3.4 圆周角 第1课时 教学设计 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

课题名称

3.4 圆周角（第1课时）

课型

新授课

教学资源

多媒体课件、圆规、直尺、量角器

教学内容解析

内容

圆周角的定义、圆周角定理及其证明

    本节内容是苏科版九年级上册第3章“圆”的第四节，是在学习了圆心角之后，进一步研究圆中另一种重要的角——圆周角。教材从圆心角的概念引入，通过对比，引出圆周角的定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。

    本节课的核心是圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。定理的证明需要分三种情况讨论：圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部。这是一种重要的数学思想——分类讨论和化归。圆周角定理是圆中最重要的定理之一，是后续学习圆周角推论、圆内接四边形等内容的基础。

目标与目标解析

单元整体目标

    本章主要内容包括圆的相关概念、圆的对称性、确定圆的条件、圆周角、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、正多边形和圆以及弧长和扇形面积。单元教学的核心目标是让学生理解圆的有关概念和性质，掌握圆周角定理及其推论，能运用圆的知识解决实际问题。

    对应课标要求：

①理解圆周角的概念；

②探索并证明圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；

③掌握圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角；

④能运用圆周角定理解决简单的实际问题。

课时目标（核心素养导向）

1. 几何直观与抽象能力：理解圆周角的定义，能识别圆周角，能区分圆周角和圆心角，培养几何直观和抽象概括能力。

2. 推理能力与分类讨论思想：经历圆周角定理的探究和证明过程，理解分三种情况证明的必要性，体会分类讨论和化归的数学思想。

3. 模型观念与应用意识：掌握圆周角定理，能运用定理解决简单的计算和证明问题，培养应用意识。

4. 情感态度：通过探究圆周角定理的过程，体验数学严谨的逻辑美，培养合作交流的意识和严谨的科学态度。

课时目标解析

    达成目标1的标志是：学生能说出圆周角的定义，能在图中识别圆周角，能区分圆周角和圆心角。

    达成目标2的标志是：学生能说出圆周角定理的内容，理解为什么要分三种情况证明，能说出从特殊到一般的证明思路。

    达成目标3的标志是：学生能运用圆周角定理进行简单的角度计算和证明。

学情分析

已有的知识、认知水平

    学生已经学习了圆心角的概念，知道圆心角的顶点在圆心。学生也学习了

圆的有关概念，知道弧、弦、圆心角之间的关系。这些都是本节课学习的基础。学生具备一定的几何推理能力，能够进行简单的证明。

困惑点或探索点

    学生最容易困惑的是：为什么圆周角定理的证明要分三种情况？为什么不能直接证明？需要通过动手操作和观察，让学生体会到圆心相对于圆周角的位置确实有三种情况，从而理解分类讨论的必要性。另外，第二种和第三种情况如何转化为第一种情况，学生也需要教师引导。

教学重难点

教学重点

    圆周角的定义和圆周角定理。关键是理解同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。

教学难点

    圆周角定理的证明，特别是为什么要分三种情况，以及如何把第二种、第三种情况转化为第一种情况。关键是体会分类讨论和化归的数学思想。

教学策略分析

为什么学：上节课我们学习了圆心角，知道顶点在圆心的角叫圆心角。那如果顶点不在圆心，而在圆上呢？这样的角叫什么？它有什么性质？这就是我们今天要学习的圆周角。

学什么：圆周角的定义；圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。

怎么学：采用“情境引入—概念形成—探究定理—证明定理—应用巩固”的教学路径。从圆心角引入，对比引出圆周角的定义；通过测量、猜想探究圆周角和圆心角的关系；通过分类讨论和化归完成定理的证明；通过例题和练习巩固所学知识。

教学过程

学习任务设计

师生活动

评价要点

设计意图

情境导入

复习引入：

    什么是圆心角？

    圆心角、弧、弦之间有什么关系？

    如果角的顶点不在圆心，而在圆上，这样的角叫什么呢？

师：上节课我们学习了圆心角。谁来说说什么是圆心角？

生：顶点在圆心的角叫做圆心角！

师：很好！圆心角、弧、弦之间有什么关系？

生：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

师：非常好！那如果角的顶点不在圆心，而在圆上呢？这样的角叫什么？它有什么性质呢？今天我们就来学习圆周角。

学生能说出圆心角的定义；

能积极思考新的问题。

从圆心角引入，通过对比引出圆周角，自然过渡到新课。

圆周角定义

圆周角的定义：

顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。

师：我们来看这个角。顶点A在哪里？

生：在圆上！

师：两边呢？AB、AC和圆有什么关系？

生：都和圆相交！

师：对！像这样，顶点在圆上，两边都和圆相交的角，

学生能说出圆周角的定义；

能区分圆周角和圆心角。

讲清圆周角的定义和两个必备条件，这是本节课的基础

图1  圆周角的定义

注意：圆周角必须满足两个条件：

    ①顶点在圆上；

    ②两边都和圆相交。

叫做圆周角。

师：大家要注意，圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上，两边都和圆相交。缺一不可。

师：那圆心角和圆周角有什么区别？

生：圆心角的顶点在圆心，圆周角的顶点在圆上！

师：非常好！一个顶点在圆心，一个顶点在圆上，这就是它们最本质的区别。

。

探究定理

探究：

    同弧所对的圆周角和圆心角有什么关系？

活动：

    用量角器测量图中圆周角和圆心角的度数，看看它们有什么关系。

猜想：

    同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。

师：我们来探究一下，同弧所对的圆周角和圆心角有什么关系。大家拿出量角器，测量一下图中圆周角和圆心角的度数。

（学生测量）

师：量出来了吗？圆周角是多少度？圆心角呢？

生：圆周角是30度，圆心角是60度！

师：那它们有什么关系？

生：圆周角是圆心角的一半！

师：这只是我们测量得到的猜想。这个结论对不对呢？需要严格证明。今天我们就来证明圆周角定理。

学生能动手测量；

能猜想出圆周角和圆心角的关系。

通过动手测量，让学生直观感受圆周角和圆心角的关系，培养猜想能力。

证明定理

情况1：圆心O在圆周角的一边上

师：我们先看最简单的情况：圆心O在圆周角的一边AB上。怎么证明∠BAC = ½∠BOC呢？

生：OA和OC都是半径，相等！

师：对！OA = OC，那三角形OAC是什么三角形？

生：等腰三角形！

师：所以∠A等于哪个角？

学生能理解第一种情况的证明；

能说出每一步的依据。

这是最基本的情况，证明起来最简单。先证明这种特殊情况，为后面