江苏省通州高级中学2026-2027学年高三上学期数学综合训练四 （9.5）

2027届高三（上)数学综合训练（四）20260905 出题： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.已知复数z=1+i,则三=（) A.√2 B.2 C.2i D.-2i 2.函数f(x)=V1og5(x-3)的定义域为() A.(3,4] B.(3,4) C.(3,+o) D.[3,+m) 3.甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去 询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”， 则该5人可能的排名情况种数为() A.18 B.36 C.54 D.64 4.已知m、是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则下列命题正确的是() A.若lln,nCa,则/a B.若m⊥a,n⊥B,m⊥n,则a⊥B C.若a⊥B,mLB,n⊥m,则n⊥a D.若mca,ncB,al∥B,则ln 5.若函数f(x)=log2 2) 中1为奇函数，则实数a的值为() a-- A.1 B.2 C.-1 D.-2 6.盒中装有1个白球、2个黑球、3个黄球，从中有放回随机取3次球，每次取1个球.取到1次白球 得4分，取到1次黑球得2分，取到1次黄球得1分，X表示3次取球总得分，则E(X)=() A.5 B号 e号 11 D.2 7.已知实数a>0,b>0,且a+b=1,则4+1的最小值为() ab A.5 B.4 C.2√2-2 D.2W2+2 8.设a=log34+log43,3+4“=5,则() A.a>b>2 B.a>2>b C.b>a>2 D.b>2>a 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是() A.设A、B为两个随机事件，P(A)>0,若P(AB)=P(A),则事件A与事件B相互独立 一组样本数据所有样本点3，y)(i1,2,,)都在直线y=)x+1上，则这组样本 性相关系数r=- C.根据小概率值=0.05的独立性检验，当x≥5=3.841时，可以推断两变量不独立，该推断犯 错误的概率不超过0.05. D.若y关于x的线性回归方程为少=0.26x-0.7,则样本点(3,0.06的残差为-0.02 10.如图，已知二面角a-1-B的棱l上有A,B两点，C∈a,AC⊥1，D∈B,BD⊥1，且 AC=AB=BD=1,则下列说法正确的是() A.CD.AB=1 B.当二面角a-1-P的大小为60°时，CD与平面B所成的角为30° 1 C.若CD=√3，则四面体ABCD的体积为 12 D.若CD=V2,则二面角C-BD-A的余弦值为2W7 11.己知定义在R上的函数f(x)的图象连续不断，若存在常数tt∈R),使得f(x+)+扩(x)=0对任意的 第1页，共4页 实数x成立，则称f(x)是回旋函数.给出下列四个命题中，正确的命题是() A.常值函数f(x)=a(a≠0)为回旋函数的充要条件是t=-1; B.若y=(0<a<1)为回旋函数，则t>1: C.函数f(x=x不是回旋函数； D.若f(x)是t=2的回旋函数，则f(x)在[04030]上至少有2015个零点. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.从装有除颜色外完全相同的个白球和4个黑球的布袋中随机摸取一球，逐个不放回的摸取3次， 记摸得白球个数为X,若E(X)=1,则m= 13.己知函数f(x)=x-2x+m(e为自然对数的底数)，若f(x)有两个极值点，则m取值范围是 ，若f(x)在[0，+o)上有一个零点，则m取值范围是 14.在空间直角坐标系O-xz中，A(2,0,0),B(0,2,2),点P满足PA.PB=1,则点P到x轴距离的最 大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知函数f(x)=3-2log.x(a>1)在[2,4]上的最大值与最小值之差为2. (1)求实数a的值 (2)若对任意x∈(L4],都有f(x2)f(VR)>k.l1og2x,求实数k的取值范围. 16.已知函数f(x)=2+(2k-1)x-lnx,keR. (1)讨论函数∫(x)的单调性： (2)若k≥1，证明：f(x)>1. 第2页，共4页 17.设正整数N≥2，甲、乙两人进行轮流投篮练习（甲先投），单次投篮甲命中的概率为号，乙命中的 概率为}，各次投篮相互独立。约定如下规则：某一方首次投中则本轮结束，该方得1分，另一方得0 分：若连续N次投篮（甲、乙交替）均未投中，则本轮结束，双方各得0分.共进行M轮投篮练习，每 轮独立重复上述规则，最终总得分高者获胜.记X为单轮结束时投篮的总次数. (1)当N=4时，求X的分布列与数学期望E(X): （2)设k为正整数，当k<-1时，证明：PK>2k+2X>2)号 (3)当N=4,M=3时，求甲最终获胜的概率. 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形，侧面PAD为等腰三 角形，M为PD的中点，且PA=AD=2,∠PAD=2T. 3 (1)求证：AM⊥平面PCD; (2)设平面PAD与平面PBC的交线为l. (1)求直线I与直线PC所成角的正弦值： M (i)若Q为直线1上的动点，且满足P9=BC(2>0),是否存在点Q使 直线PC与平面OB所成的角为智？若存在，请求出满足条件的A值：若 A-- 不存在，请说明理由， B 第3页，共4页 19.已知函数f(x)=e1-ar-lnx(a>0). (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点1，f(1)处的切线方程； (2)求证：f(x)有唯一极值点： (3)若f(x)有唯一零点，求证：1<x<2. 第4页，共4页2027届高三（上)数学综合训练（四）20260905 出题： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1.已知复数z=1+i,则=三=() A.√2 B.2 C.2i D.-2i 【答案】B 【难度】0.95 【分析】先求出复数z的共轭复数，再根据复数乘法运算规则计算二者乘积即可. 【详解】根据共轭复数的定义：对复数z=a+bi(a,b∈R),其共轭复数三=a-bi. 己知z=1+i,因此z=1-i,z.z=(1+i)1-)=- 由虚数单位的性质可知2=-1，代入得：z·z=1-(1)=2. 2.函数f(x)=V1og5(x-3)的定义域为() A.(3,4] B.(3,4) C.(3,+o) D.[3,+0) 【答案】A 【难度】0.85 【分析】根据真数大于0且二次根式被开方数大于等于0可求函数的定义域. x-3>0 【详解】由题意得， 1085(x-3)≥0'即0<x-3s1, 解得3<x≤4，即函数f(x)的定义域为(3,4. 故选：A. 3.甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去 询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”， 则该5人可能的排名情况种数为() A.18 B.36 C.54 D.64 【答案】C 【难度】0.85 【分析】分步，第一步乙只能是中间名次，第二步甲除第一名剩下的3个名次中的一个，第三步，其他3 人全排列，由分步计数原理可得. 【详解】先看乙，在中间有一个名次中的一个，有C种可能，然后是甲除第一名外剩下的3个名次中的 一个，有C,最后三人名次任意，有4种可能，共的CC4=54种情况. 故选：C. 4.己知m、n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则下列命题正确的是() A.若ln,nca,则ml/a B.若m⊥a,n⊥B,m⊥n,则a&⊥B C.若&⊥B,⊥B,n⊥m,则n⊥a D.若mca,ncB,ollB,则mlln 【答案】B 【难度】0.72 【分析】根据线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，对每个选项逐一进行 分析判断即可. 【详解】若mln,nca,则直线m可能平行于平面a&,也可能在平面a内，即m/1a或mCa,故A错 误： 若m⊥a,mLn,则n/a或nCa, 当nc,又因为n⊥B,根据一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直，可得 a⊥B, 当n/la,平面a内必有一条直线c与直线n平行，又n⊥B,所以c⊥B,所以a⊥B,故B正确： 若&⊥B,m⊥B,则/a或mca, 又因为nLm,所以直线n与平面a可能相交、平行或nca,故C错误； 若mCa,ncB,allB,则直线m与直线n可能平行，可能异面，故D错误。 第1页，共10页 5.若函数f(x)=log2 为奇函数，则实数a的值为() x+1 A.1 B.2 C.-1 D.-2 【答案】A 【难度】0.65 【分析】根据奇函数性质建立关于a方程求解. 【释】有可得八a名g2.-e: x+1 =1o82a+1-2 若j)为奇函数，则有1og:-+21g2 x-1 即0-)+2x+1 a2=1 x-1 a+)-2整理得x2-1=a22-a2+4a-4,则 -a+4a-4=-1'解得a=1, 当a1时，0=g引令0，解得1或1， x+1 此时定义域为(-o,-1)U(1,+∞)关于原点对称，符合f(x)为奇函数，故a=1符合题意. 6.盒中装有1个白球、2个黑球、3个黄球，从中有放回随机取3次球，每次取1个球.取到1次白球 得4分，取到1次黑球得2分，取到1次黄球得1分，X表示3次取球总得分，则E(X)=() 17 A.5 B. 16 3 C. 3 0号 【答案】D 【难度】0.7 【详解】盒内总球数为1+2+3=6个， 取球概幸月。取号球积卷日名；以安球商车乃音 设单次得分为，则2（门=4哈2兮1x片名 26 有微国取3次，总得分X=X+方+g,2)-)+2g)+(国)=证们=3号号 7,已知实数a>0b>0,且a+b=1,则+1的最小值为() ab A.5 B.4 C.2W2-2 D.2W5+2 【答案】D 【难度】0.75 【分析】根据给定条件，利用“1”的代换并变形，再利用基本不等式求解. 【详解】实数a>0,b>0,且a+b=1,则+1_+1_2+(a+b)_2a2+b+2ab abab ab ab =2ab」 .。2ab +二+2≥2 +2=22+2,当且仅当2-，即b=V5a=2-2时取等号， b a b a b a 所以4的最小值为22+2. ab 8.设a=1og34+1og43,3+4°=5，则() A.a>b>2 B.a>2>b C.b>a>2 D.b>2>a 【答案】A 【难度】0.4 【分析】根据基本不等式，结合指数函数的单调性、函数单调性的性质进行判断即可， 【详解】因为log34>0,log43>0,且log34≠1og43,所以 1og,4+1og3>2og,41lg3=3g4×g3 V1g3 1g4 2,即a>2, 因为函数y=3,y=4是单调递增函数，所以函数y=3+4是单调递增函数， 第2页，共10页 所以当a>2时，有3+4“>32+42=25，因为3+4“=5， 所以有95-=62，向r-5-得)- 因为函数y= 是单调递减函数， 因为a2.所以oa-3) <1→5-a<1-b-a<0→b<a,因此a>b>2, 故选：A 【点睛】关键点睛：根据等式的形式构造函数，利用指数函数的单调性是解题的关键， 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是() A.设A、B为两个随机事件，P(A)>0,若P(AB)=P(A),则事件A与事件B相互独立 B。若一组样本数据所有样本点（化，）(1=12m)郑在直线y=x1上，则这组样本数据的线 性相关系数r=} C.根据小概率值=0.05的独立性检验，当X2≥5=3.841时，可以推断两变量不独立，该推断犯 错误的概率不超过0.05. D.若y关于x的线性回归方程为少=0.26.x-0.7,则样本点(3,0.06的残差为-0.02 【答案】ACD 【难度】0.62 10.如图，己知二面角-1-B的棱l上有A,B两点，C∈，AC⊥1，D∈B,BD⊥1，且 AC=AB=BD=1,则下列说法正确的是() A.CD.AB=1 B.当二面角&-1-B的大小为60°时，CD与平面B所成的角为30° C.若CD=√3，则四面体ABCD的体积为 12 D.若CD=V2,则二面角C-BD-A的余弦值为2 7 【答案】AD 【难度】0.65 【分析】由空间向量的数量积运算即可判断A,由线面角的定义即可判断B,由三棱锥的体积计算公式即 可判断C,由二面角的定义，即可判断D. 【详解】A:CD·AB=(CB+BD)AB=CB·AB+BD·AB=CB·AB+0=AB=1,故A正确： a D B:如图，过A作AE∥BD,且AE=BD,连接ED,EC,则ABDE为正方形， 则AB/IDE,又AC⊥1，BD⊥1，ACOAE=A,AC,AEC平面ACE, 所以II平面ACE,所以DE⊥平面AEC,则∠CAE为二面角&-I-B的平面角， 当∠CAE=60°时，易得△ACE为正三角形，过C作CH⊥AE, 则CH⊥平面AED,故∠CDH即为CD与平面B所成的角. 第3页，共10页 在Rt△CDH中，sn∠CDH= CH6 CD2W2=4 ,故B错误： C:CD=3时，则CB=VCD2-DE2=√3-1=√2，且AE=AC=1, 则CE2=AE2+AC2,所以∠CAE=90°，则AC⊥AE,又AC⊥l, AE∩l=A,AE,lC平面ABDE,所以AC⊥平面ABDE, 则C到面B的距离为1，所以四面体ABCD的体积为8m1- ；21x1 6, 所以C错误： a D:由CD=√2可得CE=√CD2-DE2=1,则AC=AE=CE=1,即△ACE 为等边三角形，所以∠CAE=60°，即二面角a-1-B的大小为60°， 取BD中点F,连接HF,CF,则HF/IAB,所以HF⊥BD, 由选项B可知，CH⊥平面AED,且BDc平面AED,所以CH L BD, 且CH∩HF=H,CH,HFc平面CFH,所以BDL平面CFH, 又CFC平面CFH,则BDLCF, 所以∠CFH为二面角C-BD-A的平面角， 又H=1,所以CP=C+H- 2 则co∠CH=H=12V7 CF√万7，故D正确： 故选：AD 11.已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不断，若存在常数t(t∈R),使得f(x+t)+圹(x)=0对任意的 实数x成立，则称∫(x)是回旋函数.给出下列四个命题中，正确的命题是() A.常值函数f(x)=a(a≠0)为回旋函数的充要条件是t=-1: B.若y=d(0<a<1)为回旋函数，则t>1; C.函数f(x)=x不是回旋函数； D.若f(x)是t=2的回旋函数，则f(x)在[04030]上至少有2015个零点. 【答案】ACD 【难度】0.4 【解析】A.利用回旋函数的定义即可判断：B.代入回旋函数的定义，推得矛盾，判断选项；C.利用 回旋函数的定义，令x=0,则必有t=0,令x=1,则t2+3t+1=0,推得矛盾：D.根据回旋函数的定 义，推得f(x+2)=-2f(x),再根据零点存在性定理，推得零点的个数. 【详解】A.若f(x)=a,则f(x+t)=a,则a+ta=0,解得：t=-1,故A正确： B.若指数函数y=a(0<a<1)为回旋函数，则a+t=0,即a+t=0,则t<0,故B不正确： C.若函数f(x)=x2是回旋函数，则(x+t)+tx=0,对任意实数都成立，令x=0,则必有t=0,令 x=1,则t2+3t+1=0,显然t=0不是方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故C正确： D.若∫(x)是t=2的回旋函数，则∫(x+2)+2f()=0,对任意的实数x都成立，即有 第4页，共10页 f(x+2)=-2f(x),则f(x+2)与f(x)异号，由零点存在性定理得，在区间(x,x+2)上必有一个零点，可 令x=0,2,4,2015×2,则函数f(x)在[0,4030]上至少存在2015个零点，故D正确 故选：ACD 【点睛】本题考查以新定义为背景，判断函数的性质，重点考查对定义的理解，应用，属于中档题型. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.从装有除颜色外完全相同的m个白球和4个黑球的布袋中随机摸取一球，逐个不放回的摸取3次， 记摸得白球个数为X,若E(X)=1,则m= 【答案】2 【难度】0.85 13.已知函数f(x)=xe-2x+m(e为自然对数的底数)，若f(x)有两个极值点，则m取值范围是 ,若f(x)在[0，+o)上有一个零点，则m取值范围是 【答案】(-o,0lUKe} 【难度】0.85 2有 【分析】因为函数f)=xe-2mx+m(e为自然对数的底数)在0，+四)上有一个零点，所以m= 解，设风)-，对)求导求单调性，画出的图像，则可以根据图像求有一个交点时m的范 围 【详解】由f(x)=xe-2x+=0,得xe=2x-l=(2x-1), 1 当=2时，方程不成立， 即号，则m=设网=（之0且=时 则i附-e)2x-D-2e_e(2x-x-.c-2x+D (2x-1)2 (2x-1)2 (2.x-1) “x≥0且x≠ .由h(x)=0,得x=1.x>1时，h'(x)>0,函数为增函数， 2r<1时h(<0,函数为减函数，则当x=1时函数取得极小值，极小值为0=e, 当0≤x<】时，h)<0,函数为减函数，h()≤O)=0,作出函数M)的图象如图： v=m 要使= 有一个根， 2x-1 则m=e或(-∞，0]： 故答案为(-∞，0UKe}. 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性和值域，考查数形结合思想的应用，分离参数方法等知识， 考查学生数学运算能力，属于中档题. 14.在空间直角坐标系O-z中，A(2,0,0),B(0,2,2),点P满足PAPB=1,则点P到x轴距离的最 第5页，共10页 大值为 【答案】2+√2 【难度】0.56 【分析】先分析点P的轨迹，再求P到x轴距离的最大值 【详解】设P(x,,z),则PA=(2-x,-y,-z),PB=(-x,2-y,2-z), 由PA.PB=1可得，-x(2-x)-y(2-yz(2-z)=1,整理得：(x-1+(y-1+(亿-1=4. 所以P点轨迹是以(1,1，)为球心，以2为半径的球面。 因为点(，1,1)到x轴的距离为√P+1F=√2，所以点P到x轴距离的最大值为2+√2。 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知函数f(x)=3-2log.x(a>1)在[2,4]上的最大值与最小值之差为2. (1)求实数a的值： (2)若对任意x∈(1,4]，都有f(x)fVx)>klog2x,求实数k的取值范围. 【难度】0.65 【分析】(1)利用函数单调性确定最大值与最小值，列式求解即可： (2)令t=log2x,将问题转化成(3-4t)·(3-t)>t对任意的t∈(0,2]恒成立，通过参变分离，结合基本不 等式求解即可. 【详解】(1)a>1时，函数f(x)在区间[2,4上单调递减， 所以f(m)mm-f(x)mm=f(2)-f(4)=3-2log.2-(3-2log.4)=2log.2=2,解得a=2. (2)由(1)知f(x)=3-2logx. f(x)f(x)>k.log2x,(3-2l0g)(3-2l0g2x)=(3-4l0g2x)(3-l0g2x)>k.log2x. 令t=log2x,当x∈(1,4]时，te(0,2],所以(3-4t)(3-t)>t对任意的t∈(0,2]恒成立， 所以k<3-4)3-D_-15t+9=4H-15+9。 t t 因为3912（当且汉当？即：到服等号.所以 -15+9） =12-15=-3, 所以k<-3,即k的取值范围为(-o,-3). 16.已知函数f(x)=x2+(2k-1)x-lnx,k∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性： (2)若k≥1，证明：f(x)>1 【难度】0.51 【分析】(1)应用导数的几何意义求切线方程即可： (2)对函数求导，应用分类讨论研究导数的区间符号，进而确定其区间单调性即可： (3)根据（②）将问题化为明2为所0且k>1,构适两数并应用导数证明不等式即可。 【详解】(1)由f(x)=-nx+c2+(2k-1)x,x>0, 所以f)=-1+2+2k-1=2-1c+D,6c>0), 当k≤0时，2x-1<0,"(x)<0,故f(x)在(0，+m)上单调递减， 当0时，令2-=0，解得x衣0， 令了<0，得0<x<文所以)在0品上单调递减， 令广因>0，得x>江所以网在（云四）上单调适增， 综上：当k≤0时，f(x)在(0，+o)上单调递减， 第6页，共10页 当>0时，)在@品上单调递减，在（太+m)上单调递增。 2》由1D可知：当k21时在@宁上单调递减。在（乐m)上单调递增。 1 要证f(x)>1,即证ln(23->0且k≥1， 令g肉-n0因-衣>小，g肉-是店格0.6在m)上*调蓝率 “g内≥g0=h2-子0，即21时，在@+上fW>1恒成立 17.设正整数N≥2，甲、乙两人进行轮流投篮练习（甲先投），单次投篮甲命中的概率为号，乙命中的 概率为}各次投篮相互独立，约定如下规则：某一方首次投中则木轮结束，该方得1分，另一方得0 分：若连续N次投篮（甲、乙交替）均未投中，则本轮结束，双方各得0分，共进行M轮投篮练习，每 轮独立重复上述规则，最终总得分高者获胜.记X为单轮结束时投篮的总次数. (1)当N=4时，求X的分布列与数学期望E(X): 1 <X乙+汇<)d:怕亚·阳T界"亚联y (3)当N=4,M=3时，求甲最终获胜的概率. 【难度】0.46 【分析】(1)分类讨论单次投篮终止轮次的四种互斥情形，利用独立事件乘法公式计算各取值对应概率 得到分布列，再结合数学期望定义式代入求值. (2)依据条件概率公式拆分式子，结合连续投篮全部未命中的独立事件概率公式分别表示P(X>2)与 P(X>2k+2),作比值化简完成证明. (3)先算出单轮甲得分、乙得分、双方零分的三类互斥概率，再分类求出三轮后甲总分高于乙的全部得 分组合的概率，求和得到甲最终获胜的总概率. 【详解】(1)X的可能取值为1,2,3,4. X-1表示第一次甲金中，PX-1号 X=2表示第一次甲未命中，第二次乙命中，P(x=2)=)×号 236 X=3表示第一次甲未命中，第二次乙未命中，第三次甲命中，P(X=3列=×2×-} 23261 x=4表示前三次均未命中，第四次投篮后结束（无论是否命中），P(X=4)=2×号×2石： 1211 所以X的分布列为 X 2 3 1 P 1 6 6 6 学期E(=12×。3。+4.2 6 6 (2)证明：根据条件概率公式可知，P(X>2k+2X>2k)= P(X>2k+2) P(X>2k) 当k<Y-1,即V>2k+2时，X>2k表示前2k次投篮均未投中，其中甲投篮k次，乙投篮k次，则 x因3 X>2k+2表示前2k+2次投篮均未投中，其中甲投篮k+1次，乙投篮k+1次， 第7页，共10页 x周) 所以P(X>2k+2引X>2= P(X>2k+2) P(X>2k) 3 3 (3)当N=4,M=3时， 单轮比赛巾甲得1分，即第1次甲合中或第3次甲合中，P(甲1分，乙0分)-宁名号， 乙得1分，即第2次乙命中或第4次乙命中，P(乙1分，甲0分)=×+xx1x 2323239 甲、乙均为0分的概率P(甲0分，乙0分)2x号×2号g 12121 设3轮比赛中甲得分为Y,乙得分为Z. 乙0时，表泰3轮比杂甲全得分，P 27 当7-2,2=1时标轮批奏甲2轮得分，乙1轮得分P=c)号号 当y=2,Z=0时，表示3轮比赛甲2轮得分，1轮双方0分，P=C×)×。7 当了-1，乙=0时，表示3轮比赛甲1轮得分，另外两轮双方0分，P=G×名日 2 3(9 81 所以甲最终获胜的概率P=8+8+4+2_62 27+27+27+8181 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形，侧面PAD为等腰三 角形，M为PD的中点，且PA=AD=2,∠PAD=2T 3 (1)求证：AM⊥平面PCD: (2)设平面PAD与平面PBC的交线为I, (i)求直线I与直线PC所成角的正弦值： ()若Q为直线1上的动点，且满足P9=BC(2>0),是否存在点Q使 直线PC与平面QAB所成的角为？若存在，请求出满足条件的元值；若 A 不存在，请说明理由， 【答案】(I)在四棱锥P-ABCD中，由正方形ABCD,得CD⊥AD, 由平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD,CDC平面ABCD, 得CD⊥平面PAD,而AMc平面PAD,则AM⊥CD,由M为PD的中点，PA=AD, 得AM⊥PD,又PD⌒CD=D,PD,CDC平面PCD,所以AM⊥平面PCD. 2)() 4:()存在，1=1. 【难度】0.48 【分析】(1)利用面面垂直的性质、线面垂直的性质及判定推理得证. (2)()利用线面平行的判定、性质，结合线线角的意义确定所求角，再利用余弦定理求解；()建立 空间直角坐标系，利用线面角的向量法列式求解. 【详解】(1)略 (2)(i)由BC/IAD,ADC平面PAD,BC在平面PAD,得BC/平面PAD, 又平面PAD与平面PBC的交线为I,BCc平面PBC,则II/BC, 则直线I与直线PC所成的角是∠PCB或其补角， 在平面PAD内过点P作PE⊥AD交DA的延长线于点E,连接BE,CE, 由平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD⌒平面ABCD=AD,得PE⊥平面ABCD, 第8页，共10页 而BB,CBc平面ABCD,则PE⊥BE,PE⊥CE,而PA=AD=2,∠PAD= 3 则AE=1,PE=√5，BE=√5，PB=2N2,PC=VPE2+DE2+CD2=4, 在ACB中，由余弦定理得os∠PCB-2+,2.3,sm∠PCB- 2×2×44 4 所以直线1与直线PC所成角的正弦值7 4 C (i)作A/IPE,由(i)得Az⊥平面ABCD,直线AB,AD,Az两两垂直， 以点A为原点，直线AB,AD,Az分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 2 D 卡B 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,-1,V3),P9=1BC=(0,21,0),Q(0,21-1,V3), AB=(2,0,0),AQ=(0,21-1,V3),设平面QAB的法向量n=(x,y,), a0m=2-y+V5z=0令y=5,得i=0,V5.1-2),而pc=2,3-, AB.=2x=0 则 由直线PC与平面O4B所成的角为，得sincos(PC,PCm-2V5(+)=V5 Cm48+0-2列之，解得 =1,所以存在点e使直线PC与平面QAB所成的角为，此时1=1. 19.己知函数f(x)=e1-ax-lnx(a>0). (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点1，f(1)处的切线方程： (2)求证：f(x)有唯一极值点： (3)若f(x)有唯一零点，求证：1<<2. 【难度】0.4 【分析】(1)根据函数在某点处的导数的几何意义求得切线的斜率，再利用点斜式求切线方程即可： (2)利用二次求导判断导函数f'(x)在(0，+o)上单调递增，再构造函数h(x)=e-x-1判断 ∫'(1+a)>0,结合f'(I)<0即可得存在唯一的∈(1,1+a),使得'()=0，从而证得∫(x)有唯一极值 点： (3)由(2)知函数∫(x)有唯一极小值点x=,结合∫(x)有唯一零点，可得∫()=0，利用x。=。, 得e=+a,进一步得/)=+a-,-am=0,利用导函数判断函数f)的单调性，结合区间 端点处的函数值的符号即可证得1<<2. 【详解】(1)函数f(x)=e-1-ar-hx(a>0)的定义域为(0，+o), 第9页，共10页 因为a=l,所以f-e-r-h,xe(0+),则/(e)=e-1子e(Q+o) 所以斜率k=f(1)=-1,又f(1)=0,所以切线方程为y-0=-(x-1),即x+y-1=0. (2)因为f(x)=e--lnx(a>0),xe(0,+∞)，所以f(x)=e1-a-,xe(0,+∞)， 令g(倒=e-a>0.xe(0+),则g()=e+,因为>0，所以ge)0恒成立. 所以g(x)在(0，+0)上单调递增，即∫'(x)在(0，+∞)上单调递增， 构造函数h(x)=e-x-1,则(x)=e-1, 当x>0时，h(x)>0,所以h(x)在(0，+o)上单调递增， 当x<0时，h(x)<0,所以h(x)在(-o,O)上单调递减， 所以h(x)≥h(0)=0,所以e-x-1≥0，即e≥x+1, 所以r0*a=eaa>al-taa=1ta0, 又∫'(1)=-a<0,所以存在唯一的∈(1，l+a,使得∫'()=0， 当x∈(0，)时，'()<0，f(x)单调递减： 当x∈(，+∞)时，∫'()>0，f(x)单调递增；所以函数f(x)有唯一极值点. (3)由(2)得f()n=f(), 因为函数∫(x)有唯一零点，所以f()=0,所以。=， 即e=+a,所以f)=+a-l-m,=0, 设m(s)=+a-l。-am,所以0（飞）-是1-a<0, Xn 所以p(6)在(L+)单调递减，因为p=1>0,(2)=}n2-<0,所以1<<2. 2 第10页，共10页