专题01 分组分解法同步讲义（拓展）2026-2027学年湘教版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦分组分解法这一核心知识点，系统梳理其定义、常用分组方式（两两分组、三一分组）、添括号法则及通用解题步骤，作为提取公因式、公式法等基础方法的拓展，构建完整的因式分解知识体系，为学生提供清晰的学习支架。 资料以典例精讲（分两两分组、三一分组、灵活分组三类题型）结合跟踪训练、随堂演练设计，通过引导学生观察多项式特点培养抽象能力（数学眼光），分步解题过程强化推理意识（数学思维），规范分解表达提升模型意识（数学语言）。课中辅助教师实施分层教学，课后助力学生巩固练习、查漏补缺。

专题01 分组分解法同步讲义（拓展） 【知识点梳理】 1．分组分解法定义：当多项式不能直接提取公因式，也无法套用公式或十字相乘时，将多项式适当分组，使每组都能分解，然后各组之间出现公因式或可利用公式继续分解，最终化为整式乘积形式。 2．常用的分组方式： （1）两两分组：将四项式分为两个两项式（或六项式分为三个两项式），分别处理后再提取公因式； （2）三一分组：将四项式分为一个三项式和一个一项式（通常三项式可套完全平方公式，剩余项再用平方差）。 3．添括号法则 （1）括号前是"＋"号，括到括号里的各项都不变号； （2）括号前是"－"号，括到括号里的各项都变号。 4．分组分解通用解题步骤 （1）观察多项式特点，选择分组方式； （2）逐组提取公因式或套用公式； （3）各组处理完毕后，提取整体公因式或继续套用公式； （4）检查是否分解彻底。 【典例精讲】 题型1：两两分组 【例题1】因式分解：ac－bc＋ad－bd。 解：原式=c(a－b)＋d(a－b)＝(a－b)(c＋d)。 【例题2】因式分解：mx－my＋nx－ny。 解：方法一：原式=(mx＋nx)－(my＋ny)＝x(m+n)－y(m+n)＝(m+n)(x-y)。 方法二：原式=(mx－my)＋(nx－ny)＝m(x-y)＋n(x-y)＝(m+n)(x-y)。 【例题3】因式分解：x²＋xy－x－y。 解：原式=x(x+y)－(x+y)＝(x+y)(x－1)。 跟踪训练： 1．ab＋a＋b＋1。 解：原式＝a(b+1)+1·(b+1)＝(b+1)(a+1)＝(a+1)(b+1)。 2．mn－3m＋2n－6。 解：原式＝m(n-3)+2(n-3)＝(n-3)(m+2)。 3．ax－bx＋ay－by。 解：原式＝x(a-b)+y(a-b)＝(a-b)(x+y)。 4．x³＋x²－x－1。 解：原式＝x²(x+1)-1·(x+1)＝(x+1)(x²-1)＝(x+1)(x+1)(x-1)＝(x+1)²(x-1)。 题型2：三一分组 【例题1】因式分解：x²－4x＋4－y²。 解：原式=(x-2)²－y²＝[(x-2)+y][(x-2)-y]＝(x-2+y)(x-2-y)。 【例题2】因式分解：m²－2mn＋n²－9。 解：原式=(m-n)²-3²＝[(m-n)+3][(m-n)-3]＝(m-n+3)(m-n-3)。 【例题3】因式分解：a²－4a＋4－b²。 解：原式=(a-2)²-b²＝[(a-2)+b][(a-2)-b]＝(a-2+b)(a-2-b)。 跟踪训练： 1．x²＋2xy＋y²－1。 解：原式=(x+y)²-1＝(x+y+1)(x+y-1)。 2．a²－2a＋1－b²。 解：原式=(a-1)²-b²＝(a-1+b)(a-1-b)。 3．4－a²＋6a－9 解：原式=4-(a²-6a+9)＝4-(a-3)²＝(2+a-3)(2-a+3)＝(a-1)(5-a)。 4．x²＋2x＋1－4y²。 解：原式=(x+1)²-(2y)²＝(x+1+2y)(x+1-2y)＝(x+2y+1)(x-2y+1)。 题型3：灵活分组综合应用 【例题1】因式分解：xy－1＋x－y。 解：原式=xy＋x－y－1=x(y+1)－(y+1)＝(y+1)(x-1)。 【例题2】因式分解：a²－b²＋a－b。 解：原式=(a+b)(a-b)＋1·(a-b)＝(a-b)[(a+b)+1]＝(a-b)(a+b+1)。 【例题3】因式分解：4－x²＋4xy－4y²。 解：原式=4－(x²-4xy+4y²)=4－(x-2y)²＝(2+x-2y)(2-x+2y)。 跟踪训练： 1．x²－y²－2x＋1。 解：原式=x²-2x+1-y²＝(x-1)²-y²＝(x-1+y)(x-1-y)。 2．a²＋2ab＋b²－c²－2cd－d² 解：原式=(a²+2ab+b²)-(c²+2cd+d²)＝(a+b)²-(c+d)²＝[(a+b)+(c+d)][(a+b)-(c+d)]＝ (a+b+c+d)(a+b-c-d)。 3．ac－bc＋ad－bd。 解：原式=(ac-bc)+(ad-bd)＝c(a-b)+d(a-b)＝(a-b)(c+d)。 4．mn－2m－n＋2。 解：原式=mn-n-2m+2＝(mn-n)-(2m-2)＝n(m-1)-2(m-1)＝(m-1)(n-2)。 【随堂演练】 1．因式分解：ax－bx＋ay－by＝ 。 【答案】(x＋y)(a－b) 【解析】两两分组：(ax-bx)+(ay-by)＝x(a-b)+y(a-b)＝(a-b)(x+y)。 也可按a、b分组：(ax+ay)-(bx+by)＝a(x+y)-b(x+y)＝(x+y)(a-b)，殊途同归。 2．因式分解：x²－4y＋2x－4y²＝ 。 【答案】(x＋2y)(x－2y＋2) 【解析】(x²-4y²)+(2x-4y)＝(x+2y)(x-2y)+2(x-2y)＝(x-2y)(x+2y+2)。 3．四项式分组分解，常见的两种分组方式：两两分组、 。 【答案】三一分组 【解析】两两分组适用于前后两对各自有公因式的情况；三一分组适用于前三项可凑完全平方式、剩余项为平方项的情况。 4．因式分解：a²＋2a－b²－2b＝ 。 【答案】(a－b)(a＋b＋2) 【解析】分组：(a²-b²)+(2a-2b)＝(a+b)(a-b)+2(a-b)＝(a-b)(a+b+2)。 5．判断正误：x²－y²＋x－y＝(x＋y)(x－y)＋(x－y)，该分解未分解彻底（ ） 【答案】正确 【解析】虽然是正确的等式，但右边仍为和差形式(x+y)(x-y)+(x-y)，不是最终的整式乘积。应继续提取整体公因式(x-y)：(x+y)(x-y)+(x-y)＝(x-y)[(x+y)+1]＝(x-y)(x+y+1)。这才是彻底的因式分解。 6．用三一分组分解：x²－2x＋1－4y²。 解：原式=(x-1)²-(2y)²＝[(x-1)+2y][(x-1)-2y]＝(x+2y-1)(x-2y-1)。 【课后对点练】 一、选择题 1．（多选）多项式ab＋a＋b＋1分组分解正确的分组方式是（ ） A.(ab＋a)＋(b＋1)　　 B.(ab＋b)＋(a＋1)　　 C.(ab＋1)＋(a＋b) D.以上均可 【答案】AB 【解析】A方式：(ab+a)+(b+1)＝a(b+1)+1·(b+1)＝(b+1)(a+1)，正确。B方式：(ab+b)+(a+1)＝b(a+1)+1·(a+1)＝(a+1)(b+1)，正确。两种分组方式结果相同，说明分组分解具有灵活性。C不对。 2．因式分解x²－4x＋4－y²因式分解正确的是是（ ） A.(x＋y＋2)(x＋y-2)　　 B.(x＋y-2)(x-y-2)　　 C.(x-y＋2)(x＋y-2) D.(x-y-2)(x-y+2) 【答案】B 【解析】x²－4x＋4－y²=(x－2)²－y²=(x＋y-2)(x-y-2)。 3．分解mx－my＋nx－ny结果为（ ） A.(m－n)(x－y)　　B.(m＋n)(x－y)　　C.(m－n)(x＋y) D.(m＋n)(x＋y) 【答案】B 【解析】分组：(mx-my)+(nx-ny)＝m(x-y)+n(x-y)＝(m+n)(x-y)。 4．多项式a²－b²＋a－b分解结果是（ ） A.(a-b)(a+b-1)　　B.(a＋b)(a－b＋1)　　C.(a－b)(a＋b) D.(a－b)(a＋b＋1) 【答案】D 【解析】分组：(a²-b²)+(a-b)＝(a+b)(a-b)+1·(a-b)＝(a-b)(a+b+1)。 5．分组分解添括号，括号前为负号时，括号内各项需要（ ） A.不变号　　 B.部分变号　　 C.全部变号 D.以上都错 【答案】C 【解析】添括号法则是基础运算法则：括号前是-号，括进去的每一项都要变号。例如：a-b-c＝a-(b+c)，其中b和c都变了号。这是分组分解中最容易出错的地方。 6．下列多项式适合三一分组分解的是（ ） A.x²＋2xy＋y²－1　　 B.x²＋2x＋y＋2y　　C.xy＋x＋y＋1 D. x²-4x＋4-7y 【答案】A 【解析】A前三项 x²+2xy+y²－1＝(x+y)²－1=(x+y+1)(x+y-1)。 7．因式分解4－x²＋4xy－4y²第一步分组正确的是（ ） A.4－(x²－4xy＋4y²)　　 B.(4－x²)＋(4xy－4y²)　　 C.直接两两分组 D.(4－4y²)＋(4xy－x²) 【答案】A 【解析】关键识别：x²-4xy+4y²＝(x-2y)² 是完全平方式。因此把后三项用括号括起来（前面添负号），得到 4-(x²-4xy+4y²)，再用平方差。 8．关于分组分解法说法错误的是（ ） A.分组方式不唯一　　 B.分组后必须能继续分解　　 C.所有多项式都可以分组分解 D.以上都错 【答案】C 【解析】A正确：同一多项式可能有多种有效分组方式。B正确：分组的目的是产生新的公因式或可套用公式的结构，若分组后无法继续分解则分组无效。C错误：并非所有多项式都能分组分解，如 x²+1 就无法因式分解（在实数范围内）。 二、填空题 9．四项式分组分解两种基础方式： 、三一分组。 【答案】两两分组 【解析】两两分组：将四项分为两组，每组两项；三一分组：将四项分为一组三项+一项。 10．x²＋xy－x－y＝ 。 【答案】(x＋y)(x－1) 【解析】分组：(x²+xy)-(x+y)＝x(x+y)-1·(x+y)＝(x+y)(x-1)。 11．a²－4a＋4－b²＝ 。 【答案】(a－2＋b)(a－2－b) 【解析】三一分组：(a²-4a+4)-b²＝(a-2)²-b²＝(a-2+b)(a-2-b)。 12．因式分解总顺序：一提、二套、三十字、 。 【答案】四分组 【解析】完整四步口诀："一提二套三十字四分组"——按优先级依次尝试：提公因式→套公式（平方差/完全平方）→十字相乘→分组分解。 13．mn－3m＋2n－6＝ 。 【答案】(m＋2)(n－3) 【解析】分组：(mn-3m)+(2n-6)＝m(n-3)+2(n-3)＝(n-3)(m+2)。 14．x²－y²－2x＋1＝ 。 【答案】(x－1＋y)(x－1－y) 【解析】重排：x²-2x+1-y²＝(x-1)²-y²＝(x-1+y)(x-1-y)。 三、解答题 15．（6分）两两分组因式分解： （1）ac－bc＋ad－bd；　　 （2）x³＋x²－x－1。 解：（1）(ac-bc)+(ad-bd)＝c(a-b)+d(a-b)＝(a-b)(c+d)。 （2）(x³+x²)-(x+1)＝x²(x+1)-1·(x+1)＝(x+1)(x²-1)＝(x+1)²(x-1)。 16．（7分）三一分组因式分解： （1）m²－2mn＋n²－9；　　 （2）4－a²＋6a－9 解：（1）原式=(m-n)²-9＝(m-n)²-3²＝(m-n+3)(m-n-3)。 （2）4-(a²-6a+9)＝4-(a-3)²＝2²-(a-3)²＝(2+a-3)(2-a+3)＝(a-1)(5-a)。 17．（7分）灵活选择分组方式分解因式： （1）xy－1＋x－y；　　 （2）a²＋2ab＋b²－c²－2cd－d²。 解：（1）原式=xy+x-y-1＝(xy+x)-(y+1)＝x(y+1)-1·(y+1)＝(y+1)(x-1)。 （2）原式=(a²+2ab+b²)-(c²+2cd+d²)＝(a+b)²-(c+d)²＝[(a+b)+(c+d)][(a+b)-(c+d)]＝(a+b+c+d)(a+b-c-d)。 18．（8分）先分解因式，再代入求值：x²－y²＋2x＋2y，其中x＝4，y＝1。 解：原式＝(x²-y²)＋(2x+2y)＝(x+y)(x-y)＋2(x+y)＝(x+y)[(x-y)+2]＝(x+y)(x-y+2) 当x＝4，y＝1时，原式＝(4+1)(4-1+2)＝5×5＝25。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 分组分解法同步讲义（拓展） 【知识点梳理】 1．分组分解法定义：当多项式不能直接提取公因式，也无法套用公式或十字相乘时，将多项式适当分组，使每组都能分解，然后各组之间出现公因式或可利用公式继续分解，最终化为整式乘积形式。 2．常用的分组方式： （1）两两分组：将四项式分为两个两项式（或六项式分为三个两项式），分别处理后再提取公因式； （2）三一分组：将四项式分为一个三项式和一个一项式（通常三项式可套完全平方公式，剩余项再用平方差）。 3．添括号法则 （1）括号前是"＋"号，括到括号里的各项都不变号； （2）括号前是"－"号，括到括号里的各项都变号。 4．分组分解通用解题步骤 （1）观察多项式特点，选择分组方式； （2）逐组提取公因式或套用公式； （3）各组处理完毕后，提取整体公因式或继续套用公式； （4）检查是否分解彻底。 【典例精讲】 题型1：两两分组 【例题1】因式分解：ac－bc＋ad－bd。 【例题2】因式分解：mx－my＋nx－ny。 【例题3】因式分解：x²＋xy－x－y。 跟踪训练： 1．ab＋a＋b＋1。 2．mn－3m＋2n－6。 3．ax－bx＋ay－by。 4．x³＋x²－x－1。 题型2：三一分组 【例题1】因式分解：x²－4x＋4－y²。 【例题2】因式分解：m²－2mn＋n²－9。 【例题3】因式分解：a²－4a＋4－b²。 跟踪训练： 1．x²＋2xy＋y²－1。 2．a²－2a＋1－b²。 3．4－a²＋6a－9 4．x²＋2x＋1－4y²。 题型3：灵活分组综合应用 【例题1】因式分解：xy－1＋x－y。 【例题2】因式分解：a²－b²＋a－b。 【例题3】因式分解：4－x²＋4xy－4y²。 跟踪训练： 1．x²－y²－2x＋1。 2．a²＋2ab＋b²－c²－2cd－d² 3．ac－bc＋ad－bd。 4．mn－2m－n＋2。 【随堂演练】 1．因式分解：ax－bx＋ay－by＝ 。 2．因式分解：x²－4y＋2x－4y²＝ 。 3．四项式分组分解，常见的两种分组方式：两两分组、 。 4．因式分解：a²＋2a－b²－2b＝ 。 5．判断正误：x²－y²＋x－y＝(x＋y)(x－y)＋(x－y)，该分解未分解彻底（ ） 6．用三一分组分解：x²－2x＋1－4y²。 【课后对点练】 一、选择题 1．（多选）多项式ab＋a＋b＋1分组分解正确的分组方式是（ ） A.(ab＋a)＋(b＋1)　　 B.(ab＋b)＋(a＋1)　　 C.(ab＋1)＋(a＋b) D.以上均可 2．因式分解x²－4x＋4－y²因式分解正确的是是（ ） A.(x＋y＋2)(x＋y-2)　　 B.(x＋y-2)(x-y-2)　　 C.(x-y＋2)(x＋y-2) D.(x-y-2)(x-y+2) 3．分解mx－my＋nx－ny结果为（ ） A.(m－n)(x－y)　　B.(m＋n)(x－y)　　C.(m－n)(x＋y) D.(m＋n)(x＋y) 4．多项式a²－b²＋a－b分解结果是（ ） A.(a-b)(a+b-1)　　B.(a＋b)(a－b＋1)　　C.(a－b)(a＋b) D.(a－b)(a＋b＋1) 5．分组分解添括号，括号前为负号时，括号内各项需要（ ） A.不变号　　 B.部分变号　　 C.全部变号 D.以上都错 6．下列多项式适合三一分组分解的是（ ） A.x²＋2xy＋y²－1　　 B.x²＋2x＋y＋2y　　C.xy＋x＋y＋1 D. x²-4x＋4-7y 7．因式分解4－x²＋4xy－4y²第一步分组正确的是（ ） A.4－(x²－4xy＋4y²)　　 B.(4－x²)＋(4xy－4y²)　　 C.直接两两分组 D.(4－4y²)＋(4xy－x²) 8．关于分组分解法说法错误的是（ ） A.分组方式不唯一　　 B.分组后必须能继续分解　　 C.所有多项式都可以分组分解 D.以上都错 二、填空题 9．四项式分组分解两种基础方式： 、三一分组。 10．x²＋xy－x－y＝ 。 11．a²－4a＋4－b²＝ 。 12．因式分解总顺序：一提、二套、三十字、 。 13．mn－3m＋2n－6＝ 。 14．x²－y²－2x＋1＝ 。 三、解答题 15．两两分组因式分解： （1）ac－bc＋ad－bd；　　 （2）x³＋x²－x－1。 16．三一分组因式分解： （1）m²－2mn＋n²－9；　　 （2）4－a²＋6a－9 17．灵活选择分组方式分解因式： （1）xy－1＋x－y；　　 （2）a²＋2ab＋b²－c²－2cd－d²。 18．先分解因式，再代入求值：x²－y²＋2x＋2y，其中x＝4，y＝1。 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