专题32.2 解直角三角形及其应用（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年人教版九年级数学下册

简一数理 初中专题讲义 专题32.2 解直角三角形及其应用 （新教材人教版） 知识点一：解直角三角形 2 知识点二：解直角三角形的常见类型 2 知识点三：仰角、俯角 3 知识点四：坡度、坡角 3 知识点五：方位角、方向角 3 知识点六：解直角三角形实际应用的一般步骤 4 【题型1 解直角三角形的相关计算】 4 【题型2 解非直角三角形】 5 【题型3 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 7 【题型4 仰角俯角问题】 8 【题型5 方位角问题】 9 【题型6 坡度坡比问题】 10 【题型7 其他应用问题】 11 【探究式学习】 13 【课后检测】 16 【复盘笔记】 21 知识点一： 解直角三角形 定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B. 2）三边之间的关系：（勾股定理）. 3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°. 4）边角之间的关系：sin A = ，sin B = ，cos A= ，tan A = . 【补充】三角函数是连接边与角的桥梁. 5）面积公式（h为斜边上的高）. 知识点二： 解直角三角形的常见类型 已知条件 解法步骤 图示 两 边 斜边和一直角边(如c，a) ，∠B=90°－∠A， 两直角边(如a，b) ，∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 斜边和一锐角（如c，∠A） ∠B=90°－∠A ， 一直角边和一锐角（如a，∠A） ∠B=90°－∠A， 另一直角边和一锐角（如b，∠A） ∠B=90°－∠A， 【注意】已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定. 【总结】在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一条边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三). 【已知一边一角的记忆口诀】有斜求对用正弦，有斜求邻用余弦，无斜求对(邻)用正切. 知识点三：仰角、俯角 视角：视线与水平线的夹角叫做视角． 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的. 知识点四：坡度、坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作. 坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角. 【注意】坡度与坡角是两个不同的概念，坡角是两个面的夹角，坡度(用字母i表示)是比；两者之间的关系是，坡角越大，坡度越大. 知识点五：方位角、方向角 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45° 知识点六：解直角三角形实际应用的一般步骤 ①弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； ②将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形. ③选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； ④得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 【常见类型】航海、建桥修路、测量楼高、塔高等. 【题型1 解直角三角形的相关计算】 【例1】在中，，，，欲求的值，最适宜的做法是（     ） A．通过计算的值求出 B．通过计算的值求出 C．通过计算的值求出 D．先根据求出，再利用求出 【变式1-1】如图，点在圆上，若弦的长度等于圆半径的倍，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在菱形中，垂直平分，，，分别交对角线于，两点，下列结论：①连接，则为等边三角形；②过点作于点，则；③；④为边上任意一点，连接和，若，则；⑤逆时针旋转，使射线与边交于点，射线与边交于点，若，，则．其中正确的是（     ） A．①③④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③ 【变式1-3】已知在中，，，，点、分别在边、上（不与端点重合），，垂足为点．当时，的值为（     ） A． B． C． D． 【题型2 解非直角三角形】 【例2】如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在中，，，，求BC的长． 【变式2-2】在中，，，． (1)求边的长； (2)求的值． 【变式2-3】如图，在中，点D是的中点，连接，，，，． (1)求的长； (2)求． 【题型3 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 【例3】在数学活动课上，小敏、小颖分别画了和，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作，小颖画的三角形面积记作，比较和的大小关系，并说明理由． 【变式3-1】如图，正六边形的边长为2，连接、，以点为圆心，长为半径画，则、与围成的阴影部分面积为____________． 【变式3-2】如图，在中，，，当时，求的长．（说明：解题中需要作辅助线，请用尺规作图法作出这条辅助线，保留作图痕迹，不用写作法） 【变式3-3】如图1和图2，在中，，，，点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持 (1)当点在上时，求点与点的最短距离； (2)若点在上，且将的面积分成上下两部分时，求的长； (3)当在上，且，求的长； 【题型4 仰角俯角问题】 【例4】如图，有一信号塔，小红站在点处，测得信号塔顶的仰角为，小红向前走了，到达点处，测得信号塔顶的仰角为，则信号塔的高度为（   ）． A． B． C． D． 【变式4-1】如图，两建筑物间的水平距离为30m，从A点测得C点的俯角为30°，D点的俯角为45°，则建筑物CD的高为（     ） A． B．20m C． D． 【变式4-2】图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2为其示意图，摄像头的仰角、俯角均为，高度为．某人笔直站在离摄像头水平距离的点处，他的身高为，头部高度为，若此人要能被摄像头识别，则的取值范围为（参考数据：，，）（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，某地修建高速公路，要从地向地修一座隧道（，在同一水平面上），为了测量，两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从地出发，垂直上升到达处，在处观察地的俯角为，则，两地之间的距离为（     ） A． B． C． D． 【题型5 方位角问题】 【例5】如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则、两点相距（     ）米． A． B． C． D． 【变式5-1】如图，已知外婆家在小明家的正东方向，学校在外婆家的北偏西方向，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的（     ） A．南偏东方向 B．南偏东方向 C．北偏东方向 D．北偏东方向 【变式5-2】如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的两点分别测定对岸一棵树的位置，在的正北方向，且在的北偏西方向，则河宽（的长）可以表示为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式5-3】如图，某海关缉私艇巡逻到达A处时，接到情报，在A处北偏西方向的B处发现一艘可疑的船只，正以24海里/小时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西的方向快速前进，经过一小时的航行，正好在C处截住可疑船只，则该艇的速度约为 （   ）． A．44 B．45 C．46 D．47 【题型6 坡度坡比问题】 【例6】如图，水坝的横截面为四边形，，高，迎水坡面的坡度，则迎水坡面的长为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图所示，九（二）班的同学准备在坡角为的河堤上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为，那么这两棵树在坡面上的距离为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，某公园入口有三级台阶，每级台阶高，宽，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为，斜坡的起点为，现设计斜坡的坡比，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】为改善生态环境、防治水土流失，人们通常会在斜坡或河岸种植树木、灌木等固土植物，利用其根系固结土壤、减缓径流，从而起到涵养水源、保持水土的作用．如图，斜坡上有一棵树，已知树高米，斜坡的坡度为，小明在距离点2米远的处测得树顶点的仰角为，树，斜坡的剖面，点在同一平面上，树与地面垂直，则树根部到坡脚的距离为（     ） （参考数据：，，） A．10米 B．12米 C．13.5米 D．11米 【题型7 其他应用问题】 【例7】如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为a米，则窗角C到窗框的距离的长度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式7-1】为了测量被池塘隔开的，两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中，，交于，在上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①，；②，，；③，，；④，，．能根据所测数据，求出，间距离的有（      ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【变式7-2】图①是某浴室花洒的侧面示意图，已知活动调节点（可以上下调整高度）离地面的初始距离．设花洒臂与墙面的夹角为，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长．假设水柱垂直直线喷射，小华在离墙面处淋浴． (1)当时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高． (2)如果小华要洗脚，需要调整水柱，使点与点重合，调整的方式有两种： ①其他条件不变，把活动调节点向下移动．移动的距离与小华的身高之间有什么数量关系？请直接写出你的结论； ②活动调节点不动，只要调整的大小，如图②．试求的度数．（结果保留一位小数，参考数据：，，，） 【变式7-3】科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到，参考数据：，，）． 【探究式学习】 1．综合与实践 【问题提出】如图①，在等腰三角形中，，，为中点，以为顶点作，角的两边分别交，于点，，连接．试探究点到线段的距离． 【问题探究】 (1)先将问题特殊化，如图②，当点和点重合时，点到线段的距离为________（用含的式子表示）． (2)再探究一般情形，如图①，证明（1）中的结论仍然成立． 【问题拓展】 (3)如图③，在等腰三角形中，，为中点，以为顶点作，角的两边分别交直线，于点，，连接．若，直接写出的值（用含的式子表示）． 2．【项目式探究】某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下： (1)【探究原理】制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心处，另一端系小重物．测量时，使支杆、量角器刻度线与铅垂线相互重合（如图①），绕点转动量角器，使观测目标与直径两端点、共线（如图②，此时目标的仰角是图②中的__________．目标的仰角与图②中的∠ ________相等，请写出这两个角相等的证明过程． (2)【实地测量】如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点处测得树顶端的仰角，观测点与树的距离为5米，点到地面的距离为米，求树高．（，结果精确到米） (3)【综合应用】公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端距地面的高度（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点、，、、在同一直线上，分别测得点的仰角，，测得、间的距离2米，点、到地面的距离、均为米，求的长（结果保留根号） (4)【拓展探究】在（3）的条件下，分别测得点的仰角、，再测得、间的距离，点、到地面的距离、均为，则用含的式子表示为__________． 【课后检测】 1．2022年北京冬奥会的成功举办点燃了国人对冬季滑雪项目的热爱．