27.2 反比例函数的图象和性质 知识清单2026-2027 学年人教版九年级数学上册

27.2 反比例函数的图象和性质　知识清单 人教（2024）版　九年级上册　第二十七章　反比例函数 知识地图：从「式」到「图」 上一节（27.1）我们认识了反比例函数，会判断、会求解析式，研究的都是「式」。这一节换一个角度——把式子画成图，再看图读出性质。 本节的线索只有四步（图 1）：画图象 → 识图象 → 记性质 → 用性质。画图象用的是描点法；识图象要抓住「双曲线、两支」；记性质要分清 与 ；用性质主要是判断图象位置和比较函数值的大小。 图 1　本节知识地图：用描点法画出双曲线，再由图象归纳出 与 时的象限和增减性，最后用性质判断位置、比较大小 一、学习目标与重难点 1. 学习目标（学完本节，你应该能够） ① 会用描点法画出反比例函数的图象：会列表、描点、连线，知道它由两支曲线组成。 ② 知道反比例函数 （）的图象是双曲线，两支分别位于两个象限，与坐标轴不相交。 ③ 能说出并运用性质： 时图象在第一、三象限，在每个象限内 随 的增大而减小； 时图象在第二、四象限，在每个象限内 随 的增大而增大。 ④ 知道反比例函数的图象既是中心对称图形（对称中心是原点），又是轴对称图形（对称轴是直线 和 ）。 ⑤ 会用图象和性质判断图象所在象限，并在同一象限内比较函数值的大小。 2. 重点与难点 项目 内容 重点 反比例函数的图象是双曲线； 与 时图象的位置和增减性 难点 「在每个象限内」这句话的理解——离开同一象限，不能说 随 增大而减小 易混点 反比例函数的增减性（只在同一象限内成立）与正比例函数（y = kx）的增减性（在整个自变量取值范围上成立）的区别 二、用描点法画反比例函数的图象 画一个函数的图象，通用的办法是描点法，分三步：列表、描点、连线。反比例函数也用这个办法，只是它有两个特殊之处：自变量不能取 0，图象又分成两支。 1. 第一步：列表 在解析式 里给 取一组值，算出对应的 。为了让计算和描点都方便， 通常取互为相反数的成对的值，例如 、、…、。 2. 第二步：描点 把每一对 、 的值作为点的坐标，在直角坐标系中把相应的点标出来。 3. 第三步：连线 按照横坐标由小到大的顺序，用平滑的曲线把所描的点连接起来，就得到反比例函数的图象。 4. 连线时的三个要点 ① 要用平滑曲线，不能画成折线； ② 两支曲线要分开画，不能穿过 轴连成一支——因为 ， 轴正是两支的分界线； ③ 曲线两端要自然延伸，体现出「无限接近 轴、 轴，但不相交」的趋势。 图 2　用描点法画反比例函数图象的三步：列表、描点、连线；两支必须分开画，不能连成一支 三、教材例：画 与 的图象 1. 列表 画 的图象时， 取 、、…、、、…、，算出对应的 ，列成下表。 x −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −1 −1.2 −1.5 −2 −3 −6 6 3 2 1.5 1.2 1 1 1.2 1.5 2 3 6 −6 −3 −2 −1.5 −1.2 −1 注意：因为 取的是互为相反数的值，算出的 也正好互为相反数，所以表格左右两半是对称的。这也是列表时特意取成对相反数的原因。 2. 描点、连线，得到图象 把表中的每一对值作为点的坐标描出来，再用平滑曲线连接，就得到 的图象（图 3）。它由两条曲线组成：一条在第一象限，一条在第三象限。 图 3　（）的图象：两支分别在第一、三象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而减小 用同样的方法画 的图象（图 4）：它的两条曲线分别落在第二象限和第四象限。 图 4　（）的图象：两支分别在第二、四象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而增大 3. 两个图象对比 这两个图象的形状完全相同，只是位置不同： 的图象在第一、三象限， 的图象在第二、四象限。它们的共同点是——都是双曲线，都由两支组成，都与坐标轴不相交。 四、反比例函数的图象特征 一般地，反比例函数 （）的图象是双曲线。它有三个明显的特征。 1. 是双曲线，由两支组成 图象不是一条完整的曲线，而是分成两支。 2. 两支分别位于两个象限 当 时，两支分别在第一、三象限；当 时，两支分别在第二、四象限。两支关于原点对称（见第六节）。 3. 与坐标轴不相交 因为 、，图象上的点不可能落在坐标轴上，所以双曲线与 轴、 轴都不相交，只能无限接近。 图 5　图象特征对比：无论 还是 ，图象都是两支曲线，分别位于两个象限，无限接近坐标轴但不相交 五、反比例函数的性质：k>0 与 k<0 画出图象之后，就能归纳出反比例函数最重要的性质。 1. 性质归纳 k 的符号 图象所在象限 在每个象限内 y 随 x 的变化 第一、三象限 y 随 x 的增大而减小 第二、四象限 y 随 x 的增大而增大 2. 「在每个象限内」五个字不能少 这句话是性质的灵魂。以 为例：在第一象限里， 越大 越小，这是对的；但如果拿第三象限的点和第一象限的点去比，就不成立了——第三象限的 一直是负数，第一象限的 一直是正数。所以离开「同一象限」，不能笼统地说 随 增大而减小。 ★ 一句话记牢：反比例函数的增减性，前面一定要加上「在每个象限内」。少了这五个字，性质就是错的。 ★ 两条顺口溜：k>0 记作「一三正，减」，k<0 记作「二四负，增」。 图 6　反比例函数的性质： 一、三象限（减）， 二、四象限（增）；增减性必带「在每个象限内」 六、反比例函数的对称性（教材探究） 把双曲线放在坐标系里看，它还是一幅很「对称」的图。 1. 中心对称：关于原点对称 对称中心是坐标原点 O。如果点 在图象上，那么它的中心对称点 也一定在图象上。 应用：画图象时，只要列表、算出第一支（如第一象限）上的几个点，利用中心对称就能直接写出关于原点对称的另一支上的对应点，不必重复列表、计算。 2. 轴对称：关于直线 y = x 和 y = −x 对称 图象的两条对称轴是直线 和直线 （分别是第一、三象限和第二、四象限的角平分线）。如果点 在图象上，那么 和 也都在图象上。 图 7　反比例函数图象的对称性：关于原点中心对称，关于直线 y = x、y = −x 轴对称 七、比例系数 k 的几何意义 过双曲线上任意一点 P 分别作 轴、 轴的垂线，两条垂线与两条坐标轴围成一个矩形（图 8）。 因为 在图象上，所以 ；于是矩形面积 。 连接 OP，把矩形分成两个全等的直角三角形，每个直角三角形面积 。 重要结论：矩形面积（或直角三角形面积）只与 的大小有关，与点 P 在图象上的位置无关——无论 P 在哪一支、哪个位置，围成的面积都不变。 以图 8 为例：图中点 P 的坐标为 ，它恰在 上；矩形面积 ；直角三角形面积 。 图 8　比例系数 k 的几何意义：过双曲线上任意一点 作坐标轴的垂线，矩形面积 ，直角三角形面积 ；面积只与 |k| 有关 应用（基础）：若已知图象上一点与坐标轴围成的矩形面积为 8，则 = 8（ 时 ； 时 ）。注意：矩形面积只能确定 ，k 的正负还要看图象所在象限。 ★ k 的几何意义：过图象上任意一点作坐标轴的垂线，矩形面积 ，直角三角形面积 。 ★ 面积只与 有关：无论点 P 在图象的哪一支、哪个位置，围成的矩形（或直角三角形）面积都不变。 八、易错清单：六个「坑」千万别踩 这一节概念多、容易混淆。下面把六条最常出错的「错误说法」与对应的「正确认识」列出来（图 9）。建议逐条对照，特别留意「在每个象限内」这五个字。 图 9　易错辨析：常见错误说法 vs 正确认识——增减性只在同一象限内成立；双曲线由两支组成、与坐标轴不相交 把这六条「错误说法」反过来读，就是本节的六条正确结论： ① 增减性必须带上「在每个象限内」； ② 双曲线与坐标轴无限接近，但永不相交（不经过原点）； ③ 两支分别位于两个象限，不能跨象限连成一支； ④ k>0 时每个象限内 y 随 x 增大而减小（不是增大）； ⑤ 比较大小先判断两点是否在同一象限：异号先比正负，同号再按增减性比； ⑥ 图象是双曲线（两支曲线），不是直线，也不是一条连续曲线。 九、方法总结与记忆支架 把整节内容收成「一个画法、两份性质、一类对称」，再配上三个必背（图 10），本节就装进脑子里了。 图 10　本节小结：一个画法（描点法画双曲线）、两份性质（k>0 一三象限减，k<0 二四象限增）、一类对称（关于原点中心对称、关于 y=x 与 y=-x 轴对称） 十、课后巩固 下面 6 道题都在本节范围内：判断位置、求字母范围、求 k、用几何意义、同象限比大小、用对称性写点。做完再看参考答案。 题号 题目 1 已知反比例函数 的图象位于哪些象限？在每个象限内，y 随 x 怎样变化？ 2 已知 的图象在第二、四象限，求 m 的取值范围。 3 已知 的图象经过点 ，求 k，并判断图象所在象限。 4 已知 图象上的一点与坐标轴围成的矩形面积为 12，求 。 5 在 上取三点 、、，比较 、、 的大小。 6 已知点 在 上，求 k，并写出图象上另外三个点（利用对称性）。 参考答案 1. → 图象在第一、三象限；在每个象限内 y 随 x 增大而减小。 2. → 。 3. → ，图象在第一、三象限（每个象限内 y 随 x 增大而减小）。 4. = 12，即矩形面积 。 5. 三点都在第一象限（x>0）， 时每个象限内 y 随 x 增大而减小，x 越大 y 越小，故 。 6. k = ，图象在第二、四象限；由 P 的对称可得 、、 也在图象上。 十一、技能自查（学完本节，你能做到几条） □ 能用描点法（列表、描点、连线）画出反比例函数的图象，两支分开画、用平滑曲线。 □ 能说出图象是双曲线、由两支组成、与坐标轴不相交。 □ 能分 k>0 与 k<0 说出图象所在象限与增减性，并且必带「在每个象限内」。 □ 能指出图象关于原点中心对称、关于直线 y=x 与 y=-x 轴对称。 □ 给图象上任意一点，能写出它的中心对称点与轴对称点。 □ 比较函数值大小时，会先判断两点是否在同一象限：异号先比正负，同号再按增减性比。 □ 知道过图象上任意一点作两条坐标轴的垂线，围成的矩形面积等于 ，其中的直角三角形面积等于 （直角三角形面积正好是矩形面积的一半）。 十二、知识追问（想一想，能说清才算懂） 追问 1　为什么图象不能连成一支？ 因为 、，当 x 无限接近 0 时， 无限增大——两支曲线分别无限地向上、向下延伸，两侧永远被 y 轴隔开，所以图象天然分成两支，不能跨过 y 轴连成一条。 追问 2　增减性为什么必须说「在每个象限内」？ 看反例：在 上取第一象限点 A(1, 6)、第三象限点 B(−1, −6)。若跨象限比较，x 从 −1 增加到 1，y 却从 −6 增加到 6，看上去「y 随 x 增大而增大」——这只是把不同象限的点混在一起造成的假象。在同一象限内，规律才成立。 追问 3　k 的几何意义里，为什么面积只与 |k| 有关？ 矩形面积 ；而 P(x, y) 在 上，xy = k，所以 ——整个过程与 P 的具体位置无关，只取决于 |k|。 十三、章内位置与中考对接 27.2 是第二十七章《反比例函数》的第 2 节。27.1 学了「什么是反比例函数、怎样求解析式」，本节学「画出图象、归纳性质」，下一节 27.3 将学习反比例函数在实际问题中的应用。 中考中，本节内容常以小题形式出现：判断图象所在象限、由 k 的符号判断增减性、在同一象限内比较函数值的大小、由图象上一点求 k（或 |k|）、利用对称性写出对称点。它是后续学习的基础，但一般不单独出大题。 ★ 本节边界：本节只研究反比例函数的图象与性质本身（画图象、识图象、记性质、用性质）。涉及与其它函数结合、或更复杂的实际应用，会在本章后续内容中出现，本清单暂不纳入。 学科网（北京）股份有限公司 $