1.3.1 平方差公式 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

# 湘教版数学八年级上册 1.3.1 平方差公式 专项练习 ## 知识点回顾 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积\(4m，4m\)等于这两个数的平方差。 整式乘法：$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$ 因式分解逆用：$\boldsymbol{a^2-b^2=(a+b)(a-b)}$ 适用条件：多项式是**两项**；两项符号**一正一负**；两项都可以写成某个式子的平方形式。 解题要点： 1. 找准公式里的$a$和$b$\(4m，4m\)$a$是平方项为正的那一项的底数\(4m，4m\)$b$是平方项为负的那一项的底数； 2. 底数可以是数字、单项式\(4m，4m\)也可以是多项式； 3. 分解因式优先看有没有公因式\(4m，4m\)**先提公因式\(4m，4m\)再用平方差公式**； 4. 分解要彻底\(4m，4m\)分解后每个因式不能再继续分解。 满分：100分 时间：40分钟 ## 一、选择题（每题4分\(4m，4m\)共20分） 1. 下列多项式\(4m，4m\)能用平方差公式因式分解的是（） A.$x^2+y^2$　B.$-x^2-y^2$　C.$x^2-4$　D.$x^2+2x$ 2. 将$x^2-16$分解因式\(4m，4m\)结果正确的是（） A.$(x-4)^2$　B.$(x+4)(x-4)$　C.$(x+8)(x-8)$　D.$(x-2)(x+8)$ 3. 分解因式$4a^2-9b^2$的结果是（） A.$(4a-3b)(4a+3b)$　B.$(2a-3b)(2a+3b)$ C.$(2a-9b)(2a+b)$　D.$(2a-3b)^2$ 4. 多项式$-(x+2)^2+9$分解因式\(4m，4m\)结果是（） A.$(x+5)(x-1)$　B.$(x+1)(x-5)$ C.$(x-5)(x-1)$　D.$\((x+5)(x+1)\)$ 5. 下列因式分解正确的是（） A.$x^2-25=(x-5)^2$ B.$1-4m^2=(1-2m)(1+2m)$ C.$-9+y^2=(y-9)(y+9)$ D.$a^2-b^2=(a-b)^2$ ## 二、填空题（每题4分\(4m，4m\)共20分） 1. 因式分解：$x^2-25=$________。 2. $16m^2-9n^2=(\quad+3n)(\quad-3n)$。 3. 因式分解：$0.25x^2-4=$________。 4. 若$x^2-\(k=\)(x+3)(x-3)$\(4m，4m\)则$\(k=\)$________。 5. 因式分解：$(a+b)^2-1=$________。 ## 三、基础解答题（每题8分\(4m，4m\)共32分） 1. 判断下列多项式能否用平方差公式分解因式\(4m，4m\)说明理由。 （1）$y^2-36$　　（2）$x^2+81$ 2. 用平方差公式分解因式 （1）$a^2-49$　　（2）$25x^2-4y^2$ 3. 分解因式：$3x^2-12$ 4. 简便计算：$101^2-99^2$ ## 四、拓展提升题（每题14分\(4m，4m\)共28分） 1. 分解因式：$(2x+y)^2-(x-2y)^2$ 2. 先因式分解\(4m，4m\)再求值：$4a^2-16$\(4m，4m\)其中$\(a=3\)$ --- # 参考答案与解析 ## 一、选择题 1. C 解析：平方差要求两项异号\(4m，4m\)且都能写成平方形式\(4m，4m\)只有$x^2-4=x^2-2^2$满足。 2. B 解析：$x^2-16=x^2-4^2=(x+4)(x-4)$。 3. B 解析：$4a^2=(2a)^2$\(4m，4m\)$9b^2=(3b)^2$\(4m，4m\)原式$=(2a+3b)(2a-3b)$。 4. A 解析：原式$=9-(x+2)^2=3^2-(x+2)^2=[3+(x+2)][3-(x+2)]=(x+5)(1-x)=-(x+5)(x-1)$\(4m，4m\)A选项$(x+5)(x-1)$正确。 5. B 解析：A是完全平方；C应为$y^2-9=(y+3)(y-3)$；D平方差不等于完全平方。 ## 二、填空题 1.$(x+5)(x-5)$ 2.$4m\(4m，4m\)4m$ 3.$(0.5x+2)(0.5x-2)$ 4.$9$ 5.$(a+b+1)(a+b-1)$ ## 三、基础解答题 1.（1）能\(4m，4m\)两项异号\(4m，4m\)$y^2-36=y^2-6^2$\(4m，4m\)符合平方差形式； （2）不能\(4m，4m\)两项都是正号\(4m，4m\)不满足平方差“一正一负”。 2.（1）原式$=(a+7)(a-7)$；（2）原式$=(5x+2y)(5x-2y)$ 3. 解：先提取公因式 $\begin{align} \text{原式}&=3(x^2-4) \\ &=3(x+2)(x-2) \end{align}$ 4. 解： $\begin{align} \text{原式}&=(101+99)(101-99) \\ &=200\times2 \\ &=400 \end{align}$ ## 四、拓展提升题 1. 解： $\begin{align} \text{原式}&=[(2x+y)+(x-2y)][(2x+y)-(x-2y)] \\ &=(3x-y)(x+3y) \end{align}$ 2. 解： $\begin{align} \text{原式}&=4(a^2-4) \\ &=4(a+2)(a-2) \end{align}$ 代入$\(a=3\)$：$4\times(3+2)\times(3-2)=4\times5\times1=20$ ## 易错警示 1. 公式记忆混淆：平方差$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$\(4m，4m\)**不是$(a\pm b)^2$**\(4m，4m\)不要和完全平方公式弄混； 2. 系数没有整体平方\(4m，4m\)如$4a^2$要写成$(2a)^2$\(4m，4m\)不要当成$4a^2=4\cdot a^2$直接套公式； 3. 忘记先提公因式\(4m，4m\)分解不彻底； 4. 底数为多项式时\(4m，4m\)去括号注意符号\(4m，4m\)减号后面括号内各项要变号。 需要我把这份练习扩充至**1400字完整版**\(4m，4m\)或者生成一份**不带答案的空白试卷**吗？ 湘教版（新教材）数学八年级上册 1.3.1平方差公式 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/7 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第1章 因式分解 1 2 3 掌握平方差公式的结构特征 运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想和整体思想．（重点） 会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进 行因式分解．（难点） 学习目标 1、平方差公式 (x+y)(x-y)= . 从左边到右边的这个过程叫___________. 整式乘法 2、反过来，x2-y2=__________. (x+y)(x-y) 从左边到右边的这个过程叫___________. 分解因式 x2-y2 思考：既然x2-y2能够转化乘积的形式（因式分解），能不能把x2-y2= (x+y)(x-y)当着因式分解的一个公式来用呢？ 公式中的x和y分别可以用数、单项式或多项式代入 情境导入 02 新知导入 比一比 计算：（1）101×99; （2）51×49. 你有什么方法能够快速得到结果吗？ 解：（1）101×99 =(100+1)×(1001) =10021 =9999 （2）51×49=(50+1)×(501)=5021 =2499 02 新知导入 刚刚的运算运用了什么公式？ 平方差公式 (x+y)(x)=x2y2 注意：公式中的 x,y,可以分别用任何数或任意多项式代入. 03 新知探究 计算：. 解：在平方差公式中，将y用5代入得到等式： . 你能将进行因式分解吗？ 03 新知探究 把这个等式从右到左使用，就可以把多项式因式分解： . 7 03 新知探究 把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解. 这种因式分解的方法叫作公式法. x2y2=(x+y)(x) 整式乘法 平方差公式 (x+y)(x)=x2y2 从右到左使用 因式分解 8 03 新知探究 把多项式因式分解. 例1 解： 03 新知探究 把多项式因式分解. 分析：可以将和分别看成一个整体 解：由平方差公式得 于是 03 新知探究 具有什么特征的多项式可用平方差公式分解因式？ 议一议 主要特点： 1.共有两项 2.两项符号相反 3.每项的绝对值都可以写成某个数（或式子）的平方 口诀：首平方减尾平方，等于首加尾乘首减尾。 x2y2=(x+y)(x) 03 新知探究 把多项式因式分解. 例2 解： = = = 因式分解必须进行到每个因式都不能再分解为止。 1. 下列多项式：； ； ；； ； .能用平方差公式因式分解的有 ( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 举一反三 13 返回 4 2．将(2x)n－81因式分解后得(4x2＋9)(2x＋3)·(2x－3)，则n＝________． 3.因式分解： ___________________ ____. 举一反三 03 新知探究 把多项式因式分解. 例3 解： = = 03 新知探究 把多项式因式分解. 例4 解： = = = 03 新知探究 用简便方法计算： (1) ; (2) . 解： = =10×2.2 =22 (2) = =1×0.76 =0.76 新知应用 基础巩固题 √ × 1、下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？ （1）x2+y2 （2）x2-y2 （3）-x2-y2 （4）-x2+y2 （5）x2-25y2 （6）m2-1 方法技巧 1、两项； 2、两个平方 3、符号相反 (三个特点缺一不可) 能运用平方差公式分解因式的多项式的特点： 符号相同 符号相同 × √ √ √ 新知应用 基础巩固题 2. 下列多项式中能用平方差公式因式分解的是（　　） A．9x2 ＋ y2 B．x2-2x+1 C．- x2 - y2 D． - x2 ＋ 16y2 D 方法技巧 1、两项； 2、两个平方 3、符号相反 (三个特点缺一不可) 能运用平方差公式分解因式的多项式的特点： 符号相同 三项 符号相同 3.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是（　　） A．3(x2+4x+3) B．3(x2+2x+3) C．(3x+3)(x+3) D．3(x+1)(x+3) D 新知应用 基础巩固题 4. 把下列多项式因式分解： (1) (2) (3) (4) 解： (1) = = 方法技巧 解题的关键： 找到公式 x2-y2=(x+y)(x-y)中的x与y。所以左边的多项式先写成平方的形式,然后套用因式分解中的平方差公式。 写成平方 套用公式 (2) = = (3)== (4)== 新知应用 基础巩固题 5. 把下列多项式因式分解： (1) (2) (1) 解： =[)] =[] = (2) =[)] = = 4. 下面是明明同学把多项式 分解因式的具体步骤： 第一步 第二步 第三步 第四步 举一反三 22 （1）事实上，明明的解法是错误的，造成错误的原因是 __________________； 公因式没有提取完 （2）请给出这个问题的正确解法. 【解】原式 . 返回 举一反三 23 【解】原式＝(x－y)a2－(x－y)＝(x－y)(a2－1) ＝(x－y)(a＋1)(a－1)． 5. 把下列多项式因式分解： (1)(x－y)a2－x＋y; 　　　 (2)18(a－b)2－50(a＋b)2. 【解】原式＝2[9(a－b)2－25(a＋b)2]＝2[3(a－b)＋5(a＋b)][3(a－b)－5(a＋b)]＝2(3a－3b＋5a＋5b)(3a－3b－5a－5b)＝2(8a＋2b)(－2a－8b)＝－8(4a＋b)(a＋4b)． 返回 举一反三 24 返回 6. ［长沙市北雅中学期末］若, ,则 的值为( ) A A. 12 B. 4 C. 6 D. 举一反三 25 7. 可以被10和20之间某两个整数整除，则这两个数 是( ) A A. 17，15 B. 17，16 C. 15，16 D. 13，14 返回 举一反三 26 返回 b>c>a 8．[宜宾市模拟]设a＝73×1 412，b＝9322－4802，c＝5152－1912，则数a，b，c的大小关系是__________． 【点拨】b＝9322－4802＝(932＋480)×(932－480)＝1 412×452，c＝5152－1912＝(515＋191)(515－191)＝706×324＝1 412×162.因为73<162<452，所以b>c>a. 举一反三 27 返回 9. 利用因式分解计算： (1)3.14×5.52－3.14×4.52；     (2)123 456 7892－123 456 788×123 456 790.   【解】原式＝3.14×(5.52－4.52)＝3.14×(5.5＋4.5)×(5.5－4.5)＝3.14×10×1＝31.4. 【解】原式＝123 456 7892－(123 456 789－1)×(123 456 789＋1)＝123 456 7892－(123 456 7892－1)＝1. 举一反三 28 返回 【解】因为R＝10.25 cm，r＝8.25 cm，所以阴影部分的面积为πR2－πr2＝π(R2－r2)＝π(R＋r)(R－r)＝π(10.25＋8.25)×(10.25－8.25)＝18.5×2π＝37π(cm2)． 答：阴影部分的面积为37π cm2. 10．如图①是一个圆形盘子，图②是其示意图，外圆半径是R，内圆半径是r，现在要给盘子环形部分(即图②阴影部分)上釉，如果R＝10.25 cm，r＝8.25 cm，请求出阴影部分的面积．(结果保留π) 举一反三 29 课堂小结 平方差公式分解因式 公式 x2 - y2 = ( x + y)( x - y ) 步骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解 1、必须是二项式（两项）； 2、两项都能写成平方的形式 3、两项符号相反（一正一负） 谢谢观看 THANKS $