☆ 神奇的黄金比（综合培优讲义）-2026-2027学年六年级数学上册（苏教版）

单元培优讲义 ☆ 神奇的黄金比（综合培优讲义） 考点一：黄金比的意义 【知识要点】 1. 黄金比：把一条线段分成两部分，较短部分与较长部分的比大约是 （也常写作 或近似 、）。 2. 黄金分割点：较长部分与整体之比、较短部分与较长部分之比都约等于 0.618，这样的分割点称为黄金分割点。 3. 黄金比是一个近似值，其精确值约为 0.618034…… 4. 黄金比在生活中应用广泛，被认为能给人带来和谐、优美的视觉感受。 【典型例题】 把一条线段按黄金比分割，较短部分约是 6 厘米，较长部分约是多少厘米？ 解：较短部分 : 较长部分 = 0.618 : 1，较长部分 = 6 ÷ 0.618 ≈ 9.7（厘米）。 答：较长部分约 9.7 厘米。 【易错提醒】 1. 记错黄金比的比式方向，把 0.618:1 写成 1:0.618 而混淆长短。 2. 把黄金比当作精确的固定值 0.618，忽略它是近似值。 3. 计算时单位不一致。 考点二：黄金比与长方形 【知识要点】 1. 宽与长的比为黄金比的长方形叫黄金矩形，宽与长的比约为 （或 、）。 2. 黄金矩形视觉上最协调、最和谐，广泛用于建筑、画作、海报、照片等设计。 3. 判断长方形是否接近黄金矩形：算宽 ÷ 长，结果接近 0.618 即为黄金矩形。 4. 常见近似比例：、，都接近 0.618。 【典型例题】 一个长方形长 10 厘米，按黄金比设计，宽约是多少厘米？ 解：宽 : 长 = 0.618 : 1，宽 = 10 × 0.618 ≈ 6.18（厘米）。 答：宽约 6.18 厘米。 【易错提醒】 1. 把宽长比写反，用 长 : 宽 = 0.618 : 1 计算。 2. 判断是否黄金矩形时，用长 ÷ 宽 而不是 宽 ÷ 长。 3. 取近似值时机不对，导致结果偏差。 考点三：黄金比与线段分割 【知识要点】 1. 把一条线段分成两段，若满足 长段 : 全段 = 短段 : 长段 = 0.618，则该分点为黄金分割点。 2. 已知全段求两段：短段 = 全段 × 0.382，长段 = 全段 × 0.618（因 ）。 3. 已知短段（或长段）求全段：用除法，全段 = 短段 ÷ 0.382 或 长段 ÷ 0.618。 4. 记住关系：短段 : 长段 : 全段 ≈ 0.382 : 0.618 : 1。 【典型例题】 一条线段长 10 厘米，按黄金比分割成两段，较长的一段约是多少厘米？ 解：长段 = 全段 × 0.618 = 10 × 0.618 = 6.18（厘米）。 答：较长的一段约 6.18 厘米。 【易错提醒】 1. 直接用全段 × 0.618 求短段，忘记短段对应 0.382。 2. 把短段、长段对应的系数记反。 3. 已知长段求全段时用乘法（应除以 0.618）。 考点四：黄金比在生活中的应用 【知识要点】 1. 建筑与艺术：如古希腊神庙、名画、人体比例等都运用黄金比，显得和谐优美。 2. 设计与摄影：照片的"三分法""黄金构图"，海报、Logo 常采用黄金矩形。 3. 人体：肚脐大致是身体高度的黄金分割点，上身与下身比例接近黄金比。 4. 黄金比能帮助判断"美不美""协调不协调"，是数学与生活的结合。 【典型例题】 人的上身长 80 厘米，肚脐是黄金分割点，他的下身约长多少厘米？（黄金比约 0.618:1） 解：上身 : 下身 = 0.618 : 1，下身 = 80 ÷ 0.618 ≈ 129.4（厘米）。 答：下身约长 129.4 厘米。 【易错提醒】 1. 把上下身的比例关系写反，导致计算错误。 2. 混淆"短:长"与"长:全段"两种黄金比表述。 3. 脱离实际意义，只记数字不理解为生活应用。 一、填空题 1. 把一条线段分成两部分，较短部分与较长部分的比大约是________。 2. 把一条线段按黄金比分割，较长部分约是整体长度的________倍。 3. 一条线段按黄金比分割，短段:长段:全段 ≈ ________ : ________ : 1。 4. 一条线段长10厘米，按黄金比分割，较短的一段约是________厘米。 5. 黄金矩形是指宽与长的比为________的长方形。 6. 判断长方形是否接近黄金矩形，要计算________ ÷ ________，结果接近0.618即为黄金矩形。 7. 已知全段求短段，短段 = 全段 × ________。 8. 人的肚脐大致是身体高度的黄金分割点，上身:下身 ≈ ________ : 1。 9. 一条线段按黄金比分割，较长部分约6.18厘米，这条线段全长约________厘米。 10. 摄影中照片的"三分法"也叫________构图。 二、选择题 11. 黄金比的精确值大约是（ ） A. 0.382　　B. 0.618　　C. 0.5　　D. 1.618 12. 一条线段按黄金比分割，较短部分约6厘米，较长部分约是（ ） A. 3.7厘米　　B. 9.7厘米　　C. 15厘米　　D. 12厘米 13. 长方形长10厘米，按黄金比设计，宽约是（ ） A. 3.82厘米　　B. 6.18厘米　　C. 16.18厘米　　D. 10厘米 14. 判断长方形是否为黄金矩形，正确的计算方法是（ ） A. 长 ÷ 宽　　B. 宽 ÷ 长　　C. 长 + 宽　　D. 长 × 宽 15. 短段:长段:全段的近似比为（ ） A. 0.618:0.382:1　　B. 0.382:0.618:1　　C. 0.5:0.5:1　　D. 1:0.618:0.382 16. 已知长段约6.18厘米（长段对应0.618），这条线段全长约（ ） A. 10厘米　　B. 6.18厘米　　C. 3.82厘米　　D. 12厘米 17. 一条线段全长20厘米，按黄金比分割，较短的一段约是（ ） A. 12.36厘米　　B. 7.64厘米　　C. 20厘米　　D. 10厘米 18. 关于黄金比，下列说法错误的是（ ） A. 黄金比约为0.618 B. 肚脐大致是人体高度的黄金分割点 C. 黄金比是精确固定的0.618 D. 黄金矩形广泛应用于建筑与设计 三、解答题 19. 把一条线段按黄金比分割，较短部分约是8厘米，较长部分约是多少厘米？ 20. 一条线段长15厘米，按黄金比分割成两段，较长的一段和较短的一段分别约是多少厘米？ 21. 一个长方形长12厘米，按黄金比设计，宽约是多少厘米？并判断这个长方形是否接近黄金矩形。 22. 人的上身长70厘米，肚脐是黄金分割点（上身:下身 ≈ 0.618:1），他的下身约长多少厘米？ 23. 已知一条线段按黄金比分割，较长部分约15.45厘米，这条线段全长约多少厘米？ 24. 设计一个黄金矩形的相框，要求宽约10厘米，长应该约是多少厘米？ 25. 一幅照片长24厘米，采用黄金构图（宽长比为黄金比），宽应约是多少厘米？若照片宽改成15厘米，判断它是否接近黄金矩形。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $单元培优讲义 ☆ 神奇的黄金比（综合培优讲义） 考点一：黄金比的意义 【知识要点】 1. 黄金比：把一条线段分成两部分，较短部分与较长部分的比大约是 （也常写作 或近似 、）。 2. 黄金分割点：较长部分与整体之比、较短部分与较长部分之比都约等于 0.618，这样的分割点称为黄金分割点。 3. 黄金比是一个近似值，其精确值约为 0.618034…… 4. 黄金比在生活中应用广泛，被认为能给人带来和谐、优美的视觉感受。 【典型例题】 把一条线段按黄金比分割，较短部分约是 6 厘米，较长部分约是多少厘米？ 解：较短部分 : 较长部分 = 0.618 : 1，较长部分 = 6 ÷ 0.618 ≈ 9.7（厘米）。 答：较长部分约 9.7 厘米。 【易错提醒】 1. 记错黄金比的比式方向，把 0.618:1 写成 1:0.618 而混淆长短。 2. 把黄金比当作精确的固定值 0.618，忽略它是近似值。 3. 计算时单位不一致。 考点二：黄金比与长方形 【知识要点】 1. 宽与长的比为黄金比的长方形叫黄金矩形，宽与长的比约为 （或 、）。 2. 黄金矩形视觉上最协调、最和谐，广泛用于建筑、画作、海报、照片等设计。 3. 判断长方形是否接近黄金矩形：算宽 ÷ 长，结果接近 0.618 即为黄金矩形。 4. 常见近似比例：、，都接近 0.618。 【典型例题】 一个长方形长 10 厘米，按黄金比设计，宽约是多少厘米？ 解：宽 : 长 = 0.618 : 1，宽 = 10 × 0.618 ≈ 6.18（厘米）。 答：宽约 6.18 厘米。 【易错提醒】 1. 把宽长比写反，用 长 : 宽 = 0.618 : 1 计算。 2. 判断是否黄金矩形时，用长 ÷ 宽 而不是 宽 ÷ 长。 3. 取近似值时机不对，导致结果偏差。 考点三：黄金比与线段分割 【知识要点】 1. 把一条线段分成两段，若满足 长段 : 全段 = 短段 : 长段 = 0.618，则该分点为黄金分割点。 2. 已知全段求两段：短段 = 全段 × 0.382，长段 = 全段 × 0.618（因 ）。 3. 已知短段（或长段）求全段：用除法，全段 = 短段 ÷ 0.382 或 长段 ÷ 0.618。 4. 记住关系：短段 : 长段 : 全段 ≈ 0.382 : 0.618 : 1。 【典型例题】 一条线段长 10 厘米，按黄金比分割成两段，较长的一段约是多少厘米？ 解：长段 = 全段 × 0.618 = 10 × 0.618 = 6.18（厘米）。 答：较长的一段约 6.18 厘米。 【易错提醒】 1. 直接用全段 × 0.618 求短段，忘记短段对应 0.382。 2. 把短段、长段对应的系数记反。 3. 已知长段求全段时用乘法（应除以 0.618）。 考点四：黄金比在生活中的应用 【知识要点】 1. 建筑与艺术：如古希腊神庙、名画、人体比例等都运用黄金比，显得和谐优美。 2. 设计与摄影：照片的"三分法""黄金构图"，海报、Logo 常采用黄金矩形。 3. 人体：肚脐大致是身体高度的黄金分割点，上身与下身比例接近黄金比。 4. 黄金比能帮助判断"美不美""协调不协调"，是数学与生活的结合。 【典型例题】 人的上身长 80 厘米，肚脐是黄金分割点，他的下身约长多少厘米？（黄金比约 0.618:1） 解：上身 : 下身 = 0.618 : 1，下身 = 80 ÷ 0.618 ≈ 129.4（厘米）。 答：下身约长 129.4 厘米。 【易错提醒】 1. 把上下身的比例关系写反，导致计算错误。 2. 混淆"短:长"与"长:全段"两种黄金比表述。 3. 脱离实际意义，只记数字不理解为生活应用。 一、填空题 1. 把一条线段分成两部分，较短部分与较长部分的比大约是________。 【详解】黄金比：较短部分:较长部分 ≈ 0.618:1，约等于0.618。 【答案】0.618:1（约0.618） 2. 把一条线段按黄金比分割，较长部分约是整体长度的________倍。 【详解】较长部分与整体之比约为0.618，所以较长部分约是整体的0.618倍。 【答案】0.618 3. 一条线段按黄金比分割，短段:长段:全段 ≈ ________ : ________ : 1。 【详解】短段对应0.382，长段对应0.618，全段为1，故为0.382:0.618:1。 【答案】0.382 : 0.618 : 1 4. 一条线段长10厘米，按黄金比分割，较短的一段约是________厘米。 【详解】短段 = 全段 × 0.382 = 10 × 0.382 = 3.82（厘米）。 【答案】3.82 5. 黄金矩形是指宽与长的比为________的长方形。 【详解】宽与长的比为黄金比（约0.618:1）的长方形叫黄金矩形，视觉上最协调。 【答案】黄金比（约0.618:1） 6. 判断长方形是否接近黄金矩形，要计算________ ÷ ________，结果接近0.618即为黄金矩形。 【详解】判断标准：算宽÷长，结果接近0.618即接近黄金矩形。 【答案】宽；长 7. 已知全段求短段，短段 = 全段 × ________。 【详解】短段对应系数0.382，所以短段 = 全段 × 0.382。 【答案】0.382 8. 人的肚脐大致是身体高度的黄金分割点，上身:下身 ≈ ________ : 1。 【详解】人体中肚脐大致为黄金分割点，上身与下身比例接近黄金比，即上身:下身≈0.618:1。 【答案】0.618 : 1 9. 一条线段按黄金比分割，较长部分约6.18厘米，这条线段全长约________厘米。 【详解】全段 = 长段 ÷ 0.618 = 6.18 ÷ 0.618 = 10（厘米）。 【答案】10 10. 摄影中照片的"三分法"也叫________构图。 【详解】三分法又称黄金构图，是黄金比在设计与摄影中的典型应用。 【答案】黄金构图（黄金分割） 二、选择题 11. 黄金比的精确值大约是（ ） A. 0.382　　B. 0.618　　C. 0.5　　D. 1.618 【详解】黄金比约等于0.618（精确值约0.618034……）。 【答案】B 12. 一条线段按黄金比分割，较短部分约6厘米，较长部分约是（ ） A. 3.7厘米　　B. 9.7厘米　　C. 15厘米　　D. 12厘米 【详解】较长部分 = 6 ÷ 0.618 ≈ 9.7（厘米）。 【答案】B 13. 长方形长10厘米，按黄金比设计，宽约是（ ） A. 3.82厘米　　B. 6.18厘米　　C. 16.18厘米　　D. 10厘米 【详解】宽 = 长 × 0.618 = 10 × 0.618 = 6.18（厘米）。 【答案】B 14. 判断长方形是否为黄金矩形，正确的计算方法是（ ） A. 长 ÷ 宽　　B. 宽 ÷ 长　　C. 长 + 宽　　D. 长 × 宽 【详解】黄金矩形看宽÷长，结果接近0.618即可。 【答案】B 15. 短段:长段:全段的近似比为（ ） A. 0.618:0.382:1　　B. 0.382:0.618:1　　C. 0.5:0.5:1　　D. 1:0.618:0.382 【详解】短段对应0.382，长段对应0.618，全段为1，故为0.382:0.618:1。 【答案】B 16. 已知长段约6.18厘米（长段对应0.618），这条线段全长约（ ） A. 10厘米　　B. 6.18厘米　　C. 3.82厘米　　D. 12厘米 【详解】全段 = 长段 ÷ 0.618 = 6.18 ÷ 0.618 = 10（厘米）。 【答案】A 17. 一条线段全长20厘米，按黄金比分割，较短的一段约是（ ） A. 12.36厘米　　B. 7.64厘米　　C. 20厘米　　D. 10厘米 【详解】短段 = 全段 × 0.382 = 20 × 0.382 = 7.64（厘米）。 【答案】B 18. 关于黄金比，下列说法错误的是（ ） A. 黄金比约为0.618 B. 肚脐大致是人体高度的黄金分割点 C. 黄金比是精确固定的0.618 D. 黄金矩形广泛应用于建筑与设计 【详解】黄金比是近似值（精确值约0.618034……），并非精确固定的0.618，C错误。 【答案】C 三、解答题 19. 把一条线段按黄金比分割，较短部分约是8厘米，较长部分约是多少厘米？ 【详解】 较短部分:较长部分 = 0.618:1 较长部分 = 8 ÷ 0.618 ≈ 12.94（厘米） 答：较长部分约12.94厘米。 【答案】约12.94厘米 20. 一条线段长15厘米，按黄金比分割成两段，较长的一段和较短的一段分别约是多少厘米？ 【详解】 长段 = 全段 × 0.618 = 15 × 0.618 ≈ 9.27（厘米） 短段 = 全段 × 0.382 = 15 × 0.382 ≈ 5.73（厘米） 检验：9.27 + 5.73 = 15（厘米），符合。 答：较长的一段约9.27厘米，较短的一段约5.73厘米。 【答案】较长约9.27厘米；较短约5.73厘米 21. 一个长方形长12厘米，按黄金比设计，宽约是多少厘米？并判断这个长方形是否接近黄金矩形。 【详解】 宽 = 长 × 0.618 = 12 × 0.618 ≈ 7.42（厘米） 判断：宽÷长 = 7.42 ÷ 12 ≈ 0.618，接近0.618。 答：宽约7.42厘米；宽长比接近0.618，是黄金矩形。 【答案】宽约7.42厘米；接近黄金矩形 22. 人的上身长70厘米，肚脐是黄金分割点（上身:下身 ≈ 0.618:1），他的下身约长多少厘米？ 【详解】 上身:下身 = 0.618:1 下身 = 70 ÷ 0.618 ≈ 113.3（厘米） 答：下身约长113.3厘米。 【答案】约113.3厘米 23. 已知一条线段按黄金比分割，较长部分约15.45厘米，这条线段全长约多少厘米？ 【详解】 全段 = 长段 ÷ 0.618 = 15.45 ÷ 0.618 = 25（厘米） 答：这条线段全长约25厘米。 【答案】约25厘米 24. 设计一个黄金矩形的相框，要求宽约10厘米，长应该约是多少厘米？ 【详解】 黄金矩形中 宽:长 = 0.618:1 长 = 10 ÷ 0.618 ≈ 16.18（厘米） 答：长应约16.18厘米。 【答案】约16.18厘米 25. 一幅照片长24厘米，采用黄金构图（宽长比为黄金比），宽应约是多少厘米？若照片宽改成15厘米，判断它是否接近黄金矩形。 【详解】 ① 宽 = 长 × 0.618 = 24 × 0.618 ≈ 14.83（厘米） ② 若宽为15厘米：宽÷长 = 15 ÷ 24 = 0.625 0.625 与 0.618 比较接近，故接近黄金矩形。 答：宽应约14.83厘米；宽15厘米时宽长比0.625，接近黄金矩形。 【答案】约14.83厘米；接近黄金矩形 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $