3.3圆的对称性讲义2026-2027学年九年级数学上册苏科版

3.3圆的对称性 1.教学目标： （1）掌握圆的对称性，理解圆心角、弧、弦之间的关系以及垂径定理，能运用定理进行简单的计算。 （2）会利用弧弦圆心角关系、垂径定理完成几何证明，能解决与圆相关的实际应用问题，提升数形结合与分类讨论的数学思维。 2.教学重难点： 重点：理解并熟练运用弧、弦、圆心角的关系以及垂径定理进行计算与证明。 难点：区分垂径定理及其推论的使用条件，准确识别模型，灵活的解决圆的几何综合题。 古时候，有一位老木匠，手艺远近闻名。有一天，一位财主请他做一个圆拱形的门框，要求在弧的正中间刻一朵牡丹花，寓意“花开富贵”。 老木匠拿起木弧，左看看、右看看，犯了难——弧是弯的，直尺量不出中点；用眼睛看，又怕刻偏了。他急得抓耳挠腮…… 你能帮这位老木匠找到弧的中点吗？ 考点一：圆的对称性 1.圆的轴对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴． 2.圆的旋转对称性 将圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都能与原来的图形重合，所以圆是特殊的中心对称图形，圆心是对称中心． 考点二：弧、弦、圆心角 1.圆心角及其所对的弧、弦的关系 （1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．如图，①= ⇒ ② ③ABCD （2）推论： ①在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．如上图，② ⇒ ①= ③ABCD ②在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．如上图，③ABCD ⇒ ①= 和 由圆心角、弦、弧的关系及推论可知，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧（同为优弧或劣弧）、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余两组量都分别相等，简称“知一推二”． 考点三：垂径定理 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． ③AMBM ⑤ ①CD是直径 ②CDAB 如图， ④ ⇒ 2.拓展： 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． ①CD是直径 如上图，②AMBM （AB不是直径） ③CDAB ⑤ ④ ⇒ 由垂径定理以及推论可知，如果一条直线具备①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质， 【题型一】圆的对称性 【例1】（2025九年级·全国·专题练习）下列说法正确的有（   ） ①圆是轴对称图形；②圆是旋转对称图形；③圆不是中心对称图形；④圆是轴对称图形但不是旋转对称图形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本对称性质，包括轴对称、旋转对称和中心对称，掌握以上知识点是解题的关键． 根据中心对称图形的定义，旋转对称图形的定义以及轴对称的性质解答即可． 【详解】解：①圆有无数条对称轴（任何直径所在直线），圆是轴对称图形，①正确，符合题意； ②圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，圆是旋转对称图形，②正确，符合题意； ③圆心是对称中心，圆是中心对称图形，故③错误，不符合题意； ④圆既是轴对称图形又是旋转对称图形，故④错误，不符合题意； 因此说法正确的有个， 故选：B． 【变式训练1-1】（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）诗人但丁曾赞美道：圆是最美的图形．圆的线条明快、简练、均匀、对称，无论是古人，还是今人，都对圆有着特殊的亲切情感．你知道圆有多少条对称轴吗？（   ） A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条 【答案】D 【分析】本题考查了求几何图形的对称轴条数，根据经过圆心的直线是圆的对称轴，进行作答即可； 【详解】解：依题意，经过圆心的直线是圆的对称轴， ∴圆有无数条对称轴， 故选：D． 【变式训练1-2】在⊙O中有两个三角形：和，点A，B，C，D依次在⊙O上，如图所示．若这两个三角形关于过点O的直线l成轴对称，则点B关于直线l的对称点是____________． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的性质求解即可． 【详解】解：和关于过点O的直线l成轴对称，如图所示， ∴点B关于直线l的对称点是点C， 故答案为：C． 【点睛】题目主要考查轴对称图形的性质，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键． 【变式训练1-3】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图所示的风车，绕着它的中心点旋转，若旋转后的风车与自身重合，旋转角至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，根据图示信息圆周角分成了份，由此即可求解，掌握周角的度数，旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵如图所示的风车为正五边形， ∴中心角的度数为：， ∴当旋转角度为的倍数时，如图所示的风车能与自身重合， 故旋转角至少为， 故选：． 题型二：利用弧、弦、圆心角的关系求值 【例1】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，为的直径，，若，则的度数为_________． 【答案】 【分析】根据已知可得，根据可得，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练1-1】如图，在中，，则__________． 【答案】3 【分析】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等得出． 根据在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等解答即可． 【详解】解：在中，， ， 故答案为：3 【变式训练1-2】如图，是的直径，，，则_____．    【答案】 【分析】根据同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角相等即可求解． 【详解】∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等是解题的关键． 【变式训练1-3】（25-26九年级上·福建·期末）如图，是的直径，点，依次在上，连接．若，则图中与相等的弧是______． 【答案】 【分析】此题考查等边对等角，三角形外角的性质、弧和圆心角之间的关系等知识．证明，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴与相等的弧是， 故答案为： 题型三：利用弧、弦、圆心角的关系证明 【例1】（25-26九年级上·新疆巴州·期末）如图，A，B，C，D是上的四个点，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∴． (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【分析】该题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，全等三角形的判定． （1）根据得出，再根据等弧所对的圆心角相等即可证明； （2）根据得出，根据得出，即可证明． 【变式训练1-1】（25-26九年级上·全国·期末）如图，分别交于点A，B，D，E，且求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的性质，掌握圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键．根据题意得到，即有，依据等腰三角形的性质得到即可． 【详解】证明：， ， 【变式训练1-2】如图， 中， ．求证： ． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键． 由，推出，推出可得结论； 【详解】证明：∵， ， ， 【变式训练1-3】（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，，是的半径，且，弦分别经过，的中点D，E． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 解：，理由如下， 证明：过点作直径，如图， ，，是的半径，， ， 点D，E分别是，的中点，， ， 在和中， ， ， ； (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 【分析】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质． （1）根据弧与圆心角的关系，可得，又由点D，E分别是，的中点，可得，继而可证得，则可得； （2）由得到，推出，再得到，则． 题型四：利用垂径定理求值 【例1】（2024·四川成都·二模）如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【分析】根据垂径定理得到，在中利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴，， ∴在中，， ∴． 【变式训练1-1】（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，是的弦，半径于点D，若，，则的长是_______ 【答案】3 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键．根据垂径定理求出，设，则，由勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由勾股定理得，即， 解得：， ∴． 故答案为：3． 【变式训练1-2】（25-26九年级上·吉林·期末）学习圆的知识后，小明同学做了如下的实践应用操作：如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径，弦，请你计算求出直尺的宽度． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理作出辅助线是解题的关键． 连接，过点O作，垂足为H，在中，用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：连接，过点O作，垂足为H， ∴， 在中，， ∴直尺的宽度为． 【变式训练1-3】（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知是的直径，弦 于点， 若，，则的长为______． 【答案】或 【分析】本题考查勾股定理和垂径定理的应用，根据题意做出图形是本题的解题关键，注意分类讨论．结合垂径定理和勾股定理，在中，求得的长，则或，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接， 的直径， ， 于点， ， 在中，， ， 如图： 同理，可求得， 此时， 故的长是或， 故答案为：或． 题型五：利用垂径定理求平行线弦问题 【例1】⊙的半径为5cm，AB、CD是⊙的两条弦，，，．则和之间的距离为_______． 【答案】1cm或7cm． 【分析】分两种情况：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；分别作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1 ∵AB＝8cm，CD＝6cm， ∴AE＝4cm，CF＝3cm， ∵OA＝OC＝5cm， ∴EO＝3cm，OF＝4cm， ∴EF＝4−3＝1cm； ②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2， ∵AB＝8cm，CD＝6cm， ∴AE＝4cm，CF＝3cm， ∵OA＝OC＝5cm， ∴EO＝3cm，OF＝4cm， ∴EF＝OF＋OE＝7cm． ∴AB与CD之间的距离为1cm或7cm． 故填1cm或7cm． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，正确作出辅助线、灵活运用垂径定理以及分类讨论思想和数形结合思想是解答本题的关键． 【变式训练1-1】如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF 【答案】见解析 【分析】根据垂径定理进行解答即可． 【详解】解：∵E为AB中点，MN过圆心O， ∴MN⊥AB ， ∴∠MEB＝90°， ∵AB∥CD ， ∴∠MFD＝∠MEB＝90°， 即MN⊥CD ， ∴CF＝DF． 【点睛】本题考查了垂径定理的运用，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧． 【变式训练1-2】如图，已知⊙O的半径长为R=5，弦AB 与弦CD平行，它们之间距离为5，AB=6，求弦CD的长． +   【答案】 【分析】如图所示作出辅助线，由垂径定理可得AM=3，由勾股定理可求出OM的值，进而求出ON的值，再由勾股定理求CN的值，最后得出CD的值即可． 【详解】解：如图所示，因为AB∥CD，所以过点O作MN⊥AB交AB于点M，交CD于点N，连接OA，OC， 由垂径定理可得AM=， ∴在Rt△AOM中，， ∴ON=MN-OM=1， ∴在Rt△CON中，， ∴， 故答案为：    【点睛】本题考查勾股定理及垂径定理，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 【变式训练1-3】如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径 ，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵半径OC垂直于弦AB， ∴AD=DB= AB= 在Rt△AOD中，OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+( )2， 解得，OA=4 ∴OD=OC-CD=3， ∵AO=OE,AD=DB, ∴BE=2OD=6 故选B 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键 题型六：利用垂径定理求同心圆问题 【例1】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，半径为5和的两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点，若，则的大小为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，解题的关键是正确作出垂线．连接，过点作于点，由垂径定理可得，再由勾股定理可得，求出，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵，经过圆心， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴（舍去负值）， ∴ 故选：C． 【变式训练1-1】如图，一入口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为_______________cm 【答案】134 【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32， ∵OE⊥AB， ∴AE=EB=100cm， 在RT△OAE中， 在RT△OCE中，， 则 解得：r=134． 故答案为：134． 【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【变式训练1-2】某市地铁施工队开始隧道挖掘作业，如图1，圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．如图2，有一圆弧形混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，为估计隧洞开挖面的大小，甲、乙两个组对相关数据进行测量，测量结果如下表所示，利用数据能够估算隧道外径大小的组是（    ） 小组 测量内容 甲 的长 乙 的长 A．两组测量数据都不足 B．甲组 C．乙组 D．两组都可以 【答案】D 【分析】乙的做法的合理性为可由垂径定理求出HK，又知KL，由直角三角形的勾股定理可求出答案；甲组做法的合理性由弧长公式和两条半径之间的关系列方程组求解即可． 【详解】解：甲、乙两组的做法都可以， 乙组做法的理由：如图2，根据测量数据可知，HG=KL，GN=HM，由垂径定理可求出HK，在直角三角形OHK中，由勾股定理可求出OH，进而求出OL，问题得以解决； 甲组做法的理由：如图1，由于已知AB，可以设外圆半径为R，则可表示内圆半径OA，根据弧长公式列方程组可求出R即可， 所以甲、乙两组做法均可， 故选：D． 【点睛】本题考查垂径定理，直角三角形的边角关系，弧长的计算，掌握垂径定理、勾股定理以及弧长的计算方法是解决问题的关键． 【变式训练1-3】（24-25九年级上·广东广州·期末）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（同心圆）面积的方法．现有以下工具（图1）：①卷尺：②直棒：③型尺（所在的直线垂直平分线段）． 【活动1】找出大圆的圆心． 小天同学选择用型尺找到大圆圆心，操作方法如图2所示： 小河同学说：“类似小天的方法，我发现可以利用没有刻度的直尺和圆规找到任意一个圆的圆心．” 【活动2】求环形花坛面积． 如图3，小河说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法是：将直棒与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点，之间的距离，就可求出环形花坛的面积．” 小天思考后，说：“如图4，如果直线与大圆两交点分别为，，与小圆两交点分别为，，只要测出，的长度，也可求出环形花坛的面积．” 【解决问题】 (1)利用尺规在图5中找到圆心（保留作图痕迹，不写作法）： (2)图3中，如果测得，求这个环形花坛的面积； (3)填空：图4中，如果测得，，用含，的式子表示环形花坛的面积_____． 【答案】(1) 如图点即为所求； (2) (3) 【分析】本题考查作图与应用，线段的垂直平分线的性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）先作出两条不平行的弦，再作出的垂直平分线，其交点即为所求的点． （2）设切点为，连接，．利用勾股定理即可解决问题； （3）连接，，过点O作，由垂径定理得由勾股定理得，，从而得出，最后由求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设切点为，连接，． 是切线， ， ， ， ． （3）解：如图，连接，，过点O作， ， 中，， 中，， ， ， 故答案为： 题型七：利用垂径定理证明 【例1】如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论； （2）证明，由垂径定理可得结论． 【详解】（1）证明：如图，连接，     过点，为的中点， ． （2）证明：延长交于．    ，， ． 过点， ， 垂直平分， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键． 【变式训练1-1】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，交于点C，D，是半径，且于点F．求证：． 【答案】 证明：∵为的弦， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查垂径定理．由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论． 【变式训练1-2】（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）如图，在中，为的弦，是直线上两点，且，求证：为等腰三角形． 【答案】 证明：过点O点作OM⊥AB，垂足为M； ∵OM⊥AB， ∴AM=BM， ∵AC=BD， ∴CM=DM， 又∵OM⊥AB， ∴OC=OD， ∴△OCD为等腰三角形． 【分析】过O作AB垂线，设垂足为M，由垂径定理可得AM=BM，已知AC=BD，那么CM=DM，即OM垂直平分线段CD，由此证得OC=OD，即△OCD为等腰三角形． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了垂径定理和等腰三角形的判定等知识，解题的关键是合理作出辅助线． 【变式训练1-3】如图，是的直径，弦于点是弧上一点，连接． （1）求证； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析；（2）的半径为． 【分析】（1）由题意易得，进而问题可证； （2）连接，设，则有，然后根据勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：连接，设，如图所示： ， ， 在中，， 解得， 的半径为． 【点睛】本题主要考查垂径定理及弧、弦、圆心角、圆周角的关系，熟练掌握垂径定理及弧、弦、圆心角、圆周角的关系是解题的关键． 题型八：垂径定理的应用 【例1】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图①是某商家的充气拱门广告牌，图②是该广告牌的示意图，拱门可看作同心圆的一部分，其中内跨度米，拱门内部分圆高度米，求该拱门内圆所在圆的半径． 【答案】米 【分析】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握垂径定理，勾股定理，进行解答，连接，设圆的半径为，米根据勾股定理，则，即可． 【详解】连接， ∵， ∴米， 设圆的半径为， ∴米， 在中，， ∴，解得：， ∴的半径为米． 【变式训练1-1】圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度．（精确到0.1）    【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．过点作于点，连接，根据垂径定理可得，再在中，根据勾股定理解得的值，进而获得答案． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，    ∴，， ∵， ∴， ∵直径为， ∴， 在中，根据勾股定理， 可得， ∴， ∴水的最大深度为． 【变式训练1-2】（25-26九年级上·河南许昌·期末）“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点，寸，寸，则直径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，关键是构造直角三角形；根据勾股定理和垂径定理求解． 【详解】解：∵， ∴， 设， 在中， ∵，， ∴， 解得：， 即：， 故选：C ． 【变式训练1-3】（24-25九年级上·北京·期末）只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法；如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为．请你帮忙计算纸杯杯口的直径d． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理的应用，矩形的性质，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，取点为圆心，过点作于点，交于点，连接，， ∴， ∵， ∴， ∵纸条宽为，，． ∴，， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴纸杯的直径长为． 1．在中，，弦，则圆心O到的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出图形，过点O作于点D，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图所示，过点O作于点D， 弦， ， ， 即圆心O到的距离为． 2．如图，点A，B，C，D都在上，，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆心角，弧，弦的关系判断即可． 【详解】解：∵， ，，，． 3．如图，是的直径，C，D是上的点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过邻补角的性质得到的度数，再由圆心角定理即可求得结果． 【详解】在中，C，D是上的点，， ∴， ∴． 4．如图，在中，点是的中点，点在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到，利用弧、弦、圆心角的关系即可得的度数． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴． 5．如图，某学校的石拱门顶部是拱门模型，跨度（弧所对的弦的长）为6米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米，则该拱门模型的半径为（   ） A．米 B．4米 C．米 D．5米 【答案】A 【分析】设拱门的圆心为O，连接，设拱门的半径为r，由垂径定理可得米，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求出拱门的半径r． 【详解】解：如图，设拱门的圆心为O，连接， 设拱门的半径为r， 由题意可得：米，米，点O，D，C三点共线， 米， ， ， ， ． 6．如图中，A、B、C均为圆上的点，下列说法：①若，则； ② 若，则；③若，则；④若，则O点到弦的距离相等．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦心距的关系，根据“在同圆或等圆中，如果两个圆心角对应的两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等”进行判断即可 ． 【详解】解：∵在同圆或等圆中，如果两个圆心角对应的两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等． ∴①若，则，所以，此说法正确； ②若，则，所以，此说法正确； ③若，则，所以，此说法正确； ④若，则O点到弦的距离相等，所以，此说法正确； ∴说法正确的是①②③④，共4个， 故选：D． 7．如图圆的一条弦长为，圆心到弦的距离为，则该圆的半径为______． 【答案】 【分析】由垂径定理求出，再根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：由题意的，，， ∴， ∴在中，， 即该圆的半径为． 8．半圆形纸片的半径为，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点与圆心重合，则折痕的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，垂径定理，折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．作交于，则，连接，根据勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：作交于，则，连接，如图 有， 对折后半圆弧的中点M与圆心O重合， 则，， ∴， 在中， ， ． 故答案为：． 9．如图，是的直径，点，是直径上方半圆上两点，且，与交于点． (1)求证：为的中点； (2)若，，求． 【答案】(1) ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，        ∴为的中点； (2) 【分析】本题考查圆的知识，垂径定理，勾股定理，三角形的中位线等知识，解题的关键是掌握以上定理，进行解答，即可． （1）根据直径所对的圆周角是直角，得，根据平行线是性质，可得， 根据垂径定理，即可； （2）根据三角形的中位线，则，根据，求出，根据勾股定理求出，即可． 【详解】（1）略 （2）解：为的中点，为的中点， ， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 10．如图，是的直径，弦于点E，，若，求的长． 【答案】 【分析】连接，根据是的直径，弦于点E得，根据得，根据得，根据得，在中，根据勾股定理得，计算得，即可得． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径，弦于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，根据勾股定理得， ， ， ， ， ∴． 11．小明在完成作业“如图1，，、是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点，求证：”的基础上，做了如下尝试如图2“把改为，其他不变”，证明成功后，大胆猜想：“如图3，，、是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点，求证：”．请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程． 【答案】 尝试：证明：如图，连接、， 是的三等分点，， ，， ． ， ． ， ， ． 在中，， ， ． 同理可证， 结合， ． 猜想：证明：如图，连接、， 是的三等分点，， ，， ． ， ． ， ， ． 在中，， ， ． 同理可证， 结合， ． 【分析】尝试：当时，先根据弧的三等分性质得到等弧，进而推出等弦；再通过等腰三角形内角计算，证明，得出，同理证明，最终得到； 猜想：同理，对的情况，通过计算等腰三角形的内角，证明，得出，同理，结合等弧对等弦的性质完成证明． 【详解】尝试： 略 猜想： 略 12．如图，以为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点、、、． (1)求证：； (2)连接、，如果，，，求小圆半径的值． 【答案】(1) 证明：如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， 即； (2) 【分析】（）过点作于点，由垂径定理得，，进而即可求证； （）连接、，可得，，即得，设，则，，利用勾股定理求出的值进而即可求解； 本题考查了垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接、， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设，则，， 在中，∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 即小圆半径的值为． 13．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为60分米，过点作，交于点，交AB于点，水面下盛水筒的最大深度为10分米（即分米）． (1)求的半径； (2)若水面上涨，导致被水面截得的弦从原来的60分米变为80分米，且圆心仍在水面上方时，求水面上涨了多少分米？ 【答案】(1)50分米 (2)10分米 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据垂径定理得分米，设圆的半径为r分米，则分米，分米，利用勾股定理得，即，解方程即可得解； （2）设水面升到如图的位置，则，与相交于点G，根据垂径定理得分米，由勾股定理求出，再根据即可得解． 【详解】（1）解：如图，由题意可知，分米，分米， ∵分米，， ∴分米， 设圆的半径为r分米，则分米，分米， 在中，，即， 解得， 即该圆的半径为50分米； （2）解：设水面升到如图的位置，则，与相交于点G， ∵，且经过圆心， ∴（分米）， 连接， 在中，分米，分米， ∴（分米）， ∴（分米）， 即水面上涨的高度为10分米． 一、圆有多少条对称轴？ 二、弦、弧、圆心角有什么关系呢？ 三、垂径定理还记得是什么吗？ 四、本节课还有哪些地方是不熟练的呢？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3圆的对称性 1.教学目标： （1）掌握圆的对称性，理解圆心角、弧、弦之间的关系以及垂径定理，能运用定理进行简单的计算。 （2）会利用弧弦圆心角关系、垂径定理完成几何证明，能解决与圆相关的实际应用问题，提升数形结合与分类讨论的数学思维。 2.教学重难点： 重点：理解并熟练运用弧、弦、圆心角的关系以及垂径定理进行计算与证明。 难点：区分垂径定理及其推论的使用条件，准确识别模型，灵活的解决圆的几何综合题。 古时候，有一位老木匠，手艺远近闻名。有一天，一位财主请他做一个圆拱形的门框，要求在弧的正中间刻一朵牡丹花，寓意“花开富贵”。 老木匠拿起木弧，左看看、右看看，犯了难——弧是弯的，直尺量不出中点；用眼睛看，又怕刻偏了。他急得抓耳挠腮…… 你能帮这位老木匠找到弧的中点吗？ 考点一：圆的对称性 1.圆的轴对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴． 2.圆的旋转对称性 将圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都能与原来的图形重合，所以圆是特殊的中心对称图形，圆心是对称中心． 考点二：弧、弦、圆心角 1.圆心角及其所对的弧、弦的关系 （1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．如图，①= ⇒ ② ③ABCD （2）推论： ①在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．如上图，② ⇒ ①= ③ABCD ②在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．如上图，③ABCD ⇒ ①= 和 由圆心角、弦、弧的关系及推论可知，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧（同为优弧或劣弧）、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余两组量都分别相等，简称“知一推二”． 考点三：垂径定理 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． ③AMBM ⑤ ①CD是直径 ②CDAB 如图， ④ ⇒ 2.拓展： 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． ①CD是直径 如上图，②AMBM （AB不是直径） ③CDAB ⑤ ④ ⇒ 由垂径定理以及推论可知，如果一条直线具备①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质， 【题型一】圆的对称性 【例1】（2025九年级·全国·专题练习）下列说法正确的有（   ） ①圆是轴对称图形；②圆是旋转对称图形；③圆不是中心对称图形；④圆是轴对称图形但不是旋转对称图形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练1-1】（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）诗人但丁曾赞美道：圆是最美的图形．圆的线条明快、简练、均匀、对称，无论是古人，还是今人，都对圆有着特殊的亲切情感．你知道圆有多少条对称轴吗？（   ） A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条 【变式训练1-2】在⊙O中有两个三角形：和，点A，B，C，D依次在⊙O上，如图所示．若这两个三角形关于过点O的直线l成轴对称，则点B关于直线l的对称点是____________． 【变式训练1-3】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图所示的风车，绕着它的中心点旋转，若旋转后的风车与自身重合，旋转角至少为（    ） A． B． C． D． 题型二：利用弧、弦、圆心角的关系求值 【例1】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，为的直径，，若，则的度数为_________． 【变式训练1-1】如图，在中，，则__________． 【变式训练1-2】如图，是的直径，，，则_____．    【变式训练1-3】（25-26九年级上·福建·期末）如图，是的直径，点，依次在上，连接．若，则图中与相等的弧是______． 题型三：利用弧、弦、圆心角的关系证明 【例1】（25-26九年级上·新疆巴州·期末）如图，A，B，C，D是上的四个点，且．求证： (1)； (2)． 【变式训练1-1】（25-26九年级上·全国·期末）如图，分别交于点A，B，D，E，且求证： 【变式训练1-2】如图， 中， ．求证： ． 【变式训练1-3】（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，，是的半径，且，弦分别经过，的中点D，E． (1)求证：； (2)求证：． 题型四：利用垂径定理求值 【例1】（2024·四川成都·二模）如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【变式训练1-1】（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，是的弦，半径于点D，若，，则的长是_______ 【变式训练1-2】（25-26九年级上·吉林·期末）学习圆的知识后，小明同学做了如下的实践应用操作：如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径，弦，请你计算求出直尺的宽度． 【变式训练1-3】（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知是的直径，弦 于点， 若，，则的长为______． 题型五：利用垂径定理求平行线弦问题 【例1】⊙的半径为5cm，AB、CD是⊙的两条弦，，，．则和之间的距离为_______． 【变式训练1-1】如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF 【变式训练1-2】如图，已知⊙O的半径长为R=5，弦AB 与弦CD平行，它们之间距离为5，AB=6，求弦CD的长． +   【变式训练1-3】如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 题型六：利用垂径定理求同心圆问题 【例1】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，半径为5和的两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点，若，则的大小为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式训练1-1】如图，一入口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为_______________cm 【变式训练1-2】某市地铁施工队开始隧道挖掘作业，如图1，圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．如图2，有一圆弧形混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，为估计隧洞开挖面的大小，甲、乙两个组对相关数据进行测量，测量结果如下表所示，利用数据能够估算隧道外径大小的组是（    ） 小组 测量内容 甲 的长 乙 的长 A．两组测量数据都不足 B．甲组 C．乙组 D．两组都可以 【变式训练1-3】（24-25九年级上·广东广州·期末）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（同心圆）面积的方法．现有以下工具（图1）：①卷尺：②直棒：③型尺（所在的直线垂直平分线段）． 【活动1】找出大圆的圆心． 小天同学选择用型尺找到大圆圆心，操作方法如图2所示： 小河同学说：“类似小天的方法，我发现可以利用没有刻度的直尺和圆规找到任意一个圆的圆心．” 【活动2】求环形花坛面积． 如图3，小河说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法是：将直棒与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点，之间的距离，就可求出环形花坛的面积．” 小天思考后，说：“如图4，如果直线与大圆两交点分别为，，与小圆两交点分别为，，只要测出，的长度，也可求出环形花坛的面积．” 【解决问题】 (1)利用尺规在图5中找到圆心（保留作图痕迹，不写作法）： (2)图3中，如果测得，求这个环形花坛的面积； (3)填空：图4中，如果测得，，用含，的式子表示环形花坛的面积_____． 题型七：利用垂径定理证明 【例1】如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 【变式训练1-1】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，交于点C，D，是半径，且于点F．求证：． 【变式训练1-2】（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）如图，在中，为的弦，是直线上两点，且，求证：为等腰三角形． 【变式训练1-3】如图，是的直径，弦于点是弧上一点，连接． （1）求证； （2）若，求的半径． 题型八：垂径定理的应用 【例1】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图①是某商家的充气拱门广告牌，图②是该广告牌的示意图，拱门可看作同心圆的一部分，其中内跨度米，拱门内部分圆高度米，求该拱门内圆所在圆的半径． 【变式训练1-1】圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度．（精确到0.1）    【变式训练1-2】（25-26九年级上·河南许昌·期末）“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点，寸，寸，则直径长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】（24-25九年级上·北京·期末）只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法；如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为．请你帮忙计算纸杯杯口的直径d． 1．在中，，弦，则圆心O到的距离为（     ） A． B． C． D． 2．如图，点A，B，C，D都在上，，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，C，D是上的点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，点是的中点，点在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，某学校的石拱门顶部是拱门模型，跨度（弧所对的弦的长）为6米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米，则该拱门模型的半径为（   ） A．米 B．4米 C．米 D．5米 6．如图中，A、B、C均为圆上的点，下列说法：①若，则； ② 若，则；③若，则；④若，则O点到弦的距离相等．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图圆的一条弦长为，圆心到弦的距离为，则该圆的半径为______． 8．半圆形纸片的半径为，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点与圆心重合，则折痕的长为______． 9．如图，是的直径，点，是直径上方半圆上两点，且，与交于点． (1)求证：为的中点； (2)若，，求． 10．如图，是的直径，弦于点E，，若，求的长． 11．小明在完成作业“如图1，，、是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点，求证：”的基础上，做了如下尝试如图2“把改为，其他不变”，证明成功后，大胆猜想：“如图3，，、是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点，求证：”．请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程． 12．如图，以为圆心的两个同心圆中，不经过圆心的线段与两圆相交，自左向右的交点依次为点、、、． (1)求证：； (2)连接、，如果，，，求小圆半径的值． 13．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为60分米，过点作，交于点，交AB于点，水面下盛水筒的最大深度为10分米（即分米）． (1)求的半径； (2)若水面上涨，导致被水面截得的弦从原来的60分米变为80分米，且圆心仍在水面上方时，求水面上涨了多少分米？ 一、圆有多少条对称轴？ 二、弦、弧、圆心角有什么关系呢？ 三、垂径定理还记得是什么吗？ 四、本节课还有哪些地方是不熟练的呢？ 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $