1.3 公式法 教学设计 2026-2027学年湘教版数学八年级上册
湘教版八年级上册 第1章 1.3《公式法》教学设计
（2课时 · 教学评一体化设计 · 配套课件《八上数学_1-3_公式法.pptx》）
课题 | 1.3 公式法 | 课型 | 新授课（2课时） |
年级 | 八年级 | 教材 | 湘教版（2025秋版）八年级上册第1章 因式分解 |
课时安排 | 第1课时 用平方差公式分解因式；第2课时 用完全平方公式分解因式 | 授课教师 |
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一、课程标准要求
《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与代数”领域“代数式”主题中要求：能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）（请教师对照课标原文核对）。公式法是本章的第二种分解方法，它把整式乘法中的乘法公式“倒过来用”。本设计把“识别公式结构”“先提后套”“分解彻底”作为两课时的三条主线，用剪拼图形、拼接地垫两组按比例绘制的面积图给出几何直观，并安排简便计算、整体代入、整除说理等应用，发展学生的运算能力、几何直观和推理意识。
二、教材分析与课时划分
本节在1.2“提公因式法”之后。学生已经会提公因式，也在七年级学过平方差公式 (a + b)(a − b) = a² − b² 和完全平方公式 (a ± b)² = a² ± 2ab + b²。本节把这两个乘法公式反过来使用，得到 a² − b² = (a + b)(a − b) 和 a² ± 2ab + b² = (a ± b)²，从而能分解两类特殊的多项式。它是后续学习分式运算、一元二次方程（配方法、因式分解法）的基础。
课时划分：参照学科网“上好课”同步备课系列和教习网专辑的通行安排，本节分2课时：第1课时“用平方差公式分解因式”，第2课时“用完全平方公式分解因式”（课时划分请教师按本校进度核对）。课件第2—16页用于第1课时，第17—30页用于第2课时，第31—34页为两课时共用的对比小结、板书、评价量表和作业。
三、学情分析
学生对乘法公式比较熟悉，但“正着用”和“反着用”的感觉不同。从以往教学看，本节常见错误有五类：一是系数没有开平方，例如把 4x² − 9 写成 (4x + 3)(4x − 3)；二是分解不彻底，例如 x⁴ − 1 只写到 (x² + 1)(x² − 1)；三是有公因式不先提，例如 2x² − 8 直接写成 (2x + 4)(x − 2) 一类的错误结果；四是完全平方式不验中间项，把 x² + 4x + 16、x² − 6x − 9 也当作完全平方式；五是首项为负时符号处理错误。本设计在两课时中各安排一页“当小老师”批改，四个错例都是教师编写的典型错误。
四、学习目标
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1. 能说出平方差公式的结构特征（两项、都能写成平方、符号相反），准确判断一个多项式能否用平方差公式分解，正确率不低于80%。（第1课时，抽象能力）
2. 能用平方差公式分解因式，做到“先提公因式、再套公式、分解彻底”，并会用整式乘法验证结果；会用平方差公式进行简便计算。（第1课时，运算能力）
3. 能识别完全平方式（首尾是平方且同正，中间项为 ±2 × 首 × 尾），用完全平方公式分解因式；会根据完全平方式求待定系数，并写全两个值。（第2课时，符号意识）
4. 能按“一提、二套、三查”的顺序综合运用两种方法，能把多项式看作整体使用公式，并用于简便计算和整体代入。（第2课时，运算能力、推理意识）
五、评价任务设计（教学评一体化）
学习目标 | 评价任务 | 评价方式 | 达成证据与标准 |
目标1 识别平方差 | 剪拼探究（课件第4页）、特征归纳（第5页）、判一判（第6页）；检测一第1题 | 全班口答，教师抽问理由 | 能说出三条特征，能指出 a、b 分别是什么 |
目标2 用平方差公式 | 例1、例2、彻底分解（第9页）、变式1、批改（第11页）、简便计算（第12页）；检测一第2~5题 | 同桌互查，交换后用乘法验证 | 先提后套，系数开方正确，分解彻底 |
目标3 用完全平方公式 | 拼接地垫（第18页）、判一判（第20页）、例3、例4、待定系数（第24页）、变式2；检测二第1、2、4题 | 小组接力，组间互评 | 能验中间项，符号正确，待定系数写出两个值 |
目标4 综合运用 | 例5、批改（第26页）、简便计算（第27页）、一提二套三查（第28页）；检测二第3、5题 | 学生板演，教师点评书写 | 方法顺序合理，每个因式都不能再分解 |
六、教学重点与难点
重点：用平方差公式、完全平方公式分解因式。
难点：识别公式中的 a、b（特别是系数和整体）；先提公因式再用公式，并分解彻底。
七、教学准备
1. 课件《八上数学_1-3_公式法.pptx》（34页）。课件中所有等式和数值都已用 Python（sympy）展开或计算核对，共80项，全部通过，记录见“计算核验记录_1-3.txt”。
2. 学具与学案：每人一张边长 a 的正方形卡纸（可剪去边长 b 的小正方形，学生在第4页活动中剪拼）；变式接力卡；批改作业单；两次当堂检测；自评表。
3. 情境数据说明：菜园边长10 m、工具房边长4 m，圆环垫片 R = 5.25 cm、r = 4.75 cm，相框 x = 6 cm、框宽1 cm，拼接地垫 a : b = 7 : 3，都是课堂情境设定的数据，课件中的图形按比例绘制，不代表真实测量。
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八、教学过程 第1课时 用平方差公式分解因式
（一）情境导入（约5分钟）
教学环节 | 教师活动 | 学生活动 | 评价要点 | 设计意图 |
菜园与工具房 | 出示边长10 m的正方形菜园，在一角建边长4 m的工具房（按比例绘制），问种菜面积 | 算出 10² − 4² = 84（m²） | 能列式 | 从数的计算引出“两个平方的差” |
能拼成长方形吗 | 追问：剩下的部分能否拼成一个长方形？长和宽各是多少？ | 猜想 (10 + 4) × (10 − 4) = 84 | 能发现两种算法结果相同 | 为字母化作准备 |
（二）概念探究（约10分钟）
教学环节 | 教师活动 | 学生活动 | 评价要点 | 设计意图 |
剪一剪，拼一拼 | 学生用卡纸剪去边长 b 的小正方形，把剩下部分剪成两块拼成长方形（课件图按 a : b = 8 : 3 绘制，活动后出示） | 动手剪拼，说出长 a + b、宽 a − b | 能用面积说明 a² − b² = (a + b)(a − b) | 几何直观，理解公式来源 |
公式与特征 | 板书公式，与整式乘法中的平方差公式对照，归纳三条特征 | 说出“两项、都是平方、符号相反” | 三条特征完整 | 互逆关系，结构化认识 |
判一判 | 6道判断题，含 x² + 4、−a² + b²、−x² − y²、1/4 − y² | 说出能否分解及理由 | 正确率 ≥ 80%（目标1） | 辨析符号和系数 |
（三）例题与变式（约18分钟）
教学环节 | 教师活动 | 学生活动 | 评价要点 | 设计意图 |
例1 | 4x² − 9；0.25 − m²；(x + 3)² − (x − 1)²，示范“写成 a² − b² → 套公式 → 化简” | 说出每题的 a、b | 第(3)题能整体代入并化简为 8(x + 1) | 落实目标2，渗透整体思想 |
例2 先提后套 | 3ax² − 3ay²；x³y − xy³ | 先提 3a、xy，再套公式 | 顺序正确 | 与1.2衔接 |
彻底分解 | x⁴ − 16 用四步流程图展示，追问 x² + 4 为什么不能再分 | 完成并用乘法验证 | 结果为 (x² + 4)(x + 2)(x − 2) | 突破“彻底”这一难点 |
变式1 同桌互查 | 16a² − b²、−9 + x²y²、2m³ − 18m、a⁴ − 81 | 各做两题后交换检验 | 四题全对为★★★ | 分层巩固 |
当小老师 | 四个错例：系数未开方、不彻底、没先提、符号弄反 | 找错因并改正 | 能说出四类错因 | 从“被纠错”到“会纠错” |
简便计算与拓展 | 2026² − 2024²；101² − 99²；圆环垫片面积；相框面积；连续奇数平方差 | 算出 8100、400、5π ≈ 15.7 cm²、4(x + 1)、8n | 能写出依据 | 体会公式的价值 |
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