1.2 提公因式法 课件（2课时）课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

湘教版 数学 八年级上册 第1章　因式分解 1.2 提公因式法 共 2 课时 授课班级：八（　）班 授课教师：________ 第1课时 提单项式公因式 8a3b2 + 12ab3c = 4ab2(2a2 + 3bc) 第2课时 提多项式公因式 a(x − y) + b(y − x) = (x − y)(a − b) 【封面】湘教版《数学》八年级上册（2025年秋季版）第1章第2节“提公因式法”，共2课时：第1课时提单项式公因式，第2课时提多项式公因式（课时划分参照学科网、教习网等同步备课资源的通行安排【请教师核对：以本校教学进度为准】）。 本课件第2—17页为第1课时，第18—29页为第2课时，第30—33页为两课时共用的小结、板书、评价与作业。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-2.txt。 1 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.2 提公因式法 2 学习目标与评价任务（两课时） 课时 学习目标 评价任务 达成标准 第1课时 1. 能按“系数、字母、指数”确定多项式各项的公因式 找公因式口答；检测一第1题 三个要素都说对，正确率 ≥ 80% 2. 能用提公因式法分解公因式是单项式的多项式，处理首项为负、某项提完剩1的情况 例1、例2、变式1、易错批改；检测一第2、3、5题 结果完整、符号正确，并会用乘法验证 第2课时 3. 能把多项式看作整体，提多项式公因式，会用 y − x = −(x − y) 变号 例3、例4、变式2；检测二第1~3题 整体意识清楚，变号正确 4. 能用提公因式法进行简便计算、整体代入求值和整除说理 简便计算、应用题；检测二第4、5题 能写出依据，结果正确 重点 确定公因式；用提公因式法分解因式。　难点 首项为负时的变号；把多项式看作整体提取公因式。 【学习目标】两课时共四条目标，每条对应评价任务和当堂检测题号。第1课时落实目标1、2，第2课时落实目标3、4。 2 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.2 提公因式法 3 第1课时 · 情境导入 情境导入：图书角买书，一共花多少钱？ 八（1）班 18 本 八（2）班 25 本 八（3）班 17 本 每本 32.5 元（三个班买同一本书） 总价怎么算更快？ 32.5 × 18 + 32.5 × 25 + 32.5 × 17 = 32.5 × (18 + 25 + 17) = 32.5 × 60 = 1950（元） 想一想：三项都含有相同的因数 32.5，把它“提”到括号外面。如果把数换成字母，ma + mb + mc = ? 【情境导入】班级图书角统一采购同一本书，单价32.5元，三个班分别买18本、25本、17本（数据为课堂情境设定）。 先让学生算总价。多数学生会发现 18 + 25 + 17 = 60，于是 32.5 × 60 = 1950（元）。 追问：为什么可以先把本数加起来？——三项都含有相同的因数32.5。把它“提出来”，就是今天要学的提公因式法。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-2.txt。 3 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.2 提公因式法 4 第1课时 · 概念探究 公因式与提公因式法 ma + mb + mc　——　各项都含有因式 m　——　= m(a + b + c) 公因式 多项式各项都含有的公共因式，叫作这个多项式各项的公因式。 提公因式法 把公因式提到括号外面，把多项式写成公因式与另一个多项式的积，这种分解因式的方法叫作提公因式法。 关系：m(a + b + c) = ma + mb + mc 是整式乘法（积 → 和）；从右往左就是提公因式法（和 → 积）。 【概念】多项式各项都含有的公共因式，叫作这个多项式各项的公因式。把公因式提到括号外面，将多项式写成公因式与另一个多项式的积，这种分解因式的方法叫作提公因式法。【请教师核对：与课本原文逐字比对】 结合上节课：m(a + b + c) = ma + mb + mc 是整式乘法，反过来就是提公因式法。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-2.txt。 4 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.2 提公因式法 5 第1课时 · 概念探究 探究：8a³b² + 12ab³c 的公因式是什么？ 8a3b2 = 4ab2 · 2a2 12ab3c = 4ab2 · 3bc 红色部分是两项的公共部分 所以 8a3b2 + 12ab3c = 4ab2 · 2a2 + 4ab2 · 3bc = 4ab2(2a2 + 3bc) 议一议：2ab 也是两项都含有的因式，为什么不选它？ 8a3b2 + 12ab3c = 2ab(4a2b + 6b2c)，括号里 4a2b 和 6b2c 还有公因式 2b——没有“提尽”。 【探究：怎样找公因式】把每一项写成“公因式 × 剩余部分”。 8a³b² = 4ab² · 2a²，12ab³c = 4ab² · 3bc。 追问：为什么不选 2ab 或 4a？——2ab 也是公因式，但没有“提尽”；我们要找的是各项系数的最大公因数和相同字母的最低次幂组成的那个公因式。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-2.txt。 5 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.2 提公因式法 6 第1课时 · 概念探究 确定公因式的“三定” 规则 8a³b² 12ab³c 取 定系数 各项系数的最大公因数 8 12 4 定字母 各项都含有的相同字母 a, b a, b, c a, b 定指数 相同字母的最低次数 a3, b2 a1, b3 a1, b2 公因式　=　系数 × 字母的最低次幂　=　4ab2 注意：只在一部分项中出现的字母（如 c）不能作为公因式。 【确定公因式：三定】系数：取各项系数（整数）的最大公因数；字母：取各项都含有的相同字母；指数：相同字母取最低次数。 以 8a³b² + 12ab³c 为例：系数 8、12 的最大公因数是 4；a、b 是相同字母，c 不是；a 的最低次数是1，b 的最低次数是2。所以公因式是 4ab²。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-2.txt。 6 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.2 提公因式法 7 第1课时 · 概念探究 快速口答：说出各多项式的公因式 题号 多项式 公因式 理由（三定） (1) 6x2y − 9xy2 3xy 3, 9 → 3；x, y；最低次都是1 (2) 12a2b3 + 8a3b2 − 16ab4 4ab2 12, 8, 16 → 4；a 最低1次，b 最低2次 (3) −5m2n + 10mn −5mn 首项为负，连同“−”号一起提出 答案列（橙色）课堂上先遮住，学生口答后再出示。 【快速口答】先说出三定，再说出公因式。第(3)题首项为负，公因式一般连同负号一起提出（−5mn），这样括号内首项为正，下一页重点讲。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-2.txt。 7 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.2 提公因式法 8 第1课时 · 例题与变式 例1　把下列多项式分解因式 (1) 3x3 − 6x2　　　　(2) 8a3b2 + 12ab3c 一找 公因式 3x2 二提 写在括号外 3x2(　　) 三除 3x3 ÷ 3x2 = x 6x2 ÷ 3x2 = 2 四验 3x2(x − 2) = 3x3 − 6x2 ✓ 解 (1) 3x3 − 6x2 = 3x2 · x − 3x2 · 2 = 3x2(x − 2)； (2) 8a3b2 + 12ab3c = 4ab2 · 2a2 + 4ab2 · 3bc = 4ab2(2a2 + 3bc)。 【例1】四步法：一找（公因式）、二提（写在括号外）、三除（各项除以公因式，商写在括号里）、四验（乘回去检验）。 (1) 3x³ − 6x²：公因式 3x²，3x³ ÷ 3x² = x，6x² ÷ 3x² = 2，得 3x²(x − 2)。 (2) 见第5页，得 4ab²(2a² + 3bc)。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-2.txt。 8 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.2 提公因式法 9 第1课时 · 例题与变式 例2　两种特殊情况 (1) 某一项就是公因式 3x2 − 6xy + x = x · 3x − x · 6y + x · 1 = x(3x − 6y + 1) 提完剩 1，不能漏写！ 括号内项数 = 原式项数（3项） (2) 首项为负 −4m3 + 16m2 − 26m = −2m · 2m2 − (−2m) · 8m + (−2m) · 13 = −2m(2m2 − 8m + 13) 提出“−”号，括号内每一项都变号 两条检查：① 项数不变；② 乘回去等于原式。 【例2】两种特殊情况。 (1) 3x² − 6xy + x：第三项 x 正好是公因式，提出后剩 1，不能漏写：x(3x − 6y + 1)。检验：括号内项数应与原多项式项数相同（3项）。 (2) −4m³ + 16m² − 26m：首项为负，提出 −2m，括号内各项都要变号：−2m(2m² − 8m + 13)。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-2.txt。 9 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.2 提公因式法 10 第1课时 · 例题与变式 易错专练：提出“−”号时的变号 多项式 常见错误 正确结果 −x2 + 2x −x(x + 2) −x(x − 2) −5m2n + 10mn −5mn(m + 2) −5mn(m − 2) −24x3 − 12x2 + 28x −4x(6x2 − 3x + 7) −4x(6x2 + 3x − 7) 类比去括号 −(a − b + c) = −a + b − c 每一项都变号 验证：−4x(6x2 + 3x − 7) = −24x3 − 12x2 + 28x　✓ 口诀：首项有负常提负，括号里面各项变号。 【变号规则】提出负因式后，括号里每一项都要变号。可以类比去括号法则：−(a − b + c) = −a + b − c。 学生最容易只改第一项。让学生用乘法验证右列。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-2.txt。 10 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.2 提公因式法 11 第1课时 · 例题与变式 变式1　分解因式（小组接力） (1) 12xyz − 9x2y2 答案 3xy(4z − 3xy) 系数 3，字母 x, y (2) 2a2b − 4ab2 + 2ab 答案 2ab(a − 2b + 1) 第三项提完剩 1 (3) −24x3 − 12x2 + 28x 答案 −4x(6x2 + 3x − 7) 首项为负，各项变号 (4) 15a3b2c − 25a2b3 答案 5a2b2(3ac − 5b) a 取2次，b 取2次 【变式1】四人小组每人做一题，再交换检验。答案： (1) 3xy(4z − 3xy)；(2) 2ab(a − 2b + 1)；(3) −4x(6x² + 3x − 7)；(4) 5a²b²(3ac − 5b)。 (2) 考查剩1，(3) 考查变号，(4) 考查指数取最低次。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-2.txt。 11 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.2 提公因式法 12 第1课时 · 例题与变式 当小老师：批改这份作业 错误写法 错因 正确结果 6x2 − 9x = 3(2x2 − 3x) ✗ 字母 x 没提出 ✓ 3x(2x − 3) a2 + a = a · a ✗ 漏掉了 1 ✓ a(a + 1) −x2 + 2x = −x(x + 2) ✗ 只改了首项的号 ✓ −x(x − 2) 4x2 − 8x = 2x(2x − 4) ✗ 系数没取最大公因数 ✓ 4x(x − 2) 检查三问：提尽了吗？　漏项了吗？　符号对吗？ 【易错批改】出示“某同学的作业”（为教师编写的典型错例），请学生当小老师找错并改正。 四类错误：没有提尽；漏掉1；变号出错；系数只提了公因数而不是最大公因数（与“没提尽”同类）。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-2.txt。 12 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.2 提公因式法 13 第1课时 · 例题与变式 验证：因式分解与整式乘法互逆 8a3b2 + 12ab3c 4ab2(2a2 + 3bc) 提公因式 乘法验证 检查① 乘回去 4ab2 · 2a2 = 8a3b2 4ab2 · 3bc = 12ab3c 和等于原式 ✓ 检查② 提尽了吗 括号内：2a2 与 3bc 系数 2, 3 互质，无相同字母 已经提尽 ✓ 【互逆验证】提公因式法的结果都可以用单项式乘多项式验证。两个检查：① 乘回去是否等于原式；② 括号内的各项是否还有公因式（是否提尽）。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-2.txt。 13 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.2 提公因式法 14 第1课时 · 例题与变式 用提公因式法简便计算 20262 − 2026 × 26 = 2026 × (2026 − 26) = 2026 × 2000 4 052 000 再试：19.8 × 7.3 + 19.8 × 2.7 = 19.8 × 10 = 198 R r 环形花坛（R = 7.5 m，r = 2.5 m） S = πR2 − πr2 = π(R2 − r2) = 50π ≈ 157（m²） 【简便计算】2026² − 2026 × 26：两项都含有因数2026，提出来得 2026 × (2026 − 26) = 2026 × 2000 = 4052000。 19.8 × 7.3 + 19.8 × 2.7 = 19.8 × 10 = 198。 环形花坛（情境设定：外圆半径7.5 m，内圆半径2.5 m）：S = πR² − πr² = π(R² − r²) = π(56.25 − 6.25) = 50π ≈ 157（m²，π取3.14）。图中两圆半径按 3 : 1 绘制。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-2.txt。 14 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.2 提公因式法 15 第1课时 · 检测与小结 当堂检测（第1课时）　限时 6 分钟 1. 多项式 6a2b − 9ab2 + 3ab 的公因式是（　　） A.　3a B.　3ab C.　3a2b D.　3ab2 2. 分解因式：−3x3 + 6x2 − 9x = ______________。 3. 分解因式：14m3n2 − 21m2n3 = ______________。 4. 简便计算：2026 × 37 − 2026 × 27 = ______。 5. 判断正误并改正：x2y − xy2 + xy = xy(x − y)（　　） 【当堂检测一】限时6分钟，每题2分，满分10分。答案见下一页。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-2.txt。 15 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.2 提公因式法 16 第1课时 · 检测与小结 检测答案（第1课时） 题号 答案 要点 1 B 3, 9, 3 的最大公因数 3；相同字母 a, b 均取1次 2 −3x(x2 − 2x + 3) 首项为负，提出 −3x 后各项变号 3 7m2n2(2m − 3n) m, n 都取最低次2次 4 20260 2026 × (37 − 27) = 2026 × 10 5 ×，xy(x − y + 1) 第三项提完剩 1，括号内应有3项 评分：每题2分　9～10分 ★★★　6～8分 ★★　5分及以下 ★ 【答案与评分】同桌互批。9~10分★★★，6~8分★★，5分及以下★。第2题若写成 3x(−x² + 2x − 3) 不扣分但要提醒“首项为负常提负”。第5题漏掉1是本节最典型的错误。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-2.txt。 16 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.2 提公因式法 17 第1课时 · 检测与小结 第1课时　小结与分层作业 本课时小结 三定： 系数 — 最大公因数 字母 — 相同字母 指数 — 最低次数 四步：找 → 提 → 除 → 验 两查：项数不变，符号正确 A 基础 1. 5a2b − 10ab　　2. −6x2y − 8xy2 B 提高 3. 4m3n − 6m2n2 + 2mn　　4. 简便计算 39 × 37 − 13 × 81 C 拓展 5. 说明：n 为正整数时，n2 + n 一定是偶数。 【第1课时 小结与作业】小结“一找二提三除四验”和“三定”。作业参考答案： 1. 5ab(a − 2)；2. −2xy(3x + 4y)；3. 2mn(2m² − 3mn + 1)；4. 39 × 37 − 13 × 81 = 13 × 111 − 13 × 81 = 13 × 30 = 390；5. n² + n = n(n + 1)，两个连续整数中必有一个偶数。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-2.txt。 17 18 第2课时 提多项式公因式 公因式不一定是单项式——把一个多项式看成一个整体 课前热身：(1) 8a3b2 + 12ab3c 的公因式是______； (2) −4m3 + 16m2 − 26m = ______________。 【第2课时 开始】先用2分钟复习第1课时：三定、四步、变号。提问：8a³b² + 12ab³c 的公因式是什么？−4m³ + 16m² − 26m 怎么分解？ 18 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.2 提公因式法 19 第2课时 · 情境导入 情境：两块展板，高度相同 照片区 文字区 a 照片区 文字区 b x y 示意图（按 a : b = 13 : 8、x : y = 13 : 9 绘制） 总面积的两种算法 分开算：a(x + y) + b(x + y) 合起来：(x + y)(a + b) 所以 a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b) 想一想：两项都含有的公共部分是什么？它是单项式吗？ 【情境导入】学校走廊并排挂两块宣传展板，高度都是 (x + y) 米（上半部分 x 米贴照片，下半部分 y 米贴文字），宽分别是 a 米和 b 米（情境设定）。 两种算总面积：a(x + y) + b(x + y)，或者拼成一个大长方形 (x + y)(a + b)。 追问：这里的“公因式”是什么？——是多项式 (x + y)，把它看作一个整体。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-2.txt。 19 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.2 提公因式法 20 第2课时 · 情境导入 整体思想：把 (x + y) 看成一个字母 看整体 两项都含 (x + y) 换元 令 m = x + y 提公因式 am + bm = m(a + b) 还原 (x + y)(a + b) a(x + y) + b(x + y) = am + bm　（令 m = x + y） = m(a + b) = (x + y)(a + b) 公因式可以是单项式，也可以是多项式。提多项式公因式时，要把它当作一个整体，括号不能丢。 【整体思想】用换元帮助理解：令 m = x + y，则 a(x + y) + b(x + y) = am + bm = m(a + b) = (x + y)(a + b)。 课堂上换元只作为思考工具，熟练后不必写出换元过程。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-2.txt。 20 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.2 提公因式法 21 第2课时 · 例题与变式 例3　把下列多项式分解因式 (1) a(x − y) + b(x − y) = (x − y)(a + b) 公因式 (x − y) (2) 2a(b + c) − 3(b + c) = (b + c)(2a − 3) 第二项提完剩 −3 (3) (x + 2)2 − 3(x + 2) = (x + 2)[(x + 2) − 3] = (x + 2)(x − 1) 括号内要化简 注意：中括号只是过渡写法，最后结果要把括号内化简。 【例3】(1) 公因式 (x − y)；(2) 公因式 (b + c)，提完后第二项剩 −3；(3) (x + 2)² = (x + 2)(x + 2)，公因式 (x + 2)，括号里 (x + 2) − 3 要化简为 x − 1。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-2.txt。 21 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.2 提公因式法 22 第2课时 · 例题与变式 关键准备：(y − x) 与 (x − y) 的关系 式子 与 (x − y) 的关系 规律 代值 x = 5，y = 2 y − x −(x − y) 互为相反数 −3 与 3 (y − x)2 (x − y)2 偶次幂相等 9 = 9 (y − x)3 −(x − y)3 奇次幂互为相反数 −27 与 27 口诀：偶次方，符号不变；奇次方，符号要变。 【变号规律】互为相反数的两个式子：y − x = −(x − y)。偶次幂相等：(y − x)² = (x − y)²；奇次幂互为相反数：(y − x)³ = −(x − y)³。 可以让学生取 x = 5、y = 2 代值感受：y − x = −3，x − y = 3；(−3)² = 9 = 3²；(−3)³ = −27 = −3³。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-2.txt。 22 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.2 提公因式法 23 第2课时 · 例题与变式 例4　先变号，再提公因式 (1) a(x − y) + b(y − x) = a(x − y) − b(x − y) = (x − y)(a − b) 把 y − x 变成 −(x − y) (2) 3m(a − b)2 − 6n(b − a)2 = 3m(a − b)2 − 6n(a − b)2 = 3(a − b)2(m − 2n) 偶次幂：符号不变 系数 3 也要提 (3) 2(x − y)3 − (y − x)2 = 2(x − y)3 − (x − y)2 = (x − y)2[2(x − y) − 1] = (x − y)2(2x − 2y − 1) 第二项剩 −1，别漏！ 【例4 先变号，再提公因式】 (1) a(x − y) + b(y − x) = a(x − y) − b(x − y) = (x − y)(a − b)。 (2) (b − a)² = (a − b)²，3m(a − b)² − 6n(a − b)² = 3(a − b)²(m − 2n)。 (3) (y − x)² = (x − y)²，2(x − y)³ − (x − y)² = (x − y)²(2x − 2y − 1)，注意第二项提完剩 −1。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-2.txt。 23 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.2 提公因式法 24 第2课时 · 例题与变式 变式2　分解因式 题号 多项式 参考答案 关键 (1) m(a − 3) + 2(3 − a) (a − 3)(m − 2) 3 − a = −(a − 3) (2) 6(p + q)2 − 12(q + p) 6(p + q)(p + q − 2) q + p = p + q，系数提 6 (3) x(a − b)3 + y(b − a)3 (a − b)3(x − y) 奇次幂变号 (4) 18b(a − b)2 − 12(a − b)3 6(a − b)2(5b − 2a) 3b − 2(a − b) = 5b − 2a 做法：先独立完成(1)(2)，再小组讨论(3)(4)。 【变式2】答案：(1) (a − 3)(m − 2)；(2) 6(p + q)(p + q − 2)；(3) (a − b)³(x − y)；(4) 6(a − b)²(5b − 2a)。 (4) 是本节难题：提出 6(a − b)² 后括号里是 3b − 2(a − b) = 5b − 2a，要化简。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-2.txt。 24 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.2 提公因式法 25 第2课时 · 例题与变式 当小老师：第2课时易错点 错误写法 错因 正确结果 (x − y)2 − (x − y) = (x − y)(x − y) ✗ 漏掉了 −1 ✓ (x − y)(x − y − 1) a(x − y) − b(y − x) = (x − y)(a − b) ✗ 变号后符号错 ✓ (x − y)(a + b) 2(a − b)2 − (a − b) = (a − b)(2a − b) ✗ 括号内化简错 ✓ (a − b)(2a − 2b − 1) (b − a)2 = −(a − b)2 ✗ 偶次幂不变号 ✓ (b − a)2 = (a − b)2 检查四问：提尽了吗？漏项了吗？符号对吗？括号化简了吗？ 【易错批改（第2课时）】四类错误：漏掉1；变号后符号错；括号内未化简；偶次幂误变号。错例为教师编写。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-2.txt。 25 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.2 提公因式法 26 第2课时 · 拓展应用 拓展应用：整体代入与整除说理 (1) 已知 a + b = 5，ab = 3，求 a²b + ab² 的值 解：a2b + ab2 = ab(a + b) = 3 × 5 = 15 先分解，再整体代入——不用求 a、b (2) 整除说理：5 的幂 说明 52026 − 52025 能被 4 整除。 解：52026 − 52025 = 52025 × 5 − 52025 × 1 = 52025 × (5 − 1) = 4 × 52025 所以能被 4 整除。 共同点：先提公因式，把式子变成积，再“看出”结果。 【拓展应用】(1) 整体代入：a²b + ab² = ab(a + b) = 3 × 5 = 15，不需要求出 a、b。 (2) 整除：5²⁰²⁶ − 5²⁰²⁵ = 5²⁰²⁵ × (5 − 1) = 4 × 5²⁰²⁵，所以能被4整除。这里把 5²⁰²⁵ 看作公因式，是整体思想的又一次应用。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-2.txt。 26 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.2 提公因式法 27 第2课时 · 拓展应用 实际问题：做一个圆柱形水桶要多少材料？ r h r = 15 cm，h = 35 cm（按比例绘制） 解（π 取 3.14） S = 2πr2 + 2πrh 　= 2πr(r + h) 　= 2π × 15 × (15 + 35) 　= 1500π ≈ 4710（cm²） 比一比：直接代入要算 2π×15² 和 2π×15×35 两个乘积再相加；先提公因式 2πr，只算一次乘法。 【实际问题：圆柱形水桶】做一个有盖的圆柱形水桶，底面半径 r = 15 cm，高 h = 35 cm（情境设定），至少需要多少材料（不计接缝）？ S = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h) = 2π × 15 × 50 = 1500π ≈ 4710 cm²（π取3.14）。 先提公因式再代入，计算量明显减少。图形按 r : h = 15 : 35 比例绘制。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-2.txt。 27 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.2 提公因式法 28 第2课时 · 检测与小结 当堂检测（第2课时）　限时 6 分钟 1. 分解因式：x(m − n) + y(m − n) = ______________。 2. 分解因式：3a(x − y) − 6b(y − x) = ______________。 3. 分解因式：(a + b)2 − 2(a + b) = ______________。 4. 已知 x + y = 4，xy = −2，则 x2y + xy2 = ______。 5. 说明：72026 − 72025 能被 6 整除。 【当堂检测二】限时6分钟，每题2分，满分10分。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-2.txt。 28 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.2 提公因式法 29 第2课时 · 检测与小结 检测答案（第2课时） 题号 答案 要点 1 (m − n)(x + y) 公因式是多项式 (m − n) 2 3(x − y)(a + 2b) −6b(y − x) = 6b(x − y)，系数提 3 3 (a + b)(a + b − 2) 把 (a + b) 看作整体 4 −8 x2y + xy2 = xy(x + y) = (−2) × 4 5 6 × 72025 72025 × (7 − 1) = 6 × 72025 评分：每题2分　9～10分 ★★★　6～8分 ★★　5分及以下 ★ 【答案与评分】同桌互批。第2题最容易错：−6b(y − x) = +6b(x − y)，结果是 3(x − y)(a + 2b)。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-2.txt。 29 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.2 提公因式法 30 两课时 · 评价与作业 两课时小结：提公因式法 一找 三定：系数、字母、指数 多项式公因式看整体 二提 首项为负常提负 y − x = −(x − y) 三除 各项除以公因式 提完剩 1 不能漏 四验 乘回去等于原式 括号内已提尽 简便计算 20262 − 2026 × 26 整体代入 a2b + ab2 = ab(a + b) 整除说理 52026 − 52025 = 4 × 52025 实际问题 2πr2 + 2πrh = 2πr(r + h) 【两课时小结】用一张结构图串起两课时：公因式可以是单项式，也可以是多项式；方法都是“找—提—除—验”；关键是三定、变号和整体思想；应用有简便计算、整体代入、整除说理和实际问题。 30 31 板书设计 1.2　提公因式法 一、公因式：各项都含有的公共因式 　三定：系数（最大公因数）· 字母（相同）· 指数（最低） 二、步骤：找 → 提 → 除 → 验 　8a3b2 + 12ab3c = 4ab2(2a2 + 3bc) 三、注意：首项为负常提负；提完剩 1 不能漏 四、多项式公因式：看整体 　a(x − y) + b(y − x) = (x − y)(a − b) 五、变号：偶次不变，奇次变 第1课时 −4m3 + 16m2 − 26m = −2m(2m2 − 8m + 13) 第2课时 (y − x)2 = (x − y)2 (y − x)3 = −(x − y)3 【板书设计】第1课时写左侧一、二、三；第2课时补写四、五，右侧副板书用于例题演算。 31 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.2 提公因式法 32 两课时 · 评价与作业 评价量表与自我评价 评价维度 ★★★ ★★ ★ 确定公因式（目标1） 三定都对，能说出理由 能找对，但说不清理由 漏字母或指数取错 提单项式公因式（目标2） 结果完整，符号正确，会验证 结果正确，偶有漏1或变号错 结果不是积或错误较多 整体与变号（目标3） 能看整体，变号正确，括号化简 能提出多项式公因式，变号偶有错 不会看整体 应用（目标4） 简便计算、代入、说理都能写出依据 能完成其中两类 只能完成一类或不会 我的自评：第1课时　☆☆☆　　第2课时　☆☆☆　　我还有疑问：____________________ 【评价量表与自评】小组长对照量表记录课堂表现，学生课末自评。两课时各用一次，第2课时增加“整体与变号”一栏。 32 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.2 提公因式法 33 两课时 · 评价与作业 第2课时　分层作业 A 基础（必做） 1. 2a(x − y) − 3b(x − y)　　2. x(a − b) + y(b − a) B 提高（必做） 3. 4(m − n)2 − 8(n − m)3 4. 已知 a + b = 6，ab = 5，求 a2b + ab2 的值。 C 拓展（选做） 5. 一个有盖圆柱形茶叶罐，r = 10 cm，h = 20 cm，用提公因式法求它的表面积。 预习：1.3 公式法——想一想：x² − 4 能不能提公因式？还有什么办法把它写成积？ 【第2课时 分层作业参考答案】 1. (x − y)(2a − 3b)；2. (a − b)(x − y)；3. 4(m − n)² + 8(m − n)³ = 4(m − n)²(1 + 2m − 2n)；4. ab(a + b) = 5 × 6 = 30；5. S = 2πr(r + h) = 2π × 10 × 30 = 600π ≈ 1884 cm²（π取3.14）。 预习：1.3 公式法。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）展开核对，记录见 final/计算核验记录_1-2.txt。 33 $