3.3圆的对称性与弦长计算 专题复习讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

圆的对称性与弦长计算 专题复习讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册 教师详解版 目录 A、知识详解：圆的对称性；垂径定理及其逆用；半径、半弦与弦心距；弓高；平行弦。 2 B、题型突破：三量计算；弓高与水位；平行弦分类；弧中点与垂弦；坐标中的弦；过定内点的弦。 5 C、分层训练：基础巩固；结构与方法；分类与可达。 14 D、中考真题精选。 19 知识联系图 圆的对称性 → 过圆心作弦的垂线 → 弦被平分 　　→ 半径、半弦、弦心距组成直角三角形 → 勾股定理。 等弧或等弦 → 找垂直平分线 → 确定圆心与弦的位置。 弓高、平行弦间距、坐标中的直线 　　→ 先转化为弦心距 → 再计算弦长。 已知信息 先做什么 必须检查 弦长或弦心距 连一条半径，作圆心到弦的垂线 用的是半弦，不是整弦 弓高 标出圆心、弦中点、弧上测量点的先后位置 弓高是 还是 两条平行弦 分别作弦心距 圆心同侧取差，异侧取和 弧中点或等弦 找两组相等的距离 弧中点在圆上，弦中点在弦上 最短、最长或最值 写清变量可取范围 等号对应的位置能否画出来 A、知识详解 一、圆的对称性 圆绕圆心旋转任意角度都能与原圆重合；绕圆心旋转每一点落到它的对径点，因此圆也是中心对称图形。圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 为什么过圆心的直线能成为对称轴？把圆沿这条直线对折，圆心不动；圆上任一点到圆心的距离不变，它的对应点仍在同一个圆上。注意：说的是“直径所在直线”，不是“任意弦所在直线”。不经过圆心的弦所在直线不是圆的对称轴。 图 A1 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等、对应的弧相等；反过来也成立。这里比较的弧必须是同类弧：劣弧与劣弧比较，优弧与优弧比较。不能把一个劣弧和一个优弧只凭“端点的弦相同”说成等弧。 二、垂径定理：先说明为什么，再使用结论 在中，是一条不经过的弦，垂足为连接 图 A2 在与中，（同圆的半径），是公共边，所以两三角形全等（），从而 这就是计算中最常用的结论：过圆心垂直于弦的直线平分这条弦。 弦若恰为直径，垂足就是圆心，平分结论仍成立，但此时不能套用上面两个非退化直角三角形的证明。 把直线与圆的两个交点记为C、由圆的轴对称，A、关于对称，C、分别是两段弧的中点。所以垂径定理的完整结论还包括：这条直线平分弦所对的两段弧。 逆用时不能少条件。 若是非直径弦的中点，则都在的垂直平分线上，且故 “非直径”能删去吗？不能。如图A3，是两条不垂直的直径，经过的中点却不垂直因此“过圆心且平分弦”不能不加限制地推出垂直。 图 A3 若是某一段弧的中点，则因而都在的垂直平分线上，故直线垂直平分这条路线把“弧上的中点”转成了“弦上的垂直与平分”。和弦中点是不同的点。 三、半径、半弦与弦心距 圆心到弦所在直线的距离叫弦心距。设半径为弦长为弦心距为作后，在中： 图 A4 要求的量 由勾股定理得到 非退化弦的范围 弦长 弦心距 半径 当时，弦是直径；当时，直线与圆只有一个公共点，不能把这个点当成一条弦。 同圆或等圆中，等弦的弦心距相等，反之亦然；弦越长，弦心距越小。理由是固定，半弦平方与弦心距平方的和固定。不同半径的圆不能直接这样比较。 相等关系不等于倍数关系。 半径的圆中，弦长对应的弦心距分别是弦长变为原来的倍，但弦心距并没有变为原来的一半。因此，不能从弦长加倍推出弦心距减半，也不能从弦长加倍推出所对圆心角加倍。 四、弓高：先认清测量的是哪一侧 从弦中点沿弦的垂线到选定弧中点的距离叫这段弓形的弓高，记为设弦长弦心距 图 A5a 近侧弓高 图 A5b 远侧弓高 近侧弧的弓高远侧弧的弓高半圆时两侧弓高均为不能看到“弓高”就一律写 近侧有远侧有无论哪一种，由勾股定理， 所以 。这不是另一个需要死记的定理，而是同一个直角三角形的勾股关系。算出后，还应比较与核对弓形所在的一侧。 五、平行弦：先求两段弦心距，再看位置 图 A6a 圆心同侧 图 A6b 圆心异侧 两条平行弦的垂线方向相同。设两条弦的弦心距为 圆心在两弦同侧时，两弦之间的距离为圆心在两弦之间时，距离为一条弦为直径时，距离就是另一条弦的弦心距，不应把相同结果重复算作两种答案。 题图只画了一种位置而题目没有限定时，不能只按图中的一种位置作答；可以分图讨论。 B、题型突破 题型一、半径、半弦与弦心距 【例】如图B1，的半径为弦长垂足为求 图 B1 入手理由：弦长不能直接与半径组成直角三角形；先用垂径定理把整弦折成半弦。 解析：连接因为所以在中，故半弦小于半径所求弦心距小于半径，符合图形。 变式1 如图B1v1，判断“半径应该比弦长大，所以不可能有这样的圆”是否正确，求出半径并说明理由。 图 B1v1 入手理由：由求弦心距改为反求半径，并诊断“半径一定大于整弦”的误解。 解析：该说法不正确。所以半径为半径要大于非直径弦的半弦不必大于整弦弦可以存在。 变式2 如图B1v2，的半径为圆心到直线的距离为判断直线与是否相交，并说明理由。 图 B1v2 入手理由：先检查几何是否存在，不能在根号中出现负数后仍凑答案。 解析：不相交。圆心到直线的最短距离为而圆上各点到圆心的距离均为直线上不可能有圆上的点。也可以检查说明这里没有可组成直角三角形的半弦；不能把结果写成弦长 题型二、弓高与水位变化 【例】如图B2，一座桥拱的截面是圆弧，当前水面宽水面中点到拱顶的高度圆心在水面下方。求：（1）这段圆弧所在圆的半径；（2）水面上升后，桥洞内的水面宽度。 图 B2 入手理由：先借弓高找半径，再把水位变化改写为弦心距变化；不要把水位上升当成弦心距减小。 解析：（1）设半径为因在水面下方且依次共线，由勾股定理，得 （2）原弦心距水面上升新弦心距为新水面的一半宽为故水面宽水面更靠近拱顶，宽度由减为与图形一致。 变式 如图B2v1，圆形零件的一条弦长从弦中点沿垂直于的方向，到圆上点测得且C、在同侧。求圆的半径，并判断测得的是近侧还是远侧弓高。 图 B2v1 入手理由：测量线跨过圆心，不能机械写可先设半径，使用距离平方。 解析：设半径为由弓高关系得于是所以测得的是远侧弓高，核对：且依次共线，符合条件。也可直接由图中点序设再列 题型三、两条平行弦的位置分类 【例】的半径为两条不同的平行弦分别长求这两条弦之间的距离。（图B3a、B3b分别画出两种可能位置。） 图 B3a 图 B3b 入手理由：半径和弦长决定每条弦离圆心多远，却不决定两弦是否在圆心同一侧。 解析：两条弦的弦心距分别为圆心在两弦同侧时，间距为圆心在两弦之间时，间距为因此间距为或两种位置都能在半径的圆中作出，均应保留。 变式1 如图B3v1，的半径为两条平行弦的间距为求的长，并说明圆心在两弦之间还是在两弦同侧。 图 B3v1 入手理由：逆向由间距确定位置。先检验同侧方案是否会把另一条弦推到圆外。 解析：的弦心距为若两弦在圆心同侧，则另一条弦的弦心距与的差为只可能为或均不成立。故圆心在两弦之间，的弦心距为 变式2 如图B3v2，的半径为是直径，且求两弦之间的距离。 图 B3v2 入手理由：直径的弦心距为是分类的临界情形；图形有上下两种放置，距离却相同。 解析：的弦心距为经过圆心，所以两弦之间的距离为可在上方或下方，但两种放置的间距均为不产生两个不同的数值答案。 题型四、弧中点问题 【例】如图B4，的半径为C、分别是的劣弧、优弧的中点，直线交于求的长。 图 B4 入手理由：弧中点不能当成弦中点；先由等弧得到等弦，把转成的垂直平分线。 解析：因为为劣弧的中点，所以又故直线是的垂直平分线。同理也在这条直线上，所以是直径， 由勾股定理得在近侧弧上，在远侧弧上，因此两段弧不同，不能把都写成 变式 如图B4v1，是的一条非直径弦，为的中点。直线交圆于C、请证明C、分别是两段弧的中点。若去掉“非直径”这一条件，上述结论是否仍成立？请说明理由。 图 B4v1 入手理由：把“弧中点推出垂弦”反过来：由弦中点确定唯一的垂直平分线，再由对称得等弧。 解析：因为且非直径弦保证所以直线是的垂直平分线。圆关于直线对称，与互相对应，C、在对称轴上，故因此C、分别是两段弧的中点。 若是直径，则“直线”不能由两个重合点确定；任取一条经过的直线也未必垂直不能保证它与圆的交点是两段半圆弧的中点。 题型五、坐标中的等距与范围 【例】如图B5（示意图），在平面直角坐标系中，的圆心为半径为直线与圆交于A、两点。 （1）若求的值。 （2）当且直线截得的弦长不小于时，求的取值范围，并分别求取最大值和最小值时的弦长。 图 B5 入手理由：先由弦长求垂距，再用等腰直角三角形把垂距转成坐标差；图示不替代位置条件。由确定弦长改为长度要求时，要把等式改成距离范围，并检查端点与直径情形。 解析：取则在上。作垂足为当时，因与竖直线的夹角为是等腰直角三角形，所以即这里不能预先写成若圆心在上，上述平方关系仍成立，但不把重合点组成的图形称为直角三角形。 （1）由垂径定理得因此得或两个值均使圆心到直线的距离为均可截出长的弦。两圆心分别位于的两侧；题目没有限制示意图只画一种位置，不能据图删去另一值。 （2）设弦长为由等价于因此结合得即此范围内确实都能截出弦。时直线经过圆心，弦为直径，长时弦长为两端均可取，不能因辅助三角形在时退化而漏掉直径。 变式 如图B5v1，的圆心为半径为水平直线截得的弦长不小于且求的取值范围。 图 B5v1 入手理由：由一个确定弦长改为范围；先求圆心与直线之间允许的距离，再和取公共部分。 解析：圆心到的距离为弦长不小于即半弦不小于由半径平方弦心距平方半弦平方，得即所以再结合得端点时弦长时弦长均可取。 题型六、过定内点的弦与平方和 【例】如图B6，的半径为点在圆内，过作弦求的最小值，并说明何时取得。（只用垂径定理与勾股定理。） 图 B6 入手理由：随弦的位置一起变化。作弦心距后，用半弦与到弦中点的距离表达这两段，平方和便可消去交叉项。 解析：作垂足为设因为在弦内部，所以无论在的哪一侧，都是与这两个数。 由勾股定理，两式相减得因此 当且仅当即时取等号。过作垂直于的直线，其弦心距为确实与圆交成一条弦，故最小值能够取得。若弦经过上述平方关系仍成立（此时），不必强把退化图形说成直角三角形。 变式 如图B6v1，的半径为在圆内。过的弦变化时，的最小值记为（1）若求（2）是否可能有？说明理由。 图 B6v1 入手理由：由求最值改为反求点的位置，并检查所给最值能不能来自圆内点。 解析：记仍作弦心距，设半弦为由勾股关系相减得所以过作垂直于的弦时（时任意直径均可），故 （1）故且圆内点确实存在。 （2）不可能。故不可能等于圆内条件还给出所以所有可能的满足 C、分层训练 一、基础巩固 （选择）如图C1，是的一条非直径弦，是直径。下列说法正确的是（　）。 A．直线一定是圆的对称轴　B．直线一定是圆的对称轴 C．圆只有一条对称轴　D．圆不是中心对称图形 图 C1 入手理由：区分弦所在直线、直径所在直线和中心对称。 解析：圆的对称轴必须经过圆心；每条直径所在直线都是对称轴，圆有无数条对称轴，并且以圆心为对称中心。 结合图C2a、C2b，判断下列说法。错误的请指出原因或给出反例。 （1）同圆中，相等的弦对应相等的弦心距。 （2）同圆中，弦长变为原来的倍，弦心距就变为原来的一半。 （3）过圆心且平分一条弦的直线，一定垂直这条弦。 图 C2a 图 C2b 入手理由：等量关系与比例关系分开检查，逆用垂径定理检查非直径条件。 解析：（1）正确，由可知。 （2）错误。半径的圆中，弦长分别为时，弦心距分别为后者不是前者的一半。 （3）错误。两条不垂直的直径互相平分，却不互相垂直；应补充“这条弦不是直径”。 （填空）如图C3，的半径为弦为的中点，直线交圆于C、其中与在的同侧。 图 C3 入手理由：区分弦心距、近侧弓高、远侧弓高。 解析：填 二、结构与方法 如图C4，是中两条不同的平行弦，且分别为的中点。求证：是的中点。 图 C4 入手理由：等弦给等距；还须排除同侧重合，才能确定圆心在中间。 解析：两条不同的平行弦不可能都是直径；若一条是直径，等长又使另一条为直径，与平行且不同矛盾，因此两弦均为非直径弦。由垂径定理的逆用， 因经过垂直于两弦的直线相同，故共线。又由等弦等距，若在同侧，则等距离使从而两条平行弦位于同一直线上，只能是同一条弦，与题意矛盾。因此在之间，且所以是的中点。 如图C5，圆弧形桥洞所在圆的半径为当前水面宽圆心在水面下方。水面下降后，水面宽度是多少？比原来增大还是减小？ 图 C5 入手理由：水位下降不一定变窄；要看水面是否正在靠近圆心。 解析：原弦心距为水面下降后，圆心仍在水面下方，新的弦心距为故新宽度为因水面宽度增大。 如图C6，圆心的圆经过点直线与分别截得一条弦。求两条弦长，并说明哪条弦更长。 图 C6 入手理由：先由点到圆心的距离定半径，再发现一条直线过圆心，不必两次机械套式。 解析：直线经过圆心，所截弦为直径，长圆心到的距离为所截弦长因此截得的弦更长。 如图C7，两个同心圆的半径分别为一条直线依次与两圆交于A、C、D、且求并说明与的关系。 图 C7 入手理由：不是两套无关的弦：同一个垂足同时平分两条弦，外侧两段可作半弦之差。 解析：作垂直于这条直线，则同时为的中点，由小圆得由大圆得因此又故 三、分类与可达 的半径为弦另一条弦与平行，且两弦之间的距离为求的长。（图C8画出两条候选直线。） 图 C8 入手理由：距离为产生两条候选直线，但其中一条可能退化为相切，必须回检“弦”。 解析：的弦心距为距为的两条平行直线到圆心的距离分别为距离为的直线与圆只有一个公共点，不能截出弦，应排除；距离为的直线截得故 如图C9，A、B、在半径为的上，且在的优弧上。求的面积。 图 C9 入手理由：从等弦找到对称轴，面积中的高是远侧弓高，不能误取弦心距。 解析：因点在的垂直平分线上；又点也在这条垂直平分线上，所以设垂足为则在优弧上且故是远侧弧的中点，A、依次共线，于是 如图C10，的半径为点在圆内，过作弦下面两个数值中，哪些可以是的值？ （1）（2） 能达到的，请画出相应弦的位置并求不能达到的，请说明理由。 图 C10 入手理由：把最值结论用于存在性判断，并给出达到目标值的具体图形，不能只说“可能”。 解析：作弦心距，设弦中点为则由题型六的勾股推导得因此不能达到。 取经过的直径此时两段长为平方和为所以可以达到。若指定为靠近的一端，则交换端点名称时两数互换。 图 C10 解答图 D、中考真题精选 2025年南京市中考数学第12题（2分） 一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图D1，这枚古钱币的半径为____ 图 D1 入手理由：正方形孔的中心与圆心重合；尺寸从孔的右下顶点沿水平方向量到圆周，并不是沿正方形的水平中线量取。 解析：设圆心为正方形孔的右下顶点为过的水平线与圆的右侧交于作所在直线，垂足为正方形边长所以由原图得连接由勾股定理得故填 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆的对称性与弦长计算 专题复习讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册 学生版 目录 A、知识详解：圆的对称性；垂径定理及其逆用；半径、半弦与弦心距；弓高；平行弦。 2 B、题型突破：三量计算；弓高与水位；平行弦分类；弧中点与垂弦；坐标中的弦；过定内点的弦。 5 C、分层训练：基础巩固；结构与方法；分类与可达。 15 D、中考真题精选。 20 知识联系图 圆的对称性 → 过圆心作弦的垂线 → 弦被平分 　　→ 半径、半弦、弦心距组成直角三角形 → 勾股定理。 等弧或等弦 → 找垂直平分线 → 确定圆心与弦的位置。 弓高、平行弦间距、坐标中的直线 　　→ 先转化为弦心距 → 再计算弦长。 已知信息 先做什么 必须检查 弦长或弦心距 连一条半径，作圆心到弦的垂线 用的是半弦，不是整弦 弓高 标出圆心、弦中点、弧上测量点的先后位置 弓高是 还是 两条平行弦 分别作弦心距 圆心同侧取差，异侧取和 弧中点或等弦 找两组相等的距离 弧中点在圆上，弦中点在弦上 最短、最长或最值 写清变量可取范围 等号对应的位置能否画出来 A、知识详解 一、圆的对称性 圆绕圆心旋转任意角度都能与原圆重合；绕圆心旋转每一点落到它的对径点，因此圆也是中心对称图形。圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 为什么过圆心的直线能成为对称轴？把圆沿这条直线对折，圆心不动；圆上任一点到圆心的距离不变，它的对应点仍在同一个圆上。注意：说的是“直径所在直线”，不是“任意弦所在直线”。不经过圆心的弦所在直线不是圆的对称轴。 图 A1 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等、对应的弧相等；反过来也成立。这里比较的弧必须是同类弧：劣弧与劣弧比较，优弧与优弧比较。不能把一个劣弧和一个优弧只凭“端点的弦相同”说成等弧。 二、垂径定理：先说明为什么，再使用结论 在中，是一条不经过的弦，垂足为连接 图 A2 在与中，（同圆的半径），是公共边，所以两三角形全等（），从而 这就是计算中最常用的结论：过圆心垂直于弦的直线平分这条弦。 弦若恰为直径，垂足就是圆心，平分结论仍成立，但此时不能套用上面两个非退化直角三角形的证明。 把直线与圆的两个交点记为C、由圆的轴对称，A、关于对称，C、分别是两段弧的中点。所以垂径定理的完整结论还包括：这条直线平分弦所对的两段弧。 逆用时不能少条件。 若是非直径弦的中点，则都在的垂直平分线上，且故 “非直径”能删去吗？不能。如图A3，是两条不垂直的直径，经过的中点却不垂直因此“过圆心且平分弦”不能不加限制地推出垂直。 图 A3 若是某一段弧的中点，则因而都在的垂直平分线上，故直线垂直平分这条路线把“弧上的中点”转成了“弦上的垂直与平分”。和弦中点是不同的点。 三、半径、半弦与弦心距 圆心到弦所在直线的距离叫弦心距。设半径为弦长为弦心距为作后，在中： 图 A4 要求的量 由勾股定理得到 非退化弦的范围 弦长 弦心距 半径 当时，弦是直径；当时，直线与圆只有一个公共点，不能把这个点当成一条弦。 同圆或等圆中，等弦的弦心距相等，反之亦然；弦越长，弦心距越小。理由是固定，半弦平方与弦心距平方的和固定。不同半径的圆不能直接这样比较。 相等关系不等于倍数关系。 半径的圆中，弦长对应的弦心距分别是弦长变为原来的倍，但弦心距并没有变为原来的一半。因此，不能从弦长加倍推出弦心距减半，也不能从弦长加倍推出所对圆心角加倍。 四、弓高：先认清测量的是哪一侧 从弦中点沿弦的垂线到选定弧中点的距离叫这段弓形的弓高，记为设弦长弦心距 图 A5a 近侧弓高 图 A5b 远侧弓高 近侧弧的弓高远侧弧的弓高半圆时两侧弓高均为不能看到“弓高”就一律写 近侧有远侧有无论哪一种，由勾股定理， 所以 。这不是另一个需要死记的定理，而是同一个直角三角形的勾股关系。算出后，还应比较与核对弓形所在的一侧。 五、平行弦：先求两段弦心距，再看位置 图 A6a 圆心同侧 图 A6b 圆心异侧 两条平行弦的垂线方向相同。设两条弦的弦心距为 圆心在两弦同侧时，两弦之间的距离为圆心在两弦之间时，距离为一条弦为直径时，距离就是另一条弦的弦心距，不应把相同结果重复算作两种答案。 题图只画了一种位置而题目没有限定时，不能只按图中的一种位置作答；可以分图讨论。 B、题型突破 题型一、半径、半弦与弦心距 【例】如图B1，的半径为弦长垂足为求 图 B1 变式1 如图B1v1，判断“半径应该比弦长大，所以不可能有这样的圆”是否正确，求出半径并说明理由。 图 B1v1 变式2 如图B1v2，的半径为圆心到直线的距离为判断直线与是否相交，并说明理由。 图 B1v2 题型二、弓高与水位变化 【例】如图B2，一座桥拱的截面是圆弧，当前水面宽水面中点到拱顶的高度圆心在水面下方。求：（1）这段圆弧所在圆的半径；（2）水面上升后，桥洞内的水面宽度。 图 B2 变式 如图B2v1，圆形零件的一条弦长从弦中点沿垂直于的方向，到圆上点测得且C、在同侧。求圆的半径，并判断测得的是近侧还是远侧弓高。 图 B2v1 题型三、两条平行弦的位置分类 【例】的半径为两条不同的平行弦分别长求这两条弦之间的距离。（图B3a、B3b分别画出两种可能位置。） 图 B3a 图 B3b 变式1 如图B3v1，的半径为两条平行弦的间距为求的长，并说明圆心在两弦之间还是在两弦同侧。 图 B3v1 变式2 如图B3v2，的半径为是直径，且求两弦之间的距离。 图 B3v2 题型四、弧中点问题 【例】如图B4，的半径为C、分别是的劣弧、优弧的中点，直线交于求的长。 图 B4 变式 如图B4v1，是的一条非直径弦，为的中点。直线交圆于C、请证明C、分别是两段弧的中点。若去掉“非直径”这一条件，上述结论是否仍成立？请说明理由。 图 B4v1 题型五、坐标中的等距与范围 【例】如图B5（示意图），在平面直角坐标系中，的圆心为半径为直线与圆交于A、两点。 图 B5 （1）若求的值。 （2）当且直线截得的弦长不小于时，求的取值范围，并分别求取最大值和最小值时的弦长。 变式 如图B5v1，的圆心为半径为水平直线截得的弦长不小于且求的取值范围。 图 B5v1 题型六、过定内点的弦与平方和 【例】如图B6，的半径为点在圆内，过作弦求的最小值，并说明何时取得。（只用垂径定理与勾股定理。） 图 B6 变式 如图B6v1，的半径为在圆内。过的弦变化时，的最小值记为（1）若求（2）是否可能有？说明理由。 图 B6v1 C、分层训练 一、基础巩固 （选择）如图C1，是的一条非直径弦，是直径。下列说法正确的是（　）。 A．直线一定是圆的对称轴　B．直线一定是圆的对称轴 C．圆只有一条对称轴　D．圆不是中心对称图形 图 C1 结合图C2a、C2b，判断下列说法。错误的请指出原因或给出反例。 （1）同圆中，相等的弦对应相等的弦心距。 （2）同圆中，弦长变为原来的倍，弦心距就变为原来的一半。 （3）过圆心且平分一条弦的直线，一定垂直这条弦。 图 C2a 图 C2b （填空）如图C3，的半径为弦为的中点，直线交圆于C、其中与在的同侧。 图 C3 二、结构与方法 如图C4，是中两条不同的平行弦，且分别为的中点。求证：是的中点。 图 C4 如图C5，圆弧形桥洞所在圆的半径为当前水面宽圆心在水面下方。水面下降后，水面宽度是多少？比原来增大还是减小？ 图 C5 如图C6，圆心的圆经过点直线与分别截得一条弦。求两条弦长，并说明哪条弦更长。 图 C6 如图C7，两个同心圆的半径分别为一条直线依次与两圆交于A、C、D、且求并说明与的关系。 图 C7 三、分类与可达 的半径为弦另一条弦与平行，且两弦之间的距离为求的长。（图C8画出两条候选直线。） 图 C8 如图C9，A、B、在半径为的上，且在的优弧上。求的面积。 图 C9 如图C10，的半径为点在圆内，过作弦下面两个数值中，哪些可以是的值？ （1）（2） 能达到的，请画出相应弦的位置并求不能达到的，请说明理由。 图 C10 D、中考真题精选 2025年南京市中考数学第12题（2分） 一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图D1，这枚古钱币的半径为____ 图 D1 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $