江苏省通州高级中学2026-2027学年高三上学期数学综合训练三（8.29）

2027届高三（上)数学综合训练（三)8.29 出题： 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.己知全集U={xx是小于12的素数}，集合A={5,7,11),则CuA=() A.{3 B.{2,3} C.3,9} D.{1,2,3 【答案】B 【解析】解：由题知全集U={xx是小于12的素数}={2,3,5,7,11，因为A={5,7,11,所 以CwA={2,3} 故选：B. 2.已知z=2-i,则z(2+)=() A.6-2iB.4-2i C.6+2i D.4+2i 【答案】C 【解析】解：由题意知z=2-i,z=2+i, 所以z(亿+i)=(2-i)(2+2)=4+4i-2i-2i2=6+2i. 故选C 3.若“x∈1,2]，使2x2-x+1<0成立”是假命题，则实数的取值范围是() A.(-∞，2V2] B.[2W2] C.（-∞，3] D.[3+∞) 【答案】C 【解答】解：若“3x∈[1,2]，使得2x2-x+1<0成立”是假命题， 即“3x∈[1,2]，使得孔>2x+成立”是假命题， 故x∈[1,2,1≤2x+垣成立，令f)=2x+x1,2], 根据对勾函数的性质知：f(x)在[1,2]递增，所以f(x)mm=f(1)=3,·入≤3，故选：C. 4.某高校决定从甲、乙等7支队伍中选出4支队伍参加全国的数学建模大赛，已知甲队被选出，则乙队 也被选出的概率为() A.方 B.月 c.9 D. 【答案】A 第1页，共15页 【解析】法一：记甲队被选出为事件A,乙队被选出为事件B, 则P(A)= P(AB)= C 所以P(B1A)= P(AB) P(A) 法二（缩小样本空间）：甲队被选出后，还有6支队伍，选3支共有C种选法，乙队也被选出有C种，所以 P(BIA)= 5.在正三棱台ABC-A1B1C1中，AB=4,A1B1=2,A1A与平面ABC所成角为经则该三棱台的体积为 () A.号 B.9 c.兰 D.3 【答案】C 【解答】解：设△ABC的重心为O1,△A1B1C1的重心为02， 连接A102,A01,0102, 因为该三棱台是正三棱台， 所以重心01,02也为外心，0102为该三棱台的高， 作A1D1AO1于点D, B B 则AA1与平面ABC所成的角为∠A1AD=军 因为A1B1=2,AB=4, 所以A,0:=2×受×号=39A0,=4×0号×号= 33 又01D=A102=2, 3 所以AD=23 3 又41D 第2页，共15页 所以A1D=0102=2y3, 3 又SAAc=9×4=43,SAG,=年×2=V5, 4 4 则该三棱台的体积V-S△4Bc+S△4B1C1+√S△ABC SAA1B1G)·0102 =}x(4W3+V5+V4W3×同×2-共故选C. 31 6.17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想 方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法，数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天 文学家的寿命延长了许多倍”.已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，设N=45×2710,则N所在的区间 为() A.(1015,1016) B.(1016,1017)C.(1017,1018)D.(1018,1019) 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查了对数的运算，涉及了对数的运算性质和运算法则的应用，解题的关键是熟练掌握对数的相关运 算性质和法则，属于中档题， 利用对数的运算性质求出lgN,由此分析求解即可， 【解答】解：lgN=lg(45×2710)=lg45+lg2710=5lg4+10lg27 =10lg2+30lg3 ≈10×0.3010+30×0.4771 =3.01+14.313 =17.323.所以N≈1017.323∈(1017,1018).故选：C. .设a=m4冫b=8-1,c=n,则有（ A.axb>c B.b>axc C.b>c>a D.c>b>a 【答案】B 8.已知f(x)=x2e2x+axe+2(a∈R)有4个零点，则实数a的取值范围为() A.(-∞，-2W2 B.(-2W2,+o)C.(-∞，-2e- D.(-2e-6,+∞) 【答案】c 第3页，共15页 【解析】解：令lxex=t, 则x2e2x+alxlex+2=t2+at+2(a∈R), y=lxe其图象如图所示： 0 当t=0时，x=0,当0<t<时，一个t对应3个不同的x, 当t=时，一个t对应2个不同的x, 当t>时，一个t对应1个x, 令g()=t2+at+2,因为f(x)有4个零点，又g(0)=2>0, 则方程g()=0在t∈(0，})和tE(总+∞)各有一个零点， 由二次函数的性质可知，只需要g(台)<0，即a<-2e-。故选C. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知正数a,b满足a+3b=2V3,则() A.0<b<29 B.√ab的最小值为1 C.a2+9b2的最小值为6 D.复+高的最小值为2 【答案】ACD 【解析】解：因为a>0,b>0,a+3b=23,所以0<3b<23,即0<b<2g,A正确. a+3b=23≥23ab,得Vab≤1，当且仅当a=3b=V3时，等号成立，所以Vab的最大值为1，B错 误. 因为a2+9b2≥2√9a2b=6ab,当且仅当a=3b=V3时，等号成立， 所以(a+3b)2=a2+6ab+9b2≤2(a2+9b2),所以a2+9b2≥6，即a2+9b2的最小值为6，C正确. 9+高-高(9+高a+3)-2++高)2嘉a3+2急-2 当且仅当a=3b=V3时，等号成立，D正确. 故选：ACD. 第4页，共15页 10.己知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，N为棱AB上一点，且AN=1,动点M在正方体ABCD- A1B1C1D1内及其表面上运动，下列说法正确的是() A.异面直线DN与A:C,所成角的余弦值为 B.若M是线段B1C上的动点，则M到平面DA1C1的距离为定值 C.若tan-MAD=2tan∠MDA,则MC,的最小值为号 D.若M满足MA1MC,MB11MD1,则M的轨迹的长度为4T 【答案】BCD 【解析】解：对于A,连接AC交DN于E,由正方体的性质可得A1C1/AC, 所以LAEN为异面直线DN与A1C1所成角，如图， A 由CED~△AE,且器-4，故AB=右AC=NE=DN- 5 co5AEN=2A-3故4错误： 2AE·NE 对于B,由正方体的性质可得B1C/A1D,A1DC平面DA1C1,B1C￠平面DA1C1, 所以B1C/平面DA1C1, 点M在线段B1C上，所以点M到平面DA1C1的距离为定值，故B正确： A B 对于C,设△MAD边AD上的高为MF,如图， 第5页，共15页 D 因为an∠MaD=2am∠MDA,所以等-2×器即DF=2AP, 又AD=4,所以AF=专过点F作平面a与AD垂直， 记平面a被正方体所截的图形为正方形FGHI(及内部)，如图， 所以点M在正方体FGHI内（含边界），故MC,的最小值为4-音景故C正确： D H B D C F G B 对于D,设AC,B1D1的中点分别为O,O1,因为MA1MC,所以M在以O为球心，AC为直径的球面上， 同理M也在以O1为球心，B1D1为直径的球面上， 由正方形的性质可知，B1D1为直径的球面与A1C1为直径的球面是同一个球面， 因为AC=B1D1=4W2,所以两球面的半径均为2V2,截面图如图， 所以点M的轨迹是以PQ为直径的圆，由勾股定理可得PQ=2(2W2-22=4, 所以点M轨迹的长度为4π，故D正确. 故选：BCD 11.设定义在R上的函数f(x)与g(x)的导函数分别为f'(x)和g(x),若f(x+2)-g(1-x)=2,f"(x)= g'(x+1),且g(x+1)为奇函数，则下列说法中一定正确的是() 第6页，共15页 A.g(1)=0 B.函数g'(x)的图象关于x=2对称 C.20g(=0 D.21f(Wg(内=0 【答案】AD 【解析】【分析】 本题主要考查函数导数的应用，函数奇偶性，函数对称性以及函数周期性，属于中档题： 根据题意并结合函数导数的应用，函数奇偶性，函数对称性以及函数周期性的可逐一判断各选项的结论， 【解答】 解：由g(x+1)为奇函数得：g(1)=0且g(x+1)+g(-x+1)=0, 由f'(x)=g(x+1)可得：f(x)=g(x+1)+c,其中c为常数， 结合fx+2)-g(1-x)=2得：g(x+3)-g(1-x)=2-c, 于是：g'(x+3)+g(1-x)=0,所以g'(x)的图象关于点(2,0)对称， 选项A正确，选项B错误； g(x+3)+g(x+1)=2-c,即：g(x+2)=-g(x)+2-c, ∴g(x+4)=g(x),g(x)的周期为4， 由g(x+49=g(x)=-g(2-x), 得g(x)的图象关于点(3,0)对称， 则：g(2)+g(4=0,g(3)=0, ·g(1)+g(2)+g(3)+g(4=0, 故g()=9(2021)+9(2022)=9(1)+9(2)=9(2),选项C错误； 由f(x+2)=g(1-x)+2得：f(x)是周期为4的函数，且f(2)=g(1)+2=2, f(4)=g(-1)+2=g(3)+2=2, 故f(2)g(2)+f(4)g(4)=2[g(2)+g(4)]=0, 又f(1)g(1)=f3)g3)=0, 21f(9()=f(2021)9(2021)=f(1)9(①=0，选项D正确： 故选AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知随机变量~N2,o2),且P(X≤)=P(X21),则= ,:一爱)的展开式中常数项为 【答案】3,1215 第7页，共15页 【解析】【分析】 本题考查了二项展开式和正态分布，属于中档题. 根据正态分布可求出3，再根据二项式定理求解. 【解答】 解：由正态分布曲线的对称性可得： a+1=2,解得3 2 故x-爱)=c-是)， 设二项展开式的第+1项为： T+Cx6-(-是) =Cg(-3)x62歌， 当-4时，常数项为：C(-3)4=1215, 即(x-是)的展开式中常数项为1215. 故答案为：1215. 13.有3男2女共5名学生被分派去A,B,C三个公司实习，每个公司至少1人，且A公司只要女生，共 有」 种不同的分派方法.（用数字作答） 【答案】34 【解析】【分析】 本题考查了分类、分步两个计数原理和组合与组合数公式的应用，属于中档题. 利用分类计数原理将该问题分成两类，对A公司进行分类讨论，每一类中用分步乘法计数原理及组合的综 合应用进行解答即可. 【解答】 解：第一类，A公司只有1个女生，有C=2种分派方案， 则B,C公司分派人数可以为2,2或者1,3或者3,1共3种分派方案，共C+C4+C=14种， 所以一共有2×14=28种分派方案： 第二类，A公司有2个女生，只有1种分派方案，B,C公司的分派人数只能是1,2或者2,1，则有C+ C3=6种： 根据分类计数原理共有28+6=34种. 故答案为34. 第8页，共15页 14.己知函数f)=e-e-sin2x+1,若对任意x∈(，+o),f(al0+f(-)<2,则实数a的取 值范围为 【答案】(-o,e) 【解析】【分析】 本题考查了利用导数解决恒成立问题，函数奇偶性和单调性的综合运用，属于较难题. 令g()=e-ex-2sin2x,判断出函数g()的单调性与奇偶性，将原不等式转化为anx<x对任意x∈ (1,+∞)成立，分离参数，构造函数，利用导数求得最值即可得到结果. 【解答】 解：令g()=e-ex-3sin2x, 则g(-)=ex-e-方sim(-2x)=e-e+号sin2x=-g(),9()的定义域为R,关于原点对称， 可知函数g(x)为奇函数， g'(x)=e*+e-x-cos2x>2Vee-x-1=1,当且仅当x=0时取等号， 可得函数g(x)在R上单调递增， f(alnx)+f(-x)<2 Eg(alnx)+1+g(-x)+1<2, 即g(alnx)<-g(-x)=g(x)对任意x∈(1，+o)成立， 可得alnx<x对任意x∈(1，+o)成立， 即a<品对任意x∈(1，+o)成立， 令n()=点xea,+m,则h()- 当1<x<e时，h'(x)<0,函数h(x)在(1，e)上单调递减： 当x>e时，h'(x)>0,函数h(x)在(e,+o)上单调递增， 则h(x)>h(e)=e, 即a<e, 故实数a的取值范围为(-oo,e). 故答案为(-o,e). 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.一个不透明的盒子中有质地、大小相同的球5个，其中红球3个，黄球2个，每次不放回的随机从盒 中取一个球，当盒中只剩一种颜色时，停止取球. 第9页，共15页 (1)求盒子中恰剩2个红球的概率； (2)停止取球时，记盒子中所剩球的个数为X,求X的分布列与数学期望 【答案】解：(1)恰剩2个红球，第3次必是黄球， P,-- A (2)X的所有可能取值为1,2,3， px-1)-9-是 A P6W=习是+-品 P)是 “X的分布列为 X 1 2 3 3 3 10 10 BW)=1×+2×品+3×0= 【解析】本题考查离散型随机变量的分布列及其均值，属于中档题， 16.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°， (1)证明：AB1A1C; (2)若AB=CB=2,A1C=V6,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积. C B B - 1 第10页，共15页 【答案】解：①证明：取AB的中点0，连接OC,OA1,A1B,如图所示， 因为CA=CB,所以OC L AB. 由于AB=AA1,∠BAA1=60°，故△AA1B为等边三角形， 所以OA1⊥AB. 因为0C00A1=0,0C,0A1c平面0A1C, 所以AB1平面OA1C 又A1Cc平面0A1C,故AB1A1C: (I)由CA=CB,AB=AA1,AB=CB=2,∠BAA1=60°， 易知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形， 所以0C=0A1=V3. 又A1C=V6,则A1C2=0C2+0A,故0A110C, 因为OC∩AB=O,OCC平面ABC,ABc平面ABC, 所以0A11平面ABC,OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高. 又△ABC的面积SA4BC=V3, 故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△4Bc×0A1=V3×V5=3, 【解析】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，考查了棱柱的体积，考查空间想象能力、运算能力和推 理论证能力，属于中档题. (①取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B,可通过证明AB1平面OA1C得要证的结论： I)在△OCA1中，由勾股定理得到0A1⊥OC,再根据0A11AB,得到0A1为三棱柱ABC-A1B1C1的高，利 用已知给出的边的长度，直接利用棱柱体积公式求体积. 17.己知函数fx)=ae-1-nx+lna. (1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若f(x)≥1，求a的取值范围. 【答案】解：(1)当a=e,f(x)=e-nx+1, f'x)=e-是k=f'(1)=e-1,f1)=e+1, 第11页，共15页 所以切线方程为：y-e-1=(e-1)x-1), 即y=(e-1)x+2, 所以切线在y轴上的截距为2，在x轴上的截距为品。 所以三角形的面积5=×2×名=名 e-1e-1 (2)f(x)aex-1-Inx Ina elna+x-1-Inx +Ina, 要使fx)≥1，只需ena+x-1-lnx+lna≥1， 即elna+x-1+lna-1≥lnx, 即ena+x-1+lna-1+x≥lnx+x=enx+lnx, 令g(x)=ex+x,g(x)=ex+1>0,g(x)单调递增， 故只需gna+x-1)≥glnx): 因为g(x)为增函数， 只需证lna+x-1≥lnx, 即lna≥lnx+1-x, 设h(x)=ln+1-x, h(倒=片1=子 所以h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+o)上单调递减， h(x)max=h(1)=0, 所以na≥0，a≥1， 即a的取值范围为[1，+o). 【解析】本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性问题. (1根据导数的几何意义进行计算即可. (?把条件进行等价转化，利用导数研究函数的单调性、最值， A1 再根据函数的单调性得不等式，求解即可. 18.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D在BC上，AD⊥ B1 DC1. (1)证明：AD1平面BB1C1C: (2)若AB=AC=2V2,AB1AC,二面角C-AC1-D的大 B 第12页，共15页 小为 ①求AC与平面ADC1所成角的正弦值； ②点E在侧面ABB1A1内，且三棱锥E-ADC,的体积为号 求E的轨迹的长度. 【答案】解：(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC11平面ABC, 因为ADc平面ABC,所以CC1⊥AD 又因为AD⊥DC1,CC1nDC1=C1,CC1,DC1c平面BB1C1C, 所以AD1平面BB1C1C. (2)①在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA11平面ABC,AB1AC, 以AB,AC,AA为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 8---- A C 0 则D(W2,V2,0),设B1(2V2,0,a),C1(0,2V2,a) 设平面ADC,的法向显而=K,由AD-0.得+V20取x=1,得-1，=22 (n·AC1=0,(2V2y+az=0, 所以平面4DC,的一个法向量=(0，-12吗). 又平面C4C1的法向量=(L0,0),所以cos号-高 nin2l - 2,解得a=2(舍去负值). 所以=(1，-1，V2),AC=(0,2W2,0),所以c0s<n,AC>= -22 2×2V2 设AC与平面ADC,所成角为6，则sin0=号 ②因为AD1DC1AD=2,DC1=2W2,所以S△ADC1=2W2. 因为三棱锥E-ADC1的体积为装，所以E到平面ADC1的距离为V2, 因为E在侧面ABB1A1上，可设E(,0,Z), 第13页，共15页 E到平面ADC1的距离为d=A=4y22=V2, nil 2 所以E在侧面ABB1A1上的运动轨迹是线段A1B,所以E的轨迹长度为2W3. 【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.己知函数f(x)=n(x+1)-ax2+x在x=V2处取得极值. (1)求实数a的值： (2)是否存在自然数k,使得方程fx)=x2在（化，k+1)内有唯一的根？如果存在，求出k的值；如果不 存在，请说明理由： (3)若x>0,f)≤tln(x+1)+x2成立，求实数t的取值范围. 【答案】解：（④）f)=nGx+1)-ax2+x求导得f()=本1-2ax+1, 因函数f(x)在x=V2处取得极值，则f'(W2)=0, 所以本-2v2a+1=0,则a=2 当a=时，f阅=本x+1=品 =-x+V2)x-V2) x+1 当x∈(-1，V②时，f'(x)>0,则f(x)在(-1，V②)上单调递增； 当x∈(W2,+∞)时，f'(x)<0,则f(x)在(2，+∞)上单调递减， 所以f(x)在x=√2处取得极值成立， 故a= (②)由(1)知方程f)=2,即1nc+1)-2+x=0, 令g(网=lnx+)-圣2+x, 因为k∈N,则需要在(0，+∞)上讨论，显然g(O)=0, 9'=+x+1=-24--8x+ 2(x+1) 2(x+1) 则当0<x<1时，g'(x)>0;x>1时，g'(x)<0 所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 因为g(2)=m3-3+2=3-1>0,ge)=n4-￥+3=m4-5<0, 所以存在唯一的xo∈(2,3)，使g(xo)=0, 所以存在k=2,使得f)=}x2在（化，k+1)内有唯一的根： 第14页，共15页 (3)令h()=f)-tlm(x+1)-4x2=(1-t)n(x+1)-x2+x, 则h()=片-x+1=-兰e>0). ①因为抛物线y=3x2+x+2t-4的对称轴方程为x=-合开口向上， 所以2t-4≥0即t≥2时，3x2+x+2t-4>0对x>0成立，所以t≥2时，h(x)<0对x>0成立， 所以h(x)在(0，+o)上单调递减， 又h(0)=0,所以x>0时，h(x)<0成立， 即此时，x>0,f(x)≤tn(x+1)+x2成立； ②当t<2,4=1-12(2t-4)=49-24t>1, 记3x2+x+2t-4=0的两根为x1,x2(x1<x2),y=3x2+x+2t-4, 则x1=1-49-2,X2=-1+9-24 6 6 则x1<0,x2>0, 所以当0<x<x2时，h'(x)>0,当x>x2时，h'(x)<0, 所以h(x)在(0，x2)上单调递增，在x2,+∞)上单调递减， 所以h(x2)>h(O)=0,所以h(x)<0不能恒成立， 即vx>0,f)≤tm(x+1)+x2不能恒成立， 综上，t的取值范围是[2，+∞). 【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第15页，共15页2027届高三（上)数学综合训练（三)8.29 出题： 做题： 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.己知全集U={xx是小于12的素数}，集合A={5,7,11),则CuA=() A.{3 B.{2,3} C.{3,9} D.{1,2,3 2.己知z=2-i,则z(亿+)=() A.6-2i B.4-2i C.6+2i D.4+2i 3.若“x∈[1,2]，使2x2-x+1<0成立”是假命题，则实数的取值范围是() A.(-∞，2W2] B.[2W2,] C.（-∞，3] D.[3,+o) 4.某高校决定从甲、乙等7支队伍中选出4支队伍参加全国的数学建模大赛，已知甲队被选出，则乙队 也被选出的概率为() A.方 B.月 C. D.员 5.在正三棱台ABC-A1B1C1中，AB=4,A1B1=2,A1A与平面ABC所成角为经则该三棱台的体积为 () A.号 B.28 c.兰 D. 6.17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想 方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法，数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天 文学家的寿命延长了许多倍”.已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，设N=45×2710,则N所在的区间 为() A.(1015,1016) B.(1016,1017) C.(1017,1018)D.(1018,1019) 7.设a=in号，b=6-1,c=lm5,则有() 4 4 A.azb>c B.b>azc C.b>c>a D.c>b>a 8.己知f(x)=x2e2x+ax|e+2(a∈R)有4个零点，则实数a的取值范围为() A.(-∞，-2W② B.(-2W2,+∞)C.(-∞，-2e-) D.(-2e-,+∞) 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知正数a,b满足a+3b=2V5,则() 第1页，共4页 A.0<b<2 3 B.√ab的最小值为1 C.a2+9b2的最小值为6 D.日+高的最小值为2 10.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，N为棱AB上一点，且AN=1,动点M在正方体ABCD- A1B1C1D1内及其表面上运动，下列说法正确的是() A,异面直线DN与4：G1所成角的余弦值为 B.若M是线段B1C上的动点，则M到平面DA1C1的距离为定值 C.若tanMAD=2 2tan-MDA,.则MC,的最小值为号 D.若M满足MA1MC,MB11MD1,则M的轨迹的长度为4π 11.设定义在R上的函数f(x)与gx)的导函数分别为f'(x)和g'(x),若f(x+2)-g(1-x)=2,f'(x)= g'(x+1),且g(x+1)为奇函数，则下列说法中一定正确的是() A.g(1)=0 B.函数g'(x)的图象关于x=2对称 C.0g()=0 D.021f(的g()=0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知随机变量KN2,o2),且P(X≤)=P(X21),则 《一后)的展开式中常数项为 13.有3男2女共5名学生被分派去A,B,C三个公司实习，每个公司至少1人，且A公司只要女生，共 有 种不同的分派方法.（用数字作答） 14.已知函数f)=e-ex-2sin2x+1,若对任意x∈(1，+o),f(a)+f(-x)<2,则实数a的取 值范围为 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.一个不透明的盒子中有质地、大小相同的球5个，其中红球3个，黄球2个，每次不放回的随机从盒 中取一个球，当盒中只剩一种颜色时，停止取球. (1)求盒子中恰剩2个红球的概率； (2)停止取球时，记盒子中所剩球的个数为X,求X的分布列与数学期望 第2页，共4页 16.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°. (1)证明：AB1A1C; (2)若AB=CB=2,A1C=√6，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积. 17.己知函数f(x)=ae-1-lnx+lna. (1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若f(x)≥1，求a的取值范围. 18.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D在BC上，AD1DC1 (1)证明：AD1平面BB1C1C: (2)若AB=AC=2W2,AB1AC,二面角C-AC1-D的大小为 ①求AC与平面ADC1所成角的正弦值； ②点E在侧面ABB1A1内，且三棱锥E-ADC1的体积为，求E的轨迹的长度. D 第3页，共4页 19.已知函数f(x)=ln(x+1)-ax2+x在x=V2处取得极值. (1)求实数a的值； (2)是否存在自然数k,使得方程fx)=子x2在（化，k+1)内有唯一的根？如果存在，求出k的值；如果不 存在，请说明理由： (3)若Vx>0,f(x)≤tlm(x+1)+x2成立，求实数t的取值范围. 第4页，共4页