第三单元 第7课时 二进制的秘密（讲义）2026-2027学年六年级上册数学（苏教版）

本讲义聚焦“二进制的秘密”核心知识点，承接前6课时计数单位统一性、四则运算本质等知识体系，系统梳理二进制基本概念、十进制与二进制互化方法、进制本质统一性及简单运算与应用，构建“概念感知—方法建构—本质统整—实践应用”的完整学习支架，助力学生从十进制拓展到二进制，深化位值制与计数单位本质理解。 该资料以“统一思想”“位值思想”为主线，通过新知脉络全景梳理、核心解题方法图谱（如“除2取余法”口诀）、分层达标精练（基础到培优）及“制作二进制计数器”实践活动，培养学生抽象能力（对比十进制与二进制计数本质）、推理意识（推导互化步骤）和应用意识（计算机应用实例）。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺，提升实践与探究能力。

第 7 课时 二进制的秘密 第一部分 课时核心素养与新知建构 1 一、新知脉络全景梳理 1 二、核心解题方法图谱记忆 2 三、课时数学思想与素养提升 2 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 3 考点一：二进制记数法的基本概念（基础认知） 3 考点二：十进制数转化为二进制数（核心必考） 4 考点三：二进制数转化为十进制数（核心必考） 5 考点四：不同进制计数单位的本质统一性（核心重难点） 6 考点五：二进制的简单运算与实际应用（拓展应用） 8 第三部分 高频易错预警与避坑指南 9 易错点 1：二进制数中出现 2 及以上的数字 9 易错点 2：十进制转二进制时，余数排列顺序颠倒 9 易错点 3：二进制转十进制时，权值位数对应错误 9 易错点 4：二进制加法按十进制进位计算 10 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 11 一、基础夯实达标练（6 题） 11 二、能力拓展提升练（4 题） 12 三、思维拓展培优练（2 题） 13 四、数学活动拓展 14 第五部分 习题精准解析与知识点睛 15 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 课时核心素养与新知建构 一、新知脉络全景梳理 本课时是苏教版 2024 版六年级上册第三单元《数与运算的再认识》的综合实践核心课，承接前 6 课时计数单位统一性、四则运算本质、运算律的知识体系，严格对标《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“综合与实践” 领域要求，从进制拓展的视角深化对位值制与计数单位本质的理解。本课时核心掌握二进制记数法的基本规则、十进制数转化为二进制数、二进制数转化为十进制数、不同进制计数单位的本质统一性、二进制的生活与科技应用五大核心内容。全课时建立 “概念感知 — 方法建构 — 本质统整 — 实践应用 — 拓展延伸” 的完整学习路径，围绕数感、推理意识、统一思想、应用意识四条核心素养主线，让学生理解 “所有进制记数法本质都是‘计数单位 × 计数单位的个数’，仅进率不同” 的核心逻辑，拓展数的认知边界，深化对计数单位统一性的本质理解，为后续数学学习与信息科技素养发展筑牢基础。 知识模块 核心内容 关键方法 易错预警 二进制基本概念 满二进一的记数规则，仅用 0、1 两个数字，位值制记数 概念辨析法、数位对比法 出现 2 及以上的数字，混淆二进制与十进制的数字范围 十进制转二进制 除 2 取余法，逆序排列得到二进制数 除 2 取余法、逆序书写法 余数排列顺序颠倒，商为 0 后忘记停止计算 二进制转十进制 按权展开相加法，用每一位数字乘对应计数单位再求和 按权相加法、位值对应法 权值位数对应错误，最高位的权值计算偏差 进制本质统一 不同进制均符合 “数 = 计数单位 × 单位个数” 模型，仅进率不同 本质统整法、对比归纳法 无法建立不同进制的本质关联，停留在分散规则记忆 综合实践应用 二进制在计算机、数字电路中的应用，简单二进制运算 场景探究法、动手操作法 对二进制的实际应用理解模糊，运算时误按十进制进位 二、核心解题方法图谱记忆 方法名称 适用题型 操作路径 技巧口诀 除 2 取余法 十进制整数转二进制 ①用十进制数连续除以 2；②记录每次的余数；③直到商为 0 停止；④将余数从下往上逆序排列，得到二进制数 十转二，除 2 取余，倒着写，商 0 停 按权相加法 二进制转十进制 ①从右往左标注每一位的权值（2 的 n 次方，n 从 0 开始）；②每一位数字乘对应权值；③所有结果相加，得到十进制数 二转十，按权展开，乘完相加，结果出来 位值对比法 不同进制本质辨析 ①梳理各进制的计数单位与进率；②对比 “计数单位 × 个数” 的统一模型；③总结进制的共同本质 进制虽不同，本质都一样，单位乘个数，位值是核心 动手操作法 二进制实践探究 ①制作简易二进制计数器；②动手拨珠理解满二进一；③验证进制转化的结果 动手做，亲体验，满二进一好理解 三、课时数学思想与素养提升 1. 统一思想：不同进制的计数本质统整 核心要义：打破十进制的思维定势，从 “计数单位” 的核心视角，提炼所有进制记数法的共同本质 —— 都是位值制记数，都符合 “数 = 计数单位 × 计数单位的个数” 的通用模型，仅进率不同，深化数的一致性认知。 典型范式：十进制满十进一，计数单位是 1、10、100……（10 的幂次）；二进制满二进一，计数单位是 1、2、4、8……（2 的幂次），二者结构完全一致，只是进率不同，本质都是计数单位的累加。 2. 位值思想：满几进一的位值制逻辑 核心要义：同一个数字，在不同的数位上表示的数值不同，数位决定计数单位的大小，位值制是所有进制记数法的核心，深化对位值思想的理解，拓展位值制的适用范围。 典型范式：二进制数 101 中，左数第一个 1 在第三位，代表 1 个 4；中间的 0 代表 0 个 2；右边的 1 代表 1 个 1，数字相同，数位不同，计数单位不同，数值不同，和十进制的位值逻辑完全一致。 3. 数形结合思想：二进制的直观表征 核心要义：用计数器、数位顺序表、方格图等图形，直观呈现二进制的记数规则与满二进一的过程，将抽象的进制概念转化为具象的操作与图形，深化对二进制的理解，培养几何直观素养。 典型范式：用方格图表示二进制数，每一列代表一个数位，涂黑代表 1，空白代表 0，满 2 格就向高位进 1 格，直观呈现满二进一的规则。 4. 应用思想：数学与科技的跨学科融合 核心要义：了解二进制在计算机、数字设备、信息编码中的广泛应用，体会数学知识对科技发展的基础作用，培养跨学科应用意识与信息科技素养。 典型范式：计算机内部采用二进制存储和处理信息，用 0 和 1 代表电路的通断，所有的文字、图片、视频最终都可以转化为二进制代码，体现数学的基础应用价值。 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 考点一：二进制记数法的基本概念（基础认知） 典型例题 1（基础层级）—— 二进制概念辨析 题目：下面各数中，哪些是二进制数？哪些不是？为什么？ 101 210 1100 1021 111 思路点拨： ① 第一步：明确二进制的核心判断规则：二进制采用满二进一的记数规则，每一位上只能出现 0 和 1 两个数字； ② 第二步：逐个检查每个数的每一位数字，包含 2 及以上数字的数不符合二进制要求； ③ 第三步：分类整理结果，并对应说明判断依据。 【答案】 二进制数：，因为它们每一位只有 0 和 1，符合二进制记数规则； 不是二进制数：，因为它们出现了数字 2，不符合二进制每一位只能是 0 或 1 的规则。 【知识点睛】二进制基本概念核心要点： 1. 核心规则：二进制记数法采用满二进一的规则，每一位上只能使用 0 和 1 两个数字； 2. 位值规则：二进制同样是位值制记数，不同数位的计数单位不同，从右往左依次是，相邻两个计数单位的进率是 2； 3. 与十进制对比： · 十进制：满十进一，数字 0-9，进率 10，计数单位是 10 的幂次； · 二进制：满二进一，数字 0-1，进率 2，计数单位是 2 的幂次； · 二者都是位值制记数，本质结构完全一致，仅进率不同； 4. 易错提醒：二进制中绝对不能出现 2 及以上的数字，满 2 就要向高位进 1，这是最基础的判断标准。 考点二：十进制数转化为二进制数（核心必考） 典型例题 2（核心层级）—— 除 2 取余法 题目：把十进制数 13 转化为二进制数。 思路点拨： ① 第一步：明确方法。十进制整数转二进制，用除 2 取余，逆序排列的方法：用十进制数连续除以 2，记录每次的余数，直到商为 0，再把余数从下往上倒着写出来，就是对应的二进制数； ② 第二步：分步计算。 · ，余数是 1； · ，余数是 0； · ，余数是 1； · ，余数是 1； · 商为 0，停止计算； ③ 第三步：逆序排列余数。把余数从最后一个到第一个依次写出：1、1、0、1，合起来就是 1101； ④ 第四步：验证结果。二进制 1101 转十进制：，和原数一致，转化正确。 【答案】十进制数 13 转化为二进制数是。 【知识点睛】十进制转二进制核心要点： 1. 通用方法：除 2 取余法，口诀：除 2 取余，倒序排列，商为 0 时停止； 2. 操作步骤： ① 用十进制数除以 2，得到商和余数； ② 用商继续除以 2，再次记录商和余数； ③ 重复操作，直到商为 0； ④ 将所有余数从最后一个到第一个依次排列，就是二进制数； 3. 关键提醒： · 每次的余数只能是 0 或 1，因为除以 2 余数只能是 0 或 1； · 必须逆序排列，也就是最后得到的余数是二进制数的最高位，第一个余数是最低位，顺序不能搞反； 4. 拓展延伸：这个方法可以推广到其他进制，比如转八进制就用除 8 取余法，原理完全一致，都是利用除法分解计数单位的个数。 考点三：二进制数转化为十进制数（核心必考） 典型例题 3（核心层级）—— 按权相加法 题目：把二进制数 1011 转化为十进制数。 思路点拨： ① 第一步：明确方法。二进制转十进制，用按权展开相加法：从右往左，每一位的权值依次是，用每一位上的数字乘对应位的权值，再把所有结果相加，得到的和就是十进制数； ② 第二步：标注每一位的权值。 二进制数：1 0 1 1 对应权值： 即：8、4、2、1； ③ 第三步：按位相乘再相加。 ④ 第四步：验证结果。用十进制 11 转二进制，除 2 取余得到 1011，和原数一致，转化正确。 【答案】二进制数 1011 转化为十进制数是。 【知识点睛】二进制转十进制核心要点： 1. 通用方法：按权展开相加法，口诀：从右往左标权值，位值相乘再求和； 2. 权值规则：最右边的是第 0 位，权值是；往左依次是第 1 位，第 2 位，第 3 位…… 第 n 位的权值是； 3. 计算技巧：为 0 的数位可以跳过不乘，因为 0 乘任何数都得 0，只需要计算数字是 1 的位的权值和，简化计算； 4. 本质解读：这个方法本质就是 “计数单位 × 单位个数” 的累加，和十进制数的组成（如 35=3×10+5×1）逻辑完全一致，体现了不同进制的计数本质统一。 考点四：不同进制计数单位的本质统一性（核心重难点） 典型例题 4（核心层级）—— 进制本质辨析 题目：结合计数单位的知识，说一说十进制和二进制有什么相同点和不同点，为什么说它们的计数本质是统一的。 思路点拨： ① 第一步：分析不同点。 · 进率不同：十进制满十进一，相邻计数单位进率是 10；二进制满二进一，相邻计数单位进率是 2； · 可用数字不同：十进制用 0-9 十个数字，二进制只用 0 和 1 两个数字； · 计数单位不同：十进制计数单位是 1、10、100……（10 的幂次）；二进制计数单位是 1、2、4、8……（2 的幂次）。 ② 第二步：分析相同点。 · 都是位值制记数：数字所在的数位不同，表示的大小不同，数位决定计数单位的大小； · 都符合统一模型：数 = 计数单位 × 计数单位的个数，都是计数单位的累加； · 十进制示例：，1 个十加 3 个一； · 二进制示例：，1 个 8 加 1 个 4 加 1 个 1。 ③ 第三步：总结本质统一。 无论是十进制还是二进制，本质都是 “用计数单位去度量数的大小，数就是若干个计数单位的累加”，都遵循 “计数单位 × 单位个数” 的通用模型，只是选用的进率和计数单位不同，因此计数本质是完全统一的。 【答案】不同点：进率不同（十进制 10、二进制 2），可用数字不同（十进制 0-9、二进制 0-1），计数单位不同（10 的幂次、2 的幂次）。 相同点：都是位值制记数，都符合「数 = 计数单位 × 计数单位的个数」的通用模型，本质都是计数单位的累加，因此计数本质是统一的。 【知识点睛】进制本质统一性核心要点： 1. 核心模型：所有进制的记数法，本质都可以用统一公式表示：，也就是各数位的数字乘对应计数单位，再求和； 2. 位值制核心：数位决定计数单位的大小，同一个数字在不同数位上代表的数值不同，这是所有进制的共同核心； 3. 教学价值：通过二进制的学习，反过来深化对十进制计数法本质的理解，跳出十进制的思维定势，真正理解位值制与计数单位的通用意义，落实数的一致性教学要求； 4. 拓展延伸：除了十进制、二进制，还有八进制、十六进制等，都符合同样的本质模型，仅进率不同。 考点五：二进制的简单运算与实际应用（拓展应用） 典型例题 5（拓展层级）—— 二进制加法 题目：计算二进制加法：，并用十进制验证结果。 思路点拨： ① 第一步：明确二进制加法规则。二进制加法遵循 “满二进一”：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10（满 2 向高位进 1）； ② 第二步：数位对齐，从低位算起。 1 0 1 + 1 1 1 0 0 0 · 第 1 位（最右）：1+1=10，写 0，向高位进 1； · 第 2 位：0+1 + 进位 1=10，写 0，向高位进 1； · 第 3 位：1 + 进位 1=10，写 0，向高位进 1； · 第 4 位：落下进位 1，写 1； · 结果： ③ 第三步：用十进制验证。 · ，，； · 结果，和十进制计算结果一致，正确。 【答案】 验证：，，结果正确。 【知识点睛】二进制运算与应用核心要点： 1. 二进制运算规则：加减法都遵循 “满二进一、退一当二”，本质和十进制的 “满十进一、退一当十” 完全一致，只是进率不同； 2. 核心应用场景： · 计算机技术：计算机内部用二进制存储和处理数据，0 和 1 对应电路的断、通两种状态，物理上极易实现； · 信息编码：文字、图片、声音、视频都可以转化为二进制代码存储和传输； · 数字设备：U 盘、硬盘、手机等所有数字设备，底层都是二进制逻辑； 3. 跨学科价值：二进制是数学与信息科技的重要衔接点，体现了数学作为基础学科的支撑作用，是培养信息科技素养的重要基础。 第三部分 高频易错预警与避坑指南 易错点 1：二进制数中出现 2 及以上的数字 错误范式：认为 21、102 都是二进制数，忽略了二进制每一位只能是 0 或 1 的规则。 成因剖析：受十进制思维定势影响，误以为所有数字都能出现在每一位上，忽略了 “满二进一” 的规则，每一位最大只能是 1。 避坑方案：牢记核心规则：二进制每一位只能是 0 或 1，出现 2 及以上数字的一定不是二进制数。判断二进制数先看数字范围，再看位值，第一步先排除有非 0、1 数字的数。 易错点 2：十进制转二进制时，余数排列顺序颠倒 错误范式：除 2 取余后，把第一个余数当最高位，最后一个余数当最低位，正序排列，导致结果完全错误。 成因剖析：对除 2 取余的过程理解不清，不知道第一次除 2 得到的是最低位的余数，最后一次得到的是最高位的余数。 避坑方案：牢记口诀：除 2 取余，倒着写。计算时把余数竖着列出来，商为 0 后，从最下面的余数往最上面写，也就是逆序排列。写完后可以转回十进制验证，快速检查对错。 易错点 3：二进制转十进制时，权值位数对应错误 错误范式：二进制 1011 转十进制，错误地把最左边的 1 对应，权值从左往右标，导致计算错误。 成因剖析：对位值的顺序理解不清，混淆了左右数位对应的权值高低，不知道最右边是最低位，对应。 避坑方案：牢记权值标注规则：从右往左，从 0 开始。最右边的是第 0 位，权值，往左依次加 1 次方。标注时先标最右边的 1，再依次往左标 2、4、8……，避免左右搞反。 易错点 4：二进制加法按十进制进位计算 错误范式：二进制 1+1 算成 2，不知道满二进一，按十进制加法直接写 2。 成因剖析：受十进制加法的思维定势影响，忽略了二进制的进率是 2，满 2 就要进位。 避坑方案：牢记二进制加法口诀：0+0=0，0+1=1，1+1=10。遇到 1+1 就写 0 进 1，绝对不能写 2。计算完后转成十进制验证，确保结果正确。 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 一、基础夯实达标练（6 题） 1. 填空： （1）二进制记数法采用满（ ）进一的规则，每一位只能用（ ）和（ ）两个数字。 （2）二进制数从右往左，第 2 位的计数单位是（ ），第 3 位的计数单位是（ ）。 （3）十进制数 5 转化为二进制数是（ ）；二进制数 100 转化为十进制数是（ ）。 （4）所有进制记数法的本质都是（ ）×（ ），仅（ ）不同。 （5）二进制加法中，1+1=（ ），满（ ）向高位进 1。 2. 判断： （1）1011 是二进制数，201 也是二进制数。（ ） （2）十进制转二进制，除 2 取余后，要把余数正序排列。（ ） （3）二进制数 100 的计数单位是百。（ ） （4）二进制和十进制都是位值制记数法，本质是统一的。（ ） （5）计算机内部使用二进制处理信息。（ ） 3. 选择： （1）下面各数中，是二进制数的是（ ）。 A. 121 B. 101 C. 210 （2）十进制数 8 转化为二进制数是（ ）。 A. 1000 B. 100 C. 1001 （3）二进制数 110 转化为十进制数是（ ）。 A. 110 B. 6 C. 3 （4）二进制每相邻两个计数单位之间的进率是（ ）。 A. 10 B. 2 C. 1 4. 换算题： （1）把下面的十进制数转化为二进制数：7、10、15 （2）把下面的二进制数转化为十进制数：1001、1110、1010 5. 计算二进制加法： （1） （2） 6. 说理题： 为什么说十进制和二进制的计数本质是统一的？请结合例子说明。 二、能力拓展提升练（4 题） 7. 选择： （1）十进制数 16 转化为二进制数，一共有（ ）位。 A. 4 B. 5 C. 6 （2）二进制数 1000 和十进制数 8 相比，（ ）。 A. 二进制数大 B. 十进制数大 C. 一样大 （3）最大的三位二进制数转化为十进制数是（ ）。 A. 111 B. 7 C. 3 8. 填空： （1）二进制数 10110 中，左数第一个 1 代表（ ）个（ ），这个数转化为十进制是（ ）。 （2）一个十进制数转化为二进制后是 101，这个数的 2 倍转化为二进制是（ ）。 （3）在二进制中，比 111 大 1 的数是（ ）。 9. 解决问题： （1）计算机存储中，1 个字节由 8 位二进制数组成，最大的 8 位二进制数转化为十进制是多少？ （2）有一种密码，把 26 个英文字母按顺序对应 1-26 的十进制数，再转化为 5 位二进制数。请问字母 F 对应的二进制密码是什么？ 10. 探究题： 如果是满八进一的八进制，你认为八进制每一位可以用哪些数字？十进制数 10 转化为八进制数是多少？请试着算一算。 三、思维拓展培优练（2 题） 11. 计算：二进制减法 ，并用十进制验证结果。 12. 有一筐苹果，3 个 3 个地数余 1 个，5 个 5 个地数余 1 个，数量在 10-20 之间。如果用二进制表示这筐苹果的数量，结果是多少？ 四、数学活动拓展 实践活动：制作简易二进制计数器 活动任务： 1. 准备材料：硬纸板、彩笔、5 个圆形卡片（代表数位）、小珠子； 2. 制作 5 位二进制计数器，从右到左依次标注 1、2、4、8、16 的计数单位； 3. 动手操作：用珠子表示不同的二进制数，验证满二进一的规则，练习十进制与二进制的互化； 4. 和同学合作，一人说十进制数，一人拨计数器表示二进制数，互相验证。 要求：通过动手操作，直观理解二进制的记数规则与位值意义，深化对不同进制计数本质的理解，提升动手实践与合作探究能力。 第五部分 习题精准解析与知识点睛 一、基础夯实达标练解析 1. 【答案】 （1）二；0；1 （2）2；4 （3）101；4 （4）计数单位；计数单位的个数；进率 （5）10；二 思路点拨： ① 二进制满二进一，只用 0 和 1 两个数字； ② 从右往左，第 1 位权值 1，第 2 位 2，第 3 位 4； ③ 5 转二进制是 101，二进制 100 是 4； ④ 所有进制本质都是计数单位乘个数，进率不同； ⑤ 二进制 1+1=10，满二进一。 【知识点睛】基础概念识记题型，覆盖二进制规则、计数单位、互化、运算、本质，夯实基础概念。 2. 【答案】（1）× （2）× （3）× （4）√ （5）√ 思路点拨： ① 201 有数字 2，不是二进制，错误； ② 余数要逆序排列，错误； ③ 二进制 100 的计数单位是 4（2 的平方），不是百，错误； ④ 二者都是位值制，本质统一，正确； ⑤ 计算机用二进制，正确。 【知识点睛】概念辨析题型，针对性规避数字范围、排列顺序、计数单位等高频易错点。 3. 【答案】（1）B （2）A （3）B （4）B 思路点拨： ① 只有 0 和 1 的是 101，选 B； ② 8 转二进制是 1000，选 A； ③ 110 转十进制是 4+2=6，选 B； ④ 二进制进率是 2，选 B。 【知识点睛】基础选择题型，考查二进制判断、互化、进率，训练基础应用能力。 4. 【答案】 （1）7→111，10→1010，15→1111 （2）1001→9，1110→14，1010→10 思路点拨： 十进制转二进制用除 2 取余逆序法，二进制转十进制用按权相加法。 【知识点睛】基础换算题型，巩固进制互化的基本方法，训练规范计算步骤。 5. 【答案】 （1） （2） 思路点拨： 二进制加法遵循满二进一规则，数位对齐从低位算起，满 2 就向高位进 1。 【知识点睛】二进制运算题型，巩固二进制加法规则，体会进率对运算的影响。 6. 【答案】 十进制和二进制都是位值制记数法，都符合「数 = 计数单位 × 计数单位的个数」的通用模型，因此计数本质是统一的。 例如：十进制的 13 = 1×10 + 3×1，是 1 个十加 3 个一；二进制的 1101 = 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1，是 1 个 8 加 1 个 4 加 1 个 1，二者都是计数单位的累加，只是进率和计数单位不同，本质完全一致。 思路点拨： 从计数单位的统一模型出发，结合具体例子解释本质统一性，深化位值制理解。 【知识点睛】本质辨析题型，培养归纳概括与逻辑表达能力，落实数的一致性核心素养。 二、能力拓展提升练解析 7. 【答案】（1）B （2）C （3）B 思路点拨： ① 16 转二进制是 10000，共 5 位，选 B； ② 二进制 1000 等于十进制 8，一样大，选 C； ③ 三位二进制最大是 111，转十进制是 7，选 B。 【知识点睛】综合应用题型，考查位数判断、大小比较、最大数转化，提升综合应用能力。 8. 【答案】 （1）1；16；22 （2）1010 （3）1000 思路点拨： ① 左数第一个 1 在第 5 位，权值 16，整个数转十进制是 16+4+2=22； ② 原数是 5，2 倍是 10，转二进制是 1010； ③ 111 加 1，满二依次进位，结果是 1000。 【知识点睛】进阶填空题，考查位值意义、倍数转化、进位运算，强化位值思想。 9. 【答案】 （1）最大的 8 位二进制数是 11111111，转十进制： 答：最大的 8 位二进制数转化为十进制是 255。 （2）字母 F 是第 6 个字母，对应十进制数 6； 6 转二进制是 110，补成 5 位是 00110。 答：字母 F 对应的二进制密码是 00110。 思路点拨： 结合计算机存储、密码编码的实际场景，应用进制互化知识解决问题。 【知识点睛】实际应用题，结合科技场景考查进制知识的应用，体会数学的实用价值。 10. 【答案】 八进制满八进一，每一位可以用 0-7 八个数字； 十进制 10 转八进制：余 2，商 1 再除 8 商 0 余 1，逆序排列是 12； 答：八进制每一位可以用 0-7，十进制 10 转八进制是 12。 思路点拨： 迁移二进制的学习方法，自主探究八进制的规则与转化，培养知识迁移与推理能力。 【知识点睛】探究拓展题型，通过八进制的探究，深化对进制通用模型的理解，提升推理意识。 三、思维拓展培优练解析 11. 【答案】 二进制减法规则：退一当二，0-1 不够减时，向高位借 1 当 2 用。 计算： 1 0 0 0 - 1 0 1 --------- 0 1 1 个位 0-1 不够，借 1 当 2，2-1=1； 十位 0 被借走 1，不够减，向百位借 1 当 2，再被借走 1 剩 1，1-0=1； 百位 0 被借走 1，向千位借 1 当 2，再被借走 1 剩 1，1-1=0； 千位 1 被借走 1 剩 0，省略不写； 结果： 验证：，，，，结果正确。 答：结果是。 思路点拨： 利用 “退一当二” 的规则计算二进制减法，和十进制的 “退一当十” 逻辑一致，再用十进制验证。 【知识点睛】二进制减法拓展题，深化对进制运算的理解，培养知识迁移与运算能力。 12. 【答案】 苹果总数减去 1 后，既是 3 的倍数也是 5 的倍数，即总数是 3 和 5 的公倍数加 1； 3 和 5 的最小公倍数是 15，在 10-20 范围内，符合条件的数为； 将 16 转化为二进制： ，余数 0；，余数 0；，余数 0；，余数 0；，余数 1； 逆序排列余数得 10000。 答：这筐苹果的数量用二进制表示为。 思路点拨: ① 先根据 “同余” 特征，推出总数 = 最小公倍数的倍数 + 余数，找到符合数值范围的苹果总数； ② 再用除 2 取余、逆序排列的方法，将十进制数转化为二进制数。 【知识点睛】本题结合公倍数问题与进制转化，考查综合应用能力，深化对余数性质与进制转化方法的理解。 四、数学活动拓展解析 活动参考过程： 1. 制作准备：准备硬纸板、彩笔、圆形卡片、珠子等材料，设计 5 个数位槽； 2. 标注计数单位：从右到左依次标注 1、2、4、8、16，对应二进制的 5 个数位； 3. 操作练习：一人说十进制数，另一人用珠子在计数器上摆出对应的二进制数，满 2 就向高位进 1，体会满二进一的规则； 4. 互化验证：摆出二进制数后，再用按权相加法转回十进制，验证结果的正确性； 5. 分享交流：和同学分享操作心得，说一说二进制和十进制记数的异同点。 【知识点睛】通过动手制作与操作实践，将抽象的进制概念具象化，深化对二进制记数规则与位值意义的理解，提升动手实践能力、合作探究能力与跨学科素养，落实综合与实践领域的教学目标。 1 学科网（北京）股份有限公司 $