滚动卷三(第三～四章)-【金卷1号】2026-2027学年高中数学必修第一册单元检测AB卷（人教A版）

滚动卷三（第三~四章） p (时间：120分钟满分：150分) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的)》 授 1.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x+1)为奇函数，当x∈[0,1]时，f(x)=k· 3+a.若f(0)+f(3)=4,则f(1og32)= A.2 B.0 C.-3 D.-6 2.已知a=30g3,b=一21og16,c=log,3,则a,bc的大小关系为 的 A.a>b>c B.c>a>b C.bc>a D.b>a>c 3.已知函数f(x)=aa +8(a>0,a≠1)在区间[a,b们上的最小值为一10，则函数f(x) 叩 在区间[-b,-a]上的最大值为 典 A.10 B.26 C.-10 D.与a有关 4.已知2>2，则下列结论一定成立的是 ( A.1n(a-b)>0 B()>(合) C >1 D.ab 9 5.函数y=f(x)的反函数为y=f1(x),y=f(x)的图象与直线y=x有且仅有一个交点， 则y=f1(x)与y=f(x)的交点个数为 热 A.0个 B.1个 C.2个 D.不确定 6.随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机.某新能源汽车加工厂生 产某款新能源汽车每年需要固定投入100万元，此外每生产x辆该汽车另需增加投资 荞 8（x万元，当该教汽车年产量低于400辆时，g)=30<+2,当年产量不低于400辆 时，g()=16x+3600-300,该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完， 则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为 A.1500万元 B.2100万元 C.2200万元 D.3800万元 呐 7.已知函数f(x)=4x-3[x]+3(0<x<3),其中[x]表示不大于x的最大整数（如[1.6]=1， [-2.1]=一3)，则函数f(x)的零点个数是 ( A.1 B.2 C.3 D.4 45 8.若关于x的方程x3+a.x十c=0有三不等的实数根x1,x2,x3,且满足其中两根x1,x2∈ (一1,1)，则C的取值范围是 A.（-1,0) C.(0,1) D.(03) 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9.函数y=a”与y=一logx(a>0,且a≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是() 10.若a>b>0,0<c<1,则 A.log a<logb B.cac C.ab D.log (a+b)>0 (2a-1)x+8a-2,x<1 11.函数f(x)= 在（一∞，十∞）上单调递减的充分不必要条件是 a,x>1 A.<a< B.iasl D.长a<8 12.已知函数f(x)=1十，m,(m∈R)为奇函数，则下列叙述正确的有 3x+1 A.m=-2 B.函数f(x)在定义域上是单调增函数 C.f(x)的值域为（一1,1） D.函数F(x)=f(x)-sinx所有零点之和大于零 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.函数f(x)=x2十mx一1在[一1,3]上是单调函数，则实数m的取值范围是 14.若指数函数f(x)=(a一1)x是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是 15.函数y=1og2(-x2-2x十3)的单调增区间是 16.函数f(x)=x-1n(x+1)-1的零点个数是 —46 四、解答题（本大题共6个小题，共70分） 17.(10分)已知函数f(x)=2一a·2x是定义在R上的奇函数. (1)用定义法证明函数f(x)的单调性； (2)求不等式f(x2+2x)十f(x一4)>0的解集. 18.(12分)已知函数f(x)=kx十1og3(3+1)(∈R)为偶函数. (1)求实数k的值； (2)判断函数g()=f）-x-10g,(3-ID零点的个数. 19.12分)已知函数f(x)=。1十a为奇函数， (1)求a的值； (2)用单调性的定义证明：f(x)在R上单调递减. 47 20.(12分)求函数f(x)=x+5.x3-27x2-101x-70的零点. 21.(12分)已知f(x)=x2+ax+a. (1)若函数y=f(x)有零点，求实数a的取值范围； (2)若方程f(x)=0有两个实根x1,x2,求x+x的最小值. 22.(12分)记函数y=f(x)的定义域为D,若对任意的x∈D,都有f(f(x)=x成立，则称 f(x)是集合M的元素. (1)判断函数f(x)=一x十1，g(x)=2x一1是否是集合M的元素； (2)若代)=∈Ma<0),求使f)<1成立的x的取值范围. —48a-1≠0 =241-22_Q(22-2x2) △=a2-4(a-1)×(-1)>0 21·222 4>0 =(24-2)(1-24 24+>0, >0 2x2<22,.1 2<0,即a>2,+3, 解得2√2-2<a<1, :x1十x2<4,∴.2+2<24=16，∴a≥16，即a的取 所以实数a的取值范围是（2√2-2,1). 值范围为[16，十o∞). 20.[解](1)：f(x)为偶函数， 滚动卷三（第三一四章） ∴.f(-x)=fx), 即f(-x)=e 11.A[.f(x十1)为奇函数，.f(-x+1)=-f(x+1), a +。a+ae=f)=g+ a 又f(x)为偶函数，.f(-x十1)=f(x-1), ,脚（日-a)e=(日-a)e,对任意x∈R恒成 ∴.f(x-1)=-f(x+1), 即f(x)=-f(x+2), 立，所以a=1: .f(x十4)=一f(x十2)=f(x),所以函数f(x)的周 所以fu)=e+是 期为4，由f(-x+1)=-f(x+1),令x=0, 易得f(1)=0,f(3)=f(-1)=f(1)=0,.f(0)=4, (2)f(x)在区间(0，十o∞)上单调递增.理由如下： 任取x1、x2∈(0，十∞)，当x1<x2时， :f0)=k+a=4 f1)=3k+a=0 解得k=一2，a=6, f)-fn)=e函+-(e+)=-+ ∴.当x∈[0,1]时，f(x)=-2·3r+6, f(l0g32)=-2×3og,2+6=-2×2+6=2.故选：A.] 若--c0-e》 2.A[由题意可得a=31ogs3=3X1og23 10g228=1og23>1, 由于0长<，所以e-<01>0, b=- 1×log3l16 1og34>1, 所以f(x1)-f(x2)<0,故f(x)<f(x2), 1g16= 21og33 1 所以f(x)在区间(0，十∞)上单调递增. 0<c=log43<1, 21.[解]1时于画数/，有号号>0，则号<0，解 1g21g3 得一2<x<2,所以函数f(x)的定义域为（一2,2）， 又bs8-log1-景特-24， 由于lg2>0,lg4>0,lg2≠1g4, f(-x)=loga ,2-工=-f(x), 2十=-loga2+x ∴.lg21g4<（ 2生)-0g<g. 故函数f(x)为奇函数. 2一x 故log23-log34>0,∴.a>b, (2)由fx)=log(x-m)可得x一m=2+x 综合可得a>b>c, 则m=x+一2 故选：A.] 去x十之生十1一一 x+2 令g)=+142其中-2<2。 .Bf)=2”'+8a>0,a≠1. y=a与y=一ax单调性相同， 因为画级y=工十1，y=一2在(-2,2)上为增离 ∴.f(x)在区间[a,b],区间[-b,-a]上均为单调函数， 数，故函数g(x)在（一2,2）上为增函数， 又g(x)=a-4二（a>0,a≠1D. 2 当-2K<2时g)=十1-2∈(-0,2. 满足g(-x)=一g(x),即g(x)为奇函数， 因此，实数m的取值范围是（一o∞，2）. 1 :fx)=a,4+8(a>0,a≠1)在区间[a,b]上的最 2 22.[解](1)f(x)为奇函数，.f(-x)十f(x)=2x 小值为一10， +a·22+2x+a·2x=(a+1)(2x+2r)=0, 又2x+2x>0,∴.a十1=0，解得：a=-1. ..g(x)=a*-a-x 2一(a>0,a≠1)在区间[a,b]上的最小 (2)设x1<x2≤2， 值为一10一8=-18， ,f(x)在（一∞，2]上为严格减函数， .g(x)在区间[-b,一a]上的最大值为18， ∴.f(x1)-f(x2)>0恒成立， .函数f(x)在区间[一b,一a]上的最大值为 即23十a·2-x1-2r2-a·2x2 18+8=26.故选：B.] 91 4.D[由2>2，得a>b,取a=3,b=2,则ln(a-b)=0,1 则画教fx)零点的个数，即为画数y=lnry=子([] 选项A不正确：因为>b,由于画教y=(合)广在R上 ,0<x<1 单润递减，故（侵）广<（合）广，选项B不正确：因为心 4 1)= 0,1x<2 两个图象交，点的个数， 6取=3,6=2.(）-<1，选项C不E确：由 3 2≤<3 于幂函数y=x3在R上单调递增，故选项D正确.故 选：D.] 作出函数y=lnx,y= 3([x]-1)的图象，如图所示， 4 5.D[例如f(x)=x2,x∈(-o∞，0]，f-1(x)=-√E, 因为e3>2.73=19.683>24, 令x2=-√，x∈(-o∞，0]，可得x=0,故y=f1(x) 所以e>2,所以是>1n2。 与y=f(x)有1个交点. y=f(x)=2,x∈[0，+o)y=f1(x) y=n =√-2.x十4， 23 e 令24=厂2x十4，可得x-8x2+8x=0,故=0 -2 或x3-8.x+8=0. 对于x3-8.x+8=0,可得x3-8-8.x+16=0, 由图可知y=lnx,y= 子[]-1D的图象有三个交点， 即(x-2)(x2+2x+4)-8(x-2)=(x-2)(x2+2x- 所以函数f(x)有3个零点.故选：C.] 4)=0, !8.A[若c=0,则x3+a.x2+c=x3+a.x2=x2(x+a)=0 解得x=2或x2+2x-4=0. 至多有2个不相等的实根，由题意得：C≠0， 对于x2+2x-4=0,可得x=二2±√22-4X1×(-4) 设f(.x)=x3+ax2+c,则f(0)=c≠0，即方程x3+a.x2 2 十c=0的根不会为0，即x1,x2,x3均不为0，当a=0 =-1±5. 时，x3+c=0有一个根，不满足题意，故a≠0， 因为x≥0且-2x+4≥0，解得0≤x≤2，故x=√5-1 由题意，x3+a.x2+c=（x-x1)(x-x2)(x-x3) (舍去x=-1-√/5). x3-(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3十x2x3) 故f(x)=f1(x)的根为x=0或x=2或x=√5-1， xT1x2x3· 故y=f1(x)与y=f(x)有3个交点. Q=-(x1十x2十x3) 故y=f-1(x)与y=f(x)的交点个数不确定. 可得a=x1x2+x1x3十x2x3=0, 故选：D.] C=一x1x2x3 6.C[设该工厂生产并销售这款新能源汽车的年利润为！ 假设x1十x2=0,则x1x2十x1x3十x2x3=x1x2十(x1十 f(x)(万元)，由题意可知， x2)x3=x1x2=0,这与x1,x2,x3均不为0相矛盾，故 15x 8 x2+9 -100,0≤x<400 x1十x2≠0， f(x)= 由x1x2十x1x3十x2x3=0,整理可得x3= 172 36000 15x- 16.x+ 3500）-100,x≥400 x1+x21 ! 1 80x221 1x2E（-1,1),令m=n=元 十21-100,0≤xr<400 即f(x)= 则m,n∈(-o∞，-1)U(1,十∞)， 36000+3400,x≥400 .mn>1或m<-1, x1x2=一 1 当0≤x<400时，f(x)的对称轴x=420>400, 由题意知：x3= x1十x2 141 则f(x)<f(400)=2100:当x≥400时， f(x)=- (x+36000)+3400≤-2V36000+3400 1∈(-1,1)，则m十n∈(-1,0)U(0,1), m十2 =2200,当且仅当x=600 假设m,n同号，则m十n∈(-∞，-2)U(2,+∞)，这 时，f(x)取得最大值2200. 与m十n∈(-1,0)U(0,1)相矛盾， 综上，该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利！ .m,异号，则mn<-1, 润为2200万元.故选：C.] (x1x2)2 7.C[令f(x)=4lnx-3[x]+3=0, 17273 x1+x2 则1nx=子]-1， a x1+x2+x3 x1十x2 7172 x1+x2 92 (x1x2)2 2 1x-(x1+x2)2 1 T1T2 (+ 故A选项正确：因此f()=1一3十' 又因为y=3”十1在定义域上是单调增函数， mn-(m十)2 所以y= 2为单调减函数， 3+1 m+n∈(-1,0)U(0,1),则-(m+)2∈(-1,0)， 且mn<-1, 即fx)=1- 2在定义城上是单调增画数， 32+1 故mn-(m十n)2<-1, 故B选项正确： amn-(m+)∈(-1,0)，排除C,D: 则 1 令t=3r+1,t∈(0，+o∞)， 音，则m==-1.1,m=1=1.2, 所以f0)=1-2在E(0,+o∞)上的值城为(-1，D, 取x1= 10 故C选项正确； I172 x3= =一10<一1，满足上述分析，故符合 函数F(x)=f(x)一sinx所有零，点可以转化为 x1十x2 f(x)=sinx的两个函数的交点的横坐标， 题意， 因为f(x)和y=sinx都为奇函数，所以若有交点必 可得二 1 a mn-(mn 然关于原点对称，那么其和应等于零， 故选：A.] 9.BD[当a>1时，y=a2是增函数，y=-logx是减函 789 数，当0a<1时，y=a是减函数，y=一logax是增函！ 数，排除A项和C项，故BD项正确.] ! 10.AC[因为0<c<1,所以y=logx为单调递减函数， 故D选项错误.故选ABC.] 由a>b>0得loga<logb,故A正确： 13.(-∞，-6]U[2,十∞)[因为f(x)在[-1,3]是单 因为0<c<1,所以y=2为单调递减函数， 调画数，故一受<-1或一受>3， 由a>b>0,得c4cb,故B错误； 所以m≤-6或m≥2， 因为a>b>0,0<c<1,所以（号）广>1，所以a>, 即m的取值范围为(-o∞，一6]U[2,十o∞).] 故C正确： 14.(1,2)[指数函数f(x)=(a一1)x是R上的单调减 取c=7a+b=2.则1bga十b)=l0g42=-1<0,故 函数， ∴.0<a-1<1,解得1<a<2, D错误.故选AC.] ∴.实数a的取值范围是(1,2).] 1(2a-1)x+8a-2,x1 :15.(-3,-1][由-x2-2x+3>0, 11.AD[若函数fx)= a2,x≥1 得-3<x<1, 在（一o∞，十∞）上单调递减， 由函数t=一x2一2x十3对称轴为x=一1， 2a-1<0 得函数t=一x2-2x十3 可得0<a<1 在定义域内的增区间为（一3，一1）， (2a-1)+8a-2≥a 又因为y=log2t单调递增， a∠2 1 所以函数y=l0g2(一x2-2x+3)的单调增区间是(-3， -1.] 解得0<a<1,即号<a<7 16.2[函数f(x)=x-ln(x+1)一1的零点个数，即为 ≥号 函数y=ln(x十1)与y=x-1图象的交点个数. 在同一坐标系内分别作出函数y=ln(x十1)与 由3[片)[分音][分)： y=x一1的图象，如图所示： (2a-1)x+8a-2,a<1 即AD选项均为f(x)= y=-1 y=In (x+1) ar,x≥1 在（一∞，十∞）上单调递减的充分不必要条件，故 选AD.] -3-2-1 0/1 2345x 12.ABC[因为画教)=1十3牛m∈R)为寺孟就· 所以0)=1十3年11十号-0.解得=-2。 由图可知函数f(x)=x一ln(x十1)一1的零点个数 2 是2.] 93 17.[解](1)因为f(x)是定义域为R上的奇函数，根据 (2)由(1)可知，f()=e2+1 4 -2. 奇函数性质f(一x)=一f(x)可得， 当x=0时，f(0)=0,因为f(0)=1-a=0, 不妨设x1<x2, 解得a=1,所以f(x)=2x-2x, 4 此时f(-x)=一f(x）),故a=1. 则)fe+1-(2 f(x)在R上单调递增， 4 4 4 e+71+e+1e+De24-e2), 证明：任取x1x2∈R,且x1<x2,则 因为x1<x2,y=e为单调递增函数， f(x1)-f(x2)=221-2x1-222+2x2=2-22+ 所以e2>e2x1>0, 2--21+)》 故f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 故f(x)在R上单调递减. 因为2兴<2.1+>0.所以)-)0 、 20.[解]因为f(x)=x4+5.x3-27x2-101x-70=(x 所以f(x1)<f(x2),故f(x)在R上单调说增： -5)(x+7)(x+2)(x+1), (2)因为f(x)是R上的奇函数， 由f(x)=0得：x1=5,x2=-7,x3=-2,x4=-1, 所以f(x2+2x)+f(x-4)>0, 所以函数f(.x)=x4十5.x3-27x2-101.x-70的零点 可化为f(x2+2x)>f(4-x), 是：5，-7，-2，-1. 由(1)中结论可得，f(x)在R上单调递增， 21.[解](1)由题意可得：△=a2-4a≥0，解得a≥4或 所以x2+2x>4-x,解得x<-4或x>1, a≤0，故实数a的取值范围为(-o∞，0]U[4,十o∞). 因此不等式的解集为{x|x<一4或x>1}. (2)由f(x)=x2+a.x十a=0,可得x1十x2=-a, 18.解](1)因为函数f(x)=k.x十log3(3+1)(k∈R)； z1x2=a, 为偶函数， 则x星+x号=(x1十x2)2-2x1x2=a2-2a, 所以f(-x)=f(x) ,y=a2-2a的对称轴为a=1, 即-k.x十log3(3x+1)=k.x+1og3(3r+1), 注意到a∈(-∞，0]U[4,十o∞)，则当a=0时， 3+1=log32=-x 整理得2kx=1og33r+1 a2-2a取到最小值0， 即x吊十x号的最小值为0. 则2张=-1解得=一2 22.[解](1)因为对任意x∈R,f(f(x)=-(-x十1) 十1=x,所以f(x)=-x+1∈M,因为g(g(x)= (②)由①)知fx)=一3+log(3*+ 2(2.x-1)-1=4x-3不恒等x,所以g(x)庄M: 所以g)=f)-7-1og,(3*-1D (2)因为f)=0∈Ma<0).所以ffx》= 对定义域内一切x恒成立， =-x+log3(32+1)-1og3(3x-1)= x+10g,则函数g(x)的零点的个数等价于 所以 x+1 =x,即(a+1)x2-(a2-1)x=0恒 3十1=x根的个数， 方程1og31 成立， 即方程3*=3*+ 3x-1 x>0)根的个数， 1a+1=0 故 解得a=-1, a2-1=0 令t=32(t>1),则转化为方程t2-2t-1=0(t>1)根 的个数， 由1得希1，>0 而方程t2-2t-1=0(t>1)的根为t1=1十√2>1， 所以x<-1或>-2 1 t2=1-√2<1， 所以函数g(x)=f(）-2x-1og(3-1)有一个 1 第五章三角函数 A卷学业水平达标卷 零点 19.[解](1)依题意，x∈R,f(-x)+f(x)=0, :1.D[当x [-]时2+[-+] 4 +4e2x +2a= 为)y如[-音·登]上华祸递赠， 4+2a=0, 解得a=-2. 所以一 94