三象限 B．在每个象限内 随 的增大而减小 C．图像位于第二、四象限 D．当 时 答案 C。 ，图像在第二、四象限，C 正确；A 错； 时每个象限内 随 增大而增大，B 错； 时，D 错。 7．若反比例函数 的图像位于第二、四象限，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案 A。 由图像在第二、四象限得分子为负：，解得。判的是，不是。 本类小结 七道题都走同一条路：先定（或含 的式子）的符号，再定象限，最后才谈增减。第 5 题是标准“找错题”，错点永远在“每个象限内”这五个字上。 类型三 比较函数值大小 模型特征 题干给出同一条双曲线上的三个点，问、、 的大小关系；或给 这类条件。考的是“先分正负，再比同支”。 通法三步 ①定符号：看 的正负；②分两支：把点按所在象限分组；③同支比：同支用增减性，异支直接按正负。 口诀：跨支先比正负，同支再比大小。 核心结论 ：第一象限，第三象限；：第二象限，第四象限 同一支上， 递减、 递增；所以异支比较时，正值一定大于负值。 易错提醒 ·直接按 的大小排序，忘了跨支要先分正负。 ·把“ 越大 越大”当成整条双曲线的规律。 ·两点横坐标互为相反数时，误以为纵坐标相等（实际是互为相反数）。 ·代入特殊值验证是好习惯，但别只代一个点就下结论。 例题精讲 例 如图，点、、 都在 的图像上，比较、、 的大小。 解析。 在第三象限，故；、 在第一象限，该支递减且、，故。所以。先分两支定正负，再在同一支内比大小。 例题精练 1．若点、、 都在反比例函数 的图像上，则（ ） A． B． C． D． 答案 B 。。、 在第三象限，且，同支递减得； 在第一象限，。故。 2．若点、、 在反比例函数 的图像上，则（ ） A． B． C． D． 答案 D 。。、 在第四象限，同支递增得； 在第二象限，。故。 3．已知反比例函数，当 时， 随 的增大而减小。若点、 在图像上，且，则（ ） A． B． C． D．无法确定 答案 A 。由“ 时 随 增大而减小”得。 时两点在同一支（第三象限），该支递减，故。 4．若点、、 在反比例函数（）的图像上，则（ ） A． B． C． D． 答案 C 。 时第二象限 且同支递增，故； 在第四象限，。所以。先分正负，再比同支。 5．已知点、 在反比例函数 的图像上，且，则（ ） A． B． C． D．无法确定 答案 B 。 时两点都在第四象限， 时该支上 随 增大而增大；又，故。 6．若点、、 都在反比例函数 的图像上，则（ ） A． B． C． D． 答案 B。 代入得、、。、 在第四象限且 时该支递增，故。 7．若点、 在 的图像上，且，则（ ） A． B． C． D．无法确定 答案 A。 。 时 在第三象限，； 时 在第一象限，。故。两点不在同一支上，直接比正负。 本类小结 七道题共用一个流程：定符号、分两支、同支比。第 3 题由增减性反推 的符号，第 5 题由 的范围锁定象限，都是同一模型的变式。 类型四 的几何意义与面积 模型特征 题干出现“过点作坐标轴的垂线”“求矩形面积”“求三角形面积”，或反过来“已知面积为，求”。核心只有一句：面积只认。 通法三步 ①设点：设图像上一点；②用等式：由；③写面积：矩形取，三角形取。 口诀：矩形，三角一半；反求，两解都算。 核心结论 矩形；三角形 面积与点的位置无关；已知面积 反求 时，矩形对应，三角形对应，都要带。 易错提醒 ·忘记绝对值， 时算出负面积。 ·把矩形面积写成，或把三角形写成。 ·由面积反求 只写一个解，丢掉。 ·把“两点各自与原点围成的三角形面积”当成与 距离有关。 例题精讲 例 如图，点 是（）图像上一点， 轴于， 为原点，若 的面积为，求。 解析由 得。又 时图像在第一象限，，故。先取绝对值求，再由象限定符号。 例题精练 1．点 在 的图像上，过 分别作 轴、 轴的垂线，垂足为、， 为原点，则矩形 的面积为（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 答案 B 。设，则，矩形面积。 2．点 在 的图像上，过 作 轴的垂线，垂足为， 为原点，则 的面积为（ ） A．3 B．6 C．12 D．1.5 答案 A 。。 为负，面积必须取绝对值。 3．若反比例函数 的图像上一点 与两坐标轴围成的矩形面积为，则 的值为（ ） A．6 B． C． D． 答案 C 。矩形面积，所以。由面积反求 必有两解，图像可能在第一、三象限，也可能在第二、四象限。 4．点、 都在 的图像上，过、 分别作 轴的垂线，垂足为、，则 与 的面积之比为（ ） A． B． C． D． 答案 A 。两个三角形的面积都是，与点在哪一支、离原点多远都无关，故比为。 5．反比例函数 的图像经过点，过 分别作 轴、 轴的垂线，垂足为、，则四边形 的面积为（ ） A．3 B．12 C．6 D．24 答案 C 。先定，四边形 是矩形，面积。先求 再算面积，比逐边求长更快。 6．若反比例函数的图像位于第二、四象限，且其上一点与两坐标轴围成的三角形面积为，则 的值为（ ） A． B． C． D． 答案 A。 三角形面积，得；图像在第二、四象限说明，故。绝对值给范围，象限定符号。 7．若点 在（）的图像上，且 到 轴、 轴的距离分别为 和，则 的值为（ ） A． B． C． D． 答案 B。 距离给出、，故；又，所以。 本类小结 七道题只考两件事：面积等于 或，以及由面积反求 时的。第 4 题提醒：面积与点的位置无关。 类型五 与一次函数的综合 模型特征 题干出现“双曲线与直线交于、”“求交点坐标”“求 的面积”“求不等式 的解集”。交点坐标是全部问题的钥匙。 通法三步 ①联立：把两个解析式写成同一个方程；②求交：解方程得横坐标，再代回求纵坐标；③用图：不等式看上下位置，面积用。 口诀：先求交点，再读图像。 核心结论 过原点的正比例函数与双曲线的两个交点关于原点对称；不等式解集要按、 两支分段，并剔除。 易错提醒 ·不等式解集不分段，直接把两交点之间整段写进去。 ·解集里漏掉，或把 写进区间。 ·面积算成，漏掉。 ·忘记交点关于原点对称，多做一遍联立。 例题精讲 例 如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于、 两点。（1）求、、；（2）求 的面积；（3）直接写出不等式 的解集。 解析（1） 在 上，得；又在 上，得，； 在 上，得。（2）直线交 轴于，取，则。（3）双曲线位于直线上方： 或。交点定界，按两支分段。 例题精练 1．直线 与双曲线 的交点坐标为（ ） A． B．、 C．、 D．、 答案 B 。联立 得，，对应纵坐标。两交点关于原点对称，不要只写一个。 2．一次函数 与反比例函数 的图像交点个数为（ ） A．2 B．1 C．0 D．3 答案 A 。由 得，，方程有两个不等实根，故有两个交点。 3．已知直线 与双曲线 交于、 两点， 为原点，则 的面积为（ ） A．1 B．3 C．1.5 D．6 答案 C 。由 得，、，对应、。于是。 4．若直线 与双曲线 只有一个公共点，则 的值为（ ） A． B．4 C．8 D． 答案 D 。由 得，只有一个公共点即，故。 5．反比例函数 与直线 交于、，则不等式 的解集是（ ） A． 或 B． 或 C． 或 D． 答案 C 。看图像：双曲线在直线上方的部分，左支对应，右支对应。按两支分段，别忘。 6．正比例函数 的图像与反比例函数 的图像交于、 两点，则点 的坐标为（ ） A． B． C． D． 答案 A。 两交点关于原点成中心对称，故。不必再联立求解。 7．若直线 与双曲线 只有一个公共点，则 的值为（ ） A． B． C． D． 答案 B。 由 得，只有一个公共点即，故。 本类小结 七道题都从“求交点”开始：第 1、4 题只用联立，第 3 题用面积公式，第 5 题转成图像读解集。交点对称性与分段讨论是两条保命线。 类型六 实际应用建模 模型特征 题干出现行程、工程、气压、杠杆、电学、矩形面积等背景，并给出“两个量的乘积一定”。解题第一步永远是找出这个不变量。 通法三步 ①找不变量：确认两量之积为常数；②设式求：写成，代一组数据求；③写范围作答：实际背景多为，图像只取第一象限一支。 口诀：乘积一定，反比成形；范围不写，答案不全。 核心结论 常见模型：（路程一定）、工作效率为总量除以时间、（压力一定）、 为定值、（电压一定）、矩形面积（面积一定）。 易错提醒 ·忽略，把第三象限那一支也画进实际图像。 ·把反比例关系误设成正比例。 ·单位不统一就直接代数据求。 ·只写解析式，不回答题目所问的具体数值或范围。 例题精讲 例 某气球内气体的气压（kPa）是体积（m³）的反比例函数，当 时。（1）求 关于 的解析式；（2）当 时求；（3）若 不超过 kPa，求 的取值范围。 解析（1）设，代入 得，故（）。（2） 时。（3）由 且，两边乘 得，即。建模后一定回写取值范围。 例题精练 1．已知矩形的面积为，长 与宽（）之间的函数关系式是（ ） A． B． C． D． 答案 D 。面积一定，长与宽成反比例：，故。 2．已知电源电压 V 保持不变，电流 与电阻 满足。当Ω 时，（ ） A．0.5 A B．18 A C．2 A D．3 A 答案 C 。把 代入，得，即 2 A。 3．温度不变时，气球内气体的气压（kPa）是体积（m³）的反比例函数，图像经过点，则 关于 的函数关系式是（ ） A． B． C． D． 答案 D 。设，代入 得，故。 4．甲、乙两地相距 120 km，汽车行驶时间（h）与速度（km/h）满足。若要求 不超过 3 h，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案 A 。由 且，两边乘以 得，故。 5．某工程队修一条 800 m 的路，每天修 m，需 天，则 与 的函数关系及自变量取值范围是（ ） A．（） B．（） C．（） D．（） 答案 B 。每天修的米数与天数之积为，故；每天修的米数必须为正，故。 6．已知 与 成反比例，当 时，则当 时 的值为（ ） A． B． C． D． 答案 B。 由 得，令 得。 7．某工厂要加工 1200 个零件，每天加工 个，需 天完成。若要求 10 天内完成，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案 A。 由 与 得，结合 解得。 本类小结 七道题都在写“乘积一定”的等式：面积、电压、气压、路程、工程量。答案的最后一步永远是取值范围，第 4 题还要求解一个不等式。 05 方法对照总表 类型 识别关键词 一句话做法 一 概念与解析式 “是反比例函数”、成反比例、给一个点 化成，一个点定 二 图像与性质 问象限、问增减、判断说法正误 先定 的符号，再定象限 三 比较大小 几个点比较、、 同支看增减，异支看正负 四 面积模型 作垂线、矩形或三角形面积 矩形，三角形 五 一次函数综合 交点、不等式、三角形面积 联立求交点，图像读解集 六 实际建模 行程、工程、气压、杠杆 乘积一定，写解析式与范围 06 答案速查 类型 1 2 3 4 5 6 7 一 A B C C D C D 二 B C A C D C A 三 B D A C B B A 四 B A C A C A B 五 B A C D C A B 六 D C D A B B A 表中每一行的 1–7 对应本类的七道题，即全卷第 1–42 题。 最后三句话 一、反比例函数的结论只有两个源头：定义式（）与双曲线的对称性。想不起来的结论，都能从这两处推出。 二、动笔前先问三句： 的符号是什么？两个点在同一支吗？面积要不要取绝对值？三问答完，公式自然对。 三、图像性质靠草图记，面积结论靠验算保：画一张草图、代一个点、算一次面积，比背十条结论更可靠。 学科网（北京）股份有限公司 $