如图，是一条坡角为的滑雪道，滑雪道长为500米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图，中，，，为，则长为（     ） A． B． C． D． 3．在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．在Rt中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 5．在中，，，，则的值是（     ） A． B． C．8 D．10 6．如图，过矩形的对角线的中点作，交边于点，交边于点，分别连接、，若．．则的长为（     ） A． B． C． D． 7．如图，一长度不变的梯子与地面的夹角为，关于，的值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是（     ） A．的值越小，梯子越陡 B．的值越小，梯子越陡 C．梯子的倾斜程度与的值无关 D．梯子的倾斜程度与的值无关 8．如图，要测量江两岸相对的两点，的距离，可以在河边取的垂线上的一点，测得米，，则河宽为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 9．如图，将一副三角板拼成四边形为边的中点，连接，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，已知在矩形中，，，点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度向点运动，点从点出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，当点运动到点时，、两点停止运动．连接，过点E作，垂足为，连接，交于点，交于点，连接．给出下列结论：①∽；②；③；④的值为定值；⑤若，则．上述结论中正确的个数为（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．如图，有一斜坡，坡顶离地面的高度为．若坡度，则此斜坡的水平宽度为___________． 12．甲、乙两个山坡如图所示，___________山坡更陡（填“甲”或“乙”）． 13．如图，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为___________（结果取整数．参考数据：，，）． 14．如图，折叠矩形的一边，使D落在边上的F处，且． （1）与是否相似？___________；（选填“是”或者“否”） （2）若，设，则：___________．（用含的代数式表示） 15．如图在中，，，，则的值为______． 16．热气球的探测器显示，从热气球处看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，处与高楼的水平距离为，这栋高楼有多高？（结果精确到，参考数据：，，，） 17．如图，为了测量某建筑物的高度，小明在距离建筑物底部D点15米的B点处，测得建筑物顶端C的仰角为，小明的眼睛离地面的高度米．求建筑物的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：） 18．三角函数：如图，在中，，，， (1)请用尺规作图作边上的高，不写作法，但要保留作图痕迹． (2)请用含的式子表示的面积． 19．如下图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线交于点． (1)求点的坐标． (2)求的值． 20．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点C作轴，垂足为D，将沿所在直线翻折，交反比例函数的图象于点E，交x轴于点F． (1)求的值； (2)若点E的纵坐标为2，求k的值． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 53 页 第 1 页 共 53 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题32.2 解直角三角形及其应用 （新教材人教版） 知识点一： 解直角三角形 2 知识点二： 解直角三角形的常见类型 2 知识点三：仰角、俯角 3 知识点四：坡度、坡角 3 知识点五：方位角、方向角 3 知识点六：解直角三角形实际应用的一般步骤 4 【题型1 解直角三角形的相关计算】 4 【题型2 解非直角三角形】 11 【题型3 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 15 【题型4 仰角俯角问题】 19 【题型5 方位角问题】 22 【题型6 坡度坡比问题】 24 【题型7 其他应用问题】 28 【探究式学习】 32 【课后检测】 38 【复盘笔记】 53 知识点一： 解直角三角形 定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B. 2）三边之间的关系：（勾股定理）. 3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°. 4）边角之间的关系：sin A = ，sin B = ，cos A= ，tan A = . 【补充】三角函数是连接边与角的桥梁. 5）面积公式（h为斜边上的高）. 知识点二： 解直角三角形的常见类型 已知条件 解法步骤 图示 两 边 斜边和一直角边(如c，a) ，∠B=90°－∠A， 两直角边(如a，b) ，∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 斜边和一锐角（如c，∠A） ∠B=90°－∠A ， 一直角边和一锐角（如a，∠A） ∠B=90°－∠A， 另一直角边和一锐角（如b，∠A） ∠B=90°－∠A， 【注意】已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定. 【总结】在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一条边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三). 【已知一边一角的记忆口诀】有斜求对用正弦，有斜求邻用余弦，无斜求对(邻)用正切. 知识点三：仰角、俯角 视角：视线与水平线的夹角叫做视角． 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的. 知识点四：坡度、坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作. 坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角. 【注意】坡度与坡角是两个不同的概念，坡角是两个面的夹角，坡度(用字母i表示)是比；两者之间的关系是，坡角越大，坡度越大. 知识点五：方位角、方向角 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45° 知识点六：解直角三角形实际应用的一般步骤 ①弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； ②将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形. ③选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； ④得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 【常见类型】航海、建桥修路、测量楼高、塔高等. 【题型1 解直角三角形的相关计算】 【例1】在中，，，，欲求的值，最适宜的做法是（     ） A．通过计算的值求出 B．通过计算的值求出 C．通过计算的值求出 D．先根据求出，再利用求出 【答案】C 【分析】明确已知边与的位置关系，结合三角函数定义，选择计算步骤最少的方法． 【详解】解：∵ 在中，，，， ∴ ，可直接代入已知边计算，进而求出， 计算或均需先由勾股定理求出的长度，增加计算步骤， 通过求再计算，需多一步角度换算，步骤更多． 【变式1-1】如图，点在圆上，若弦的长度等于圆半径的倍，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用解直角三角形的知识，再利用圆周角定理解答即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 则， ， ， ， 弦的长度等于圆半径的倍， ， ， ， ， ， 是弦所对的圆周角， ． 【变式1-2】如图，在菱形中，垂直平分，，，分别交对角线于，两点，下列结论：①连接，则为等边三角形；②过点作于点，则；③；④为边上任意一点，连接和，若，则；⑤逆时针旋转，使射线与边交于点，射线与边交于点，若，，则．其中正确的是（     ） A．①③④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】连接，，可证和是等边三角形，再证明得到，即可判定①；证明，再利用角平分线的性质得到，即可判定②；连接，由得，即得，同理由得，即得到，又根据三角形中位线的性质得，即可判定③；过点作交延长线于点，设菱形边长为，解直角三角形得，即得，，得到，进而由三角形面积公式得到，再求出，最后代入计算即可判定④；连接，过点作交延长线于点，可证，得到，即得，解直角三角形得，，进而得到，最后利用勾股定理求出即可判定⑤，综上即可求解． 【详解】如图①，连接，， 四边形是菱形， ，，， 垂直平分， ，，， ，即为等边三角形， ，也是等边三角形， ，，， ， ， ，为等边三角形， ∴， ， ， ，，， ， ， ， 为等边三角形，故①正确； 如图②，，， ，即， 四边形是菱形， 平分， ，， ，故②正确； 如图③，连接， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 同理，得， ， ，即， 、是、的中点， 是的中位线， ， ， ，故③正确； 如图④，过点作交延长线于点，设菱形边长为，则， ，， ， ， ， 解得， ， ， ， ， ， ，故④正确； 如图⑤，连接，过点作交延长线于点， 由旋转性质知， ， ， 又，， ， ， ∵， ∴， ， ， ，， ， 在中，，故⑤错误； 综上所述，正确的是①②③④． 【变式1-3】已知在中，，，，点、分别在边、上（不与端点重合），，垂足为点．当时，的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作垂线构造直角三角形，证，利用求出长度，在中算出． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 在中，． 【题型2 解非直角三角形】 【例2】如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取格点E，连接AE、BE，利用勾股定理的逆定理可证得△ABE是直角三角形，利用三角形外角的性质可得∠APD＝∠ABE，在Rt△ABE中可求cos∠ABE，从而结论可得． 【详解】解：取格点E，连接AE、BE，如图： 设网格中的小正方形的边长为1， 则BE＝， AE＝， AB=． ∵BE2+AE2＝2+8＝10， AB2＝10， ∴BE2+AE2＝AB2． ∴∠AEB＝90°． 由题意：∠EBD＝∠CDB＝45°． ∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD， ∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45°+∠PBD， ∴∠APD＝∠ABE． 在Rt△ABE中，cos∠ABE＝． ∴cos∠APD＝． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，本题是网格问题，巧妙的构造直角三角形是解题的关键． 【变式2-1】如图，在中，，，，求BC的长． 【答案】 【分析】过 作 于 ，构造两个直角三角形：在 Rt 中用 角性质求出 ；在 Rt 中由 设 、，用勾股定理建立 求解． 【详解】解：过 作 于 ． 在 中，， ∴ （直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半）， 在 中，， ∴ 设 ，（）， 由勾股定理，， ∴ ，， ∴ ． 【变式2-2】在中，，，． (1)求边的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，垂足为，由，设，，利用勾股定理求出，，由，求出，最后由即可求出的长； （2）过点作，垂足为，由，求出，再由即可求出结果． 【详解】（1）解：如图所示，过点作，垂足为， ，， 设，， ∴，解得：（负值舍去）， ∴，， ， ∴， ∴． （2）解：如图所示，过点作，垂足为， ， ∴， ， ∴． 【变式2-3】如图，在中，点D是的中点，连接，，，，． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，垂足为，根据三角函数得到，，，进而计算即可； （2）根据题意得到，即，进而根据计算即可． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 在中，， ∴，， ∴，． 在中，， ∴， ∴； （2）解：已知是中点， ∴． ∵， ∴． 在中，． 【题型3 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 【例3】在数学活动课上，小敏、小颖分别画了和，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作，小颖画的三角形面积记作，比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】解：．理由如下： 如解图，过点A作于点M，过点D作交的延长线于点N． 在中，， ， ， 在中，， ， ． ， ． 【分析】，过点A作于点M，过点D作交的延长线于点N．利用三角函数表示三角形的高，根据三角形面积计算求解即可． 【详解】解：略． 【变式3-1】如图，正六边形的边长为2，连接、，以点为圆心，长为半径画，则、与围成的阴影部分面积为____________． 【答案】 【分析】阴影部分面积等于四边形面积减去扇形面积．四边形的面积通过利用六边形性质求得与的度数，证明与为直角三角形且全等，利用三角函数计算直角边长度后可得到直角三角形面积，进而得到四边形的面积． 【详解】解：如图所示，连接． 六边形是正六边形，边长为2， ， ． 又在中，，， 为等腰三角形，即， ， 同理可得，． 又在与中， ，， ， ． 在中， ， ， ． ， ， ， ， ． 【变式3-2】如图，在中，，，当时，求的长．（说明：解题中需要作辅助线，请用尺规作图法作出这条辅助线，保留作图痕迹，不用写作法） 【答案】，如图；    【分析】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是：作辅助线构造直角三角形． 作，在和中，根据特殊角三角函数，依次求出、、的值，即可求解； 【详解】解：过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴在中，， ∴． 【变式3-3】如图1和图2，在中，，，，点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持 (1)当点在上时，求点与点的最短距离； (2)若点在上，且将的面积分成上下两部分时，求的长； (3)当在上，且，求的长； 【答案】(1)3 (2) (3)3或5 【分析】（1）由垂线段最短可以得到AP是的高时，点与点的最短距离,再利用解直角三角形即可求出AP的长； （2）由勾股定理可求AB，通过证明，再由面积比转化为边长的比，可求AP的长，即可求解； （3）先证明，再利用相似三角形的性质即可 【详解】（1） 如图，过点作于， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∴当点在上时，点到的最短距离为3 （2）如图1中，∵， ∴， ∴， ∵将的面积分成上下， ∴， ∴， ∴， （3）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，∴ 解得或 所以的长为3或5 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，利用分类讨论思想和特殊位置求长度是本题的关键． 【题型4 仰角俯角问题】 【例4】如图，有一信号塔，小红站在点处，测得信号塔顶的仰角为，小红向前走了，到达点处，测得信号塔顶的仰角为，则信号塔的高度为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件以及三角形外角的性质可得，再利用等角对等边可得米，最后在中解直角三角形即可． 【详解】解：由题意得：， ， ， ∴ 在中，， ∴． 【变式4-1】如图，两建筑物间的水平距离为30m，从A点测得C点的俯角为30°，D点的俯角为45°，则建筑物CD的高为（     ） A． B．20m C． D． 【答案】A 【分析】延长交过点的水平线于点，构造两个直角三角形，分别求出和的长，利用 求解． 【详解】解：延长交过点的水平线于点，如图， 则， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ． 故答案为 A． 【变式4-2】图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2为其示意图，摄像头的仰角、俯角均为，高度为．某人笔直站在离摄像头水平距离的点处，他的身高为，头部高度为，若此人要能被摄像头识别，则的取值范围为（参考数据：，，）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，延长交于点，则四边形为矩形，从而可得，，再解直角三角形即可得解． 【详解】解：如图，过点作于，延长交于点， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴，即他的身高不能超过， ∵头部高度为， ∴他的身高不能低于， ∴h的取值范围为． 【变式4-3】如图，某地修建高速公路，要从地向地修一座隧道（，在同一水平面上），为了测量，两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从地出发，垂直上升到达处，在处观察地的俯角为，则，两地之间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题可知，， ． 【题型5 方位角问题】 【例5】如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则、两点相距（     ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作的垂线交于，是直角三角形和直角三角形的公共直角边，先求出，再求、，进而得出的长． 【详解】解：过点作的垂线交于， 点在点的正东方向， ，， 在中，米， （米），（米）， 在中，， 米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中是解题的关键． 【变式5-1】如图，已知外婆家在小明家的正东方向，学校在外婆家的北偏西方向，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的（     ） A．南偏东方向 B．南偏东方向 C．北偏东方向 D．北偏东方向 【答案】D 【分析】由题意可知：学校、小明家和外婆家构成了一个等腰三角形，其中小明家到学校与外婆家到学校的距离相等，再根据地图上的方向辨别方法，即“上北下南，左西右东”即可得出学校在小明家的东偏北（或者北偏东），据此解答即可． 【详解】解：据分析可知：因为学校、小明家和外婆家构成了一个等腰三角形，所以学校在小明家的北偏东． 【变式5-2】如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的两点分别测定对岸一棵树的位置，在的正北方向，且在的北偏西方向，则河宽（的长）可以表示为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】在中，利用的长，以及的度数，根据三角函数即可求得的长． 【详解】解：根据题意得：在中，， ∴， ∴米． 即河宽为米． 【变式5-3】如图，某海关缉私艇巡逻到达A处时，接到情报，在A处北偏西方向的B处发现一艘可疑的船只，正以24海里/小时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西的方向快速前进，经过一小时的航行，正好在C处截住可疑船只，则该艇的速度约为 （   ）． A．44 B．45 C．46 D．47 【答案】C 【分析】如图，设的长为x，可得，根据经过1个小时的航行，恰好在C处截住可疑船只，可知海里，由可得关于x的方程，解方程求出x的值，据此计算即可得到该艇的速度． 【详解】解：如图，设的长为x，由于点C在点A的北偏西的方向上， ∴， 由于点B在点A的北偏西的方向上， ∴， 在中,，， 即， ∴， 解得， ∴（海里）， 答：该艇的速度是46海里/时． 【题型6 坡度坡比问题】 【例6】如图，水坝的横截面为四边形，，高，迎水坡面的坡度，则迎水坡面的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点A作，先用三角函数求出的长，再用勾股定理求出的长． 【详解】解：过点A作，垂足为F，如下图所示， 由题意可知， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 迎水坡面的坡度， ， 即， ， 在中，，，，由勾股定理得： ． 【变式6-1】如图所示，九（二）班的同学准备在坡角为的河堤上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为，那么这两棵树在坡面上的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， 由题意，， ∴. 【变式6-2】如图，某公园入口有三级台阶，每级台阶高，宽，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为，斜坡的起点为，现设计斜坡的坡比，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，根据题意求出台阶的总高度与台阶的总水平宽度，利用坡比定义求出的长，最后根据计算． 【详解】解：过点作于点， 根据题意得：，， 斜坡的坡比， ， ， ． 【变式6-3】为改善生态环境、防治水土流失，人们通常会在斜坡或河岸种植树木、灌木等固土植物，利用其根系固结土壤、减缓径流，从而起到涵养水源、保持水土的作用．如图，斜坡上有一棵树，已知树高米，斜坡的坡度为，小明在距离点2米远的处测得树顶点的仰角为，树，斜坡的剖面，点在同一平面上，树与地面垂直，则树根部到坡脚的距离为（     ） （参考数据：，，） A．10米 B．12米 C．13.5米 D．11米 【答案】A 【分析】延长交于点H则，已知斜坡的坡度为则求出即可得出再用勾股定理即可即可求出；求可设长为米再通过三角函数列式计算即可． 【详解】解：如图所示，延长交于点，则； 设长为米， 由斜坡的坡度为可得， ，得， （米）， （米）， 在中， ， 即， ， 则（米）， 在直角中， （米）． 【题型7 其他应用问题】 【例7】如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为a米，则窗角C到窗框的距离的长度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】解：在中，， ∴米． 【变式7-1】为了测量被池塘隔开的，两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中，，交于，在上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①，；②，，；③，，；④，，．能根据所测数据，求出，间距离的有（      ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】根据解直角三角形和相似三角形的判定和性质，逐项判断即可． 【详解】解：①已知和，则在中，，即，故①可以； ②在中，，即， 在中，，即， ， ，可求出，故②可以； ③，， ， ， ， ， ，故③可以； ④已知，，，则，只知道和，求不出，故④不可以； 综上所述，求出，间距离的有3组． 【变式7-2】图①是某浴室花洒的侧面示意图，已知活动调节点（可以上下调整高度）离地面的初始距离．设花洒臂与墙面的夹角为，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长．假设水柱垂直直线喷射，小华在离墙面处淋浴． (1)当时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高． (2)如果小华要洗脚，需要调整水柱，使点与点重合，调整的方式有两种： ①其他条件不变，把活动调节点向下移动．移动的距离与小华的身高之间有什么数量关系？请直接写出你的结论； ②活动调节点不动，只要调整的大小，如图②．试求的度数．（结果保留一位小数，参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）过点作交的延长线于点，交的延长线于点，利用含角的直角三角形，即可求解； （2）①由平行四边形的判定与性质，即可判断； ②由勾股定理可求出的长度，然后根据锐角三角函数的定义可求出与的度数，从而可求出的度数． 【详解】（1）解：如图①，过点作交的延长线于点，交的延长线于点， ， 四边形为矩形， ，，， 在中，，， ，， ∴， ， ， ∴， ， ， ， ． （2）解：①如图，由平移的性质可知，，， 四边形为平行四边形， ， 同理可得，四边形为平行四边形， ， ． ②如图，连接．在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ． 【变式7-3】科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到，参考数据：，，）． 【答案】 【分析】过点作于H，则，，由题意可得，，，，解求出，可求出，再由勾股定理可得，进而得到，即可求解． 【详解】解：过点E作，垂足为点H， 由题意可知： ，，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为1.3. 【探究式学习】 1．综合与实践 【问题提出】如图①，在等腰三角形中，，，为中点，以为顶点作，角的两边分别交，于点，，连接．试探究点到线段的距离． 【问题探究】 (1)先将问题特殊化，如图②，当点和点重合时，点到线段的距离为________（用含的式子表示）． (2)再探究一般情形，如图①，证明（1）中的结论仍然成立． 【问题拓展】 (3)如图③，在等腰三角形中，，为中点，以为顶点作，角的两边分别交直线，于点，，连接．若，直接写出的值（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)证明：如图，过点作于点，于点， ∵为中点， ∴， ∴． ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， 即点到线段的距离为． (3)． 【分析】（1）根据“三线合一”可得，，，， 证明点到线段的距离即为的长，根据正弦的定义即可求解； （2）过点作于点，于点，，由（1）可得，证明，再证明，得到，即可求解； （3）连接，作于点，设，则，，证明，得到，可表示出，由（2）得，得到，表示出，即可求解． 【详解】（1）解：， 为中点， ，，． ∴， ，， ∴， ， ， 点到线段的距离即为的长． 在中，， ． （2）略 （3）解：连接，作于点，如图． 设，则， ． ，为中点， ，， ． ，， ， ， ． 同（2）易得， ，， ， ， ， ， ． 2．【项目式探究】某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下： (1)【探究原理】制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心处，另一端系小重物．测量时，使支杆、量角器刻度线与铅垂线相互重合（如图①），绕点转动量角器，使观测目标与直径两端点、共线（如图②，此时目标的仰角是图②中的__________．目标的仰角与图②中的∠ ________相等，请写出这两个角相等的证明过程． (2)【实地测量】如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点处测得树顶端的仰角，观测点与树的距离为5米，点到地面的距离为米，求树高．（，结果精确到米） (3)【综合应用】公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端距地面的高度（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点、，、、在同一直线上，分别测得点的仰角，，测得、间的距离2米，点、到地面的距离、均为米，求的长（结果保留根号） (4)【拓展探究】在（3）的条件下，分别测得点的仰角、，再测得、间的距离，点、到地面的距离、均为，则用含的式子表示为__________． 【答案】(1)，； 证明：， ， ； (2)米． (3)米； (4) 【分析】（1）根据图形和同角或等角的余角相等可以证明出结果； （2）根据题意得出四边形是矩形，再根据锐角三角函数求解即可； （3）根据题意推出米，米，设米，在直角三角形中，利用锐角三角函数得出，进而解方程即可； （4）同（3）理证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：， 四边形是矩形， 米，米， 在中，， ， （米）， （米）， 答：树高为米． （3）解：由题意可知，，，，米， ，， 点、到地面的距离、均为米， 米， 四边形是矩形， ，米， ， 米， 设米， 在中，， 米， 在中，， （米）， ， ， ，即米， 米， 答：的长为米； （4）解：由（3）可得，，， 设， 在和中，，， ， ， 解得：，即， ． 【课后检测】 1．2022年北京冬奥会的成功举办点燃了国人对冬季滑雪项目的热爱．如图，是一条坡角为的滑雪道，滑雪道长为500米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：根据题意，在中，，，米， ∵， ∴（米）． 2．如图，中，，，为，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形中锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：A、，解得，符合题意； B、，解得，不符合题意； C、，解得，不符合题意； D、，解得，不符合题意． 3．在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， ， ． 4．在Rt中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，先利用勾股定理求出，然后利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：在中，， ∴， ∴． 5．在中，，，，则的值是（     ） A． B． C．8 D．10 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴. 6．如图，过矩形的对角线的中点作，交边于点，交边于点，分别连接、，若．．则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形性质和垂直平分线性质证明四边形是菱形，利用三角函数求出的长，进而得出的长，结合选项判断可能是求或的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ，是的中点， 垂直平分， ，， 在和中， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在中，， ． 7．如图，一长度不变的梯子与地面的夹角为，关于，的值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是（     ） A．的值越小，梯子越陡 B．的值越小，梯子越陡 C．梯子的倾斜程度与的值无关 D．梯子的倾斜程度与的值无关 【答案】B 【分析】根据正弦和余弦的定义逐一判断即可． 【详解】解：如图所示， 根据题意可得，长度不变， ∴， ∴的值越小，则的值越小，此时梯子越平缓，故A、C错误； 的值越小，则的值越小，此时梯子越陡，故B说法正确，D说法错误． 8．如图，要测量江两岸相对的两点，的距离，可以在河边取的垂线上的一点，测得米，，则河宽为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】解：由题意得， 则在中， ∴（米）． 9．如图，将一副三角板拼成四边形为边的中点，连接，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，设和交于点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，结合得到垂直平分，所以是三角形的中位线，从而求出，的长，相加得到的长． 【详解】解：如图，连接，设和交于点， 为直角三角形，点为边的中点， ， 点在的垂直平分线上， 在直角三角形中，， 点在的垂直平分线上， 垂直平分，点是中点． 在直角三角形中，，， ，， 是的中位线， ， 又， ． 10．如图，已知在矩形中，，，点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度向点运动，点从点出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，当点运动到点时，、两点停止运动．连接，过点E作，垂足为，连接，交于点，交于点，连接．给出下列结论：①∽；②；③；④的值为定值；⑤若，则．上述结论中正确的个数为（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等判定 ，判断①；利用相似三角形性质及互余关系证 ，判断②；通过证明 推导边长比例及定值，判断③④；利用平行线分线段成比例及三角函数定义计算 ，判断⑤. 【详解】解：设运动时间为 ． 四边形 是矩形， ，，． ，， ， ，故①正确； ，． ， ． ， ， ，故②正确； ． ， ． ， ． ， ， ，． ． ， ，即， ， ，即 ． ， ，故③错误； ， ，为定值，故④正确； 若 ，则 ． ， ， ，即 ． ， ， ，即 ． 解得 ． 与是对顶角， ， ， ， 是直角三角形，， ， 前面已证， ，变形得， 代入已知线段比例，得 ， ， ⑤错误． 综上所述，正确的结论有①②④，共3个． 11．如图，有一斜坡，坡顶离地面的高度为．若坡度，则此斜坡的水平宽度为___________． 【答案】 【分析】坡度竖直高/水平宽，题目已给了竖直高度和坡度，代入公式即可求出水平宽． 【详解】解：设， 则 ∴ 解得， 所以水平宽度为． 12．甲、乙两个山坡如图所示，___________山坡更陡（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【分析】根据题中已知条件求出各自的坡度比进行比较即可． 【详解】解：甲的垂直边为：， ∴坡度比为：； 乙的坡度比为：； ∵， ∴乙山坡更陡． 13．如图，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为___________（结果取整数．参考数据：，，）． 【答案】 【分析】通过作水平线构造两个直角三角形，利用矩形性质得到；先用俯角 求出水平距离 ；再利用仰角 的等腰直角三角形特点得到；最后 求出建筑总高度． 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形为矩形， ． 在中，，则． 在中，， ， ． 14．如图，折叠矩形的一边，使D落在边上的F处，且． （1）与是否相似？___________；（选填“是”或者“否”） （2）若，设，则：___________．（用含的代数式表示） 【答案】 是 【分析】（1）先利用矩形性质得所有内角为直角，再根据折叠性质得，推导，结合，得到两组角对应相等，用两角对应相等的三角形相似判定定理判断相似性． （2）根据折叠的全等性质，得，结合，运用勾股定理，即可用含的式子表示、． 【详解】判断与是否相似 ∵四边形是矩形， ∴． 由折叠的性质可知， ∴． 在中，， ∴． ∴． ∵在中，，且， ∴可得． ∴． 15．如图在中，，，，则的值为______． 【答案】 【分析】先利用正切定义，求出边长，再用勾股定理计算斜边． 【详解】解：在中，，，． ， 解得． 由勾股定理得： ． 16．热气球的探测器显示，从热气球处看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，处与高楼的水平距离为，这栋高楼有多高？（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】 【详解】解：由题意得，，，， ∴，， ∴这栋高楼的高为． 17．如图，为了测量某建筑物的高度，小明在距离建筑物底部D点15米的B点处，测得建筑物顶端C的仰角为，小明的眼睛离地面的高度米．求建筑物的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：） 【答案】建筑物的高度约为12.9米 【分析】过点 A 作，垂足为 E，解求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：过点 A 作，垂足为 E．则米，米． 在中，，， ∴（米）．   ∴（米）．   答：建筑物的高度约为 12.9 米． 18．三角函数：如图，在中，，，， (1)请用尺规作图作边上的高，不写作法，但要保留作图痕迹． (2)请用含的式子表示的面积． 【答案】(1) 高即为所求； (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图，解直角三角形，勾股定理． （1）根据过已知点作已知直线的垂线方法画出图形，即可； （2）在和中，求出的长，即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的面积． 19．如下图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线交于点． (1)求点的坐标． (2)求的值． 【答案】(1)点的坐标为 (2) 【分析】（1）求交点B的坐标，需联立两条直线的解析式组成方程组求解． （2）求的值，需先求出点A的坐标，过点作x轴的垂线构造直角三角形，利用勾股定理求出斜边的长，最后根据正弦函数的定义（对边比斜边）计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点B是直线与直线的交点， 联立两直线解析式得方程组：， 将代入，得： 将代入，得， 所以，点的坐标为． （2）如图，过点作轴于点， 则，． 由，得，则， ， ， ． 20．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点C作轴，垂足为D，将沿所在直线翻折，交反比例函数的图象于点E，交x轴于点F． (1)求的值； (2)若点E的纵坐标为2，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用函数解析式求出两点坐标，得出三角形直角边的长度，即可求出正切值； （2）过点作轴于点，设，则，利用轴对称的性质表示出相关线段的长度，然后根据反比例函数的性质列出方程求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴； 当时，， 解得， ∴； ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点作轴于点， 设，则， ∴， ∴， 根据轴对称的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∵点都在反比例函数上， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 53 页 第 1 页 共 53 页 学科网（北京）股份有限公司 $