专题03全等三角形期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题03全等三角形期中复习讲义 1.理解全等形、全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角，熟记全等三角形对应边相等、对应角相等的性质。 2.熟练掌握全等三角形 5 种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），能根据已知条件选择合适判定定理证明三角形全等，清楚 SSA 不能判定全等。 3.掌握角平分线的性质与判定，会利用角平分线进行线段相等的证明与长度计算。 能识别全等基础模型：平移模型、翻折模型、旋转模型，结合图形挖掘隐含条件（公共边、公共角、对顶角）。 4.能够规范书写全等证明的几何步骤，做到推理有据，步骤完整。 5.可以利用三角形全等证明线段相等、角相等，解决线段求值、角度计算类问题。 6.梳理易错点：找准对应边角；HL 仅适用于直角三角形；证明时条件顺序规范，避免直接使用 SSA；注意多解分类讨论题型。 7.具备几何识图能力，能从复杂图形中分离出全等基本图形，为后续几何学习打好基础。 题型 考察方向 难度 题型一 全等三角形的概念与性质 ★★ 题型二 用 SAS 证明三角形全等 ★★ 题型三 全等的性质和 SAS 综合 ★★★ 题型四 用 ASA（AAS）证明三角形全等 ★★ 题型五 全等的性质和 ASA（AAS）综合 ★★★ 题型六 用 SSS 证明三角形全等 ★★ 题型七 全等的性质和 SSS 综合 ★★★ 题型八 用 HL 证全等 ★★ 题型九 全等的性质和 HL 综合 ★★★ 题型十 添加条件使三角形全等 ★★ 题型十一 灵活选用判定方法证全等 ★★★ 题型十二 倍长中线模型 ★★★★ 题型十三 全等三角形综合问题 ★★★★ 题型十四 尺规作一个角等于已知角 ★ 题型十五 作角平分线 ★ 题型十六 角平分线的性质定理 ★★ 题型十七 角平分线的判定定理 ★★ 题型十八 角平分线性质的实际应用 ★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:全等三角形基本概念 1. 全等形定义 能够完全重合的两个图形叫做全等形；全等图形形状、大小全部相同，仅位置不同。 2. 全等三角形定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 3. 对应元素 对应顶点：重合的顶点；对应边：重合的边；对应角：重合的角。 4.表示方法： ABC≌DEF，书写时对应顶点写在对应位置，以此确定对应边、对应角。 5.快速找对应边、对应角技巧 (1)公共边一定是对应边，公共角、对顶角一定是对应角； (2)最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角； (3)翻折、旋转、平移前后重合的边角为对应元素。 知识点02图形变换与全等 一个三角形经过平移、翻折、旋转后，位置发生改变，但形状、大小不变，变换前后的两个三角形全等。 知识点03:全等三角形的性质（重点） 基本性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 若 △ABC △DEF则： 对应边相等：AB=DE BC=EF AC=DF 对应角相等： ∠A=∠D,∠B=∠ E, ∠C=∠F 知识点04:全等三角形的判定 1.判定基本思路 判定两个三角形全等，无需验证所有 6 组边角关系，满足部分特定条件即判定。 2.三角形全等的五种判定定理（核心考点） 重要提醒：AAA、SSA 不能作为三角形全等判定依据。 3.不能判定全等的两种情况（高频易错） (1)AAA（三角分别相等） 三个角对应相等，只能说明两个三角形形状相同（相似），大小不一定相等，不能判定全等。 (2)SSA（两边及其中一边的对角相等） 两边和其中一边的对角对应相等，无法保证三角形完全重合，不能判定全等。 4.判定方法选择技巧 (1)已知两边：优先选 SSS 或 SAS； (2)已知一边一角：优先选 SAS、ASA、AAS； (3)已知两角：优先选 ASA 或 AAS。 知识点05:已知三边作三角形 已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件 “边边边” 来作图的，具体作图的步骤如下： 已知：线段 a，b，c 求作：△ABC，使 AB=c，AC=b，BC=a。 作法与图形： 知识点06:角平分线 1.定义 把一个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等 ∵ OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴ PD = PE 判定定理 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 3尺规作图：作已知角的平分线 已知：∠AOB。作法： 1.以 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 OA,OB 于 M,N； 2.分别以 M,N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在角内交于点 C； 3.作射线 OC，即为 ∠AOB 的平分线。 知识点07:高频易错点汇总 易错类型 错误表现 正确结论 避坑技巧 书写全等 对应顶点顺序混乱 字母必须一一对应，否则对应边角会找错 抄题时严格对齐顶点 SAS 误用 用两边及对角（SSA）证明全等 夹角才能用 SAS，对角无法判定全等 先标记角是否夹在两边中间 HL 乱用 普通三角形使用 HL 判定 HL 仅限直角三角形，普通三角形不可用 先观察是否有直角标记 角平分线漏条件 使用性质不写 “垂直” 距离必须是垂线段长度，无垂直不能直接得线段相等 证明时必须标注垂直符号 性质混淆 面积相等直接推出全等 全等一定面积相等，面积相等不一定全等 全等需要边、角条件支撑 证明跳步 省略关键推导依据（公共边、对顶角） 每一组相等条件都要标注来源 初学完整写出每一步理由 题型一：全等三角形的概念与性质 1．如图所示，，其中与，与是对应顶点，则的对应边是______，的对应角是_______．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的对应边与对应角．解题的关键是牢记“全等三角形的对应边相等，对应角相等”即可．解题时要找对对应边，对应角即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的对应边是，的对应角是． 故答案为：，． 2．下列几种说法：全等三角形的对应边相等；面积相等的两个三角形全等；周长相等的两个三角形全等；全等的两个三角形的面积相等．其中正确的是______． 【答案】 【分析】根据全等三角形的概念和性质，逐个判断各说法的正误． 【详解】解：全等三角形能够完全重合，对应边相等，说法正确； 面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定全等，说法错误，例如底为高为的三角形和底为高为的三角形面积相等，但不全等； 周长相等的两个三角形形状不一定相同，不一定全等，说法错误，例如边长为的三角形和边长为的三角形周长均为，但不全等； 全等三角形能够完全重合，因此全等的两个三角形面积相等，说法正确； 综上，正确的是． 3．如图，，点在同一条直线上，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质得，，结合即可． 【详解】解：，， ∴，， 则． 4．如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（    ）对全等三角形．      A．15 B．16 C．18 D．21 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形以及图形规律探索，结合题意得出规律，确定第个图中可有对全等三角形，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，图1中有3对全等三角形， 图2中有6对全等三角形， 图3中有10对全等三角形， … 第个图中，有对全等三角形， ∴第5个图中有对全等三角形． 故选：D． 题型二：用 SAS 证明三角形全等 5．如图，已知，，，则_______，理由是 ______ ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键． 根据证明与全等即可． 【详解】解：在与中， ， ∴， 故答案为：，． 6．如图，已知线段，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走，点从点向运动，每秒走，，同时从出发，则出发______秒后，在线段上有一点，使． 【答案】/ 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据，得到当时，，进行求解即可． 【详解】解：设当出发秒后，在线段上有一点，使， ∵于点，于， ∴， ∴当时，， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 7．如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具．这样可以利用三角形全等，通过量出的长度，就可知工件内径是否符合标准．其中说明的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定定理，即可求解． 【详解】解：由题意可知，点为，的中点， ，． 又， ． 题型三：全等的性质和 SAS 综合 8．如图，将两根钢条，的中点O钉在一起，使，能绕点O自由转动，就做成一个测量工具， 测的长即等于内槽宽， 那么判定的理由是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据判定全等即可得出，从而可确定判定的理由． 【详解】解：如图， ∵O是、的中点， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴那么判定的理由是． 9．如图，E是延长线上一点，已知，，则图中全等三角形有___________对． 【答案】3 【分析】先根据已知，，结合公共边证，再用同样条件、公共边证；得到、，结合公共边证，数出一共对全等三角形． 【详解】解：在和中， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ． 10．如图，在中，，．为上一点，满足，为三条角平分线的交点，则的度数为(   ) A．30° B． C．50° D．60° 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，如图，连接，，，在上截取，连接，由内心的性质可得平分，平分，平分，可得，，，由“”可证，，可求，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，，在上截取，连接， ， 为的三条角平分线交点， 平分，平分，平分， ，，， ，，， ， ， ，，， ， ， ， 故选：B． 题型四：用 ASA（AAS）证明三角形全等 11．小明不慎将一块三角形玻璃打碎成如图所示的四块（图中所标1，2，3，4）．他需要带其中的一块碎玻璃到玻璃店去配一块与原来形状，大小完全一样的玻璃，则他需要带第__________块玻璃碎片． 【答案】2 【详解】解：∵带碎玻璃2可以根据唯一确定一个三角形与原三角形全等， ∴他需要带第2块玻璃碎片． 12．如图，在中，，点、分别在边、上（均不与点、、重合），且，若，则______度． 【答案】 【分析】首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得，再利用三角形内角和定理计算的度数，证明，结合全等三角形的性质证明为等腰三角形，进而可得的度数，然后由求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的定义和性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 13．如图，，，点D在边上，，求证：． 下面是乱序的证明过程： ①∴， ②∴（）． ③∴， ④在和中， ⑤∵． 其中正确的顺序为（   ） A．⑤①③④② B．⑤③①④② C．⑤①④②③ D．①⑤③④② 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 根据全等三角形的判定方法作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）． 即正确的顺序为⑤③①④②． 故选：B． 题型五：全等的性质和 ASA（AAS）综合 14．如图，在与中，点B、E在线段上，且，，．若．则的长为（     ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【分析】利用“”证明，由全等三角形的性质即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴． 15．如图，梓青与米琦玩跷跷板游戏，跷跷板的支点（即跷跷板的中点）到地面的距离是，梓青和米琦在水平位置时离点的距离相等，当梓青（右）离地面的高度是时，米琦（左）从水平位置垂直上升的高度是________________． 【答案】 【分析】过点作，过点作，可证，根据全等三角形的性质可知米琦（左）从水平位置垂直上升的高度是． 【详解】解：如下图所示，过点作，过点作， ， 在和中，， ， ， 由题意可知， ， 米琦（左）从水平位置垂直上升的高度是． 16．如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，垂足为G，若的面积为3，则四边形的面积为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】先证明可得，再根据图形可知，则四边形的面积可求． 【详解】解：由已知，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型六：用 SSS 证明三角形全等 17．如图，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点、画一条射线，就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过已知条件找出与的三组对应边相等，利用SSS证明两个三角形全等，得到对应角相等，从而说明射线是角平分线，判断原理． 【详解】解： ， ， 平分． 因此此角平分仪的画图原理是． 18．如图，方格纸中的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形有格点三角形，则图中与全等的格点三角形有（    ）个． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，应用判定三角形全等，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键．用判定两三角形全等．认真观察图形可得答案． 【详解】解：如图示排列的每6个小正方形上都可找出4个全等的三角形： ，，，，，，，，，，．共11个. 故选：B． 19．一块三角形玻璃样板不慎被张字同学碰破，成了四片完整碎片（如图所示），聪明的他经过仔细地考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板，你认为下列四个答案中考虑最全面的是（     ） A．带1，2或2，3去就可以了 B．带1，4或3，4去就可以 C．带1，4或2，4或3，4去均可 D．带其中的任意两块去都可以 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定定理求解． 【详解】解：选择1，4时，根据可得全等三角形； 选择2，4时，根据或者可得全等三角形； 选择3，4时，根据可得全等三角形； 故考虑最全面的是：带1，4或2，4或3，4去均可． 题型七：全等的性质和 SSS 综合 20．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合．过角尺顶点C的射线即是的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．根据证明，即可． 【详解】解：根据题意得：， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 即射线是的平分线． 故选：A． 21．如图，在与中，，，，与相交于点，若，，则的度数为________． 【答案】 【分析】证明，得到，，则可证明；设交于点O，根据三角形内角和定理可证明． 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图所示，设交于点O， ∵， ∴， ∴． 22．如图，在和中，点在线段上，若，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，先证明，所以，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 题型八：用 HL 证全等 23．如图，已知，，即可证明，全等的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据即可证明． 【详解】解：∵， ∴和均为直角三角形， 在和中， ∵，， ∴． 24．如图，O是内一点，且点O到，的距离，则的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查对直角三角形全等的判定的理解和掌握，解答此题的关键是利用题目中给出的已知条件判定和是直角三角形．利用点O到，的距离，可知和是直角三角形，然后可直接利用求证，即可得出答案． 【详解】解：，， ， 又，为公共边， ． 故选：A． 25．在中，，，某线段两点分别在和的垂线上移动，则当__________时，才能使和全等． 【答案】或 【分析】结合斜边相等的条件分类确定的长度即可． 【详解】解：∵，， ∴，即与均为直角三角形，且斜边． ①当的长度为时， 有， ∴； ②当的长度为时， 有， ∴， 综上所述，的长度为或． 题型九：全等的性质和 HL 综合 26．如图，在中，，于点，交于点．若，，，则______． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握斜边直角边的证明方法是解题的关键．连接，先证明，推出，最后利用解得答案． 【详解】解：连接，如图所示： ，， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：6． 27．如图，为一条射线，，若．则的长为___________． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用直角三角形的特殊判定方法“”求解更加简便．根据垂直的定义可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，即可解决问题． 【详解】解：，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：2． 28．如图，中，，，过点B作．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点的运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为，则当以B，E，D为顶点的三角形与全等时，______s． 【答案】3或7或10 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，学会分类是解题的关键．分情况，当E在线段上，或当E在线段延长线上，由证明这两个三角形全等，再结合对应边相等进行列式计算，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， 当E在线段上时， 若， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若， ∴， ∴， ∴（舍去）， 当E在线段延长线上时， 若， ∴， ∵， ∴， 若， ∴， ∵， ∴， ∴当或7或10秒时，与全等． 故答案为：3或7或10． 题型十：添加条件使三角形全等 29．如图，平分，若要用“”直接证，则还需补充的条件是________． 【答案】 【分析】由已知条件可知，，再添加的条件是一组角相等，且要满足两角夹一边，即可得出答案 【详解】解：∵平分， ∴． ∵，若要用直接证明， ∴需要补充的条件是． 30．如图，已知，，下列条件中①，②，③，④能判定的序号是________． 【答案】①②③ 【分析】根据三角形全等的判定定理，有四种．逐条验证即可． 【详解】解：在与中，已知，， ①添加，符合，能判定； ②由，得出，所以添加，符合，能判定； ③添加，符合，能判定； ④添加，不能判定， 故能判定的序号是①②③． 31．如图，，，欲证，则需补充的条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定方法，进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴当或时，利用可以得到， 无法通过或得到； 故只有B选项符合题意. 题型十一：灵活选用判定方法证全等 32．如图，小明不小心将一块三角形玻璃打碎成了块不规则的玻璃块（如图所示），为了去玻璃店配一块与原玻璃形状、大小都一样的玻璃，小明应该带玻璃块______． 【答案】③ 【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是掌握三角形全等的判定方法． 【详解】解：由图可知，块③的两个角及其夹边即为三角形玻璃的两个角及其夹边，能满足“角边角”，可以配一块与原玻璃一样形状和大小的玻璃， ∴小明应该带玻璃块③． 故答案为：③． 33．如图，已知在中，，，、分别是边、上的两条高，与相交于点F，联结，那么图中有______对全等三角形．    【答案】4 【分析】如图，由等腰三角形三线合一，得，底角相等，，中，，可求，从而，，可知有4对全等三角形． 【详解】如图，，，， ∴，，， 中，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴； 故答案为：4． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形，熟练三角形全等的判定方法是解题的关键． 34．在下列各组条件中，不能说明的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】全等三角形判定中，两边及其中一边的对角对应相等无法判定全等，可结合判定定理排查各选项． 【详解】解：A. ，，，可通过判定，不符合题意． B. ，，，可通过判定，不符合题意． C. ，，，为两边及其中一边的对角对应相等，不能判定，符合题意． D. ，，，可通过判定，不符合题意． 题型十二：倍长中线模型 35．在中，，中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识， 作辅助线（延长至，使，连接）构建全等三角形，然后由全等三角形的对应边相等知；而三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，据此可以求得的取值范围． 【详解】解：延长至，使，连接，则， ∵是边上的中线，是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由三角形三边关系，得， 即， ∴． 故选：B． 36．老师布置的作业中有这样一道题：如图，在中，D为的中点，若，，则的长不可能是（    ） 思考：中同学认为，，这三条边不在同一个三角形中，需要进行转化；乙同学认为可以从中点D出发，构造辅助线，利用全等的知识解决基于以上两位同学的思考过程，请选择正确的结果． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、三角形三边的关系，正确作出辅助线是解题的关键．如图1所示，延长到E使得，利用倍长中线模型证明得到，再用三角形三边的关系可得，从而可得答案． 【详解】解：如图所示，延长到E使得，连接， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴B，C，D不符合题意，A符合题意； 故选A． 37．如图，在长方形中，是中点，在边上，若，则（   ） A．3 B．2 C．1.5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的面积，全等三角形的性质和判定，延长，交于点G，构造，利用三角形中线的性质得出，进而求出，再由求出答案． 【详解】解：延长，交于点G， ∵在长方形中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 题型十三：全等三角形综合问题 38．如图，，垂足为C，，射线，垂足为B，动点P从C点出发以1厘米每秒的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足，随着P点运动而运动，当点P运动______秒时，三角形与点P、N、B为顶点的三角形全等（时间不等于0）． 【答案】4或8或 【分析】本题考查了三角形全等的判定，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 首先要分两种情况：①当P在线段上时，②当P在上，再分别分两种情况或进行计算即可． 【详解】解：①当P在线段上，时，与全等， ， ， ， 点P的运动时间为（秒）； ②当P在线段上，时，与全等， 这时，因此时间为0秒；（不符合题意，舍去） ③当P在上，时，与全等， ， ， ， 点P的运动时间为（秒）； ④当P在BQ上，时，与全等， ， ， ， 点P的运动时间为（秒）， 故答案为：4或8或． 39．如图1，已知沿直线翻折得到；如图2，在射线上取点E，连接、；如图3，在射线上取点F，连接、，依此规律，第8个图形中全等三角形的对数是（     ） A．32 B．36 C．40 D．42 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质和全等三角形的判定方法先得出图1和图2中全等三角形的对数，进而得出规律：第n个图形中全等三角形的对数是，即可解答． 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴． 在和中，， ∴． ∴图1中有1对三角形全等； 同理图2中，， ∴， ∵． ∴， 在中，， ∴， ∴图2中有对三角形全等； 同理：图3中有对三角形全等； 由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是． 所以：第个图形中全等三角形的对数是. 40．如图，线段，射线，垂足为点，点是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰直角三角形，得与，连接交射线于点，则的长为_____cm． 【答案】9 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形． 作于点，则，由与都是等腰直角三角形，，得，，则，，可证明，得，，则，再证明，得，于是得到问题的答案. 【详解】解：作于点， 射线于点， ， 与都是等腰直角三角形，， ，，，， 在和中， ， ，， ． 在和中， ， ， 故答案为：9． 题型十四：尺规作一个角等于已知角 41．嘉淇用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下： 已知：． 求作：，使． 作法： （1）如图，以点为圆心，为半径画弧，分别交，于点，． （2）画一条射线，以点为圆心，为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，为半径画弧，与上步中所画的弧相交于点． （4）过点画射线，则即为所求． 下列关于，、的取值要求，正确的是（   ） A．必须取特定长度，不能任意 B．可以取任意长度，无需与相等 C．需要与的长度相等 D．p需要与n的长度相等 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图“作一个角等于已知角”的步骤，关键是辨别尺规作图步骤中的相等线段． 【详解】解：A选项：第一步里的是画弧的半径，只要能和、相交就行，不需要特定长度，所以A错误． B选项：第二步里的要和第一步的长度相等，这样才能保证和一样长，所以B错误． C选项：第三步里的需要和第一步中的长度相等，这样画出来的弧才能让，从而保证两个角的开口大小一致，所以C正确． D选项：是和相等，不是和相等，所以D错误． 故选：C． 42．如图，点在的边上，小明用尺规作出了．他写出了以下作图过程：①以为圆心，长为半径画弧，交于点；②作射线，则；③以为圆心，长为半径画弧，交弧于点；④以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，．但他写的顺序排乱了，请你帮他确定正确的顺序是_____________．（填序号即可） 【答案】④①③② 【分析】本题考查作一个角等于已知角的方法，根据尺规作等角的基本方法重新排序即可． 【详解】解：由题意知，正确的顺序是：④以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；①以为圆心，长为半径画弧，交于点；③以为圆心，长为半径画弧，交弧于点；②作射线，则． 43．如图，是作一个角等于已知角的作图痕迹，下列说法中不正确的是（   ） （1）弧①是以点为圆心，以任意长为半径所作的弧； （2）弧②是以点为圆心，以任意长为半径所作的弧； （3）弧③是以点为圆心，以的长为半径所作的弧． A．（1） B．（2） C．（3） D．（2）和（3） 【答案】B 【分析】根据尺规作图“作一个角等于已知角”的步骤进行判断即可． 【详解】解：作一个角等于已知角的步骤如下： 以点为圆心，任意长为半径画弧①，分别交，于点，， ∴说法（1）正确； 画射线，以点为圆心，以长（即弧①的半径）为半径画弧②，交于点， ∴说法（2）中“以任意长为半径”错误； 以点为圆心，以长为半径画弧③，交弧②于点， ∴说法（3）正确； 综上，（1）、（3）正确，（2）不正确． 题型十五：作角平分线 44．如图，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径作弧，交射线于点B；再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点C，作射线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线．根据作图痕迹可知射线是的平分线，利用角平分线的定义即可求解． 【详解】解：由作图痕迹可知，射线是的平分线， ． ， ． 故选：A． 45．如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹，则的度数是__________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，由作图可得平分，，先求出，再由角平分线的定义可得，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：平分，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 46．在中，，．在上取一点，以点为圆心，以的长为半径（）画弧，交于点，再分别以点，为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识．由，可得，由尺规作图可得，平分，，得到，最后根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：，， ， 由尺规作图可得，平分，， ， ， 故选：C． 题型十六：角平分线的性质定理 47．如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】过点作于点，根据角平分线的性质定理可得，据此解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵在中，， ∴， 又∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴的面积是． 48．如图，在中，是的角平分线，是的中线，过点分别作，，垂足分别为点，，若的面积为，的长为，则的长为_______． 【答案】2 【分析】根据是的中线，可得的面积是面积的两倍，再利用的面积求出，然后根据角平分线的性质得． 【详解】解：∵的面积为，是的中线， ∴的面积为4， ∵，的长为， ∴， ∴， ∵是的角平分线，，， ∴． 49．如图，在中，，的平分线交于点，点为的中点．连接．点为上一点，且．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出、的面积，过点作于，于，由角平分线的性质定理可得，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作于，于， ∵的平分线交于点， ∴， ∵，， ∴． 题型十七：角平分线的判定定理 50．如图，，点是内一点，于点，于点，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的判定定理可得平分，据此可得答案． 【详解】解：∵，，且， ∴平分， ∵， ∴． 51．如图，在中，，于点，且，垂直平分，连接，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的判定，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角性质，由题意得，，则点在平分线上，所以，又垂直平分，故，根据等边对等角得，最后通过外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴点在平分线上， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 52．如图，外角的平分线与内角的平分线交于点P，若，请你求出（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】添加辅助线，作，，，根据角平分线的性质以及三角形外角的性质求解的度数，再结合角平分线的性质可得，可得平分，由此求解即可． 【详解】解：作交的延长线于点H，交的延长线于点F，作于点E，如图， ∵外角的平分线与内角的平分线交于点P， ∴，， ∵在中，， 在中，， ∵， ∴，即， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分， ∵， ∴． 题型十八：角平分线性质的实际应用 53．如图，某公园有一块角形花坛，园丁沿的平分线铺设了一条喷灌管道，管道上装有一个自动喷灌喷头P，喷头P到花坛两边，的最短距离分别为，（于点M，于点N）．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质定理即可作答． 【详解】解：由题意得，平分， ∵， ∴． 54．如下图，AO、BO、CO分别平分、、，，的周长为12，，则的面积为__________． 【答案】12 【分析】过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得OD＝OE＝OF，再根据三角形面积计算即可得解． 【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F， ∵∠ABC、∠ACB的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB于E，OF⊥AC， ∴OD＝OE，OD＝OF， ∵， ∴OD＝OE＝OF＝2， ∵△ABC的周长为12， ∴△ABC的面积＝（AB+BC+AC）×2＝×12×2＝12． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟记角平分线的性质是解题的关键． 55．如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，现量得托板长，支撑板顶端的C恰好是托板的中点，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点B到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 解答题 56．如图，已知，且点在边上． (1)写出与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 解：，理由如下： ， ， ； (2) 【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等和内错角相等两直线平行解答即可； （2）根据全等三角形的对应边相等和线段的和差解答即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：，，， ，， ． 57．如图，，，与相交于点． (1)求证∶； (2)求证∶． 【答案】(1)证明：在和中，， ． (2)∵， ∴． ∵，， ∴，即． 在和中，， ∴． 【分析】（1）观察图形，发现和有一个公共角，结合已知边长条件，利用“边角边”（）判定定理进行证明． （2）利用第（1）问的结论得出对应角相等，根据线段的和差关系证明，再结合对顶角相等，利用“角角边”（）判定定理进行证明． 【详解】（1）略 （2）略 58．如图，是的中线，，，且，．求证： (1)EF； (2)EF 【答案】(1)证明：如图所示，延长到点G，使得，连接，延长交于点H， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)证明：由（1）得， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）延长到点G，使得，连接，延长交于点H，证明，得到，，再证明，得到，根据，得到，据此可证明； （2）由全等三角形的性质得到，据此可证明． 【详解】（1）略 （2）略 59．如图，为外部一点，连接，已知，． (1)尺规作图：在内求作一点，使； （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)①通过作图可以得到：___________，___________； ②判定的依据是___________（从、、或中选填）； (3)求． 【答案】(1)解：如图，点M即为所求． (2)①；② (3) 【分析】（1）根据题意，以点A为圆心，为半径画弧，再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接，故，所以； （2）①根据（1）中的尺规作图，可得答案；②结合全等三角形的判定可得答案； （3）结合全等三角形的判定可得，在中，，在中，，数形结合表示出计算即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：①通过作图可以得到：； ②结合作图得， 又∵， ∴判定的依据是； （3）解：在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴ ． 60．如图，在中，于D，于E，交于点O，且． (1)求证：； (2)连接，求证：平分； (3)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵于D，于E， ∴， ∵，， ∴； (2)证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵于D，于E， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分； (3) 【分析】（1）利用证明即可； （2）证明，即可得证； （3）根据三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴. 61．如图，与为等腰直角三角形，，，，，连接、． (1)如图1，若，则________； (2)如图2，若A、D、E三点共线，与交于点F，且，求的面积； (3)如图3，与的延长线交于点G，若，延长与交于点N，在上有一点M且，连接，请猜想、、之间的数量关系并证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3) ．证明如下： 如图过点作交的延长线于，则，， ， ， ∵， ， ，， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， 在和中， ， ∴， ， ． 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）证明，利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题． （2）如图2中，过点作于．证明，推出，，求出，可得结论． （3）如图3中，结论：．如图过点作交的延长线于．证明，，利用全等三角形的性质，可得结论． 【详解】（1）解：如图1中， ∵，都是等腰直角三角形， ，，， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图2中，过点作于． ∵， ∴， ， ，， ， ， ， ∴， 在和中， ， ∴， ，， ∴， ， ； （3）略 62．如图四边形中，，E为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)证明： 如图，作垂足为M， ∵平分， ∴， 为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴平分； (2)证明：由（1）可知， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴． 【分析】（1）作垂足为M，根据角平分线的性质定理和判定定理证明即可； （2）通过证明和即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 63．按要求解答下列问题： (1)【初步探索】 如图1：在四边形中， ，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ．（、、三个角之间的数量关系） (2)【灵活运用】 如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． (3)【拓展延伸】 已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)； (2)仍成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ，， ， 在和中，， ， ，， 在和中，， ， ； (3) ． 【分析】（1）如图1：延长到点G，使，连接，，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此即可得出结论； （2）如图：延长到点G，使，连接，先判定，进而得出，，再判定可得出； （3）如图3，在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定得出，最后根据，推导得到，即． 【详解】（1）解：如图1，延长到点G，使，连接， 在和中，， ， ，， ， ， 在和中，， ， ． （2）略 （3）解：如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ，， ， 在和中，， ， ，， 在和中，， ， ， ， ∴ ， ∴ ， 即， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03全等三角形期中复习讲义 1.理解全等形、全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角，熟记全等三角形对应边相等、对应角相等的性质。 2.熟练掌握全等三角形 5 种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），能根据已知条件选择合适判定定理证明三角形全等，清楚 SSA 不能判定全等。 3.掌握角平分线的性质与判定，会利用角平分线进行线段相等的证明与长度计算。 能识别全等基础模型：平移模型、翻折模型、旋转模型，结合图形挖掘隐含条件（公共边、公共角、对顶角）。 4.能够规范书写全等证明的几何步骤，做到推理有据，步骤完整。 5.可以利用三角形全等证明线段相等、角相等，解决线段求值、角度计算类问题。 6.梳理易错点：找准对应边角；HL 仅适用于直角三角形；证明时条件顺序规范，避免直接使用 SSA；注意多解分类讨论题型。 7.具备几何识图能力，能从复杂图形中分离出全等基本图形，为后续几何学习打好基础。 题型 考察方向 难度 题型一 全等三角形的概念与性质 ★★ 题型二 用 SAS 证明三角形全等 ★★ 题型三 全等的性质和 SAS 综合 ★★★ 题型四 用 ASA（AAS）证明三角形全等 ★★ 题型五 全等的性质和 ASA（AAS）综合 ★★★ 题型六 用 SSS 证明三角形全等 ★★ 题型七 全等的性质和 SSS 综合 ★★★ 题型八 用 HL 证全等 ★★ 题型九 全等的性质和 HL 综合 ★★★ 题型十 添加条件使三角形全等 ★★ 题型十一 灵活选用判定方法证全等 ★★★ 题型十二 倍长中线模型 ★★★★ 题型十三 全等三角形综合问题 ★★★★ 题型十四 尺规作一个角等于已知角 ★ 题型十五 作角平分线 ★ 题型十六 角平分线的性质定理 ★★ 题型十七 角平分线的判定定理 ★★ 题型十八 角平分线性质的实际应用 ★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:全等三角形基本概念 1. 全等形定义 能够完全重合的两个图形叫做全等形；全等图形形状、大小全部相同，仅位置不同。 2. 全等三角形定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 3. 对应元素 对应顶点：重合的顶点；对应边：重合的边；对应角：重合的角。 4.表示方法： ABC≌DEF，书写时对应顶点写在对应位置，以此确定对应边、对应角。 5.快速找对应边、对应角技巧 (1)公共边一定是对应边，公共角、对顶角一定是对应角； (2)最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角； (3)翻折、旋转、平移前后重合的边角为对应元素。 知识点02图形变换与全等 一个三角形经过平移、翻折、旋转后，位置发生改变，但形状、大小不变，变换前后的两个三角形全等。 知识点03:全等三角形的性质（重点） 基本性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 若 △ABC △DEF则： 对应边相等：AB=DE BC=EF AC=DF 对应角相等： ∠A=∠D,∠B=∠ E, ∠C=∠F 知识点04:全等三角形的判定 1.判定基本思路 判定两个三角形全等，无需验证所有 6 组边角关系，满足部分特定条件即判定。 2.三角形全等的五种判定定理（核心考点） 重要提醒：AAA、SSA 不能作为三角形全等判定依据。 3.不能判定全等的两种情况（高频易错） (1)AAA（三角分别相等） 三个角对应相等，只能说明两个三角形形状相同（相似），大小不一定相等，不能判定全等。 (2)SSA（两边及其中一边的对角相等） 两边和其中一边的对角对应相等，无法保证三角形完全重合，不能判定全等。 4.判定方法选择技巧 (1)已知两边：优先选 SSS 或 SAS； (2)已知一边一角：优先选 SAS、ASA、AAS； (3)已知两角：优先选 ASA 或 AAS。 知识点05:已知三边作三角形 已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件 “边边边” 来作图的，具体作图的步骤如下： 已知：线段 a，b，c 求作：△ABC，使 AB=c，AC=b，BC=a。 作法与图形： 知识点06:角平分线 1.定义 把一个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 角平分线上的任意一点，到这个角两边的距离相等 ∵ OC 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴ PD = PE 判定定理 到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上 3尺规作图：作已知角的平分线 已知：∠AOB。作法： 1.以 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 OA,OB 于 M,N； 2.分别以 M,N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在角内交于点 C； 3.作射线 OC，即为 ∠AOB 的平分线。 知识点07:高频易错点汇总 易错类型 错误表现 正确结论 避坑技巧 书写全等 对应顶点顺序混乱 字母必须一一对应，否则对应边角会找错 抄题时严格对齐顶点 SAS 误用 用两边及对角（SSA）证明全等 夹角才能用 SAS，对角无法判定全等 先标记角是否夹在两边中间 HL 乱用 普通三角形使用 HL 判定 HL 仅限直角三角形，普通三角形不可用 先观察是否有直角标记 角平分线漏条件 使用性质不写 “垂直” 距离必须是垂线段长度，无垂直不能直接得线段相等 证明时必须标注垂直符号 性质混淆 面积相等直接推出全等 全等一定面积相等，面积相等不一定全等 全等需要边、角条件支撑 证明跳步 省略关键推导依据（公共边、对顶角） 每一组相等条件都要标注来源 初学完整写出每一步理由 题型一：全等三角形的概念与性质 1．如图所示，，其中与，与是对应顶点，则的对应边是______，的对应角是_______．    2．下列几种说法：全等三角形的对应边相等；面积相等的两个三角形全等；周长相等的两个三角形全等；全等的两个三角形的面积相等．其中正确的是______． 3．如图，，点在同一条直线上，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（    ）对全等三角形．      A．15 B．16 C．18 D．21 题型二：用 SAS 证明三角形全等 5．如图，已知，，，则_______，理由是 ______ ． 6．如图，已知线段，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走，点从点向运动，每秒走，，同时从出发，则出发______秒后，在线段上有一点，使． 7．如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具．这样可以利用三角形全等，通过量出的长度，就可知工件内径是否符合标准．其中说明的依据是（     ） A． B． C． D． 题型三：全等的性质和 SAS 综合 8．如图，将两根钢条，的中点O钉在一起，使，能绕点O自由转动，就做成一个测量工具， 测的长即等于内槽宽， 那么判定的理由是（     ） A． B． C． D． 9．如图，E是延长线上一点，已知，，则图中全等三角形有___________对． 10．如图，在中，，．为上一点，满足，为三条角平分线的交点，则的度数为(   ) A．30° B． C．50° D．60° 题型四：用 ASA（AAS）证明三角形全等 11．小明不慎将一块三角形玻璃打碎成如图所示的四块（图中所标1，2，3，4）．他需要带其中的一块碎玻璃到玻璃店去配一块与原来形状，大小完全一样的玻璃，则他需要带第__________块玻璃碎片． 12．如图，在中，，点、分别在边、上（均不与点、、重合），且，若，则______度． 13．如图，，，点D在边上，，求证：． 下面是乱序的证明过程： ①∴， ②∴（）． ③∴， ④在和中， ⑤∵． 其中正确的顺序为（   ） A．⑤①③④② B．⑤③①④② C．⑤①④②③ D．①⑤③④② 题型五：全等的性质和 ASA（AAS）综合 14．如图，在与中，点B、E在线段上，且，，．若．则的长为（     ） A．10 B．9 C．8 D．7 15．如图，梓青与米琦玩跷跷板游戏，跷跷板的支点（即跷跷板的中点）到地面的距离是，梓青和米琦在水平位置时离点的距离相等，当梓青（右）离地面的高度是时，米琦（左）从水平位置垂直上升的高度是________________． 16．如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，垂足为G，若的面积为3，则四边形的面积为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 题型六：用 SSS 证明三角形全等 17．如图，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点、画一条射线，就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（     ） A． B． C． D． 18．如图，方格纸中的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形有格点三角形，则图中与全等的格点三角形有（    ）个． A．10 B．11 C．12 D．13 19．一块三角形玻璃样板不慎被张字同学碰破，成了四片完整碎片（如图所示），聪明的他经过仔细地考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板，你认为下列四个答案中考虑最全面的是（     ） A．带1，2或2，3去就可以了 B．带1，4或3，4去就可以 C．带1，4或2，4或3，4去均可 D．带其中的任意两块去都可以 题型七：全等的性质和 SSS 综合 20．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合．过角尺顶点C的射线即是的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D．无法确定 21．如图，在与中，，，，与相交于点，若，，则的度数为________． 22．如图，在和中，点在线段上，若，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型八：用 HL 证全等 23．如图，已知，，即可证明，全等的依据是（     ） A． B． C． D． 24．如图，O是内一点，且点O到，的距离，则的依据是（    ） A． B． C． D． 25．在中，，，某线段两点分别在和的垂线上移动，则当__________时，才能使和全等． 题型九：全等的性质和 HL 综合 26．如图，在中，，于点，交于点．若，，，则______． 27．如图，为一条射线，，若．则的长为___________． 28．如图，中，，，过点B作．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点的运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为，则当以B，E，D为顶点的三角形与全等时，______s． 题型十：添加条件使三角形全等 29．如图，平分，若要用“”直接证，则还需补充的条件是________． 30．如图，已知，，下列条件中①，②，③，④能判定的序号是________． 31．如图，，，欲证，则需补充的条件可以是（     ） A． B． C． D． 题型十一：灵活选用判定方法证全等 32．如图，小明不小心将一块三角形玻璃打碎成了块不规则的玻璃块（如图所示），为了去玻璃店配一块与原玻璃形状、大小都一样的玻璃，小明应该带玻璃块______． 33．如图，已知在中，，，、分别是边、上的两条高，与相交于点F，联结，那么图中有______对全等三角形．    34．在下列各组条件中，不能说明的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型十二：倍长中线模型 35．在中，，中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．老师布置的作业中有这样一道题：如图，在中，D为的中点，若，，则的长不可能是（    ） 思考：中同学认为，，这三条边不在同一个三角形中，需要进行转化；乙同学认为可以从中点D出发，构造辅助线，利用全等的知识解决基于以上两位同学的思考过程，请选择正确的结果． A．5 B．4 C．3 D．2 37．如图，在长方形中，是中点，在边上，若，则（   ） A．3 B．2 C．1.5 D． 题型十三：全等三角形综合问题 38．如图，，垂足为C，，射线，垂足为B，动点P从C点出发以1厘米每秒的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足，随着P点运动而运动，当点P运动______秒时，三角形与点P、N、B为顶点的三角形全等（时间不等于0）． 39．如图1，已知沿直线翻折得到；如图2，在射线上取点E，连接、；如图3，在射线上取点F，连接、，依此规律，第8个图形中全等三角形的对数是（     ） A．32 B．36 C．40 D．42 40．如图，线段，射线，垂足为点，点是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰直角三角形，得与，连接交射线于点，则的长为_____cm． 题型十四：尺规作一个角等于已知角 41．嘉淇用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下： 已知：． 求作：，使． 作法： （1）如图，以点为圆心，为半径画弧，分别交，于点，． （2）画一条射线，以点为圆心，为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，为半径画弧，与上步中所画的弧相交于点． （4）过点画射线，则即为所求． 下列关于，、的取值要求，正确的是（   ） A．必须取特定长度，不能任意 B．可以取任意长度，无需与相等 C．需要与的长度相等 D．p需要与n的长度相等 42．如图，点在的边上，小明用尺规作出了．他写出了以下作图过程：①以为圆心，长为半径画弧，交于点；②作射线，则；③以为圆心，长为半径画弧，交弧于点；④以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，．但他写的顺序排乱了，请你帮他确定正确的顺序是_____________．（填序号即可） 43．如图，是作一个角等于已知角的作图痕迹，下列说法中不正确的是（   ） （1）弧①是以点为圆心，以任意长为半径所作的弧； （2）弧②是以点为圆心，以任意长为半径所作的弧； （3）弧③是以点为圆心，以的长为半径所作的弧． A．（1） B．（2） C．（3） D．（2）和（3） 题型十五：作角平分线 44．如图，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径作弧，交射线于点B；再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点C，作射线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 45．如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹，则的度数是__________． 46．在中，，．在上取一点，以点为圆心，以的长为半径（）画弧，交于点，再分别以点，为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型十六：角平分线的性质定理 47．如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 48．如图，在中，是的角平分线，是的中线，过点分别作，，垂足分别为点，，若的面积为，的长为，则的长为_______． 49．如图，在中，，的平分线交于点，点为的中点．连接．点为上一点，且．若，则（     ） A． B． C． D． 题型十七：角平分线的判定定理 50．如图，，点是内一点，于点，于点，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． 51．如图，在中，，于点，且，垂直平分，连接，若，则______． 52．如图，外角的平分线与内角的平分线交于点P，若，请你求出（　　） A． B． C． D． 题型十八：角平分线性质的实际应用 53．如图，某公园有一块角形花坛，园丁沿的平分线铺设了一条喷灌管道，管道上装有一个自动喷灌喷头P，喷头P到花坛两边，的最短距离分别为，（于点M，于点N）．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 54．如下图，AO、BO、CO分别平分、、，，的周长为12，，则的面积为__________． 55．如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，现量得托板长，支撑板顶端的C恰好是托板的中点，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点B到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 解答题 56．如图，已知，且点在边上． (1)写出与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 57．如图，，，与相交于点． (1)求证∶； (2)求证∶． 58．如图，是的中线，，，且，．求证： (1)EF； (2)EF 59．如图，为外部一点，连接，已知，． (1)尺规作图：在内求作一点，使； （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)①通过作图可以得到：___________，___________； ②判定的依据是___________（从、、或中选填）； (3)求． 60．如图，在中，于D，于E，交于点O，且． (1)求证：； (2)连接，求证：平分； (3)若，求的度数． 61．如图，与为等腰直角三角形，，，，，连接、． (1)如图1，若，则________； (2)如图2，若A、D、E三点共线，与交于点F，且，求的面积； (3)如图3，与的延长线交于点G，若，延长与交于点N，在上有一点M且，连接，请猜想、、之间的数量关系并证明你的猜想． 62．如图四边形中，，E为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 63．按要求解答下列问题： (1)【初步探索】 如图1：在四边形中， ，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ．（、、三个角之间的数量关系） (2)【灵活运用】 如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． (3)【拓展延伸】 已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请直接写出与的数量关系． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $