安微省颍上第一中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

颍上一中 2026 级高一上学期 10 月阶段考（数学）试卷 命题人：李冉　　　审题人：刘殿李 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 一、单项选择题：本大题共 8 小题，共 40 分。 1．已知集合 ，，且 ，则集合 的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】条件 等价于 ，即求 的子集个数． 【解答】因为 且 ，所以 ． 又 有 个元素，所以 可以是 的任一子集，共有 个．故选 D． 2．设全集 ，集合 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按整数除以 的余数把 分成六类，看 ，， 占哪几类． 【解答】 是除以 余 的整数， 是余 的整数， 是余 的整数， 所以 是除以 余 ，， 的整数，即全体奇数． 其在 中的补集是全体偶数，即 ．故选 A． 3．若 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐项作差比较：把两边相减后判断符号，注意 ． 【解答】A：，错误； B：取 ，，则 ，，不等式不成立，错误； C：，正确； D：，错误．故选 C． 4．“， ”的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求该命题成立的充要条件：分离参数得 有解，再取其真子集． 【解答】命题成立等价于存在 使 ， 即 （因为 ，当 时取等号）． 所以充要条件是 ，其真子集 即为一个充分不必要条件．故选 A． 5．学校举办运动会时，高一（1）班共有 28 名同学参加比赛，有 15 人参加游泳比赛，有 8 人参加田径比赛，有 14 人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有 3 人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有 3 人，同时参加三项比赛的有 1 人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设三个集合，用容斥原理求两两交集之和，再减去“三项都参加”的 人得到“只参加两项”的人数． 【解答】设参加游泳、田径、球类比赛的同学分别构成集合 ，，，则 ． 由容斥原理 ，得 ． “只参加游泳和田径”的有 ，所以 ；同理 ， 所以 ，故同时只参加田径和球类的有 （人）．故选 B． 6．已知正数 ， 满足 ，则 的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设 ，用柯西不等式把 用 表示，再解关于 的不等式． 【解答】由 得 ． 设 ，则 ，即 ，解得 ． 当 ， 时 ，且 ，满足条件， 所以 的最小值为 ．故选 B． 7．已知集合 ，集合 ，若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解分式不等式求 ，因式分解求 ，由 是 的真子集列不等式． 【解答】由 得 ，所以 ． 又 ，当 时 ． “ ”是“ ”的充分不必要条件，即 是 的真子集，需 （当 时 ，而 且 ，此时 不是 的子集）．故选 A． 8．已知集合 ，且集合 ，，， 满足如下两个条件： ① 每个集合均恰有 个元素；② ． 称集合 中元素的最大值与最小值之和为 的特征数 （），则 的值可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】四个最大值之和不超过 ，四个最小值之和不超过 ，先估计上界，再构造取值． 【解答】四个集合的最大值是 个不同的正整数，故 中最大值部分 ； 四个最小值也是 个不同的正整数，且第 个集合还有 个元素不小于其最小值，故最小值之和 ． 所以 ． 取 ，，，， 则 ，可以取到．故选 C． 二、多项选择题：本大题共 3 小题，共 18 分。 9．下列命题中是真命题的是（　　） A． 的最小值为 B．当 ， 时， C．若 ，则 的最大值为 D．若正数 ， 满足 ，则 的最小值为 【答案】BCD 【分析】逐项判断：A 注意等号能否取到（）；B 用两次基本不等式；C 用 ；D 用柯西不等式． 【解答】A：令 ，则 在 上递增，最小值为 ，错误； B：，所以 ，正确； C：，所以 ，正确； D：设 ，，则 ， ，所以 ， 当 ，（即 ）时取等号，正确．故选 BCD． 10．已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（　　） A． B． 的最小值为 C． D．不等式 的解集为 【答案】AD 【分析】由解集是两端点确定的闭区间知 ，且 ， 是方程的两根，用韦达定理把 ， 用 表示后逐项判断． 【解答】由解集为 知 ，且 ， 是 的两根， 所以 ，，即 ，（此时 ，故 ，）． A：，正确； B：，不可能取到 ，错误； C：，错误； D： 即 ，两边除以 得 ， 即 ，，解得 ，正确．故选 AD． 11．已知 ， 为正实数，且 ，则（　　） A． 的最小值为 B． 的最小值为 C． 的最大值为 D． 的最小值为 【答案】ACD 【分析】由条件解出 （），把各项化为一元函数，再用基本不等式或求导（配方）判断． 【解答】由 得 ，因为 ，所以 ，且 ． A：， 当 ， 时取等号，正确； B：，所以 ，错误； C：（当 时取等号），正确； D：，记 ，可验证其在 上的最小值为 ，正确．故选 ACD． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知关于 的一元二次不等式 的解中有且仅有 个正整数解，则实数 的取值范围是 ______． 【答案】 【分析】因式分解为 ，按 、、 讨论解集中正整数解的个数． 【解答】原不等式即 ． 当 时，解集为 ，只有 个正整数解，不符合； 当 时，解集为 ，只有 个正整数解，不符合； 当 时，解集为 ，其中的正整数为 ，需恰有 个，即 ， 所以 ，即 的取值范围是 ． 13．若命题“任意实数 ， ”为假命题，则实数 的取值范围是 ____． 【答案】 【分析】命题为假等价于“存在 使  ”，按 、、 讨论． 【解答】命题为假，即存在实数 使 ． 当 时，不等式为 ，有解，符合； 当 时，需 ，解得 或 ，结合 得 或 ； 当 时，抛物线开口向下，必存在 使函数值不大于 ，符合． 综上， 或 ，即 ． 14．已知 ，，，，则 的最小值是 ______．当 取最小值时， 恒成立，则 的取值范围是 ______． 【答案】； 【分析】由条件解出 ，把 化为 的形式用基本不等式；取最小值时得 ，，再求 的最大值． 【解答】由 得 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号，故 的最小值为 ． 此时 ，， ，当 时取最大值 ， 由 得 ，即 ，解得 或 ． 所以 的取值范围是 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题 13 分）已知全集为 ，集合 ，集合 （）． （1）若 是 成立的充分不必要条件，求 的取值范围； （2）若 ，求 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）“充分不必要”即 是 的真子集，按 的两段分别讨论；（2）先求 ，再由交集非空列不等式． 【解答】（1），，由 是 的真子集，需 ． 若 ，则 ，符合； 若 ，即 ，则 ，符合； 当 时， 中总有元素不属于 ，不符合． 所以 的取值范围是 ． （2）， 由 得 且 ，即 ， 所以 的取值范围是 ． 16．（本小题 15 分）设命题 ：对任意 ，不等式 恒成立， 命题 ：存在 ，使得不等式 成立． （1）若 为真命题，求实数 的取值范围； （2）若命题 与命题 一真一假，求实数 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）恒成立转化为 ；（2）“存在”转化为 ，再按一真一假分类． 【解答】（1）当 时， 的最小值为 ， 由 为真得 ，即 ，解得 ， 所以 的取值范围是 ． （2）命题 为真等价于存在 使 ， 而 在 上的最大值为 ，所以 ． ① 若 真 假，则 且 ，得 ； ② 若 假 真，则 或 ，且 ，得 ． 综上， 的取值范围是 ． 17．（本小题 15 分）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形 和 构成的面积为 m² 的十字形地域，计划在正方形 上建一座花坛，造价为 元/m²；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为 元/m²；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为 元/m²．设总造价为 （单位：元）， 长为 （单位：m），求 的最小值及相应的 的值． 【答案】当 时 取得最小值 元 【分析】设 ，由十字形面积为 求出矩形的另一边长，再把花坛、花岗岩、草坪三部分面积用 表示，最后用基本不等式求最小值． 【解答】设 （m），则十字形面积为 ，所以 ． 正方形 的边长为 ，面积为 ，花坛造价为 ； 四个阴影矩形的总面积为 ，花岗岩造价为 ； 每个空角三角形的两条直角边长均为 ，四个三角形的总面积为 ， 草坪造价为 ． 所以 ． 因为 ，所以 ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号． 所以 （元），此时 ． 18．（本小题 17 分）已知函数 （）． （1）解关于 的不等式 ； （2）若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）因式分解为 ，按 、、 及 与 的大小分类；（2）把不等式看成关于 的一次不等式，由端点处成立列不等式组． 【解答】（1）． ① 当 时，，解集为 ； ② 当 时，不等式即 ， 若 ，则 ，解集为 ； 若 ，则 ，解集为 ； 若 ，则 ，解集为 ； ③ 当 时，不等式即 ，又 ，解集为 ． （2）原不等式即 ，把它看成关于 的一次函数， 要使它对任意 恒成立，只需端点处成立： 当 时，，解得 或 ； 当 时，，即 ，解得 ． 取交集得 ，所以 的取值范围是 ． 19．（本小题 17 分）已知集合 为非空数集．定义：，． （1）若集合 ，直接写出集合 ，； （2）若集合 ，，且 ，求 的值； （3）若集合 ，，记 为集合 中元素的个数，求 的最大值． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】（1）直接按定义列举；（2）由 得 ，再比较差集与 的元素；（3）用 、 以及 ， 都是 的子集得 的上界，再构造取等的集合． 【解答】（1），． （2）因为 ，且 最小，所以 ． 由 知 ，， 与 ，， 都是 中的元素，共 个值只能取 个值， 故 ，，． 记 ，，则 ． 若 ，则 ；此时 需等于 （等于 或 均不可能），得 ，， 此时 ，，符合； 若 ，即 ，则 ，但 中最小正元素为 ，矛盾． 所以 ，即 ． （3）设 ，（），由 知 ， 的元素都在 内． 一方面， 都是 中的元素，所以 ； 另一方面，，，， 是 中 个互不相同的元素，所以 ． 因为 且 ， 都是 的子集，所以 ， 于是 ，解得 ． 取 ，此时 ，，，且 ， 所以 的最大值为 ． 颍上一中 10 月阶段考　高一数学（答案）　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 颍上一中 2026 级高一上学期 10 月阶段考（数学）试卷 命题人：李冉　　　审题人：刘殿李 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共 8 小题，共 40 分。 1．已知集合 ，，且 ，则集合 的个数为（　　） A． B． C． D． 2．设全集 ，集合 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 3．若 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 4．“， ”的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 5．学校举办运动会时，高一（1）班共有 28 名同学参加比赛，有 15 人参加游泳比赛，有 8 人参加田径比赛，有 14 人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有 3 人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有 3 人，同时参加三项比赛的有 1 人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（　　） A． B． C． D． 6．已知正数 ， 满足 ，则 的最小值是（　　） A． B． C． D． 7．已知集合 ，集合 ，若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 8．已知集合 ，且集合 ，，， 满足如下两个条件： ① 每个集合均恰有 个元素；② ． 称集合 中元素的最大值与最小值之和为 的特征数 （），则 的值可能为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共 3 小题，共 18 分。 9．下列命题中是真命题的是（　　） A． 的最小值为 B．当 ， 时， C．若 ，则 的最大值为 D．若正数 ， 满足 ，则 的最小值为 10．已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是（　　） A． B． 的最小值为 C． D．不等式 的解集为 11．已知 ， 为正实数，且 ，则（　　） A． 的最小值为 B． 的最小值为 C． 的最大值为 D． 的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知关于 的一元二次不等式 的解中有且仅有 个正整数解，则实数 的取值范围是 ______． 13．若命题“任意实数 ， ”为假命题，则实数 的取值范围是 ____． 14．已知 ，，，，则 的最小值是 ______．当 取最小值时， 恒成立，则 的取值范围是 ______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题 13 分）已知全集为 ，集合 ，集合 （）． （1）若 是 成立的充分不必要条件，求 的取值范围； （2）若 ，求 的取值范围． 16．（本小题 15 分）设命题 ：对任意 ，不等式 恒成立， 命题 ：存在 ，使得不等式 成立． （1）若 为真命题，求实数 的取值范围； （2）若命题 与命题 一真一假，求实数 的取值范围． 17．（本小题 15 分）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形 和 构成的面积为 m² 的十字形地域，计划在正方形 上建一座花坛，造价为 元/m²；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为 元/m²；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为 元/m²．设总造价为 （单位：元）， 长为 （单位：m），求 的最小值及相应的 的值． 18．（本小题 17 分）已知函数 （）． （1）解关于 的不等式 ； （2）若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围． 19．（本小题 17 分）已知集合 为非空数集．定义：，． （1）若集合 ，直接写出集合 ，； （2）若集合 ，，且 ，求 的值； （3）若集合 ，，记 为集合 中元素的个数，求 的最大值． 颍上一中 10 月阶段考　高一数学　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $