1.2 提公因式法 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

课时1 提单项式公因式 1.2 提公因式法 01 了解公因式和提公因式的概念； 02 掌握找多项式中的公因式的方法； 03 掌握提单项式公因式法进行因式分解. 问题1：什么是因式分解？​ 一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式. ​问题2：多项式的因式分解与多项式的乘法之间有什么关系？ 多项式的因式分解与多项式的乘法运算是互逆的变形过程. 思考：运用这样的方法来因式分解，有什么特殊之处？ 活动1 观察下列代数式，并回答问题. xy，3xz， 问题1：说出次数大于0的因式，并思考其中有相同的因式吗？是什么 ？ xy中次数大于0的因式有x，y； 3xz中次数大于0的因式有x，z. 有相同的因式 x. 问题2：类比几个数的公因式，几个多项式中有相同的因式称为什么？ 几个多项式的相同因式称为它们的公因式. 探究1：探索提公因式的概念 活动2 计算x(y+3z)，并回答问题. 问题1：这一过程用了什么运算定律？ 逆用乘法分配律：ma+mb+mc=m(a+b+c) 整式乘法 问题2：下面等式中x的位置发生怎样的变化？试着用自己的话说一下因式分解的过程，小组讨论这种方法的本质是什么？ 公因式 x 提到括号外面来 因式分解 乘法分配律 问题3：如何确定一个多项式 4 x 2 – 8 x y 的公因式？ 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法． 系数：不考虑符号，找出最大公因数 4 字母：相同的字母 x 公因式是 4x 指数：相同字母的最低次数 1 问题4 :正确找出多项式的公因式的步骤有哪些？与同桌交流讨论 3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即同字母的最低次数. 1. 定系数：对于整数系数的多项式来说，公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数； 2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； 活动1 用提公因式法因式分解下列多项式，并回答问题. (1)4x2－6x3 (2) 8x²y4－12xy²z 解：(1)4x2－6x3 = 2x²· 2x-2x²· 3x = 2x²(2－3x). (2)8x²y4－12xy²z ＝ 4xy² · 2xy²－4xy² · 3z ＝4xy²(2xy²－3z). 问题 ：提公因式法的步骤有哪些？如何检验这一过程是正确的？ 1.找出公因式；2.提取公因式. 用整式的乘法检验结果是否正确. 探究2：掌握多项式的因式分解 活动2 判断下列多项式的因式分解是否正确，若错误，请说明理由. (1)5x²－3xy＋x＝x(5x－3y); (2)－3x²＋6xy－3xz = －(3x²－6xy＋3xz)=－3x(x－2y＋z); ×，项x提出漏了 1 √ (3)2x² + 4x = x(2x + 4). ×，公因式没有提尽 问题1 ：为什么说 “提公因式必须提尽”？提不尽可能导致什么问题？ 因为要确保分解的彻底性.提不尽可能导致分解不彻底、后续运算出错、结果不规范等问题. 问题2 ：当多项式首项系数为负数时，如何处理符号？ 先提取“-1”，将括号内首项化为正数，同时括号内各项符号需相反. 问题3 ：经历因式分解的过程，尝试归纳出提公因式法的注意事项. 1.公因式提取（提全、提尽、符号正确）； 2.形式规范（结果必须是 “整式的积”）； 3.分解彻底；不要漏项；验证结果（整式乘法反向验证结果正确）. 把下列多项式因式分解： (1)； (2); (3) 3a3c2＋12ab3c. 解：(1)原式； (2)原式 (3) 3a3c2＋12ab3c＝3ac(a2c＋4b3)． 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面 定义 步骤 1.定系数 2.定字母 3.定指数 找公因式 提公因式 提单项式公因式 1. 说出下列多项式中各项的公因式： （1） 5x + 2xy； （2） πx3 + πx2； （3）-12x2 y + 18xy - 15y. x πx2 3y 随堂小练 2.把分解因式，结果正确的是（    ） A．　　 B．　　 C．　　 D． A 3.一个二次二项式因式分解后其中一个因式为，写出满足条件的 一个二次二项式 ． 4.把下列多项式因式分解： （1） 3xy - 15y2 +9 y； （2） 7x3y - 4x2y3+ 18xy2； （3） 12x4y2z3+ 4x3yz2 - 8x2yz4； （4）-6x3y2- 4x2y3+ 10x2y2. 解:（1） 原式=3y(x-5y+3) （2）原式=xy(7x2-4xy2+18y) （3）原式=4x2yz2(3x2yz+x-2z2) （4）原式=-2x2y2(3x+2y-5) 5.已知 2x + y = 4，xy = 3，求代数式 2x2y + xy2 的值. 解：2x2y + xy2 = xy(2x + y) = 3×4 = 12. 课时2 提多项式公因式 第1章 因式分解 1.2 提公因式法 把下列多项式因式分解： (1) 解：(1) (2) (2) 公因式可以是单项式的形式，也可以是多项式的形式. 看作整体提出来 （1）x (x－2)－y (x－2)； 做一做：把下列多项式因式分解： 解：(1) x(x－2)－y(x－2)＝(x－2)(x－y). 解： x(x－2)－y(2－x)＝x(x－2)－y[－(x－2)] ＝x(x－2)＋y(x－2) ＝(x－2)(x＋y). （2）x (x－2)－y (2－x). 互为相反数，可变形为－(x－2) 1.如果多项式中的各部分含有相同的多项式因式，可把这个多项式看作一个整体，然后按照确定单项式公因式的方法确定公因式． 2.公因式的系数取各项系数的绝对值的最大公因数，公因式的字母及指数取各项都含有的相同字母的最低次幂． 如何确定多项式的公因式？ 1.36a2(x＋y)2－12a3(x＋y)应提取的公因式是______________； 2.3x(－x＋y)2－(x－y)3应提取的公因式是__________． 12a2(x＋y) (x－y)2 变形为(x－y)2 例5 把多项式 12xy²(x－y)2－18x²y(y－x)² 因式分解. 解：12xy²(x－y)²－18x²y(y－x)²=12xy²(x－y)²－18x²y(x－y)² =6xy(x－y)²·2y－6xy(x－y)²·3x =6xy(x－y)² (2y－3x). 例6 把多项式 2x3y－10xy2 因式分解. 解：2x3y－10xy2 ＝2xy·x2－2xy·5y ＝ 2xy(x2－5y). 分析：因为2=2×，10=10×，所以公因式的系数为2 . 议一议：将多项式 x3y2－ x2y3 因式分解，对比其他同学的答案，你们的结果一样吗？ 分析：＝×，所以公因式的系数为 . 解： x3y2－ x2y3＝x2y2·x－x2y2·y ＝ x2y2 提公因式法 确定公因式的方法：三定， 即定系数；定字母；定指数 分两步：第一步找公因式(整体思想)； 第二步提公因式 注意 （1）分解因式是一种恒等变形； （2）公因式：要提尽； （3）不要漏项； （4）提负号，要注意变号 提公因式法（多项式） 1．把多项式提取公因式后得，括号中内容是（    ） A． B． C． D． D 2. 可以写成 与 的乘积． 随堂小练 3.把 因式分解，正确的结果是( ) B A. B. C. D. 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 解：(1) = =. 4. 把下列各式分解因式： (1)； (2). (2) . 解：原式 ， 当，时， 原式 . 5.已知， ，求 的值. $