第四单元 第 10 课时 神奇的黄金比（讲义）2026-2027学年六年级上册数学（苏教版）

本讲义聚焦“神奇的黄金比”核心知识点，承接比例的意义与基本性质，系统梳理黄金比的定义、斐波那契数列关联、建筑艺术应用、构图方法及实践测量，构建“概念建构—规律探究—文化赏析—实践应用—拓展延伸”的完整学习支架。 该资料以美育融合为特色，通过帕特农神庙、《蒙娜丽莎》等案例培养数学眼光，结合斐波那契数列探究发展推理意识，分层练习与实践活动提升应用意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

第 10 课时 神奇的黄金比 第一部分 课时核心素养与新知建构 1 一、新知脉络全景梳理 1 二、核心解题方法图谱记忆 2 三、课时数学思想与素养提升 2 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 3 考点一：黄金比的核心概念与计算（基础概念） 3 考点二：斐波那契数列与黄金比的关联（核心探究） 4 考点三：黄金比在建筑与艺术中的应用（文化拓展） 6 考点四：黄金比构图方法（实践应用） 7 考点五：黄金比的实践测量与探究（综合实践） 8 第三部分 高频易错预警与避坑指南 9 易错点 1：黄金比的对应关系搞反，长短段混淆 9 易错点 2：斐波那契数列起始项记错，规律搞错 9 易错点 3：黄金矩形绘制步骤错误，半径、圆心搞混 9 易错点 4：实际应用中单位不统一，比值计算错误 10 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 11 一、基础夯实达标练（6 题） 11 二、能力拓展提升练（4 题） 12 三、思维拓展培优练（2 题） 13 四、数学活动拓展 14 第五部分 习题精准解析与知识点睛 15 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 课时核心素养与新知建构 一、新知脉络全景梳理 本课时是苏教版 2024 版六年级上册第四单元《比和比例》的综合实践拓展课，承接比例的意义、比例的基本性质的知识基础，严格对标《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“综合与实践” 领域主题要求，是数学文化与美育融合的核心载体。本课时核心掌握黄金比的定义与数学本质、斐波那契数列的规律及其与黄金比的关联、黄金比在建筑与艺术中的经典应用、黄金分割构图的基本方法、黄金比的实践测量与探究五大核心内容。全课时建立 “概念建构 — 规律探究 — 文化赏析 — 实践应用 — 拓展延伸” 的完整学习路径，围绕应用意识、创新意识、审美素养、推理意识四条核心素养主线，让学生理解黄金比的数学本质，感知数学的美学价值，能运用黄金比的知识进行简单的构图设计与实践探究，实现从 “数学知识” 到 “数学文化” 的认知升维。 知识模块 核心内容 关键方法 易错预警 黄金比核心概念 黄金分割的定义，黄金比的比值，黄金分割点的判定 定义辨析法、计算验证法 搞反长短段的对应关系，记错黄金比的近似值 斐波那契数列 数列规律：从第三项起，每一项等于前两项之和；相邻两项的比值趋近黄金比 规律探究法、比值计算法 记错数列起始项，混淆相邻项的比值对应关系 建筑艺术应用 黄金比在中外经典建筑、绘画、雕塑中的应用案例与原理 文化赏析法、比例验证法 忽略历史背景，错误套用黄金比解读作品 黄金比构图 黄金矩形、黄金螺旋、三分法构图的原理与操作方法 图形绘制法、构图实践法 黄金矩形绘制步骤错误，构图比例偏差 实践探究应用 测量生活中的物体，验证黄金比，进行简单的黄金比设计 实践测量法、设计应用法 测量误差过大，单位不统一导致比例计算错误 二、核心解题方法图谱记忆 方法名称 适用题型 操作路径 技巧口诀 定义验证法 黄金比概念判断、计算题型 ① 明确黄金分割的定义：长段：全长 = 短段：长段；② 代入数据计算比值；③ 对比 0.618 判断是否为黄金比 黄金比，很神奇，长段比全长，短段比长段，比值约零点六一八 数列探究法 斐波那契数列规律探究题型 ① 写出数列前几项，明确 “前两项之和等于后一项” 的规律；② 计算相邻两项的比值；③ 观察比值的变化趋势，发现趋近黄金比的规律 斐波那契数列，前两项相加得后项，越往后比值越接近黄金比 比例验证法 黄金比应用验证题型 ① 测量或提取物体的相关长度数据；② 计算对应部分的比值；③ 对比黄金比，验证是否符合黄金比例 验证黄金比，先算对应比值，再比零点六一八，接近就符合 黄金矩形画法 黄金比图形绘制题型 ① 画正方形，取边长中点；② 连对角线为半径画弧，延长边长；③ 补全矩形，得到黄金矩形 黄金矩形很好画，先画正方形，中点连对角线，画弧延长边，补全矩形就完成 实践探究法 生活中的黄金比调查题型 ① 选定调查对象，测量相关数据；② 计算比值，对比黄金比；③ 总结发现，形成探究结论 生活处处有黄金，先测量再计算，对比验证得结论 三、课时数学思想与素养提升 1. 美育融合思想：数学与艺术的跨界统一 核心要义：打破数学与艺术的学科壁垒，从黄金比的视角，发现建筑、绘画、自然中的数学规律，体会数学的美学价值，实现数学理性与艺术审美的融合，落实新课标 “跨学科学习” 的教学要求。 典型范式：帕特农神庙的立面比例、《蒙娜丽莎》的构图、鹦鹉螺的螺旋线，本质都符合黄金比的数学规律，数学是支撑美学的底层逻辑。 2. 模型思想：黄金比的通用数学模型 核心要义：提炼出黄金比的通用数学模型，即 “长段：全长 = 短段：长段≈0.618”，这个模型适用于线段、矩形、螺旋、建筑、艺术等所有黄金比场景，实现 “一个模型、多种应用” 的迁移效果，培养模型建构与应用能力。 典型范式：无论是黄金分割线段、黄金矩形，还是建筑的宽高比、人脸的五官比例，都遵循同一个黄金比模型，本质都是两个量的比值接近 0.618。 3. 探究思想：斐波那契数列的规律发现 核心要义：通过自主计算、观察、归纳，发现斐波那契数列的规律，以及其与黄金比的关联，经历 “猜想 — 验证 — 归纳” 的完整探究过程，培养推理意识与探究能力。 典型范式：从数列 1,1,2,3,5,8,13…… 出发，自主计算相邻两项的比值，发现比值越来越接近 0.618，自主探究出数列与黄金比的内在关联。 4. 应用思想：黄金比的生活落地 核心要义：黄金比广泛应用于建筑设计、艺术创作、摄影构图、产品设计等生活场景，体会黄金比在提升美感、优化设计中的核心价值，培养用数学眼光观察生活、优化生活的应用意识。 典型范式：手机屏幕的长宽比、摄影的三分法构图、国旗的长宽比、书籍的开本设计，都融入了黄金比的原理，是数学知识在生活中的直接应用。 第二部分 核心考点深度解构与解题策略精讲 考点一：黄金比的核心概念与计算（基础概念） 典型例题 1（基础层级）—— 概念与计算 题目：已知一条线段全长 10 厘米，点是线段的黄金分割点（），求和的长度分别是多少厘米？（黄金比取 0.618） 思路点拨： ① 第一步：明确黄金分割的定义。点是的黄金分割点，且，因此满足：较长段与全长的比值等于黄金比，即。 ② 第二步：计算较长段的长度。全长厘米，厘米。 ③ 第三步：计算较短段的长度。厘米。 ④ 第四步：验证。计算，符合黄金比的定义，结果正确。 【答案】长厘米，长厘米。 【知识点睛】黄金比核心概念要点： 1. 黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比值等于较短部分与较长部分的比值，这个比值叫作黄金比，这个分割点叫作黄金分割点。 2. 黄金比的数值： · 准确值：； · 近似值：，小学阶段通常取 0.618 进行计算。 3. 核心比例关系：对于线段，黄金分割点（）满足： 4. 易错提醒：黄金比是较长段与全长的比，不是较短段与全长的比；一条线段有两个黄金分割点，分别靠近两端。 考点二：斐波那契数列与黄金比的关联（核心探究） 典型例题 2（核心层级）—— 规律探究 题目：斐波那契数列的前两项都是 1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。 （1）写出这个数列的前 8 项； （2）计算相邻两项的比值（前项 ÷ 后项，结果保留三位小数）； （3）说一说你发现了什么规律。 思路点拨： ① 第一步：根据数列规律写出前 8 项。 前两项都是 1，第三项 = 1+1=2，第四项 = 1+2=3，第五项 = 2+3=5，第六项 = 3+5=8，第七项 = 5+8=13，第八项 = 8+13=21； 因此前 8 项是：1，1，2，3，5，8，13，21。 ② 第二步：计算相邻两项的比值（前项 ÷ 后项）。 · 第 1、2 项： · 第 2、3 项： · 第 3、4 项： · 第 4、5 项： · 第 5、6 项： · 第 6、7 项： · 第 7、8 项： ③ 第三步：观察规律。 比值在 0.618 上下波动，随着项数增加，波动越来越小，越来越接近黄金比 0.618。 【答案】 （1）前 8 项：； （2）相邻两项比值依次为：1.000、0.500、0.667、0.600、0.625、0.615、0.619； （3）规律：斐波那契数列中，相邻两项的比值（前项 ÷ 后项）随着项数的增加，越来越接近黄金比 0.618。 【知识点睛】斐波那契数列核心要点： 1. 数列规律：又称 “兔子数列”，规定前两项为 1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和，即。 2. 与黄金比的关联： · 数列相邻两项的比值（前项 ÷ 后项），随着项数增大，无限趋近于黄金比； · 项数越大，比值越接近 0.618，这是数列与黄金比的内在数学关联。 3. 自然中的体现：向日葵的花盘纹路、松果的鳞片、鹦鹉螺的螺旋线，都符合斐波那契数列的规律，本质是自然生长的最优解。 4. 易错提醒：数列的前两项都是 1，不是从 0 开始；比值是前项比后项，不是后项比前项，注意对应顺序。 考点三：黄金比在建筑与艺术中的应用（文化拓展） 典型例题 3（拓展层级）—— 建筑应用验证 题目：雅典帕特农神庙是黄金比建筑的经典代表，它的立面宽约 30.8 米，高约 19 米。请计算宽与高的比值，判断是否接近黄金比。（结果保留三位小数） 思路点拨： ① 第一步：明确计算方向。题目要求计算宽与高的比值，即宽：高，用宽的长度除以高的长度。 ② 第二步：代入数据计算。。 ③ 第三步：对比黄金比。黄金比约 0.618，它的倒数约为 1.618，计算结果 1.621 非常接近 1.618，因此高与宽的比值接近黄金比，宽与高的比值接近黄金比的倒数，符合黄金比例的设计。 ④ 第四步：结论。帕特农神庙的立面比例接近黄金比，是黄金比在建筑中的经典应用。 【答案】宽与高的比值约为，接近黄金比的倒数 1.618，因此立面比例符合黄金比设计。 【知识点睛】黄金比建筑艺术应用要点： 1. 经典建筑应用： · 古希腊帕特农神庙：立面宽高比接近黄金比，视觉上和谐庄重； · 埃及胡夫金字塔：底面边长与塔高的比值接近黄金比，是最古老的黄金比建筑； · 中国故宫：中轴线的建筑布局、宫殿的长宽比例，多处融入黄金比的设计。 2. 经典艺术应用： · 达・芬奇《蒙娜丽莎》：人物脸型、构图比例符合黄金比，视觉和谐自然； · 达・芬奇《维特鲁威人》：人体比例完美契合黄金分割，是人体黄金比的经典图示； · 古典雕塑《断臂的维纳斯》：身材比例符合黄金分割，是人体美学的标杆。 3. 设计原理：黄金比的比例符合人的视觉审美习惯，能带来和谐、舒适、庄重的视觉感受，因此被广泛应用于建筑、艺术、设计领域。 4. 易错提醒：黄金比的应用是 “接近” 而非 “完全等于”，受实际建筑、创作的限制，比例接近 0.618 即可认为符合黄金比设计。 考点四：黄金比构图方法（实践应用） 典型例题 4（实践层级）—— 黄金矩形绘制 题目：请用尺规作图的方法，画一个边长为 2 厘米的黄金矩形，并写出绘制步骤。 思路点拨： ① 第一步：明确黄金矩形的定义。宽与长的比值等于黄金比的矩形，叫作黄金矩形，即宽：长≈0.618。 ② 第二步：按照尺规作图的规范步骤绘制，核心是利用正方形的对角线，通过画弧得到黄金比的长边。 ③ 第三步：验证比例。计算宽与长的比值，确认接近 0.618，确保绘制正确。 【答案】 绘制步骤： ① 画边长为 2 厘米的正方形，取底边的中点； ② 连接，以点为圆心、长为半径画弧，交的延长线于点； ③ 过点作的垂线，交的延长线于点，矩形即为所求黄金矩形。 最终得到的黄金矩形宽为 2 厘米，长约 3.236 厘米，宽长比约 0.618，符合黄金比定义。 【知识点睛】黄金比构图核心要点： 1. 黄金矩形：宽与长的比为黄金比的矩形，是最具美感的矩形，广泛应用于书籍、门窗、屏幕的设计。 2. 黄金螺旋（斐波那契螺旋）： · 绘制方法：在黄金矩形中依次切去正方形，剩余部分仍是黄金矩形，循环往复，在每个正方形中画四分之一圆弧，连接起来就是黄金螺旋； · 应用：摄影构图、海报设计中，黄金螺旋的视觉引导性最强，主体放在螺旋中心最具美感。 3. 三分法构图（黄金分割简化版）： · 方法：把画面横向、纵向平均分成 3 份，形成九宫格，主体放在交叉点上； · 本质：是黄金分割构图的简化版，符合人的视觉习惯，是摄影、绘画最常用的构图方法。 4. 易错提醒：黄金矩形的宽是短边，长是长边，比值是宽：长≈0.618，不能搞反长短边的顺序。 考点五：黄金比的实践测量与探究（综合实践） 典型例题 5（实践层级）—— 生活中的黄金比 题目：测量数学课本的长和宽，计算宽与长的比值，判断课本的尺寸是否接近黄金比。 思路点拨： ① 第一步：实际测量。用刻度尺测量数学课本的长和宽，通常六年级数学课本长约 26 厘米，宽约 18.4 厘米（以实际测量为准）。 ② 第二步：计算比值。宽：长 = （不同版本课本数据略有差异）。 ③ 第三步：对比黄金比。0.708 与 0.618 有一定差距，接近但不完全符合黄金比，现代书籍开本多采用 ISO 标准，与黄金比略有差异。 ④ 第四步：拓展探究。可以测量课桌、黑板、窗户等物体的长宽比，寻找生活中的黄金比。 【答案】以实际测量为准，示例：课本长 26 厘米，宽 18.4 厘米，宽长比约 0.708，与黄金比 0.618 接近但有差异。 【知识点睛】黄金比实践探究要点： 1. 探究步骤： ① 选定探究对象，确定要测量的两个相关长度； ② 用刻度尺准确测量，统一单位； ③ 计算对应比值，对比黄金比 0.618； ④ 得出结论，分析误差原因。 2. 常见探究对象：人体（肚脐是身高的黄金分割点）、人脸、课桌、黑板、门窗、手机屏幕、国旗、银行卡等。 3. 误差说明：实际生活中的物体受功能、标准、工艺的限制，比例大多是接近黄金比，不会完全等于 0.618，接近即可认为融入了黄金比设计。 4. 素养价值：通过实践测量，培养动手操作能力、数据处理能力，体会数学在生活中的广泛应用，提升用数学眼光观察世界的意识。 第三部分 高频易错预警与避坑指南 易错点 1：黄金比的对应关系搞反，长短段混淆 错误范式：黄金比是较短段与全长的比，错误认为短段：全长 = 0.618。 成因剖析：对黄金分割的定义理解不清，不知道黄金比是较长段与全长的比值，搞反了长短段的对应关系。 避坑方案：牢记黄金比的核心定义：较长段：全长 = 较短段：较长段 ≈ 0.618。口诀：黄金比，长比全，短比长，比值约零点六一八。计算前先区分较长段和较短段，再对应计算，避免搞反。 易错点 2：斐波那契数列起始项记错，规律搞错 错误范式：斐波那契数列前两项是 0 和 1，或者从 2 开始，记错数列的起始项，导致后续所有项都错误。 成因剖析：对斐波那契数列的经典定义记忆不清，混淆了不同版本的起始项，小学阶段经典斐波那契数列前两项都是 1。 避坑方案：牢记斐波那契数列的核心规律：前两项都是 1，从第三项起，每一项等于前两项之和。口诀：一一二三五八十三，前两项相加得后项。写数列时先写前两个 1，再依次往后加，避免起始项错误。 易错点 3：黄金矩形绘制步骤错误，半径、圆心搞混 错误范式：画黄金矩形时，以正方形的顶点为圆心，边长为半径画弧，导致长边长度错误，不是黄金比。 成因剖析：对黄金矩形的绘制原理理解不清，不知道圆心是边长的中点，半径是中点到对顶点的距离。 避坑方案：牢记黄金矩形绘制口诀：先画正方形，取边中点，连对角顶点，以中点为圆心，对角线为半径，画弧延长边，补全矩形就完成。绘制时先标清圆心和半径，再画弧，避免圆心、半径错误。 易错点 4：实际应用中单位不统一，比值计算错误 错误范式：测量物体长 2 米，宽 120 厘米，直接计算 120:2=60，单位不统一，比值完全错误。 成因剖析：只关注数字计算，忽略单位的差异，两个单位不同的量不能直接作比。 避坑方案：计算比值前，第一步先统一单位，把两个量化为相同的单位，再计算比值。口诀：算比值，先看单位，单位统一再计算，单位不同不能比。 第四部分 分层能力进阶与课时达标精练 一、基础夯实达标练（6 题） 1. 填空： （1）把一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比等于较短部分与较长部分的比，这个比叫作（ ），比值约为（ ），准确值是（ ）。 （2）斐波那契数列的前两项都是（ ），从第（ ）项开始，每一项都等于前两项之和。 （3）黄金矩形的宽与长的比值约为（ ），给人和谐、美观的视觉感受。 （4）在摄影中，常用的（ ）构图法，是黄金分割构图的简化版。 （5）一条线段长 20 厘米，它的黄金分割点（较长段靠近左端）距离左端约（ ）厘米。 2. 判断： （1）黄金比的比值正好等于 0.618。（ ） （2）斐波那契数列的第 7 项是 13。（ ） （3）黄金矩形的长与宽的比值约为 0.618。（ ） （4）一条线段只有一个黄金分割点。（ ） （5）帕特农神庙的建筑设计融入了黄金比的原理。（ ） 3. 选择： （1）下面的数中，最接近黄金比的是（ ）。 A. 0.5 B. 0.6 C. 0.618 （2）斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13……，第 9 项是（ ）。 A. 21 B. 34 C. 55 （3）下面的应用中，没有用到黄金比的是（ ）。 A. 帕特农神庙 B. 《蒙娜丽莎》 C. 正方形地砖 （4）把一个黄金矩形切去一个最大的正方形，剩下的部分是（ ）。 A. 正方形 B. 黄金矩形 C. 长方形，不是黄金矩形 4. 计算： （1）一条线段全长 50 厘米，点是它的黄金分割点（），求和的长度。（黄金比取 0.618） （2）写出斐波那契数列的前 10 项。 5. 实践操作： （1）测量你的数学练习本的长和宽，计算宽与长的比值，判断是否接近黄金比。 （2）用方格纸画一个边长为 3 厘米的黄金矩形，标注各边的长度。 6. 说理题： 请你说一说黄金比在生活中有哪些应用，并举出 2 个例子。 二、能力拓展提升练（4 题） 7. 选择： （1）人体上，（ ）的位置大约是身高的黄金分割点。 A. 肚脐 B. 肩膀 C. 膝盖 （2）一个黄金矩形的长是 10 厘米，宽约是（ ）厘米。 A. 5.28 B. 6.18 C. 16.18 （3）斐波那契数列中，相邻两项的比值随着项数增加，会（ ）。 A. 越来越大 B. 越来越接近 0.618 C. 越来越小 8. 填空： （1）黄金比的倒数约是（ ），也就是长与宽的比值。 （2）一个长方形的宽是 6.18 厘米，长是 10 厘米，这个长方形（ ）黄金矩形。（填 “是” 或 “不是”） （3）在摄影构图中，把主体放在黄金螺旋的（ ）位置，视觉效果最好。 9. 解决问题： （1）某款手机屏幕长约 16 厘米，宽约 10 厘米，请计算宽与长的比值，判断是否接近黄金比。 （2）一座古典建筑的立面高约 24.72 米，宽约 40 米，请计算高与宽的比值，判断是否符合黄金比设计。 10. 探究题： 计算斐波那契数列第 8 项和第 9 项的比值（前项 ÷ 后项），第 9 项和第 10 项的比值，看一看比值有什么变化，你能得出什么结论？ 三、思维拓展培优练（2 题） 11. 一个黄金矩形的长是，在里面切去一个最大的正方形，求剩下的小矩形的宽与长的比值，并说明为什么。 12. 有一条线段，两个黄金分割点之间的距离是 2.36 厘米，求这条线段的全长。（黄金比取 0.618） 四、数学活动拓展 实践活动：寻找生活中的黄金比 活动任务： 1. 选择 3 个生活中的物体（如课本、课桌、黑板、人脸、手机、银行卡等）； 2. 测量相关的长度数据，计算对应比值，对比黄金比； 3. 记录你的发现，制作一份 “生活中的黄金比” 探究小报； 4. 和同学分享你的探究成果，讨论黄金比为什么能带来美感。 要求：通过真实实践探究，深化对黄金比的理解，体会数学的美学价值与应用价值，提升实践探究能力与跨学科素养。 第五部分 习题精准解析与知识点睛 一、基础夯实达标练解析 1. 【答案】 （1）黄金比；0.618； （2）1；三 （3）0.618 （4）三分法（九宫格） （5）12.36 思路点拨： ① 黄金比的定义与数值，近似值 0.618，准确值； ② 斐波那契数列的规律，前两项为 1，从第三项起前两项之和等于后项； ③ 黄金矩形宽长比约 0.618； ④ 三分法构图是黄金分割的简化应用； ⑤ 较长段 = 全长 ×0.618=20×0.618=12.36 厘米。 【知识点睛】基础概念识记题型，覆盖黄金比定义、斐波那契数列、黄金矩形、实践应用，夯实概念基础。 2. 【答案】（1）× （2）√ （3）× （4）× （5）√ 思路点拨： ① 0.618 是近似值，不是准确值，错误； ② 数列前 7 项：1,1,2,3,5,8,13，第 7 项是 13，正确； ③ 宽与长的比约 0.618，不是长与宽，错误； ④ 一条线段有两个黄金分割点，分别靠近两端，错误； ⑤ 帕特农神庙是黄金比建筑的经典代表，正确。 【知识点睛】概念辨析题型，针对性规避数值记忆、数列规律、黄金矩形定义等高频易错点，深化概念理解。 3. 【答案】（1）C （2）B （3）C （4）B 思路点拨： ① 黄金比约 0.618，选 C； ② 第 8 项 21，第 9 项 = 13+21=34，选 B； ③ 正方形地砖长宽比 1:1，不符合黄金比，选 C； ④ 黄金矩形切去最大正方形，剩下的仍是黄金矩形，选 B。 【知识点睛】基础选择题型，考查黄金比数值、斐波那契数列、应用场景、黄金矩形性质，训练基础应用能力。 4. 【答案】 （1）厘米 厘米 答：长 30.9 厘米，长 19.1 厘米。 （2）前 10 项：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55 思路点拨： ① 黄金分割点较长段 = 全长 ×0.618，较短段 = 全长 - 较长段； ② 按斐波那契数列规律，依次相加写出前 10 项。 【知识点睛】基础计算题型，巩固黄金比计算、斐波那契数列规律，训练基础计算能力。 5. 【答案】 （1）示例：练习本长 25 厘米，宽 17 厘米，宽长比 = 17÷25=0.68，与 0.618 接近，基本符合黄金比特征（以实际测量为准）。 （2）绘制步骤：先画边长 3 厘米的正方形，取底边中点，连对顶点，以中点为圆心画弧延长底边，补全矩形，长约 4.854 厘米，宽 3 厘米，宽长比≈0.618。 思路点拨： 实际测量以真实数据为准，黄金矩形按规范步骤绘制，验证宽长比接近 0.618。 【知识点睛】实践操作题型，培养动手测量与尺规作图能力，深化对黄金比的直观理解。 6. 【答案】 黄金比广泛应用于建筑、艺术、设计、摄影等领域。 例子：① 建筑领域：雅典帕特农神庙的立面比例符合黄金比，视觉和谐庄重；② 艺术领域：达・芬奇的《蒙娜丽莎》构图融入黄金比，画面美感突出；③ 设计领域：手机屏幕、书籍开本多采用接近黄金比的比例，符合人的视觉习惯。 思路点拨： 从不同领域举例，结合黄金比的作用说明应用价值。 【知识点睛】概念归纳题型，培养知识梳理与表达能力，深化对黄金比应用价值的理解。 二、能力拓展提升练解析 7. 【答案】（1）A （2）B （3）B 思路点拨： ① 肚脐是人体身高的黄金分割点，符合人体美学规律，选 A； ② 宽 = 长 ×0.618=10×0.618=6.18 厘米，选 B； ③ 相邻两项比值随项数增加，越来越接近黄金比 0.618，选 B。 【知识点睛】综合应用题型，考查人体黄金比、黄金矩形计算、数列规律，提升综合应用能力。 8. 【答案】 （1）1.618 （2）是 （3）中心（螺旋终点） 思路点拨： ① 黄金比的倒数； ② ，符合黄金比，是黄金矩形； ③ 黄金螺旋的中心位置是视觉焦点，主体放在此处效果最好。 【知识点睛】进阶填空题，覆盖黄金比倒数、黄金矩形判定、构图应用，强化灵活应用能力。 9. 【答案】 （1）宽：长 = ，0.625 接近 0.618，手机屏幕比例接近黄金比。 答：比值是 0.625，接近黄金比。 （2）高：宽 = ，正好等于黄金比的近似值，符合黄金比设计。 答：比值是 0.618，符合黄金比设计。 思路点拨： 先计算对应比值，再对比黄金比 0.618，判断是否符合。 【知识点睛】实际应用题，结合数码产品、建筑场景考查黄金比的验证，强化应用意识。 10. 【答案】 第 8 项 21，第 9 项 34，第 10 项 55； 第 8、9 项比值：； 第 9、10 项比值：； 结论：随着项数增加，相邻两项的比值越来越接近 0.618，在 0.618 上下波动，波动幅度越来越小，无限趋近于黄金比。 思路点拨： 先算出对应项的数值，再计算比值，对比观察变化趋势，归纳规律。 【知识点睛】探究拓展题型，通过计算验证斐波那契数列与黄金比的关联，培养归纳推理能力。 三、思维拓展培优练解析 11. 【答案】 剩下的小矩形的宽与长的比值仍为黄金比（约 0.618）。 理由：原黄金矩形长为，则宽为； 切去的最大正方形边长为， 剩下的小矩形，长 = 原宽 =，宽 =； 宽：长 = ，符合黄金比，因此仍是黄金矩形。 思路点拨： 先表示出原矩形的长宽，再求出切去正方形后小矩形的长宽，计算比值，验证是否为黄金比。 【知识点睛】黄金矩形性质拓展题，培养代数推理与逻辑证明能力，深化对黄金比本质的理解。 12. 【答案】 设线段全长为厘米， 两个黄金分割点距离左端分别为和， 两个黄金分割点之间的距离 = ； 已知距离为 2.36 厘米，因此， 解得厘米。 答：这条线段全长 10 厘米。 思路点拨： 先明确两个黄金分割点的位置，计算出两点间距离占全长的分率，再根据已知距离求全长。 【知识点睛】黄金分割点的综合拓展题，培养数形结合与逆向思维能力，深化对黄金分割的全面理解。 四、数学活动拓展解析 活动参考过程： 1. 选定对象：选择课本、课桌、人脸、手机、银行卡等 3 个生活中常见的物体，确定测量的长度； 2. 测量记录：用刻度尺准确测量，记录数据，统一单位，计算对应比值，对比黄金比； 3. 制作小报：整理探究数据，配上黄金比的文化知识、经典案例，制作成探究小报； 4. 分享交流：和同学分享探究成果，讨论黄金比的美学原理，总结生活中的黄金比规律。 【知识点睛】通过真实实践探究，深化对黄金比的理解，融合数学、美术、建筑等多学科知识，提升实践探究能力、跨学科素养与审美能力，落实新课标 “综合与实践” 领域的核心素养培养目标。 1 学科网（北京）股份有限公司 $