☆ 二进制的秘密（综合培优讲义）-2026-2027学年六年级数学上册（苏教版）

单元培优讲义 ☆ 二进制的秘密（综合培优讲义） 考点一：二进制的基本概念 【知识要点】 1. 二进制：用 0 和 1 两个数字表示所有数的计数方法。 2. 进位规则：满二进一（十进制是满十进一）。 3. 数位意义：二进制各位上的数字表示"几个 2 的若干次方"。 4. 常见进制：十进制（逢十进一）、二进制（逢二进一），计算机内部用二进制存储数据。 【典型例题】 在二进制中，从 0 开始依次写出前几个数。 解：二进制数依次是：0、1、10、11、100、101、110、111、1000…… 【易错提醒】 1. 误以为二进制中有 2 这个数字。 2. 进位规则记错，把"满二进一"记成"满十进一"。 3. 写二进制数时出现 2，如把 2 写成"2"而不是"10"。 考点二：二进制数与十进制数的互化（二进制→十进制） 【知识要点】 1. 把二进制数按位展开成"1 × 2 的幂"相加，即可化成十进制数。 2. 从右往左，各数位的权重依次是 、、、…… 3. 例：。 4. 展开求和即可得到对应的十进制数。 【典型例题】 把二进制数 化成十进制数。 解：。 答：。 【易错提醒】 1. 数位权重搞反，从高位开始乘 。 2. 漏乘为 0 的位，或加法计算失误。 3. 把二进制数与十进制数混写，忘记写下标区分。 考点三：十进制数化成二进制数（除 2 取余法） 【知识要点】 1. 方法：除 2 取余，倒序排列。 2. 步骤：用十进制数不断除以 2，依次记下每次的余数（0 或 1），直到商为 0；把余数从下往上倒序写出，即得二进制数。 3. 例：13 ÷ 2 依次余 1、0、1、1，倒序为 1101。 4. 该方法是二进制与十进制互化的核心，要熟练掌握。 【典型例题】 把十进制数 13 化成二进制数。 解： 余 1； 余 0； 余 1； 余 1。 余数倒序排列：1101。 答：。 【易错提醒】 1. 余数按正序写出，忘记倒序。 2. 除到商为 1 就停止，最后一个余数漏写。 3. 除 2 计算错误，导致余数错。 考点四：二进制数的大小比较与简单加减 【知识要点】 1. 比较两个二进制数大小：先比位数，位数多的数大；位数相同，从高位到低位逐位比较。 2. 二进制加法：逢二进一，如 。 3. 二进制减法：借位时按"借 1 当 2"处理。 4. 通常先把二进制化成十进制比较或计算更简便。 【典型例题】 比较 和 的大小。 解： 有 3 位， 有 4 位，位数多的数大，所以 。 【易错提醒】 1. 比较大小只看数字不看位数，误以为 110 大于 1010。 2. 二进制加法忘记逢二进一。 3. 减法借位规则记错。 考点五：二进制在生活中的应用 【知识要点】 1. 计算机内部所有数据（文字、图片、声音等）都用二进制表示，因为电子元件只有"开/关"两种状态。 2. 生活中用"位权"表示法，如用 1、2、4、8……组合可以表示任意数量。 3. 二进制是一种"最简计数"，只有两个符号，方便用两种状态（通断、亮灭、正反）表示。 4. 理解二进制有助于理解十进制及其他进制。 【典型例题】 有 1 克、2 克、4 克、8 克砝码各一个，最多可以称出多少种不同质量的物体？ 解：四种砝码每个可取或不取，相当于 4 位二进制： 种（不含 0 克），从 1 克到 15 克都可以称出。 答：最多可以称出 15 种不同质量。 【易错提醒】 1. 把"取或不取"的组合数算错，忘记用二进制思想。 2. 不理解二进制"0/1"与生活"通断、亮灭"的联系。 3. 组合数计算时漏掉或不排除 0 的情况。 一、填空题 1. 二进制的计数符号只有____和____两个数字，进位规则是________。 2. 十进制数2写成二进制数是________。 3. 二进制数从右往左数，第1位（最右侧）的位权是2的____次方。 4. 二进制加法：1₂ + 1₂ = ________。 5. 比较大小：110₂ ________ 101₂（填＞、＜、＝）。 6. 十进制转二进制使用________法，将十进制数不断除以2，记下余数，最后将余数________排列得到二进制数。 7. 计算机内部存储数据采用________进制，因为电子元件只有开、关两种状态。 8. 二进制数 1011₂，从右往左第3位上数字是________。 9. 有1克、2克、4克砝码各1个，利用二进制思想，一共可以称出____种不同质量（不含0克）。 10. 二进制减法借位规则：借1当____。 二、选择题（8题） 11. 下面数字中，属于合法二进制数的是（ ） A. 120　　B. 101　　C. 211　　D. 102 12. 将二进制 111₂ 转化成十进制数，结果是（ ） A. 3　　B. 6　　C. 7　　D. 8 13. 十进制数8转化成二进制是（ ） A. 100₂　　B. 1000₂　　C. 1111₂　　D. 1001₂ 14. 比较二进制 1001₂ 与 111₂ 大小，说法正确的是（ ） A. 1001₂ ＞ 111₂ B. 1001₂ ＜ 111₂ C. 1001₂ = 111₂ D. 无法比较 15. 十进制转二进制"除2取余法"，什么时候停止除法运算（ ） A. 商等于1　　B. 商等于0　　C. 余数等于0　　D. 余数等于1 16. 二进制算式 10₂ + 1₂ 结果为（ ） A. 11₂　　B. 10₂　　C. 01₂　　D. 101₂ 17. 有1克、2克、4克、8克砝码各1个，不能称出下面哪个质量（ ） A. 5克　　B. 11克　　C. 16克　　D. 14克 18. 把二进制 1010₂ 换算十进制，下面展开式正确的是（ ） A. 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 0×2⁰ B. 1×2⁰ + 0×2¹ + 1×2² + 0×2³ C. 1 + 0 + 1 + 0 D. 1×10³ + 0×10² + 1×10¹ + 0×10⁰ 三、计算题（2大题，共20小题） 19. 将下列二进制数转化为十进制数： （1）11₂　　　　（2）100₂ （3）101₂　　　　（4）110₂ （5）111₂　　　　（6）1001₂ （7）1010₂　　　（8）1100₂ （9）1101₂　　　（10）1111₂ 20. 将下列十进制数转化为二进制数（结果写下标2）： （1）5　　　　（2）6 （3）7　　　　（4）9 （5）10　　　　（6）12 （7）14　　　　（8）15 （9）16　　　　（10）18 四、解答题 21. 把二进制数 1100₂ 转换成十进制数，请写出完整展开计算过程。 22. 使用除2取余法，将十进制数21转化成二进制，写出每一步除法算式。 23. 比较 1011₂ 和 1100₂ 的大小，要求：先全部换算十进制，再比较。 24. 有1克、2克、4克、8克、16克砝码各一个，每个砝码可以选拿或者不拿（砝码只能放天平一侧）。利用二进制思想，一共可以称出多少种不同质量（不含0克），可以称出最大质量是多少克？ 25. 计算二进制加法 101₂ + 11₂（逢二进一），请写出计算过程，并把结果再换算成十进制检验。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $单元培优讲义 ☆ 二进制的秘密（综合培优讲义） 考点一：二进制的基本概念 【知识要点】 1. 二进制：用 0 和 1 两个数字表示所有数的计数方法。 2. 进位规则：满二进一（十进制是满十进一）。 3. 数位意义：二进制各位上的数字表示"几个 2 的若干次方"。 4. 常见进制：十进制（逢十进一）、二进制（逢二进一），计算机内部用二进制存储数据。 【典型例题】 在二进制中，从 0 开始依次写出前几个数。 解：二进制数依次是：0、1、10、11、100、101、110、111、1000…… 【易错提醒】 1. 误以为二进制中有 2 这个数字。 2. 进位规则记错，把"满二进一"记成"满十进一"。 3. 写二进制数时出现 2，如把 2 写成"2"而不是"10"。 考点二：二进制数与十进制数的互化（二进制→十进制） 【知识要点】 1. 把二进制数按位展开成"1 × 2 的幂"相加，即可化成十进制数。 2. 从右往左，各数位的权重依次是 、、、…… 3. 例：。 4. 展开求和即可得到对应的十进制数。 【典型例题】 把二进制数 化成十进制数。 解：。 答：。 【易错提醒】 1. 数位权重搞反，从高位开始乘 。 2. 漏乘为 0 的位，或加法计算失误。 3. 把二进制数与十进制数混写，忘记写下标区分。 考点三：十进制数化成二进制数（除 2 取余法） 【知识要点】 1. 方法：除 2 取余，倒序排列。 2. 步骤：用十进制数不断除以 2，依次记下每次的余数（0 或 1），直到商为 0；把余数从下往上倒序写出，即得二进制数。 3. 例：13 ÷ 2 依次余 1、0、1、1，倒序为 1101。 4. 该方法是二进制与十进制互化的核心，要熟练掌握。 【典型例题】 把十进制数 13 化成二进制数。 解： 余 1； 余 0； 余 1； 余 1。 余数倒序排列：1101。 答：。 【易错提醒】 1. 余数按正序写出，忘记倒序。 2. 除到商为 1 就停止，最后一个余数漏写。 3. 除 2 计算错误，导致余数错。 考点四：二进制数的大小比较与简单加减 【知识要点】 1. 比较两个二进制数大小：先比位数，位数多的数大；位数相同，从高位到低位逐位比较。 2. 二进制加法：逢二进一，如 。 3. 二进制减法：借位时按"借 1 当 2"处理。 4. 通常先把二进制化成十进制比较或计算更简便。 【典型例题】 比较 和 的大小。 解： 有 3 位， 有 4 位，位数多的数大，所以 。 【易错提醒】 1. 比较大小只看数字不看位数，误以为 110 大于 1010。 2. 二进制加法忘记逢二进一。 3. 减法借位规则记错。 考点五：二进制在生活中的应用 【知识要点】 1. 计算机内部所有数据（文字、图片、声音等）都用二进制表示，因为电子元件只有"开/关"两种状态。 2. 生活中用"位权"表示法，如用 1、2、4、8……组合可以表示任意数量。 3. 二进制是一种"最简计数"，只有两个符号，方便用两种状态（通断、亮灭、正反）表示。 4. 理解二进制有助于理解十进制及其他进制。 【典型例题】 有 1 克、2 克、4 克、8 克砝码各一个，最多可以称出多少种不同质量的物体？ 解：四种砝码每个可取或不取，相当于 4 位二进制： 种（不含 0 克），从 1 克到 15 克都可以称出。 答：最多可以称出 15 种不同质量。 【易错提醒】 1. 把"取或不取"的组合数算错，忘记用二进制思想。 2. 不理解二进制"0/1"与生活"通断、亮灭"的联系。 3. 组合数计算时漏掉或不排除 0 的情况。 一、填空题 1. 二进制的计数符号只有____和____两个数字，进位规则是________。 【详解】根据二进制基本概念，二进制只用0、1计数，遵循满二进一（逢二进一）的进位规则。 【答案】0；1；满二进一 2. 十进制数2写成二进制数是________。 【详解】十进制2，除2取余：2÷2=1余0；1÷2=0余1；余数倒序为10，写作 10₂。 【答案】10₂ 3. 二进制数从右往左数，第1位（最右侧）的位权是2的____次方。 【详解】二进制数位权从右向左依次：2⁰、2¹、2²……，最右边第一位是2⁰。 【答案】0 4. 二进制加法：1₂ + 1₂ = ________。 【详解】二进制逢二进一，1+1满2，向高位进1，本位写0，结果 10₂。 【答案】10₂ 5. 比较大小：110₂ ________ 101₂（填＞、＜、＝）。 【详解】位数相同，从高位比起。110₂ = 1×2² + 1×2¹ + 0×2⁰ = 6；101₂ = 5；6>5。 【答案】＞ 6. 十进制转二进制使用________法，将十进制数不断除以2，记下余数，最后将余数________排列得到二进制数。 【详解】十进制转二进制核心方法：除2取余法；计算结束后余数需要从下往上倒序书写。 【答案】除2取余；倒序 7. 计算机内部存储数据采用________进制，因为电子元件只有开、关两种状态。 【详解】生活应用考点：计算机内部全部使用二进制存储信息，对应元件两种状态。 【答案】二 8. 二进制数 1011₂，从右往左第3位上数字是________。 【详解】1011₂数位（从右）：第1位1，第2位1，第3位0，第4位1。 【答案】0 9. 有1克、2克、4克砝码各1个，利用二进制思想，一共可以称出____种不同质量（不含0克）。 【详解】3个砝码，每个取或者不取，总组合 2³ - 1 = 7种，可以称1~7克。 【答案】7 10. 二进制减法借位规则：借1当____。 【详解】二进制减法，向前一位借1，相当于本位为2，即借1当2。 【答案】2 二、选择题（8题） 11. 下面数字中，属于合法二进制数的是（ ） A. 120　　B. 101　　C. 211　　D. 102 【详解】二进制只能由数字0和1组成，A含2，C含2，D含2，只有B符合。 【答案】B 12. 将二进制 111₂ 转化成十进制数，结果是（ ） A. 3　　B. 6　　C. 7　　D. 8 【详解】111₂ = 1×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 4+2+1 = 7。 【答案】C 13. 十进制数8转化成二进制是（ ） A. 100₂　　B. 1000₂　　C. 1111₂　　D. 1001₂ 【详解】8÷2=4余0；4÷2=2余0；2÷2=1余0；1÷2=0余1；倒序余数1000，即 1000₂。 【答案】B 14. 比较二进制 1001₂ 与 111₂ 大小，说法正确的是（ ） A. 1001₂ ＞ 111₂ B. 1001₂ ＜ 111₂ C. 1001₂ = 111₂ D. 无法比较 【详解】1001₂是4位，111₂是3位；二进制位数多，数值更大。 【答案】A 15. 十进制转二进制"除2取余法"，什么时候停止除法运算（ ） A. 商等于1　　B. 商等于0　　C. 余数等于0　　D. 余数等于1 【详解】知识点：除2取余，一直除，直到商为0停止运算。 【答案】B 16. 二进制算式 10₂ + 1₂ 结果为（ ） A. 11₂　　B. 10₂　　C. 01₂　　D. 101₂ 【详解】二进制加法：10₂ + 1₂，个位0+1=1，高位不变，得到 11₂。 【答案】A 17. 有1克、2克、4克、8克砝码各1个，不能称出下面哪个质量（ ） A. 5克　　B. 11克　　C. 16克　　D. 14克 【详解】砝码最大总质量 1+2+4+8 = 15克，最大只能称15克，无法称16克。 【答案】C 18. 把二进制 1010₂ 换算十进制，下面展开式正确的是（ ） A. 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 0×2⁰ B. 1×2⁰ + 0×2¹ + 1×2² + 0×2³ C. 1 + 0 + 1 + 0 D. 1×10³ + 0×10² + 1×10¹ + 0×10⁰ 【详解】二进制从左到右，高位对应高次幂；1010₂ = 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 0×2⁰。 【答案】A 三、计算题（2大题，共20小题） 19. 将下列二进制数转化为十进制数： （1）11₂　　　　（2）100₂ （3）101₂　　　　（4）110₂ （5）111₂　　　　（6）1001₂ （7）1010₂　　　（8）1100₂ （9）1101₂　　　（10）1111₂ 【详解】 （1）11₂ = 1×2¹ + 1×2⁰ = 2+1 = 3 （2）100₂ = 1×2² + 0×2¹ + 0×2⁰ = 4+0+0 = 4 （3）101₂ = 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 4+0+1 = 5 （4）110₂ = 1×2² + 1×2¹ + 0×2⁰ = 4+2+0 = 6 （5）111₂ = 1×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 4+2+1 = 7 （6）1001₂ = 1×2³ + 0×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 8+0+0+1 = 9 （7）1010₂ = 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 0×2⁰ = 8+0+2+0 = 10 （8）1100₂ = 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 0×2⁰ = 8+4+0+0 = 12 （9）1101₂ = 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 8+4+0+1 = 13 （10）1111₂ = 1×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 8+4+2+1 = 15 【答案】（1）3；（2）4；（3）5；（4）6；（5）7；（6）9；（7）10；（8）12；（9）13；（10）15 20. 将下列十进制数转化为二进制数（结果写下标2）： （1）5　　　　（2）6 （3）7　　　　（4）9 （5）10　　　　（6）12 （7）14　　　　（8）15 （9）16　　　　（10）18 【详解】除2取余，余数倒序书写 （1）5÷2=2余1；2÷2=1余0；1÷2=0余1，倒序 101₂ （2）6÷2=3余0；3÷2=1余1；1÷2=0余1，倒序 110₂ （3）7÷2=3余1；3÷2=1余1；1÷2=0余1，倒序 111₂ （4）9÷2=4余1；4÷2=2余0；2÷2=1余0；1÷2=0余1，倒序 1001₂ （5）10÷2=5余0；5÷2=2余1；2÷2=1余0；1÷2=0余1，倒序 1010₂ （6）12÷2=6余0；6÷2=3余0；3÷2=1余1；1÷2=0余1，倒序 1100₂ （7）14÷2=7余0；7÷2=3余1；3÷2=1余1；1÷2=0余1，倒序 1110₂ （8）15÷2=7余1；7÷2=3余1；3÷2=1余1；1÷2=0余1，倒序 1111₂ （9）16÷2=8余0；8÷2=4余0；4÷2=2余0；2÷2=1余0；1÷2=0余1，倒序 10000₂ （10）18÷2=9余0；9÷2=4余1；4÷2=2余0；2÷2=1余0；1÷2=0余1，倒序 10010₂ 【答案】（1）101₂；（2）110₂；（3）111₂；（4）1001₂；（5）1010₂；（6）1100₂；（7）1110₂；（8）1111₂；（9）10000₂；（10）10010₂ 四、解答题 21. 把二进制数 1100₂ 转换成十进制数，请写出完整展开计算过程。 【详解】 二进制转十进制，按位权展开： 1100₂ = 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 0×2⁰ = 8 + 4 + 0 + 0 = 12 答：转化成十进制是12。 【答案】12 22. 使用除2取余法，将十进制数21转化成二进制，写出每一步除法算式。 【详解】 21÷2 = 10 余 1 10÷2 = 5 余 0 5÷2 = 2 余 1 2÷2 = 1 余 0 1÷2 = 0 余 1 余数从下往上倒序写，得到 10101₂。 答：十进制21转化二进制是 10101₂。 【答案】10101₂ 23. 比较 1011₂ 和 1100₂ 的大小，要求：先全部换算十进制，再比较。 【详解】 1011₂ = 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 8+0+2+1 = 11 1100₂ = 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 0×2⁰ = 8+4+0+0 = 12 11 < 12，所以 1011₂ < 1100₂。 答：1011₂ ＜ 1100₂。 【答案】1011₂ ＜ 1100₂ 24. 有1克、2克、4克、8克、16克砝码各一个，每个砝码可以选拿或者不拿（砝码只能放天平一侧）。利用二进制思想，一共可以称出多少种不同质量（不含0克），可以称出最大质量是多少克？ 【详解】 一共5个砝码，每个有取、不取2种状态；总组合数 2⁵ 种，去掉全部不取的0克情况。 种类数：2⁵ - 1 = 31 种； 最大质量：1+2+4+8+16 = 31克。 答：可以称出31种不同质量，最大质量31克。 【答案】31种；最大31克 25. 计算二进制加法 101₂ + 11₂（逢二进一），请写出计算过程，并把结果再换算成十进制检验。 【详解】 二进制竖式相加： 　　 101 +　　 11 ─────── 　　1000 个位：1+1=10₂，写0进1； 第二位：0+1+进位1=10₂，写0进1； 第三位：1+进位1=10₂，写0进1；最高位补进位1，结果 1000₂。 检验十进制：101₂=5，11₂=3；5+3=8；1000₂=8，计算正确。 答：二进制计算结果 1000₂。 【答案】1000₂ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $