期中讲义03期中综合压轴突破（三角形+全等三角形+轴对称）（14大考点专练）2026-2027学年人教版八年级数学上册秋期复习 + 期考讲义专项
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内容正文：
期中讲义03期中综合压轴突破（三角形+全等三角形+轴对称）（14大考点专练）
【考点一】双角平分线夹角问题
【考点八】一线三垂直（K型）模型
【考点二】三边关系与取值范围（含等腰分类）
【考点九】角平分线性质综合
【考点三】中线与等分点分割面积
【考点十】全等中的动点问题
【考点四】内角和·外角综合（含折叠）
【考点十一】等腰三角形分类讨论
【考点五】全等三角形判定方法的综合选择
【考点十二】线段垂直平分线性质应用
【考点六】倍长中线法
【考点十三】折叠（轴对称）求角度
【考点七】截长补短法
【考点十四】最短路径（将军饮马）
【考点一】三角形
1. 三角形的概念与分类
三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，记作△ABC。构成要素为顶点、边、内角。按边分类：三边都不相等的三角形、等腰三角形（两条边相等，含等边三角形）；按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。三角形具有稳定性。
2. 与三角形有关的线段
（1）三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。作用：判断三条线段能否构成三角形（只需验证“较小两边之和>最大边”）；已知两边 a、b，求第三边 c 的范围：|a−b|<c<a+b。
（2）三角形的高：从顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段。注意：高不一定在三角形内部（钝角三角形有两边上的高落在三角形外部），三条高所在直线交于一点（垂心）。
（3）三角形的中线：连接顶点与对边中点的线段。三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形；三条中线交于一点（重心）。
（4）三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段（注意是线段，不是射线）。三条角平分线交于一点（内心）。
3. 三角形的内角与外角
（1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。推论：直角三角形的两个锐角互余。
（2）外角：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角。外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
（3）内角与外角的综合应用常结合设未知数列方程、折叠（翻折）等情形求解角度。
【考点二】全等三角形
1. 全等三角形及其性质
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形，重合的顶点、边、角分别叫对应顶点、对应边、对应角。全等三角形的对应边相等、对应角相等。书写时对应顶点要写在对应位置。
2. 全等三角形的判定
（1）SSS：三边分别相等的两个三角形全等。（2）SAS：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。（3）ASA：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。（4）AAS：两角分别相等且其中一角的对边相等的两个三角形全等。（5）HL：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
注意：SSA（两边分别相等且其中一边的对角相等）不能判定两个三角形全等；三角形全等判定中选择条件时要分清“边角夹”关系。
3. 角的平分线
性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。注意这里的“距离”指到两边所在直线的垂线段长。
【考点二】轴对称
1. 轴对称与轴对称图形
轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，这条直线是对称轴。轴对称：两个图形沿一条直线折叠能完全重合。性质：若两个图形关于某直线成轴对称，则对应点连线被对称轴垂直平分，对应线段相等、对应角相等。
2. 线段的垂直平分线
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线。性质定理：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；判定定理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。它是证明线段相等的重要工具。
3. 画轴对称图形
作一个图形关于某直线的轴对称图形：先找出图形中能确定位置的关键点，作出各关键点关于对称轴的对称点，再按原图的连接顺序连接各对称点。关于坐标轴对称的点，坐标按“关于x轴对称纵坐标相反、关于y轴对称横坐标相反”确定。
4. 等腰三角形与等边三角形
等腰三角形性质：两腰相等、两底角相等（等边对等角）；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一，注意是“底边上的”）。判定：等角对等边。
等边三角形：三条边都相等，三个内角都等于60°，是轴对称图形，有3条对称轴。判定：三个角都相等的三角形；或有一个角是60°的等腰三角形。推论：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
5. 最短路径问题（将军饮马）
在直线l上求一点P，使直线同侧的两定点A、B到P的距离之和PA+PB最小：作其中一点关于l的对称点，连接对称点与另一点，与l的交点即为所求（依据两点之间线段最短）。
【考点一】双角平分线夹角问题
1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，平分，平分，，的周长为20，，则为 ___________ .
【答案】13
【知识点】根据等角对等边证明边相等、两直线平行内错角相等、三角形角平分线的定义
【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质及等腰三角形的判定，解题的关键是利用平行线和角平分线得出等腰三角形，将的周长转化为．
由角平分线和平行线的性质得、，从而、；的周长可转化为，结合周长和AB的长度求出．
【详解】解：平分，
，
，
，
，
，
同理可得，
的周长为20，
，
，
．
故答案为：13．
2．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，和的角平分线与相交于点O，过点O作，与分别相交于点M，N，若的周长为，则_______．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质和判定、两直线平行内错角相等、三角形角平分线的定义
【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的定义，正确进行线段的等量代换是解答本题的关键．由已知条件根据平行线的性质、角平分线的性质可推出，．从而△的周长等于AB+AC，答案可得．
【详解】解：平分，
．
又，
．
．
．
同理可得：．
的周长为：
，
故答案为：．
3．（26-27八年级上·山东·期中）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则为 ______ ．
【答案】
【知识点】图形类规律探索、角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质
【分析】根据角平分线的定义推出，，再由三角形外角的性质可推出，则可证明，可得到规律（n为正整数），据此可得答案．
【详解】解：∵和分别是的内角平分线和外角平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理得，
，
……，
以此类推，可知（n为正整数），
∴．
4．（25-26八年级·甘肃兰州·期中）
【问题回顾】
(1)已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是 ．
(2)已知：如图2，在中，平分，平分外角，试判断和的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，平分外角，平分外角，若设，则 ．（用含的式子表示）
【拓展与应用】
(4)如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则 ．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
(4)
【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】（1）根据角平分线的定义结合三角形的内角和定理，即可得出结果；
（2）根据角平分线的定义结合三角形的外角的性质，即可得出结果；
（3）根据角平分线的定义结合三角形的外角的性质，即可得出结果；
（4）根据折叠的性质，平角的定义，以及（1）中的结论进行求解即可．
【详解】（1）解：在中，，
∴，
∵，分别平分和，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵平分，平分外角，
∴，，
∵是的外角，是的外角，
∴，
∴，即，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴；
（4）解：∵折叠，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
由（1）得：．
【考点二】三边关系与取值范围（含等腰分类）
5．（25-26八年级上·河南周口·期中）三角形的三边长分别为3、6、m，则m的取值范围是______．
【答案】
【知识点】确定第三边的取值范围
【分析】本题考查了三角形三边之间的关系．根据三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，即可得到的取值范围．
【详解】解：、6、为三角形的三边长，
，
即，
故答案为：．
6．（25-26八年级上·北京顺义·期中）若等腰三角形的两边为3和7，则这个等腰三角形的底边长为_____________．
【答案】3
【知识点】确定第三边的取值范围、等腰三角形的定义
【分析】本题考查三角形三边关系，关键是分两种情况讨论．
分两种情况，由三角形三边关系定理判定等腰三角形的底边长是
【详解】解：当等腰三角形的腰长是3，底边长是7时，
，不满足三角形三边关系，
等腰三角形的底边长不能是7；
当等腰三角形的腰长是7，底边长是3时，
，满足三角形三边关系，
等腰三角形的底边长是
故答案为：
7．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）已知a、b、c是的三边．
(1)若，，求第三边c的取值范围；
(2)若，，第三边c为偶数，判断的形状．
【答案】(1)
(2)等腰三角形
【知识点】三角形的分类、确定第三边的取值范围
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用以及三角形形状的判断；解题的关键是掌握“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”这一基本性质．
（1）直接应用三角形三边关系定理：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，代入数值计算即可；
（2）同样先由三边关系求出第三边的取值范围，再结合“为偶数”这一条件确定的具体值，最后，通过比较三边长的平方关系来判断三角形的形状．
【详解】（1）解：∵
∴．
（2）∵，即，第三边为偶数，
∴第三边，
∴，
∴该三角形为等腰三角形．
8．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知为的三边长，且满足．
(1)求第三边的取值范围为_________．
(2)当为等腰三角形时，求的周长．
【答案】(1)
(2)的周长为17
【知识点】确定第三边的取值范围、等腰三角形的定义、绝对值非负性
【分析】本题主要考查绝对值与平方的非负性、三角形三边关系和等腰三角形的定义，准确的计算是解决本题的关键．
（1）根据三角形三边关系和非负性进行求解即可；
（2）根据等腰三角形的定义分为两种情况求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵为的三边长，
∴，即，
故答案为：；
（2）解：当时，
∵，
∴此时不能构成三角形，不符合题意，
当时，
∴的周长为，
∴的周长为17．
9．（25-26八年级上·江西赣州·期中）一个三角形的三边长分别为2，5，x．
(1)求x的取值范围；
(2)若三角形是等腰三角形，求这个三角形的周长．
【答案】(1)
(2)这个三角形的周长为12
【知识点】确定第三边的取值范围、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义．
（1）根据三角形三边关系作答即可；
（2）根据等腰三角形的定义分情况结合三角形三边关系作答即可．
【详解】（1）解：根据三角形的三边关系，可得，
∴；
（2）解：当时，由，所以周长为；
当时，由，故不能构成三角形；
综上所述，这个三角形的周长为12．
10．（25-26八年级上·广东江门·期中）已知一个三角形的两边长分别为和，
(1)求这个三角形的第三边的取值范围．
(2)如果这个三角形是等腰三角形，求这个三角形的周长．
【答案】(1)
(2)或．
【知识点】确定第三边的取值范围、等腰三角形的定义
【分析】本题考查三角形的三边关系，等腰三角形的定义，
（1）根据“三角形的第三边大于任意两边之差，而小于任意两边之和”进行求解即可；
（2）根据等腰三角形的定义得出第三边的长，再计算三角形的周长即可；
解题的关键是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
【详解】（1）解：∵一个三角形的两边长分别为和，
∴这个三角形的第三边的取值范围是：，
即；
（2）①当腰长为，底长为，
此时这个等腰三角形的三边长分别为，，，周长为：；
②当腰长为，底长为，
此时这个等腰三角形的三边长分别为，，，周长为：；
综上所述，这个三角形的周长为或．
11．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形．
(1)能围成有一边的长是的等腰三角形吗？如果不能，说明理由，如果能，求出各边长；
(2)若该等腰三角形一腰长为，直接写出a的取值范围是______．
【答案】(1)能围成一条边是的等腰三角形，其他两边长分别为，；
(2)
【知识点】三角形三边关系的应用、确定第三边的取值范围、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，确定第三边的取值范围，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
（1）分为腰、为底边两种情况讨论，结合三角形三边关系分别求解；
（2）根据三边关系，列出不等式组求解．
【详解】（1）解：当为腰时，底边长为，
，故此情况不符合；
当为底边时，腰长为，
，能构成三角形，故符合，
所以能围成一条边是的等腰三角形，其他两边长分别为，；
（2）该等腰三角形一腰长为，
底边长为，
则，
解得：．
故答案为：．
【考点三】中线与等分点分割面积
12．（26-27八年级上·广东东莞·期中）如图，，分别是的中线，高线，已知的面积是8，，则的长是________．
【答案】8
【知识点】根据三角形中线求长度、与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积
【详解】解：∵，分别是的中线，高线，
∴，，
∵的面积是8，，
∴，
即，
解得，
∴．
13．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，E，F分别是四边形的边，的中点，若阴影部分的面积为10，则四边形的面积为_______．
【答案】20
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，解题关键是明确三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分求解即可．
【详解】解：如图，连接，
由E、F分别为四边形的边、的中点，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积四边形的面积，
∵阴影部分的面积为10，
∴四边形的面积为20，
故答案为：20．
14．如图，的边上的高为，中线为，边上的高为，已知，，．
(1)求的面积；
(2)求的长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积
【分析】（1）根据三角形的面积公式求解即可；
（2）根据三角形的中线平分三角形的面积可求出的面积，再根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：的边上的高为，，，
．
（2）解：是的中线，
，
的边上的高为，
，
∵，
．
15．（25-26八年级上·重庆江津·期中）如图，为的中线，为的高，的面积为15，，求的长．
【答案】10
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积
【分析】由为的中线得的面积是的面积的2倍，求出的面积，然后利用的高结合三角形的面积公式即可求出的长；
本题考查三角形的面积公式，三角形的中线的性质，三角形的高的含义，熟练掌握中线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵为的中线，
∴．
∵的高，
∴，
∴，
∴．
16．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，在 中，，是边上的高，E，F 分别是，的中点，连接，，且，，．
(1)求的长；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中点与面积的关系．
（1）利用三角形的面积公式求解即可；
（2）先求出，再根据中点得到求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得，，
∴，
∴；
（2）解：∵在 中，，E，F 分别是，的中点，
∴，，
∴，
∴．
17．（2025八年级上·全国·期中）如图1，在中，是边上的中线，和的周长之差为2，且与的和为14．
(1)求、的长；
(2)若，E是的中点，如图2，直接写出的面积．
【答案】(1)，
(2)6
【知识点】根据三角形中线求长度、根据三角形中线求面积
【分析】本题考查了三角形中线的性质，二元一次方程组的应用，解题的关键在于熟练掌握三角形中线性质．
（1）根据三角形中线的定义，．所以和的周长之差也就是与的差，然后联立关于、的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可．
（2）先求得的面积，根据的面积的面积，的面积的面积计算即可．
【详解】（1）解：∵是边上的中线，
∴，
∴的周长的周长，
即①，
又②，
①②得，
解得，
∴，
∴和的长分别为：，；
（2）解：∵，，，
∴，
∵是边上的中线，E为的中点，
∴， ，
∴．
18．（25-26八年级上·山西忻州·期中）综合与探究
问题情境：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．如图1，取一块均匀的三角形纸板，用一根细线从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．
探究过程：如图2，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．若的三条中线，，交于点，则是的中线，利用上述结论，可得，同理，可得，．
猜想证明：
（1）如图2，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想；
拓展延伸：
（2）如图2，在中，若，则的面积为________；
（3）在图2中，求的值．
【答案】（1），
证明：由题意可知，，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）；
（3）．
【知识点】根据三角形中线求面积、重心的概念
【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算．解题的关键是读懂题中所给材料，并能正确运用即可．
（1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出；
（2）由（1）中的结论即可得出；
（3）由（1）中的结论即可得出．
【详解】解：（1）略
（2）由（1）知，，，
∴的面积为，
故答案为；；
（3）由（1）知，，
∵与等高，
∴，即．
【考点四】内角和·外角综合（含折叠）
19．（26-27八年级上·全国·周测）如图，在中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，则等于______．
【答案】
【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用
【详解】解：在中，，，
．
由折叠的性质可得，
．
20．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，将折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则______（用含的式子表示）．
【答案】/
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形折叠中的角度问题、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，三角形的外角性质，由直角三角形的性质得，由折叠的性质得，再根据三角形的外角性质解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
由折叠得，，
∵，
∴，
故答案为：．
21．（2024八年级上·湖北襄阳·期末）在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究：
(1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和；
(2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和；
(3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查折叠性质，三角形内角和定理，解答此题时要充分利用折叠部分折叠前后形成的图形为全等形的性质，并且解答该题时要充分利用三角形的性质．
（1）根据折叠前后的图象全等可知，，，再根据三角形内角和定理比可求出答案；
（2）连接，将作为一个整体，根据三角形内角和定理来求；
（3）将看作，看作，再根据三角形内角和定理求解，即可解题．
【详解】（1）解：由折叠性质可知：，，
，
；
（2）解：连接，
由折叠性质可知：，
，
；
（3）解：
，
所以：．
22．（2024八年级上·广西桂林·期中）在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：
(1)【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若．则______；
(2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______；
(3)如图3，如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿DE折叠使得点与点重合．
①若，则______；
②若，求证：；
(4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)①；
②∵，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∵，
∴；
(4)F在E左侧；F在之间；F在D右侧．
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形折叠中的角度问题
【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可；
（2）先由角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，据此求解即可；
（3）①同（1）求得，由折叠的性质可得，据此计算即可求解；②证明，同①即可证明；
（4）分点F在点E左侧，点F在D、E之间，点F在点D右侧三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴；
故答案为：；
（3）解：①∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
②略
（4）解：当点F在点E左侧时，如图4-1所示，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∵，
∴
；
当F在D、E之间时，如图4-2所示：
同理可得，
，
∴
；
当点F在D点右侧时，如图4-3所示：
同理可得
；
综上所述，F在E左侧；F在之间；F在D右侧．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键．
【考点五】全等三角形判定方法的综合
23．（25-26八年级·辽宁辽阳·期中）已知：如图，，，垂足分别为、，，与相交于点．求证：．
【答案】证明：如图，连接．
，，
，
，，
，
又，，
．
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】连接．根据证明，得，再根据证明，可得．
【详解】略
24．（26-27八年级上·河南安阳·期中）如图，于点D，于点E，相交于点O．
(1)当时，求证：；
(2)当时，求证：．
【答案】(1)证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴；
(2)证明：∵，，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】（1）证明，可得，可证明，即可求证；
（2）先证明，可得，可证明，即可求证．
【详解】（1）略
（2）略
25．（26-27八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，是边上的一点，，过作交于点，连接、，交于点．
(1)求证：；
(2)若点为的中点，求的度数．
【答案】(1)证明：∵，，
∴与都是直角三角形．
在与中
∴
∴
(2)
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】（1）直接证明，即可解决问题．
（2）首先证明，进而证明，即可解决问题．
【详解】（1）略；
（2）解：∵，
∴．
∵点D为的中点，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵∠，
∴．
26．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，，，______，求证：．
(1)请从①，②，③中选择一个适当的条件填入横线中，使命题成立．你的选择是______，并证明；
(2)在（1）的条件下，，，求的长．
【答案】(1)（或），
理由如下：
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
或选择，理由如下：
，
，
∵，，
而，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
(2)4
【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）、全等三角形的性质
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握或．
（1）由平行线的性质推出，由，，得到，判定；或者平行线的性质推出，由得，得，可判定；
（2）由（1）知，即可求出
【详解】（1）略
（2）解：由（1）知，
，
【考点六】倍长中线法
27．（25-26八年级上·天津·期中）在中，，
(1)若的长为奇数，求的长．
(2)若是的中线，则长度范围_____．
【答案】(1)3
(2)
【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)
【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义、全等三角形的性质与判定，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键．
（1）根据三角形的三边关系解答即可；
（2）延长，使，证明，得出，根据三角形三边关系得出，得出，即可得出．
【详解】（1）解：∵在中，，，
∴，
即，
∵的长度是奇数，
∴；
（2）解：延长，使，如图所示：
∵为的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
28．（25-26八年级上·河南新乡·期中）（1）如图1，在中，，，是边上的中线，通过倍长中线，使，可求出的取值范围，请直接写出的取值范围：________．
（2）如图2，是的中线，交于点，交于点，且．求证：．
【答案】（1）；
（2）证明：如图，延长到点，使，连接．
是的中线，
．
在与中，
，
，．
，
．
，
，
，
即．
【知识点】根据等角对等边证明边相等、等边对等角、确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)
【分析】本题考查了倍长中线法，全等三角形的判定与性质，三边关系，等边对等角，等角对等边．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先理解是边上的中线，得，再结合，，证明，根据三角形三边关系进行列式计算，即可作答．
（2）与（1）同理，证明，得出，．因为，得，又因为，即，所以，即可作答．
【详解】（1）解：∵是边上的中线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
则，
即，
即．
（2） 略
29．（25-26八年级上·广东汕头·期中）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法．
(1)如图，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得， 请写出证明过程；
(2)如图， 在中， 若，是的中线，求的取值范围．
【答案】(1)
解：是的中线，
，
在和中，，
；
(2)
【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系．
（1）由证明三角形全等可得出答案；
（2）同理（1）得，进而得出，由三角形三边关系得到，再根据即可得出答案．
【详解】（1）略
（2）解：∵，是的中线，
同理（1）得，
∴，
∴，即，
∵，
∴．
30．（25-26八年级上·四川眉山·期中）【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，中，若，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：延长至点E，使，连接．容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围．
（1）由已知和作图得到，依据是 ．
（2）边上的中线的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
【初步运用】
如图②，是的中线，交于E，交于F，且．求证：．
【答案】【问题情境】（1）；（2）；
【初步运用】证明：延长到H，使，连接，如图2所示：
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【知识点】根据等角对等边证明边相等、确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，等腰三角形的判定，倍长中线得到三角形全等是解题的关键．
【问题情境】（1）由作图及已知得，即可得到全等的依据；
（2）由（1）及三角形三边关系即可求解；
【初步运用】延长到H，使，连接，证明，则有，结合已知得，即可证明结论成立．
【详解】解：（1）由作图知；
∵边上的中线为，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：中，，
由（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
在中，由三角形三边之间的关系得：，
即，
∴，
∴边上的中线的取值范围是：，
故答案为：；
【初步运用】略
31．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）阅读并写出正确的证明过程．
如图，已知：为的中线，求证：．
证明：延长至使得，连接，则，
为的中线（已知），
，
在和中，
，
∴（_______），
（______），
在中，根据三角形的三边关系有：
（_______________________________），
而_____，
这种辅助线方法，我们称为“倍长中线法”，
【答案】；；；；；；三角形的两边之和大于第三边；
【知识点】三角形三边关系的应用、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握好全等三角形的判定定理和性质是解题关键．
将中线倍长后，用“”易证．根据全等三角形的性质，将转化为，此时．在中，运用三角形的基本性质来证明题干的不等式．
【详解】证明：延长至使得，连接，则，
∵为的中线已知，
，
在和中，
，
∴，
，
在中，根据三角形的三边关系有：
（三角形的两边之和大于第三边），
而，，
，
故答案为：；；；；；；三角形的两边之和大于第三边；．
32．（24-25八年级上·北京平谷·期中）【现场学习】
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．
如图在中，是的中线，求证：．
小明的做法如下：
解：延长到点，使得，连结．
∵是的中线（已知），
∴（三角形中线定义），
在和中
，
∴，
∴（ ），
∵（三角形两边之和大于第三边），
∴（等量代换）．
(1)补全小明的证明过程．
(2)请你参考小明的做法完成下题：
如图在中，是的中线，，，求中线的取值范围？
【答案】(1)
对顶角相等；全等三角形的对应边相等
(2)
【知识点】三角形三边关系的应用、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)
【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形全等的判定与性质等知识，理解题目中方法“倍长中线法”是解题关键．
（1）根据“边角边”证明，即可求解；
（2）根据，得到，根据三角形三边关系得到，即可得到；
【详解】（1）略
（2）解：∵，，
∴，
∴在中，
∵，
∴，
∴．
【考点七】截长补短法
33．（2024八年级·湖南岳阳·期中）在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于______．
【答案】13
【知识点】全等三角形综合问题
【分析】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
在上截取，先证，再证，可得，再由的周长即可解答．
【详解】解：在上取点G，使，
∵，，
∴，
在与中
，
∴，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
在与中
，
∴
∴．
∴
∴的周长等于，
∵，，，
∴的周长等于
故答案：．
34．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．
(1)求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)
证明：．
如图，作的平分线交于．则．
在和中，
，
．
∴．
同理，．
∴
【知识点】多边形内角和问题、角平分线的有关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】（1）由四边形内角和性质求得．再由角平分线定义可得，，最后由三角形内角和性质得到结论；
（2）作的平分线交于，证明，再由全等三角形的性质可得答案．
【详解】（1）在四边形中，，
又∵，
∴．
∵平分，平分，
∴，，
∴．
在中，．
（2）略
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键．
35．（24-25八年级上·北京门头沟·期末）已知：线段AB及过点A的直线l，如果线段AC与线段AB关于直线l对称，连接BC交直线l于点D，以AC为边作等边△ACE，使得点E在AC的下方，作射线BE交直线l于点F，连接CF．
（1）根据题意将图1补全；
（2）如图1，如果∠BAD＝α（30°＜α＜60°）．
①∠BAE=_______，∠ABE=_______（用含有α代数式表示）；
②用等式表示线段FA，FE与FC的数量关系，并证明．
（3）如图2，如果60°＜α＜90°，直接写出线段FA，FE与FC的数量关系，不证明．
【答案】（1）作图见解析；（2）①，；②FA=FC +FE，证明见解析；（3）AF=FC-EF．
【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、等边三角形的判定、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】（1）先根据轴对称的性质作出线段AC，再分别以A、C为圆心，AC长为半径画弧，两弧交于点E，可得等边△ACE，最后根据题意画出图形即可；
（2）①根据轴对称的性质可得∠BAC=2∠BAD=2，根据等边三角形的性质可知∠EAC=60°，根据角的和差关系即可表示出∠BAE；根据轴对称的性质和等边三角形的性质可得AB=AE，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可表示出∠ABE；
②在FA上截取FG=EF，连接EG，利用三角形内角和定理可得∠AFB=60°，即可证明△EFG是等边三角形，根据角的和差故选可得∠AEG=∠CEF，利用SAS可证明△AEG≌△CEF，即可得出AG=CF，根据线段的和差关系即可得结论；
（3）由60°＜α＜90°可知点E在直线l右侧，根据题意画出图形，在FA上截取FG=EF，根据轴对称的性质可得AF⊥BC，BF=CF，根据（2）中结论可得∠FBC=∠FCB=30°，利用三角形外角性质可得∠GFE=60°，可证明三角形EFG是等边三角形，利用SAS可证明△AEF≌△CEG，可得FA=CG，根据线段的和差关系即可得答案．
【详解】（1）补全图形如下：
（2）①，
①∵AB、AC关于直线l对称，
∴∠BAD=∠CAD，AB=AC，
∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC=60°，AE=AC=EC，
∵∠BAD=，
∴∠BAC=BAD+∠CAD=2∠BAD=2，
∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=2-60°．
∵AB=AC，AC=AE，
∴AB=AE，
∴∠ABE=（180°-∠BAE）=120°-．
故答案为：2-60°，120°-
②数量关系是FA =FC +FE，证明如下：
在FA上截取FG=EF，连接EG，
由①得，∠ABE=120°-α，∠BAD=α，
∴∠AFB=180°-∠ABE-∠BAD=60°，
∴△EFG为等边三角形，
∴EG=FE=FG，∠GEF=60°，
∵△AEC是等边三角形，
∴∠AEC=60°，AE=CE，
∴∠AEC=∠GEF=60°，
∴∠AEC-∠GEC=∠GEF-∠GEC，即∠AEG=∠CEF，
在△AEG和△CEF中，，
∴△AEG≌△CEF，
∴AG=FC
∴FA=AG+FG=FC+FE，
（3）AF=FC-EF．
∵60°＜α＜90°，
∴如图所示，点E在直线l右侧，
在FA上截取FG=EF，连接EG，
∵AB、AC关于直线l对称，点F在直线l上，
∴AF⊥BC，BF=CF，
∴∠ABC=∠ACB=90°-α，
由（2）可知∠ABE=120°-α，
∴∠FBC=∠FCB=120°-α-（90°-α）=30°，
∴∠EFG=∠FBC+∠FCB=60°，
∴△EFG是等边三角形，
∴∠FEG=60°，
∵∠AEC=60°，
∴∠AEF+∠AEG=∠CEG+∠AEG=60°，
∴∠AEF=∠CEG，
在△AEF和△CEG中，，
∴△AEF≌△CEG，
∴AF=CG，
∴AF=FC-EF．
【点睛】本题考查轴对称的性质、等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，根据轴对称的性质正确得出对应边并熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
36．（25-26八年级上·吉林长春·期末）同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题．
(1)（1）在中，平分，，求证：；任选下面一种方法，并写出完整的证明过程：
方法一：如图①，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题；
方法二：如图②，延长到点F，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题．
(2)如图③，在中，，交于点H，直接写出之间的等量关系________．
(3)如图④，在中，平分，，分别为的角平分线，，，直接写出________．
【答案】(1)
若选择方法一．
证明：如图①，在上截取，使得，连接，
∵平分，
∴．
又∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
若选择方法二．
证明：如图②，延长到点F，使得，连接，
∵平分，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵
∴．
∴，
∴，
∴．
(2)
(3)
【知识点】等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理、全等三角形综合问题、解分式方程（化为一元一次）
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、解分式方程、等腰三角形的判定和性质等知识，准确添加辅助线构造全等三角形和熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
（1）选择方法一：证明．则，证明，则，即可得到结论；选择方法二：证明．则，即可得到结论；
（2）在上取点G，使，证明，，则，即可得到；
（3）根据角平分线的性质定理可知点D到的距离等于点D到的距离，得到，又由，得到，同理，，设，列出方程组并解方程组即可得到答案．
【详解】（1）略
（2）解：在上取点G，使，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；
（3）解：∵平分，
∴点D到的距离等于点D到的距离，
∴，
∵，
∴，
同理，
设，则
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【考点八】一线三垂直（K型）模型
37．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，（，），，且，则点C坐标为_________．
【答案】
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，掌握“一线三等角”模型证明三角形全等是解题的关键．根据题意，分别作轴，轴，根据“一线三等角”模型证明，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵，，（，），
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵点在轴的负半轴上，
∴点的横坐标为，
∴
故答案为：．
38．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，点C在线段上，，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，点为中点．连，，分别交，于．，猜想与关系，并加以证明；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接；求证：．
【答案】(1)
证明：，
，
，
又，
，
，
；
(2)
解：，，理由：
如图，连接，
，
， ．
∵，点是的中点，
，，，
，
又，
，
，，
，
，
∴；
(3)
证明：∵，，
是等腰直角三角形，
．
，
，
又，，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）由“”可证，可得，可证得结论成立；
（2）由“”可证，可得，，再证明即可；
（3）由“”可证，可得，可求，可证．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
39．（26-27八年级上·江西赣州·阶段检测）一线三垂直问题：
(1)如图，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．则与的数量关系是________；
(2)如图，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明；
(3)如图，，，点的坐标为，点的坐标为，直接写出点的坐标________．
【答案】(1)
(2)解：，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
(3)
【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】（1）利用同角的余角相等得出，再利用角角边证明，则，即可解答．
（2）利用和可得，证明，得到，等量代换即可．
（3）过点A和点B向轴作垂线，借助一线三等角得到全等三角形，并利用边长相等求坐标即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴．
（2）略
（3）解：过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，
由（1）理可证，，
，
，
，
，
，
．
40．（25-26八年级上·吉林松原·期中）（1）【初步探究】刘老师让同学们独立完成下题：如图①，已知是等腰直角三角形，，，，垂足分别为D、E，若，，求的长；
（2）【拓展探究】待同学们完成这道题后，刘老师又出示了一道题：在原题其他条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图②），请你猜想、、三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明；
（3）【探究应用】如图③，是等腰三角形，是钝角，，，D、A、E三点都在直线m上，且，直线m与的延长线交于点F，若，，，则与的面积之比为________．
【答案】（1）；（2）；（3）
【知识点】等腰三角形的定义、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理．
（1）由等腰三角形的性质得，证明，得，，进而求解即可；
（2）由等腰三角形的性质得，证明，得，，即可得证；
（3）由三角形内角和定理证得，进而证得，得，进而求得，，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：（1）∵， ，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴．
（2）∵，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴．
（3）∵，，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴
故答案为：．
41．（25-26八年级上·云南昆明·期末）一条直线经过直角三角形的直角顶点，过直角三角形的另外两个顶点分别作这条直线的垂线，这样满足三个直角顶点都在同一条直线上的图形称之为“一线三垂直”模型．
(1)如图1，在中，，点在直线上，过点作于点，过点作于点，由得___________．又知道，可以推理得到，进而得到___________．
(2)当图1中的直线绕点旋转到图2的位置时，求证：．
(3)当图1中的直线绕点旋转到图3的位置时，请直接写出．之间的数量关系：___________．
(4)如图4，若将（1）中的条件改为：在中，， D，A，E三点都在直线上，且满足，其中为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
证明：
在和中
，，
(3)
(4)
成立，理由如下：
在和中
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了几何变换综合题，等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的四种判定方法是关键，在证明线段的和与差时，利用全等三角形将线段转化到同一条直线上得出结论．
（1）由垂直得，由同角的余角相等得，因此根据可以证明，结合全等三角形的对应边相等证得结论；
（2）根据全等三角形的判定定理推知，然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换证得；
（3）同理（2）可得，，进而即可得出；
（4）同理（1）可以证明，根据全等三角形的判定定理推知．
【详解】（1）证明：，
在和中
，，
（2）略
（3），
同理（2）可得： ，，
．
（4）略
【考点九】角平分线性质综合
42．（26-27八年级上·吉林长春·期中）如图，为的角平分线，，过作于，交的延长线于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有_______．
【答案】①②④
【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL）、三角形的外角的定义及性质
【分析】根据角平分线的性质得到，可判定①；根据证明，可判断②；证明得到，，结合，，可判断③；由得到，结合以及线段的和差可判断④．
【详解】解：为的角平分线，，，
，故①正确；
在和中，
，
，故②正确；
在和中，
，
，
，，
，，且，
，故③不正确；
，
，
，
，故④正确．
43．（26-27八年级上·江西宜春·期中）如图，在中，，平分，，，求．
【答案】
【知识点】角平分线的性质定理、与三角形的高有关的计算问题
【分析】确定题目的突破口为角平分线的性质，因为是的角平分线，且，所以过Ｄ作的垂线，该垂线段的长度等于．得到中边上的高的长度，因为已知的长度，所以可利用三角形面积公式计算的面积．
【详解】过点D作于点E．
已知，即；
又∵平分，，
∴根据角平分线的性质，可得．
三角形的面积公式为
，
代入，，
计算得： ．
44．（25-26八年级下·福建漳州·期中）已知：如图，在中，角平分线与角平分线相交于点P．求证：的平分线经过点P．
【答案】证明：过点P分别作，，，
是的角平分线，
（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）．
同理，．
．
点P在的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），即的平分线经过点P．
【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理
【分析】过点P分别作，，，根据角平分线的性质得出，然后根据角平分线的判定即可得证．
【详解】略
45．（26-27八年级上·江西宜春·期中）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)∵是的平分线，（即），．
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
(2)2
【知识点】角平分线的性质定理、全等三角形综合问题、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】（1）的突破口为角平分线的性质，因为是角平分线且，所以可得，再结合，通过定理证明和全等，即可得．
（2）的突破口是先证明和全等，因为为公共边，，且两个三角形均为直角三角形，所以用可证全等，得到．先根据的长度计算的长度，结合（1）中的结论，即可求出的长．
【详解】（1）略．
（2）在和中：
，
∴，
∴．
设，
由（1）的结论，
∴
代入，
得，
解得．
即的长为2．
【考点十】全等中的动点问题
46．（2026八年级上·全国·期中）如图，已知四边形中，，，点E是线段的三等分点（靠近B处，）．如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点D运动．若要使得与全等，则点Q的运动速度为__________．
【答案】3或
【知识点】全等三角形的性质
【分析】设点Q的运动速度为，运动时间为，根据题意可得，，，再分两种情况：当时，当时，根据全等三角形的性质建立方程求解即可．
【详解】解：设点Q的运动速度为，运动时间为，
∵点E是线段的三等分点（靠近B处），，
∴，
由题意得：，
∵，
∴，
分两种情况：
当时，
∴，
∴，
解得；
当时，
∴，
∴，
解得t，x；
综上所述：点Q的运动速度为或．
47．（26-27八年级上·福建厦门·期中）在中，,，D点为射线上一动点，连接，过点B作且（点E在直线BC下方）．
(1)当点D在线段上时，如图1，过E点作交于点G，求证：；
(2)如图2，当点D在的延长线上时，连接，与的延长线交于点M，求与的大小关系．
【答案】(1)证明：∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
(2)
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】（1）运用即可证明结论；
（2）如图：过E作交延长线于H，再运用证明可得，进而得到，再证明可得，进而证明结论．
【详解】（1）略
（2）解：如图：过E作交延长线于H，
∴
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、线段的和差、同角的余角相等等知识点，灵活运用证明三角形全等是解题的关键．
48．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，与此同时，点在线段上由点向点运动，当，中的一点到达终点时，两点都停止运动，它们的运动时间为连接，．
(1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当，时，写出与的数量关系与位置关系，并说明理由；
(2)如图2，当时，设点的运动速度为，是否存在实数，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的，的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
，，
理由如下；∵点和的运动速度是，运动的时间是，
∴
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
(2)存在，，或，．
【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）、行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】（1）判定，推出，，由直角三角形的性质得到，因此，求出，即可证明；
（2）当，时，，求出，；当，时，，求出，，即可得到答案．
【详解】（1）略
（2）解：存在实数，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等，
∵，
当，时，，
∴，，
∴，；
当，时，，
∴，，
∴，．
综上，或，．
49．（25-26八年级上·湖北黄冈·期末）如图，在平面直角坐标系中，点分别是轴、轴上的两个动点，以为直角边作等腰直角三角形交轴于点D，斜边BC交轴于点E．
(1)如图1，证明：
(2)如图2，若将沿着CB折叠，点D恰好落在轴的点G处，求证：点是的中点．
(3)如图3，点在轴负半轴上且，分别以为直角边在第二、一象限作等腰直角三角形和，且，连接交轴于点．当点A在轴的正半轴上运动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由．若不变化，请求出的长度．
【答案】(1)
证明：如图1
，
，
，
(2)
证明：是等腰直角三角形，
，
将沿着折叠，
，
，
，
，
又，
，
，
点是的中点；
(3)不变，
【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等三角形综合问题
【分析】本题主要考查同角的余角相等，全等三角形的性质和判定，熟练掌握相关定理和一线三等角模型是解决本题的关键．
（1）通过和即可证明；
（2）由折叠得，再用证出，得，即可得证；
（3）过点作轴于点，用证出，得，再用证出，得，即可求解．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：的长度不会改变，理由如下：
过点作轴于点．
，
．
，
．
，
，
．
，
．
，
，
．
50．（26-27八年级上·四川绵阳·期中）已知，，，其中，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒．
①若，则点运动路程始终是点运动路程的倍；
②当、两点同时到达点时，；
③若，，时，；
④若与全等，则或．
以上选项，正确的是________
【答案】
①②④
【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、全等三角形的性质
【分析】①若，即点P的速度是点Q的2倍，即可求解；
②求出P、Q的运动时间即可求解；
③证明．即可求解；
④若与全等，则且或且，即可求解．
【详解】解：①若，即点P的速度是点Q的2倍，点P运动路程是，点Q运动路程为，故点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，故①正确，符合题意；
②点P到达A的时间为：，当时，点Q到达点A的时间为：，故②正确，符合题意；
③若，，时，如图，
此时，，
，
，
若，则，
而，
故③错误，不符合题意；
④由题意得，，
则，，
则，
若与全等，
∵，
∴有两种情况：情况一：且；情况二：且，
情况一得：且
情况二得：且，
解得：或，
故④正确，符合题意，
【考点十一】等腰三角形分类讨论
51．（26-27八年级上·天津滨海新区·期中）在中，，点在边上运动（点不与点，重合），连接，在内部作，与边相交于点．
(1)如图1，当时，________（度），________（度）；
(2)如图2，若，证明：；
(3)在点的运动过程中，当的形状是等腰三角形时，请直接写出的度数．
【答案】(1)，
(2)证明：，
，
，
，
，，，
，
在和中，
，
；
(3)或
【知识点】根据等角对等边证明边相等、等边对等角、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】（1）利用平角求，再用三角形外角的性质算出；
（2）先由等角对等边得到，结合条件得到，再利用外角推导，用证明两个三角形全等；
（3）分三种情况讨论等腰，舍去点D与点B重合的情况，得到或．
【详解】（1）解：，，
，
，
；
（2）略
（3）解：，
，
当时，，
，此时，点和点重合，不符合题意；
当时，，
，
；
当时，，
，
，
综上所述，当的形状是等腰三角形时，的度数为或．
52．（2026八年级上·全国·期中）【引入概念】引入概念1：如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
引入概念2：从不等边三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中其中一个是等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧等线”．
【理解概念】：
(1)如图1，在中，，垂足为点D，请写出图中你找到的1对“等角三角形”：______________ ；
(2)如图2，在中，为角平分线，，请说明是的“巧等线”；
【应用概念】：
(3)在中，若为的“巧等线”，请直接写出所有可能的度数．
【答案】(1)与，与，与
(2)证明：∵在中，，
∴，
∵为角平分线，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴为的巧等线
(3)或或或
【知识点】等腰三角形的性质和判定、直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】（1）利用直角三角形的性质得出相等的角，然后利用新定义求解；
（2）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求出相关角的度数，然后根据新定义求证即可；
（3）根据题意分情况进行讨论，利用三角形内角和定理以及外角定理进行求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
根据“等角三角形”的定义可知与，与，与是“等角三角形”；
（2）解：略；
（3）解：当是等腰三角形，如图2，
时，，
∴，
∴；
当是等腰三角形，如图3，
时，，
，
∴，
∴；
当是等腰三角形，的情况不存在；
当是等腰三角形，如图4，
时，，
∵，
∴，
当是等腰三角形，如图5，
时，，
设，
则，
则，
由题意得，，
解得，
∴，
当是等腰三角形，的情况不存在，
综上，的度数为或或或．
【考点十二】线段垂直平分线性质应用
53．（26-27八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，．
(1)尺规作图：在边上求作一点D，连接，使得；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，求的周长．
【答案】(1)如图，即为所求；
(2)8
【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线
【分析】（1）作出线段的垂直平分线与的交点即为点，根据线段的垂直平分线的性质即可得到；
（2）由结合，可得，再根据三角形的周长公式求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵，由（1）知
∴
∵，
∴的周长．
54．（26-27八年级上·江苏无锡·期中）如图，的外角的平分线与边的垂直平分线相交于点，过点作，，垂足分别为点，．
(1)求证：．
(2)若，，则_____________．
【答案】(1)证明：如图，连接，，
的平分线与边的垂直平分线相交于点，，，
，，，
在和中，
，
，
．
(2)
【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的性质
【分析】（1）根据角平分线的性质和垂直平分线的性质，可证，，再根据“”可证，即可求证；
（2）设，根据“”可得，从而，，，再根据，列出方程，求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：设，
在和中，
，
，
，
，，
，，
，
，解得，
．
55．（26-27八年级上·江苏苏州·期中）如图，是的平分线．垂直平分于点P，于点F，于点E．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明：如图，连接，
∵垂直平分，
∴，
∵是的平分线，，，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴；
(2)
【知识点】角平分线的性质定理、线段的和与差、全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的性质
【分析】（1）连接，由线段垂直平分线的性质得，由角平分线的性质得，证明即可；
（2）证明，得，由（1）的结论即可求解．
【详解】（1）证明：略；
（2）解：∵是的平分线，，，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴；
∵，
∴，，
上两式相加得，
∴．
56．（26-27八年级上·吉林长春·期中）【问题呈现】我们知道“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，那么不在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离大小如何判断呢？
【问题解决】
(1)如图①，直线l是线段的垂直平分线，点P 在直线l的左侧，经测量，请证明这个结论．
证明：如图②，连结、，交直线l于M，连结．
∵直线l是线段的垂直平分线，
∴ ，
∴．
∵（▲），
∴．
请补全 ，“▲”处应填写的推理依据为 ．
【迁移应用】
(2)如图③，直线l是线段的垂直平分线，点 C在直线l外，且与点A 在直线l的同侧，点 D 是直线l上的任意一点，连结，直接写出和之间的大小关系．
【答案】(1)；三角形任意两边之和大于第三边
(2)
【知识点】三角形三边关系的应用、线段垂直平分线的性质
【分析】（1）根据垂直平分线的性质和三角形三边关系即可解答；
（2）结合题干的证明即可解答．
【详解】（1）证明：如图②，连结、，交直线l于M，连结．
∵直线l是线段的垂直平分线，
∴，
∴．
∵（三角形任意两边之和大于第三边），
∴；
（2）解：∵直线l是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴．
【考点十三】折叠（轴对称）求角度
57．（25-26八年级上·河南开封·期中）如图，在长方形中，点在上，，分别以，为折痕进行折叠并压平，若图中，则的度数为多少？
【答案】
【知识点】折叠问题
【分析】本题主要考查了折叠的性质及平角的意义．根据折叠的性质和平角的意义，得出关于的方程，求解方程即可得出答案．
【详解】解：由折叠可知，，，
∵，
∴．
∴．
58．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在中，将沿直线折叠，使点C与点B重合，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)；
(2)的周长．
【知识点】折叠问题、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形的内角和定理等知识点，
(1)先由三角形的内角和定理求得,再根据折叠的性质，得到,从而即可求解；
(2)根据折叠的性质，得到,进而计算周长即可；
熟练掌握折叠的性质和三角形的内角和定理是解题的关键．
【详解】（1）解：,,
，
由折叠可知，，
,
；
（2）解：由折叠可知，，
的周长.
59．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知中，，，垂足为D．将沿所在直线翻折，使点A落在边所在直线上，记为．
(1)若，求的度数；
(2)若，请直接写出的度数为______°（用含n的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)当时，；当时，
【知识点】折叠问题、三角形内角和定理的应用
【分析】此题主要考查了三角形综合题，涉及直角三角形的性质，折叠的性质，掌握翻折的性质是解本题的关键；
（1）先得到，再根据折叠的性质得，根据三角形外角性质即可求解；
（2）与（1）的计算方法相同，注意分类讨论．
【详解】（1），，
，，
，
，
；
（2）如题图所示，当使得点落在线段上时，
∵
，
由翻折可知
．
当时，如图所示，使点落在的延长线上时．
∵
，
由翻折可知
，
故当时，；当时，．
60．（2024八年级上·山东临沂·期中）现有一张纸片，点、分别是边上两点，若沿直线折叠，折成如图的形状．
(1)若、，求的度数；
(2)猜想、和的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
【知识点】三角形折叠中的角度问题、折叠问题
【分析】（1）本题主要考查图形折叠的性质和三角形内角和定理，根据图形折叠的性质可得，进而可得，可求得的度数，同理可求得的度数，结合三角形内角和定理即可求得答案．
（2）本题主要考查图形折叠的性质和三角形内角和定理，根据图形折叠的性质可得，进而可得，可求得，同理可求得，结合三角形内角和定理即可求得答案．
【详解】（1）根据图形折叠的性质可知，
∴．
∴．
同理可得．
∴．
（2），理由如下：
根据图形折叠的性质可知，
∴．
∴．
同理可得．
∴．
61．（24-25八年级上·四川自贡·期中）（1）如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．①若，，则 ；②探索与之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，将纸片沿折叠，使点落在边上方点的位置，探索与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①；
②，理由：
由折叠性质可知：，
，
，
，
，即；
（2），
理由：由折叠的性质可得：，
，
，
，，
，
，
，
．
【知识点】折叠问题、三角形内角和定理的应用
【分析】（1）①根据折叠的特点，折叠对应角相等，结合三角形内角和定理，求解；②由①的方法可得出答案；
（2）由折叠的性质结合三角形内角和定理进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1）①由折叠性质可知：，
，，，
，
，
，
故答案为：；
② 略
（2） 略
【点睛】本题考查三角形内角和定理，图形折叠的性质；能够根据折叠的特点，找到角之间的等量关系，是解题的关键．
62．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）在学习《轴对称》这一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，来探索数学的奥秘．在长方形中，点分别在边上．
【操作一】将沿折叠，点落在点处；
【操作二】将沿折叠，点落在点处，均是折痕．
【任务】
(1)在操作二中，当点落在线段的右侧时，如图1，若，，___________；
(2)在操作二中，当点刚好落在线段上时，如图2，的度数；
(3)在操作二中，当点落在内时，如图3，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
，理由如下：
由图3可得，，，
由折叠可得，，
．
【知识点】折叠问题
【分析】本题主要考查折叠问题，掌握折叠前后对应角相等是解题的关键．
（1）由折叠得，，再根据平角的定义即可求解；
（2）由折叠的性质可推出，结合即可求解；
（3）由图可得，进而可得，结合即可求解．
【详解】（1）解：由折叠得，，
，
故答案为：；
（2）解：由折叠可得，，，
，
，
；
（3）略
【考点十四】最短路径（将军饮马）
63．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，牧民从生活区边上某点A出发，先到草地边上某点B牧马，再到小河边上某点C饮马，最后回到点A处，已知，点P到的距离为4千米，，若的周长为千米，则的最小值是_______千米．
【答案】4
【知识点】最短路径问题、等边三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】在上取一点，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、、、、，由轴对称的性质可得的周长为，即当最小时，的周长最小，证明为等边三角形，得出，由垂线段最短可得，当时，最小，即最小，结合题意可得的最小值为，即可得解．
【详解】解：如图，在上取一点，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、、、、，
，，，，，，
的周长为，
当最小时，的周长最小，
，
，
，
，
当时，最小，即最小，
点到的距离为，
的最小值为，
的最小值为，
故答案为：4．
【点睛】本题考查轴对称，等边三角形，最短路径问题，垂直平分线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．
64．（24-25八年级上·广西南宁·期末）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为______．
【答案】7
【知识点】最短路径问题、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质
【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键．作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，此时的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得即可求解．
【详解】解：作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，如图，则，
∴，此时的值最小，则，
∵是等边三角形，
∴，，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：7．
65．（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
(1)作图，并保留作图痕迹，不需要写作法；
(2)最短，说明理由．
【答案】(1)
如图所示：平移点到，使得等于河宽，连接交河岸于点，作桥，连接即可，
(2)
如图，另任意作桥，连接，，，
由平移的性质可得：，，，
故转化为，
而转化为，
在中，，
∴，
故最短．
【知识点】最短路径问题、利用平移的性质求解
【分析】本题考查了最短路径问题、平移的性质、三角形三边关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）平移点到，使得等于河宽，连接交河岸于点，作桥，连接，此时最短；
（2）另任意作桥，连接，，，由平移的性质可得，，，故转化为，而转化为，再结合在中，，即可得解．
【详解】（1）略
（2）略
66．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知，是，两个城镇和一条河流．
(1)如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）．
(2)如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）．
【答案】(1)点的位置即为所求：
(2)点的位置即为所求：
【知识点】最短路径问题、利用平移解决实际问题、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题考查了轴对称的性质、平移的性质、最短路径问题，根据轴对称和平移的性质正确作图是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）根据平移的性质作图即可．
【详解】（1）解：如图1，作关于河边（直线）的对称点，连接交直线于点，连接，
由轴对称的性质得，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，
∴如图所示，点的位置即为所求；
（2）解：设河流宽度（直线与直线之间的距离）为，
将点向下平移至，连接交直线于点，作直线交直线于点，连接，如图2：
则，
由平移的性质得，，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，即铺设管道的总长最小，
∴如图所示，点的位置即为所求．
67．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？
小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置．
下面是小明根据这一方法写出的证明过程：
证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接
点B与点关于直线l对称
________，_________；
当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置．
(1)解决问题：补全证明过程；
(2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)，
(2)
如图，点P即为所求的水厂位置，使铺设管道的长度最短．
【知识点】最短路径问题、根据成轴对称图形的特征进行求解、画轴对称图形
【分析】本题是几何变换综合题，考查轴对称的最短路径问题中的应用，两点之间，线段最短，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据题意补全即可；
（2）根据轴对称的最短路径问题，作图即可．
【详解】（1）解：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，，
，，
，
当，，三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置，
故答案为：，，；
（2）解：作点A关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求的水厂位置，使铺设管道的长度最短．
68．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）请根据以下素材，完成探究任务．
探索最短距离
背景材料
我国古代对最短距离原理的运用充满智慧，不仅解决了具体的工程和军事问题，更体现出转化的数学思想．这些古老的思想在今天依然充满活力，在网络优化、物流配送和人工智能路径规划中，我们依然在使用这些最朴素的几何原理来解决最前沿的科技问题．
任务1
如图，牧童在处放牛，其家在处，A、B到河岸的距离分别为和，且，若点到河岸的中点的距离为米，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是__________米．
任务2
如图，直线是中边的垂直平分线，点P是直线上的一动点，若．
（1）求的最小值，并说明理由；
（2）求周长的最小值．
任务3
如图，点M、N分别在边、上，且，点P、Q分别在边、上，则当取最小值时，求的值．
【答案】任务1：520米
任务2：（1）6，理由：由“两点之间线段最短”，当在与直线的交点时，
∴的最小值为．
（2）10
任务3：9
【知识点】最短路径问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据成轴对称图形的特征进行求解、线段垂直平分线的性质
【分析】本题考查了最短路径问题（涉及轴对称、垂直平分线的性质），解题的关键是利用轴对称或垂直平分线“到线段两端点距离相等”的性质，将折线路径转化为直线段，结合“两点之间线段最短”求解．
任务1通过作对称点，结合中点与的条件转化路径求最短距离；
任务2利用垂直平分线性质转化线段，结合线段最短求及三角形周长的最小值；
任务3作对称点转化折线路径，结合角度条件求面积和．
【详解】任务1
解：作关于河岸的对称点，设的中点为M，连接，
∵，且点到中点的距离为米，
∴到该中点的距离为米，
∵，
∴，
∴，，
又点C、M、D在同一条直线上，则,
∴,
∴点在同一条直线上，
最短距离（米）．
故答案为：．
任务2
（1）略
（2）解：∵直线是边的垂直平分线，
∴，
∴，
∵的最小值为,
∴的最小值为6,
∴周长最小值．
任务3
解：作关于的对称点，关于的对称点，连接交于、交于，则此时，取得最小值．连接．
则，，，，
，，
∵，，
∴．
69．（25-26八年级上·全国·课后作业）综合与实践
【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？
【分析问题】
（1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的．
小慧：你能详细解释原因吗？
小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程．
【解决问题】
（2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）；
（3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？
【答案】（1）解：∵点关于l对称，
，
，
，
，
∴作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程是最短的．
（2）任务一：如答图①所示，路线即为所求．
（3）任务二：如答图②所示，路线即为所求．
【知识点】线段问题(轴对称综合题)、最短路径问题
【分析】本题考查将军饮马问题，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键：
（1）根据成轴对称的性质，结合三角形的三边关系即可得出结论；
（2）分别作点P关于的对称点C，D，连接，分别交于点E，F，则路线即为所求；
（3）分别过点P和点Q作的垂线，垂足分别为A，B，在上截取等于靠近P村的河的宽，在上截取等于靠近Q村的河的宽，连接分别交于点E，M，分别过点E，M作的垂线，垂足分别为F，N，连接，则路线即为所求．
【详解】略
1
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期中讲义03期中综合压轴突破（三角形+全等三角形+轴对称）（14大考点专练）
【考点一】双角平分线夹角问题
【考点八】一线三垂直（K型）模型
【考点二】三边关系与取值范围（含等腰分类）
【考点九】角平分线性质综合
【考点三】中线与等分点分割面积
【考点十】全等中的动点问题
【考点四】内角和·外角综合（含折叠）
【考点十一】等腰三角形分类讨论
【考点五】全等三角形判定方法的综合选择
【考点十二】线段垂直平分线性质应用
【考点六】倍长中线法
【考点十三】折叠（轴对称）求角度
【考点七】截长补短法
【考点十四】最短路径（将军饮马）
【考点一】三角形
1. 三角形的概念与分类
三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，记作△ABC。构成要素为顶点、边、内角。按边分类：三边都不相等的三角形、等腰三角形（两条边相等，含等边三角形）；按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。三角形具有稳定性。
2. 与三角形有关的线段
（1）三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。作用：判断三条线段能否构成三角形（只需验证“较小两边之和>最大边”）；已知两边 a、b，求第三边 c 的范围：|a−b|<c<a+b。
（2）三角形的高：从顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段。注意：高不一定在三角形内部（钝角三角形有两边上的高落在三角形外部），三条高所在直线交于一点（垂心）。
（3）三角形的中线：连接顶点与对边中点的线段。三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形；三条中线交于一点（重心）。
（4）三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段（注意是线段，不是射线）。三条角平分线交于一点（内心）。
3. 三角形的内角与外角
（1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。推论：直角三角形的两个锐角互余。
（2）外角：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角。外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
（3）内角与外角的综合应用常结合设未知数列方程、折叠（翻折）等情形求解角度。
【考点二】全等三角形
1. 全等三角形及其性质
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形，重合的顶点、边、角分别叫对应顶点、对应边、对应角。全等三角形的对应边相等、对应角相等。书写时对应顶点要写在对应位置。
2. 全等三角形的判定
（1）SSS：三边分别相等的两个三角形全等。（2）SAS：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。（3）ASA：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。（4）AAS：两角分别相等且其中一角的对边相等的两个三角形全等。（5）HL：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
注意：SSA（两边分别相等且其中一边的对角相等）不能判定两个三角形全等；三角形全等判定中选择条件时要分清“边角夹”关系。
3. 角的平分线
性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。注意这里的“距离”指到两边所在直线的垂线段长。
【考点二】轴对称
1. 轴对称与轴对称图形
轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，这条直线是对称轴。轴对称：两个图形沿一条直线折叠能完全重合。性质：若两个图形关于某直线成轴对称，则对应点连线被对称轴垂直平分，对应线段相等、对应角相等。
2. 线段的垂直平分线
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线。性质定理：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；判定定理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。它是证明线段相等的重要工具。
3. 画轴对称图形
作一个图形关于某直线的轴对称图形：先找出图形中能确定位置的关键点，作出各关键点关于对称轴的对称点，再按原图的连接顺序连接各对称点。关于坐标轴对称的点，坐标按“关于x轴对称纵坐标相反、关于y轴对称横坐标相反”确定。
4. 等腰三角形与等边三角形
等腰三角形性质：两腰相等、两底角相等（等边对等角）；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一，注意是“底边上的”）。判定：等角对等边。
等边三角形：三条边都相等，三个内角都等于60°，是轴对称图形，有3条对称轴。判定：三个角都相等的三角形；或有一个角是60°的等腰三角形。推论：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
5. 最短路径问题（将军饮马）
在直线l上求一点P，使直线同侧的两定点A、B到P的距离之和PA+PB最小：作其中一点关于l的对称点，连接对称点与另一点，与l的交点即为所求（依据两点之间线段最短）。
【考点一】双角平分线夹角问题
1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，平分，平分，，的周长为20，，则为 ___________ .
2．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，和的角平分线与相交于点O，过点O作，与分别相交于点M，N，若的周长为，则_______．
3．（26-27八年级上·山东·期中）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则为 ______ ．
4．（25-26八年级·甘肃兰州·期中）
【问题回顾】
(1)已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是 ．
(2)已知：如图2，在中，平分，平分外角，试判断和的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，平分外角，平分外角，若设，则 ．（用含的式子表示）
【拓展与应用】
(4)如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则 ．
【考点二】三边关系与取值范围（含等腰分类）
5．（25-26八年级上·河南周口·期中）三角形的三边长分别为3、6、m，则m的取值范围是______．
6．（25-26八年级上·北京顺义·期中）若等腰三角形的两边为3和7，则这个等腰三角形的底边长为_____________．
7．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）已知a、b、c是的三边．
(1)若，，求第三边c的取值范围；
(2)若，，第三边c为偶数，判断的形状．
8．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知为的三边长，且满足．
(1)求第三边的取值范围为_________．
(2)当为等腰三角形时，求的周长．
9．（25-26八年级上·江西赣州·期中）一个三角形的三边长分别为2，5，x．
(1)求x的取值范围；
(2)若三角形是等腰三角形，求这个三角形的周长．
10．（25-26八年级上·广东江门·期中）已知一个三角形的两边长分别为和，
(1)求这个三角形的第三边的取值范围．
(2)如果这个三角形是等腰三角形，求这个三角形的周长．
11．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形．
(1)能围成有一边的长是的等腰三角形吗？如果不能，说明理由，如果能，求出各边长；
(2)若该等腰三角形一腰长为，直接写出a的取值范围是______．
【考点三】中线与等分点分割面积
12．（26-27八年级上·广东东莞·期中）如图，，分别是的中线，高线，已知的面积是8，，则的长是________．
13．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，E，F分别是四边形的边，的中点，若阴影部分的面积为10，则四边形的面积为_______．
14．如图，的边上的高为，中线为，边上的高为，已知，，．
(1)求的面积；
(2)求的长．
15．（25-26八年级上·重庆江津·期中）如图，为的中线，为的高，的面积为15，，求的长．
16．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，在 中，，是边上的高，E，F 分别是，的中点，连接，，且，，．
(1)求的长；
(2)求的面积．
17．（2025八年级上·全国·期中）如图1，在中，是边上的中线，和的周长之差为2，且与的和为14．
(1)求、的长；
(2)若，E是的中点，如图2，直接写出的面积．
18．（25-26八年级上·山西忻州·期中）综合与探究
问题情境：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．如图1，取一块均匀的三角形纸板，用一根细线从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．
探究过程：如图2，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．若的三条中线，，交于点，则是的中线，利用上述结论，可得，同理，可得，．
猜想证明：
（1）如图2，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想；
拓展延伸：
（2）如图2，在中，若，则的面积为________；
（3）在图2中，求的值．
【考点四】内角和·外角综合（含折叠）
19．（26-27八年级上·全国·周测）如图，在中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，则等于______．
20．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，将折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则______（用含的式子表示）．
21．（2024八年级上·湖北襄阳·期末）在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究：
(1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和；
(2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和；
(3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系．
22．（2024八年级上·广西桂林·期中）在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：
(1)【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若．则______；
(2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______；
(3)如图3，如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿DE折叠使得点与点重合．
①若，则______；
②若，求证：；
(4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系．
【考点五】全等三角形判定方法的综合
23．（25-26八年级·辽宁辽阳·期中）已知：如图，，，垂足分别为、，，与相交于点．求证：．
24．（26-27八年级上·河南安阳·期中）如图，于点D，于点E，相交于点O．
(1)当时，求证：；
(2)当时，求证：．
25．（26-27八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，是边上的一点，，过作交于点，连接、，交于点．
(1)求证：；
(2)若点为的中点，求的度数．
26．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，，，______，求证：．
(1)请从①，②，③中选择一个适当的条件填入横线中，使命题成立．你的选择是______，并证明；
(2)在（1）的条件下，，，求的长．
【考点六】倍长中线法
27．（25-26八年级上·天津·期中）在中，，
(1)若的长为奇数，求的长．
(2)若是的中线，则长度范围_____．
28．（25-26八年级上·河南新乡·期中）（1）如图1，在中，，，是边上的中线，通过倍长中线，使，可求出的取值范围，请直接写出的取值范围：________．
（2）如图2，是的中线，交于点，交于点，且．求证：．
29．（25-26八年级上·广东汕头·期中）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法．
(1)如图，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得， 请写出证明过程；
(2)如图， 在中， 若，是的中线，求的取值范围．
30．（25-26八年级上·四川眉山·期中）【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，中，若，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：延长至点E，使，连接．容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围．
（1）由已知和作图得到，依据是 ．
（2）边上的中线的取值范围是 ．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
【初步运用】
如图②，是的中线，交于E，交于F，且．求证：．
31．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）阅读并写出正确的证明过程．
如图，已知：为的中线，求证：．
证明：延长至使得，连接，则，
为的中线（已知），
，
在和中，
，
∴（_______），
（______），
在中，根据三角形的三边关系有：
（_______________________________），
而_____，
这种辅助线方法，我们称为“倍长中线法”，
32．（24-25八年级上·北京平谷·期中）【现场学习】
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．
如图在中，是的中线，求证：．
小明的做法如下：
解：延长到点，使得，连结．
∵是的中线（已知），
∴（三角形中线定义），
在和中
，
∴，
∴（ ），
∵（三角形两边之和大于第三边），
∴（等量代换）．
(1)补全小明的证明过程．
(2)请你参考小明的做法完成下题：
如图在中，是的中线，，，求中线的取值范围？
【考点七】截长补短法
33．（2024八年级·湖南岳阳·期中）在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于______．
34．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，在四边形中，与交于点，平分，平分，．
(1)求的度数；
(2)求证：．
35．（24-25八年级上·北京门头沟·期末）已知：线段AB及过点A的直线l，如果线段AC与线段AB关于直线l对称，连接BC交直线l于点D，以AC为边作等边△ACE，使得点E在AC的下方，作射线BE交直线l于点F，连接CF．
（1）根据题意将图1补全；
（2）如图1，如果∠BAD＝α（30°＜α＜60°）．
①∠BAE=_______，∠ABE=_______（用含有α代数式表示）；
②用等式表示线段FA，FE与FC的数量关系，并证明．
（3）如图2，如果60°＜α＜90°，直接写出线段FA，FE与FC的数量关系，不证明．
36．（25-26八年级上·吉林长春·期末）同学们学习了华师版数学八年级上册教材中信息技术应用“探索三角形的边、角关系”后，发现可以通过轴对称的性质及“截长补短”法解决一些几何图形问题．
(1)（1）在中，平分，，求证：；任选下面一种方法，并写出完整的证明过程：
方法一：如图①，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题；
方法二：如图②，延长到点F，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题．
(2)如图③，在中，，交于点H，直接写出之间的等量关系________．
(3)如图④，在中，平分，，分别为的角平分线，，，直接写出________．
【考点八】一线三垂直（K型）模型
37．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，（，），，且，则点C坐标为_________．
38．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，点C在线段上，，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，点为中点．连，，分别交，于．，猜想与关系，并加以证明；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接；求证：．
39．（26-27八年级上·江西赣州·阶段检测）一线三垂直问题：
(1)如图，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．则与的数量关系是________；
(2)如图，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明；
(3)如图，，，点的坐标为，点的坐标为，直接写出点的坐标________．
40．（25-26八年级上·吉林松原·期中）（1）【初步探究】刘老师让同学们独立完成下题：如图①，已知是等腰直角三角形，，，，垂足分别为D、E，若，，求的长；
（2）【拓展探究】待同学们完成这道题后，刘老师又出示了一道题：在原题其他条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图②），请你猜想、、三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明；
（3）【探究应用】如图③，是等腰三角形，是钝角，，，D、A、E三点都在直线m上，且，直线m与的延长线交于点F，若，，，则与的面积之比为________．
41．（25-26八年级上·云南昆明·期末）一条直线经过直角三角形的直角顶点，过直角三角形的另外两个顶点分别作这条直线的垂线，这样满足三个直角顶点都在同一条直线上的图形称之为“一线三垂直”模型．
(1)如图1，在中，，点在直线上，过点作于点，过点作于点，由得___________．又知道，可以推理得到，进而得到___________．
(2)当图1中的直线绕点旋转到图2的位置时，求证：．
(3)当图1中的直线绕点旋转到图3的位置时，请直接写出．之间的数量关系：___________．
(4)如图4，若将（1）中的条件改为：在中，， D，A，E三点都在直线上，且满足，其中为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【考点九】角平分线性质综合
42．（26-27八年级上·吉林长春·期中）如图，为的角平分线，，过作于，交的延长线于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有_______．
43．（26-27八年级上·江西宜春·期中）如图，在中，，平分，，，求．
44．（25-26八年级下·福建漳州·期中）已知：如图，在中，角平分线与角平分线相交于点P．求证：的平分线经过点P．
45．（26-27八年级上·江西宜春·期中）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【考点十】全等中的动点问题
46．（2026八年级上·全国·期中）如图，已知四边形中，，，点E是线段的三等分点（靠近B处，）．如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点D运动．若要使得与全等，则点Q的运动速度为__________．
47．（26-27八年级上·福建厦门·期中）在中，,，D点为射线上一动点，连接，过点B作且（点E在直线BC下方）．
(1)当点D在线段上时，如图1，过E点作交于点G，求证：；
(2)如图2，当点D在的延长线上时，连接，与的延长线交于点M，求与的大小关系．
48．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，与此同时，点在线段上由点向点运动，当，中的一点到达终点时，两点都停止运动，它们的运动时间为连接，．
(1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当，时，写出与的数量关系与位置关系，并说明理由；
(2)如图2，当时，设点的运动速度为，是否存在实数，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的，的值；若不存在，请说明理由．
49．（25-26八年级上·湖北黄冈·期末）如图，在平面直角坐标系中，点分别是轴、轴上的两个动点，以为直角边作等腰直角三角形交轴于点D，斜边BC交轴于点E．
(1)如图1，证明：
(2)如图2，若将沿着CB折叠，点D恰好落在轴的点G处，求证：点是的中点．
(3)如图3，点在轴负半轴上且，分别以为直角边在第二、一象限作等腰直角三角形和，且，连接交轴于点．当点A在轴的正半轴上运动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由．若不变化，请求出的长度．
50．（26-27八年级上·四川绵阳·期中）已知，，，其中，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒．
①若，则点运动路程始终是点运动路程的倍；
②当、两点同时到达点时，；
③若，，时，；
④若与全等，则或．
以上选项，正确的是________
【考点十一】等腰三角形分类讨论
51．（26-27八年级上·天津滨海新区·期中）在中，，点在边上运动（点不与点，重合），连接，在内部作，与边相交于点．
(1)如图1，当时，________（度），________（度）；
(2)如图2，若，证明：；
(3)在点的运动过程中，当的形状是等腰三角形时，请直接写出的度数．
52．（2026八年级上·全国·期中）【引入概念】引入概念1：如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
引入概念2：从不等边三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中其中一个是等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧等线”．
【理解概念】：
(1)如图1，在中，，垂足为点D，请写出图中你找到的1对“等角三角形”：______________ ；
(2)如图2，在中，为角平分线，，请说明是的“巧等线”；
【应用概念】：
(3)在中，若为的“巧等线”，请直接写出所有可能的度数．
【考点十二】线段垂直平分线性质应用
53．（26-27八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，．
(1)尺规作图：在边上求作一点D，连接，使得；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，求的周长．
54．（26-27八年级上·江苏无锡·期中）如图，的外角的平分线与边的垂直平分线相交于点，过点作，，垂足分别为点，．
(1)求证：．
(2)若，，则_____________．
55．（26-27八年级上·江苏苏州·期中）如图，是的平分线．垂直平分于点P，于点F，于点E．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
56．（26-27八年级上·吉林长春·期中）【问题呈现】我们知道“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，那么不在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离大小如何判断呢？
【问题解决】
(1)如图①，直线l是线段的垂直平分线，点P 在直线l的左侧，经测量，请证明这个结论．
证明：如图②，连结、，交直线l于M，连结．
∵直线l是线段的垂直平分线，
∴ ，
∴．
∵（▲），
∴．
请补全 ，“▲”处应填写的推理依据为 ．
【迁移应用】
(2)如图③，直线l是线段的垂直平分线，点 C在直线l外，且与点A 在直线l的同侧，点 D 是直线l上的任意一点，连结，直接写出和之间的大小关系．
【考点十三】折叠（轴对称）求角度
57．（25-26八年级上·河南开封·期中）如图，在长方形中，点在上，，分别以，为折痕进行折叠并压平，若图中，则的度数为多少？
58．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在中，将沿直线折叠，使点C与点B重合，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的周长．
59．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知中，，，垂足为D．将沿所在直线翻折，使点A落在边所在直线上，记为．
(1)若，求的度数；
(2)若，请直接写出的度数为______°（用含n的代数式表示）．
60．（2024八年级上·山东临沂·期中）现有一张纸片，点、分别是边上两点，若沿直线折叠，折成如图的形状．
(1)若、，求的度数；
(2)猜想、和的数量关系，并说明理由．
61．（24-25八年级上·四川自贡·期中）（1）如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．①若，，则 ；②探索与之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，将纸片沿折叠，使点落在边上方点的位置，探索与之间的数量关系，并说明理由．
62．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）在学习《轴对称》这一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，来探索数学的奥秘．在长方形中，点分别在边上．
【操作一】将沿折叠，点落在点处；
【操作二】将沿折叠，点落在点处，均是折痕．
【任务】
(1)在操作二中，当点落在线段的右侧时，如图1，若，，___________；
(2)在操作二中，当点刚好落在线段上时，如图2，的度数；
(3)在操作二中，当点落在内时，如图3，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由．
【考点十四】最短路径（将军饮马）
63．（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，牧民从生活区边上某点A出发，先到草地边上某点B牧马，再到小河边上某点C饮马，最后回到点A处，已知，点P到的距离为4千米，，若的周长为千米，则的最小值是_______千米．
64．（24-25八年级上·广西南宁·期末）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为______．
65．（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
(1)作图，并保留作图痕迹，不需要写作法；
(2)最短，说明理由．
66．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知，是，两个城镇和一条河流．
(1)如图1，，两个城镇在河流同一侧，现计划在河边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，在河边找出点的位置，使的值最小（保留作图痕迹）．
(2)如图2，，两个城镇在河流的两侧，现计划在河流靠镇的一边找一点建造一个抽水站，抽水到，两镇，因条件限制，铺在河流中的管道必须垂直于河边，请在河边找出点的位置，使铺设管道的总长最小（保留作图痕迹）．
67．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？
小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置．
下面是小明根据这一方法写出的证明过程：
证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接
点B与点关于直线l对称
________，_________；
当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置．
(1)解决问题：补全证明过程；
(2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法）
68．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）请根据以下素材，完成探究任务．
探索最短距离
背景材料
我国古代对最短距离原理的运用充满智慧，不仅解决了具体的工程和军事问题，更体现出转化的数学思想．这些古老的思想在今天依然充满活力，在网络优化、物流配送和人工智能路径规划中，我们依然在使用这些最朴素的几何原理来解决最前沿的科技问题．
任务1
如图，牧童在处放牛，其家在处，A、B到河岸的距离分别为和，且，若点到河岸的中点的距离为米，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是__________米．
任务2
如图，直线是中边的垂直平分线，点P是直线上的一动点，若．
（1）求的最小值，并说明理由；
（2）求周长的最小值．
任务3
如图，点M、N分别在边、上，且，点P、Q分别在边、上，则当取最小值时，求的值．
69．（25-26八年级上·全国·课后作业）综合与实践
【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？
【分析问题】
（1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的．
小慧：你能详细解释原因吗？
小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程．
【解决问题】
（2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）；
（3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？
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