专题一·期中综合复习·基础巩固讲义（三角形+全等三角形+轴对称）·2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题一·期中综合复习·基础巩固讲义 （三角形+全等三角形+轴对称）·2026人教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握三角形三边关系与内角和 · 会用SSS/SAS/ASA/AAS/HL证全等 · 掌握等腰等边三角形性质 · 会画轴对称图形并求对称点坐标 · 会基本尺规作图与命题证明 📚 知识梳理 ☆ 1.三角形基础知识 三角形两边之和大于第三边 内角和180°，外角等于不相邻两内角和 中线分三角形面积相等 直角三角形两锐角互余 概念辨析例题：三角形两边为3和5，第三边x范围？ 答案：2<x<8。 解析：5-3<x<5+3。 ☆ 2.全等三角形 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 全等三角形对应边/角相等 注意SSA/AAA不能判定全等 角平分线上点到两边距离相等 概念辨析例题：AB=DE，∠B=∠E，补充哪个条件用SAS？ 答案：BC=EF。 解析：SAS需要夹角两边。 ☆ 3.等腰与等边三角形 等边对等角，等角对等边 三线合一：顶角平分线/底边上高/中线重合 等边三角形三角均60° 30°角所对直角边是斜边一半 概念辨析例题：等腰三角形顶角80°，底角？ 答案：50°。 解析：(180-80)/2=50。 ☆ 4.轴对称与坐标 轴对称图形沿对称轴折叠重合 点(x,y)关于x轴对称(x,-y)，关于y轴对称(-x,y) 对称轴是对应点连线的垂直平分线 折叠问题转化为轴对称 概念辨析例题：点P(2,-3)关于x轴对称点？ 答案：(2,3)。 解析：x轴对称x不变y变号。 📋 知识总结表 核心概念 定理/性质 注意事项 三边关系 两边和>第三边 两短边和>最长边 内角和 180° 外角=不相邻两内角和 全等判定 SSS/SAS/ASA/AAS/HL SSA不行 等腰三角形 等边对等角 三线合一 轴对称 对应点连线被轴垂直平分 折叠即轴对称 角平分线 到两边距离相等 逆定理判定角平分线 ⚠️ 核心考点 【考点1】三角形基础知识（第1-17题） · 三边关系先找最长边 · 内角和结合外角列方程 · 中线等分面积 1．（福建省福州第七中学2024-2025学年八年级上学期数学适应性训练（10月））某零件的形状如图所示，按照要求，，，那么的度数是（   ）（提示：连接或） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和得到，据此得到，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接并延长到E， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期中）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A．三脚架 B．篮球架 C．活动衣架 D．太阳能热水器 【答案】C 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查的是三角形的性质，根据三角形具有稳定性判断即可． 【详解】解：A、应用到三角形的稳定性，不符合题意； B、应用到三角形的稳定性，不符合题意； C、没有应用到三角形的稳定性，符合题意； D、应用到三角形的稳定性，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）若一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则其面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了直角三角形的面积计算，直角三角形的面积等于其两直角边乘积的一半，据此求解即可． 【详解】解：∵一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4， ∴该三角形的面积为， 故选：C． 4．（24-25八年级上·四川德阳·阶段检测）如图，在中，是边上一点，是边上一点．在中，的对边是__________．    【答案】/ 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形边角间的关系．利用三角形边、角间的关系可得答案． 【详解】解：在中，的对边是． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，和的平分线交于点D，于点E，连接，若，，则的面积为_______． 【答案】8 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质和三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键，根据角平分线的性质可得到，再利用三角形的面积公式即可求得答案． 【详解】解：过点作，如图： ∵和的平分线交于点D，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：8． 6．（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，一辆货车，为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知，，，则的长为_________． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形 【详解】解：∵，，， ∴． 7．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为______． 【答案】3 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分面积，进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴； 故答案为：3． 8．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，是高，是角平分线，相交于点，，则________． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形的高，角平分线的定义，三角形的外角的性质，根据图形理解题意是解题的关键．先根据三角形的高的定义和角平分线的定义，得到，然后再根据三角形的外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：在中，是高， ， 是角平分线，， ， ， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，和的平分线交于点，连接，的外角的平分线与的延长线交于点，交于点．下列四个结论①；②；③；④．其中所有正确的结论有____________________．（填序号） 【答案】①③④ 【知识点】内错角相等两直线平行、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据已知推出平分，求出，继而得到，可判断①；根据角平分线和三角形外角的性质求出，得出，可判断②；求出，，可判断③；根据，，可判断④． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴平分，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论①正确； ∵，， 又∵， ∴， ∴， ∵根据题意不能说明， ∴， ∴，故结论②错误； ∵，， ∴， ∵， ∴，故结论③正确； ∵， ， ∴，故结论④正确； 综上所述，所有正确的结论有①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的判定，解题的关键是掌握三角形角平分线的性质． 10．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为______．    【答案】/25度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、对顶角相等、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出的度数，由对顶角的性质得到的度数，由三角形外角的性质即可解决问题．由平行线的性质求出，由对顶角的性质得到，由三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：解：如图，   ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 11．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，于点，的平分线交于点，，，则的度数是________． 【答案】/80度 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】先由垂线的定义得到，再由三角形内角和定理得到，则由角平分线的定义可得，然后由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 12．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图所示，在中，于点D，，求的长． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，所对的直角边等于斜边的一半．是基础知识要熟练掌握． 由，，，得，得出，即可得到的长． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，沿方向平移到的位置． (1)若，求的度数； (2)若，求平移的距离． 【答案】(1) (2)3 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查图形的平移、三角形内角和定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． （1）根据平移的性质，得到，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）由平移的性质得出，进而可证，即可求解． 【详解】（1）解：由平移可知， ∴， ∴． （2）由平移可知， ∴， ∴， ∴， ∴平移的距离为3． 14．（23-24八年级上·陕西安康·期中）两根木棒分别长、，第三根木棒与这两根木棒首尾依次相接构成三角形，如果第三根木棒的长为偶数（单位：），那么一共可以构成多少个不同的三角形？这些三角形的周长分别是多少？ 【答案】共可以构成个不同的三角形，他们的周长分别为：，，， 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形的三边关系的应用，先求得第三根木棒长的取值范围，进而求得满足已知的第三根木棒长以及周长． 【详解】解：两根木棒分别长、， 根据三角形的三边关系，得：第三根木棒的长大于而小于． 又第三根木棒的长是偶数，则应为，，，． 共可以构成个不同的三角形， 他们的周长分别为：，， ，． 15．（23-24七年级下·江苏常州·期中）如图，在中，于点，，平分，点在上，，． (1)①请问和的数量关系是 ， ②请证明①中的结论； (2)求的度数． 【答案】(1)①， ②证明： 平分， ， 于点 ， ， (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行的判定与性质，以及垂线的性质的综合应用．根据同位角相等，两直线平行，判定是解题的关键．(1)运用角平分线的性质求出，结合垂线的性质和应用求得，；（2）通过平行的判定和性质，三角形内角和定理求得． 【详解】（1）①和的数量关系为： ②略 （2）由（1）得， ， ， ， ， 故， 故答案为： 16．（24-25七年级下·重庆南川·期中）如图，在三角形中，于点，，． (1)求证：； (2)若平分，平分交于点，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ， ， ， ； (2)． 【知识点】角平分线的性质定理、根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质以及角平分线的定义，正确运用相关知识进行推理是解答本题的关键． （1）由得出，得出，进而得出，可证明，结合可得结论； （2）根据平分线的定义得出，，根据平行线的性质可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：，平分， ，即， ， 平分， ， ， ， ． 17．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）如图，已知，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，交的延长线于点Q，且，对说明理由． 【答案】(1) 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理和外角性质： （1），得到，进而得到，即可得出结论； （2）由三角形的外角性质求出的度数，由得到，由角平分线得到，由三角形的内角和定理得到，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【考点2】全等三角形判定与性质（第18-31题） · 先找对应边对应角 · 根据已知条件选判定定理 · 角平分线性质直接用 18．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段检测）小明在用尺规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的： 根据以上的作法，能得到，你认为全等的理由是（　　） A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA 【答案】C 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、尺规作一个角等于已知角，根据作图过程，利用可证明． 【详解】解：根据作图过程，得，，， ∴， 故选：C． 19．（25-26八年级上·全国·期中）如图，，的延长线过点E，，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】首先根据邻补角定义求得的度数，再根据全等三角形的性质求解的度数，然后根据三角形外角的性质可得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 20．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，已知，点B，F，C，E在同一条直线上，若，则的长为（　　　）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的对应边相等求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 21．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，平分，，则______． 【答案】/105度 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明得到即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 22．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图中的四个三角形，其中与①全等的三角形是______（填序号）． 【答案】② 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：根据可以得到与①全等的三角形是②；③④中的角不是两边的夹角，与①不全等； 故答案为：②． 23．（13-14七年级下·福建漳州·阶段检测）如图，在和中，已知，请你添加一个条件_____，使． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 添加条件是，根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：．理由是： ∵在和中， ， ∴， 故答案为：． 24．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，，，垂足分别为，，要根据“”直接证明，应添加的条件是________． 【答案】 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法“”是解题的关键． 根据“”判定方法求解即可． 【详解】解：应添加的条件是，理由是： ∵，， ∴， ∵，， ∴，即应添加的条件是， 故答案为：． 25．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，点、、、在同一条直线上，，，，如果，，那么的长等于________． 【答案】 【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．根据平行线的性质可得：，，证明，得到，推出，再结合，，即可求解． 【详解】解： ，， ，， ， ， ， ，即， ，， ， ， 故答案为：． 26．（2024·陕西渭南·二模）如图，在和中，点D在上，，，请你再添加一个条件：______，使得，并说明理由． 【答案】 ， 理由：∵， ∴，即． 在和中，，，， ∴． 注：答案不唯一，添加或均可． 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了三角形全等的判定条件，判定三角形全等的定理有：，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 根据已知条件可推知，两个三角形有一组角、一组边分别对应相等，只需要再添加一组对应角相等，构成或即可证得两三角形全等（也可添加条件，构成）． 【详解】略 27．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段检测）如图，，垂足分别为E、F， （1）若，且，则，其根据是____． （2）若，且，则，其根据是____． （3）若，且，则，其根据是____．    【答案】 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、用HL证全等（HL） 【分析】（1）先根据垂直的定义得到，再根据平行线的性质得到，然后根据全等三角形的判定方法可判断； （2）先根据垂直的定义得到，然后根据全等三角形的判定方法可判断； （3）先根据垂直的定义得到，然后根据直角三角形全等的判定方法可判断． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴， 在和中， ， ∴； 故答案为：； （3）∵， ∴， 在和中， ， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 28．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，D是上一点，为上一点，连接并延长至F，使，连接． 若______，则． 请从①，②，③，④．这四个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】 解：选择①，理由如下： 在和中， ∵，，， ∴， ∴； 选择②，理由如下： ∵， ∴； 选择③，理由如下： 在和中， ∵，，， ∴， ∴； 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．根据全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】略 29．（24-25八年级上·广东东莞·期中）我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，，对角线交于点O．求证： (1) ； (2)． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴点D和点B在线段的垂直平分线上， 即是的垂直平分线， ∴； (2) 证明：由（1）可知， ∴， 在和， ． 【知识点】线段垂直平分线的判定、用HL证全等（HL） 【分析】本题考查垂直平行线的判定，直角三角形全等的判定： （1）根据垂直平行线的判定定理可得点D和点B在线段的垂直平分线上，即可证明； （2）根据证明． 【详解】（1）略 （2）略 30．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，判断与的数量关系并加以说明． 【答案】 解：，证明： 连接， 在与中， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴． 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，连接，先证，得到，结合角平分线性质求解即可得到证明； 【详解】略 31．（23-24八年级上·重庆开州·期中）如图，在中，，D为外一点，连接，，，已知，过点A作于点E，F为延长线上一点．    (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：过点作于，如图：   ， ， 在和中， ， ， ， 平分． (2)4 【知识点】角平分线的判定定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）过点作于，利用证得，进而得，根据角平分线的判定即可求证结论． （2）根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）由（1）得：， ，， ，即， ，即：， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质和角平分线的判定，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 【考点3】等腰与等边三角形（第32-40题） · 等边对等角列方程 · 三线合一作辅助线 · 分类讨论腰/底 32．（24-25八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E．连接，将分成两个角，且．则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查中垂线的性质，三角形的内角和定理，根据中垂线的性质，得到，等边对等角，得到，根据角的数量关系和三角形的内角和定理，求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵边的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 33．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上的点F处，若，且为等腰三角形，则是度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】等边对等角、三角形折叠中的角度问题 【分析】本题主要考查的是等腰三角形的性质、折叠变换的性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．分、、三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】解：当时，则， 由折叠的性质可得， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∵， ∴不存在； 综上所述，或， 故选：D． 34．（23-24九年级下·贵州铜仁·阶段检测）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为________． 【答案】或 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 分边长为的边为腰和底边两种情况，结合构成三角形的条件进行求解． 【详解】解：①当边长为的边是腰时，则另一腰长为，底边长为， 此时三角形的三边分别为， 满足任意两边之和大于第三边（，，）， 能组成三角形，符合题意； ②当边长为的边是底边时，则腰长为， 此时三角形的三边分别为， 满足任意两边之和大于第三边（，，）， 能组成三角形，符合题意； 故底边长为或． 故答案为：或． 35．（24-25八年级下·广东梅州·阶段检测）如图，在中，，点D 在边上，，则_____．    【答案】/27度 【知识点】等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，先根据等边对等角求出，然后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴ 故答案为：． 36．（22-23八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 _____条．    【答案】4 【知识点】找出图中的等腰三角形 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识， 根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】如图所示，当时，都能得到符合题意的等腰三角形．    ∴这样的直线最多可画4条． 故答案为：4． 37．（25-26八年级上·陕西延安·期末）我们称等腰三角形的腰长与其底边长的比值为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则这个等腰三角形的“和谐比”为____． 【答案】或 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查等腰三角形的性质．熟悉等腰三角形三边关系，根据不同情况分别计算答案，是解题的关键．根据等腰三角形的周长和一边长，分别讨论该边为腰长或底边长两种情况，计算和谐比即可． 【详解】解：等腰三角形的周长为，其中一边长为， 若为腰长，则底边长为，满足三角形的三边条件，其和谐比为， 若为底边长，则腰长为，满足三角形的三边条件，其和谐比为． 故答案为：或． 38．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，的半径为，圆周角，求的长． 【答案】2 【知识点】圆周角定理、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定，作所对的圆周角，连接、，利用圆内接四边形的性质得，再根据圆周角定理得到，则可判断为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解即可得，掌握圆周角定理，添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：作所对的圆周角，连接、，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， 在中，，， 根据勾股定理得，． 39．（22-23八年级下·山东烟台·期末）如图，点是等边内一点，连接，延长到点，使．延长到点，使，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1) 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴； (2) 【知识点】等边对等角、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用“”证明得出，即可得证； （2）由等边三角形的性质得出，，求出，得出，再由三角形外角的定义及性质得出，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 40．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，为边上的垂直平分线，与的平分线交于点，过点作交的延长线于点，作，交于点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接，，    ∵平分，，， ∴，， ∵为边上的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， (2) 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的性质 【分析】（）连接、，利用已知条件证明，即可得到； （）根据（）中的条件证得，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论，代入即可求解； 本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，能综合运用性质进行推理是解题的关键． 【详解】（1）略； （2）由（）得，，， 同理：， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【考点4】轴对称与坐标对称（第41-52题） · 对称点坐标规律 · 折叠问题找对应点 · 格点画图数个数 41．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】坐标系中的对称、写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于直线对称的点的坐标特征．熟练掌握平面直角坐标系中关于直线对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据关于直线对称的点的坐标特征来求解点的坐标即可． 【详解】关于直线对称，且直线上各点的横坐标都为1， 关于直线对称． 点的坐标为，设点坐标为， ， 解得，故点坐标为． 故选A． 42．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）王老师给全班同学留了一个特色寒假作业，画一张有关兔子的图画，以下四个图形是开学后收上来的图画中的一部分，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，理解定义：“将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形．”是解题的关键． 【详解】解：A、不符合轴对称图形定义，故此项不符合题意； B、不符合轴对称图形定义，故此项不符合题意； C、符合轴对称图形定义，故此项符合题意； D、不符合轴对称图形定义，故此项不符合题意； 故选：C． 43．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图，在中，，分别是边，上的点，将沿折叠；使点落在点处，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】折叠问题、三角形折叠中的角度问题 【分析】由三角形内角和定理可得的度数，由平角的定义可得的度数，再由折叠的性质可得的度数，据此由角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴． 44．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，将长方形沿翻折，使点C、D分别落在点H和边上的点G处，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】折叠问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查折叠的性质，平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补计算即可． 【详解】解：由折叠的性质，可知：． ∵，， ∴． 又∵长方形， ∴， ∴． 故选：C． 45．（23-24八年级上·广东广州·期中）将坐标平面内的点先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，然后将所得的像作关于y轴的轴对称变换，最终所得的像为，则是(　　) A．原点 B． C． D． 【答案】A 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、由平移方式确定点的坐标 【分析】此题主要考查了坐标与图形的变化以及关于坐标轴对称问题，注意：把一个点向左平移个单位，其横坐标减去；向右平移个单位，其横坐标加上；向上平移个单位，其纵坐标加上；向下平移个单位，其纵坐标减去m． 先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，即坐标为；再作关于y轴的对称变换，即横坐标变为原来的相反数坐标． 【详解】解：由已知条件可知： ∴平移后所得点为，即． ∵将所得的像作关于y轴的轴对称变换， ∴最终所得的像为． ∵最终所得的像为， ∴，解得， ∴点是． 故选：A． 46．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与关于某直线成轴对称的格点三角形一共有________个． 【答案】5/五 【知识点】画轴对称图形 【分析】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案． 【详解】解：如图所示，格点三角形共有5个， 故答案为：5． 47．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，与关于直线对称，，，则的度数为___________． 【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了轴对称的性质，掌握成轴对称的两个图形全等是解题关键．根据轴对称的性质得出，即可得出的度数，进而根据三角形内角和可得出的度数． 【详解】 与关于直线对称，， ， ， ． 故答案为：． 48．（23-24七年级下·广西柳州·期中）如图所示，长方形纸片中，，现将长方形纸片沿折叠，使点B落在点处，与交于点E；再将三角形沿折叠，使点D落在点处．则______． 【答案】/度 【知识点】折叠问题、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查折叠的性质及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.由题意得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得：， 在长方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 49．（24-25八年级上·新疆吐鲁番·期末）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于y轴对称的； (2)若点是内一点，则其在内的对应点的坐标是______． 【答案】(1) 解：如图，即为所求； (2) 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、画轴对称图形 【分析】（）分别作出三个顶点关于轴的对称点，再首尾顺次连接可画出； （）根据关于轴对称的点的坐标符号特点求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：点是内一点，则其在内的对应点的坐标是． 50．（25-26八年级上·全国·单元复习）下列图形是轴对称图形吗？如果是，画出它们的对称轴． 【答案】 解：由轴对称图形的定义可知，这四幅图都是轴对称图形， 画对称轴如下所示： 【知识点】画对称轴、轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，画对称轴等知识点，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，常见的轴对称图形有：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆、线段、相交直线等．根据轴对称图形的定义逐项分析判断即可得出答案，然后画出轴对称图形的对称轴即可． 【详解】略 51．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在方格纸中画出关于直线对称的． 【答案】 解：如图所示，即为所求． 【知识点】画轴对称图形 【分析】本题主要考查作图—轴对称变换，分别作出三个顶点关于直线的对称点，再首尾顺次连接即可． 【详解】略 52．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，在方格纸中，的顶点都在格点上． (1)在图中作出关于直线l对称的；（要求：点A与，点B与，点C与相对应） (2)在第（1）题的基础上，连接，求四边形的面积． 【答案】(1) 如图，是关于直线l的对称图形． (2)12 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、画轴对称图形 【分析】此题主要考查了作轴对称变换，求四边形面积， （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）由图得四边形是等腰梯形，，高是4，然后利用梯形的面积 求解即可． 【详解】（1）略 （2）由图得四边形是等腰梯形，，高是4． 【考点5】命题证明与尺规作图（第53-60题） · 逆命题交换条件结论 · 尺规作图保留痕迹 · 证明题先写已知求证 53．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使．分别以点，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，过点作于点，若，则的长为（    ） A．2 B．1.5 C．1 D．0.5 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的尺规作图，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．由作图方法可知，是的角平分线，则由角平分线的性质可得． 【详解】解：由作图方法可知，是的角平分线， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 54．（18-19八年级上·辽宁大连·期末）已知如图，中，是角平分线，，垂足为E．若，则点D到边的距离是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，过D作于F，根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：过D作于F， ∵平分，，， ∴， 即点到的距离为2， 故选：C． 55．（25-26七年级下·全国·期末）命题“末位数字是5的数能被5整除”的逆命题是_____ 命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【知识点】写出命题的逆命题、判断命题真假 【详解】解：命题“末位数字是5的数能被5整除”的逆命题是能被5整除的数的末位数字是5， 又因为能被5整除的数的末位数字还可以为0， 故命题“末位数字是5的数能被5整除”的逆命题是假命题． 56．（25-26八年级上·山西大同·期中）命题“如果两个三角形全等，那么它们的面积相等”的逆命题是____． 【答案】如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题考查了逆命题的概念，弄清逆命题的概念及与原命题的关系是解题的关键． 交换原命题的题设和结论即可求得原命题的逆命题． 【详解】解：命题“如果两个三角形全等，那么它们的面积相等”的逆命题是“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等”． 故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等． 57．（25-26七年级下·上海·期中）现有直线和直线外一点，如图是小明同学利用“过直线外一点作已知直线的平行线”的作图痕迹，请问该同学这样作平行线依据的判定定理是：_____． 【答案】同位角相等，两直线平行 【知识点】同位角相等两直线平行、尺规作一个角等于已知角 【详解】解：观察作图痕迹可知，该同学作出的图形中，上方直线与截线所成的角等于下方直线与截线所成的角，这两个角在截线的同侧，并且都在被截直线的上方， ∴这两个角是一组同位角， ∵作图保证了这两个同位角相等， ∴该同学这样作平行线依据的判定定理是同位角相等，两直线平行． 58．（24-25七年级下·福建福州·期末）尺规作图：已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形． 已知：，线段． 求作：，使得，，．（保留作图痕迹，不要求写作法．） 【答案】 解：如图所示，即为所求； 【知识点】尺规作图——作三角形 【分析】本题主要考查了三角形的尺规作图，先作射线，在射线上截取，作，作，交于点C，则即为所求． 【详解】略 59．（23-24八年级上·山东德州·阶段检测）画 【答案】如图： 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图、三角形全等的判定定理与性质，掌握并灵活运用三角形全等的判定定理与性质是解题关键．结合三角形全等的判定定理与性质，利用尺规作一个角等于已知角即可． 【详解】根据尺规作图，分以下5步： （1）画一条射线 （2）以点B为圆心，长为半径画弧，分别交于点M，交于点N （3）以点E为圆心，长为半径画弧，交于点P， （4）以点P为圆心，长为半径画弧，与（3）所画的弧相交于点Q （5）过点E、Q画射线 则即为所作 理由：由作图过程可知，， 在和中， 即． 60．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）尺规作图：如图，已知，过点作直线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图，直线即为所求． 【知识点】过直线外一点作已知直线的平行线、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查过直线外一点作已知直线的平行线，根据题意作，连接即可． 【详解】略 💯 课后巩固 复习建议 · 三边关系先找最长边 · 全等先找对应 · 等腰分类讨论 · 对称坐标记规律 · 证明写已知求证 【作业1】．（25-26七年级下·安徽宿州·期末）已知等腰三角形一边长为，周长为，则它的腰长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】已知边没有明确是腰还是底边，需要分两种情况讨论，再验证能否构成三角形，即可得到正确结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ①若边长为腰长，则底边长为， ∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴不能构成三角形，舍去该情况； ②若边长为底边长，则腰长为， ∵，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴ 腰长为． 【作业2】．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）下列运动图标中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查轴对称图形，根据一个平面图形，沿着某条直线翻折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选C． 【作业3】．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆或三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，2，4 D．1，2，4 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理判断即可，掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 【详解】解：A、，不能摆成三角形，故本选项不符合题意； B、，能摆成三角形，故本选项符合题意； C、，不能摆成三角形，故本选项不符合题意； D、，不能摆成三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 【作业4】．（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图，在和中，，可直接用“”判定这两个三角形全等的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查直角三角形全等的判定，解题的关键是掌握直角三角形的全等的判定方法． 根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：在 、 中，， A、，，可以根据证明三角形全等，本选项符合题意； B、，，可以根据证明三角形全等，本选项不符合题意； C、，，可以根据证明三角形全等，本选项不符合题意； D、，，可以根据证明三角形全等，本选项不符合题意； 故选：A． 【作业5】．（25-26八年级上·全国·期末）在中，若是直角，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形两个锐角互余．根据直角三角形的两个锐角互余，解答即可． 【详解】解：由题意得， 故选：A． 【作业6】．（23-24八年级上·河北沧州·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．三个角分别相等的两个三角形全等 C．对顶角相等 D．三角形的一个外角大于任何一个内角 【答案】C 【知识点】两直线平行同位角相等、判断命题真假、对顶角相等、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了对顶角的性质、三角形外角的性质、同位角、全等三角形的判定，由对顶角的性质、三角形外角的性质、同位角、全等三角形的判定逐项判断即可得到答案，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，故原说法错误，不符合题意； B、判定两三角形全等至少需要一边相等，三个角分别相等的两个三角形不一定全等，故原说法错误，不符合题意； C、对顶角相等，故原说法正确，符合题意； D、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【作业7】．（23-24七年级下·四川雅安·期末）如图所示，已知，补充一个条件，可使，那么补充的条件不能是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定，结合已知条件，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解：由题意知，， 添加后，满足，不能判定，故A选项符合题意； 添加后，满足，能判定，故B选项不合题意； 添加后，满足，能判定，故C选项不合题意； 添加后，满足，能判定，故D选项不合题意； 故选A． 【作业8】．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知关于轴的对称点为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标系中的对称 【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：关于轴的对称点为， 横坐标不变，即． 故选：D． 【作业9】．（25-26八年级上·全国·期末）已知点与点关于y轴对称，则的值为（   ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了关于y轴对称的两点的坐标特征，掌握这一特征是关键． 若两点关于y轴对称，则其横坐标互为相反数，纵坐标不变，由此则可求得结果． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴， ∴ 故选：A． 【作业10】．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，上，下两幅“娃娃脸”图案关于轴对称，上图中左，右眼睛的坐标分别为，，则下图中左，右眼睛的坐标分别是___________． 【答案】， 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查关于坐标轴对称点坐标．根据题意利用对称性即可得到本题答案． 【详解】解：∵左，右眼睛的坐标分别为，，且关于轴对称， ∴下图中左，右眼睛的坐标分别是：，， 故答案为：，． 【作业11】．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）如图，在中，，，、分别是、的平分线，经过点，且，分别交、于点、，则的周长是_________． 【答案】11 【知识点】两直线平行内错角相等、角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用等量代换可得：的周长，即可解答． 【详解】解：、分别是、的平分线， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长 ， 故答案为：11． 【作业12】．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，和关于直线对称，连接交直线于点，若，，，则五边形的周长为________． 【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【详解】解：根据对称的性质可得，，， 则五边形的周长为． 【作业13】．（24-25八年级上·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”即可求解，解题的关键是正确理解关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】解：∵点， ∴关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 【作业14】．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）点关于x轴对称后再向右平移m个单位，其对应点落在y轴上，则_______． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题主要考查平移的性质．根据x轴对称求出对称点，再根据平移的性质求出平移后的坐标即可得到答案． 【详解】解：点关于x轴对称的点为， 向右平移m个单位，得到点的坐标为， 由题意，点落在轴上， 解得． 故答案为：． 【作业15】．（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，在中，点D，E，F，分别为，，的中点，，则的值为______． 【答案】8 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形中线的性质，掌握好三角形的中线平分面积是解题关键． 根据三角形的中线平分面积的性质，，，，计算出答案即可． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 同理可得，，． 故答案为：8． 【作业16】．（24-25七年级下·四川达州·期末）有一座小山，现要在小山的两端开一条隧道．如图，施工队要知道两点之间的距离（无法直接测量），于是先在平地上取可以直接到达点和点的点，连接，并延长到点，使，连接，并延长到点，使，连接．经测量，， ，则两点之间的距离为___________． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的应用：一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．利用“”证明，然后根据全等三角形的性质得． 【详解】解：在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：． 【作业17】．（25-26八年级上·全国·期末）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法和性质是关键． 根据题意，运用角边角判定即可求解． 【详解】略 【作业18】．（24-25八年级上·吉林长春·期中）某段河流的两岸是平行的，某数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就能测得河的宽度．他们是这样做的： ①在河流的岸边点B处，选对岸正对的一棵树A； ②沿河岸直行处有一棵树C，继续前行到达点D处； ③从点D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的点E处时，停止行走； ④测得的长为． 根据测量数据求河的宽度． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．利用“角边角”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等可得． 【详解】解：由题意知，， 在和中， ， ∴， ， ∵， ∴， 答：河宽为． 【作业19】．（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，，，平分，求的度数． 解：在中，（①______） 又， ②______度 平分， ③______度． ④______＋⑤______（⑥______）， ______度． 【答案】①三角形的内角和定理；②；③；④；⑤；⑥三角形外角的性质；； 【知识点】角平分线的性质定理、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据三角形的内角和定理和三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：在中，（三角形的内角和定理） 又， 度 平分， 度． （三角形外角的性质）， 度． 【作业20】．（24-25八年级上·四川凉山·阶段检测）如图，已知等腰三角形和等腰三角形，，，，连接，交于点，连接．求证： (1)； (2)平分． 【答案】(1) 证明：∵，，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴； (2) 证明：过C作，， ∵， ∴ ∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． 【知识点】角平分线的判定定理、全等三角形综合问题 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的判定： （1）证明即可得到答案； （2）过C作，，证明，得到，结合角平分线的判定直接证明即可得到答案； 【详解】（1）略 （2）略 1 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一·期中综合复习·基础巩固讲义 （三角形+全等三角形+轴对称）·2026人教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握三角形三边关系与内角和 · 会用SSS/SAS/ASA/AAS/HL证全等 · 掌握等腰等边三角形性质 · 会画轴对称图形并求对称点坐标 · 会基本尺规作图与命题证明 📚 知识梳理 ☆ 1.三角形基础知识 三角形两边之和大于第三边 内角和180°，外角等于不相邻两内角和 中线分三角形面积相等 直角三角形两锐角互余 概念辨析例题：三角形两边为3和5，第三边x范围？ 答案：2<x<8。 解析：5-3<x<5+3。 ☆ 2.全等三角形 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL 全等三角形对应边/角相等 注意SSA/AAA不能判定全等 角平分线上点到两边距离相等 概念辨析例题：AB=DE，∠B=∠E，补充哪个条件用SAS？ 答案：BC=EF。 解析：SAS需要夹角两边。 ☆ 3.等腰与等边三角形 等边对等角，等角对等边 三线合一：顶角平分线/底边上高/中线重合 等边三角形三角均60° 30°角所对直角边是斜边一半 概念辨析例题：等腰三角形顶角80°，底角？ 答案：50°。 解析：(180-80)/2=50。 ☆ 4.轴对称与坐标 轴对称图形沿对称轴折叠重合 点(x,y)关于x轴对称(x,-y)，关于y轴对称(-x,y) 对称轴是对应点连线的垂直平分线 折叠问题转化为轴对称 概念辨析例题：点P(2,-3)关于x轴对称点？ 答案：(2,3)。 解析：x轴对称x不变y变号。 📋 知识总结表 核心概念 定理/性质 注意事项 三边关系 两边和>第三边 两短边和>最长边 内角和 180° 外角=不相邻两内角和 全等判定 SSS/SAS/ASA/AAS/HL SSA不行 等腰三角形 等边对等角 三线合一 轴对称 对应点连线被轴垂直平分 折叠即轴对称 角平分线 到两边距离相等 逆定理判定角平分线 ⚠️ 核心考点 【考点1】三角形基础知识（第1-17题） · 三边关系先找最长边 · 内角和结合外角列方程 · 中线等分面积 1．（福建省福州第七中学2024-2025学年八年级上学期数学适应性训练（10月））某零件的形状如图所示，按照要求，，，那么的度数是（   ）（提示：连接或） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期中）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A．三脚架 B．篮球架 C．活动衣架 D．太阳能热水器 3．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）若一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则其面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 4．（24-25八年级上·四川德阳·阶段检测）如图，在中，是边上一点，是边上一点．在中，的对边是__________．    5．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，和的平分线交于点D，于点E，连接，若，，则的面积为_______． 6．（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，一辆货车，为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知，，，则的长为_________． 7．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为______． 8．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，是高，是角平分线，相交于点，，则________． 9．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，和的平分线交于点，连接，的外角的平分线与的延长线交于点，交于点．下列四个结论①；②；③；④．其中所有正确的结论有____________________．（填序号） 10．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为______．    11．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，于点，的平分线交于点，，，则的度数是________． 12．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图所示，在中，于点D，，求的长． 13．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，沿方向平移到的位置． (1)若，求的度数； (2)若，求平移的距离． 14．（23-24八年级上·陕西安康·期中）两根木棒分别长、，第三根木棒与这两根木棒首尾依次相接构成三角形，如果第三根木棒的长为偶数（单位：），那么一共可以构成多少个不同的三角形？这些三角形的周长分别是多少？ 15．（23-24七年级下·江苏常州·期中）如图，在中，于点，，平分，点在上，，． (1)①请问和的数量关系是 ， ②请证明①中的结论； (2)求的度数． 16．（24-25七年级下·重庆南川·期中）如图，在三角形中，于点，，． (1)求证：； (2)若平分，平分交于点，求的度数． 17．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）如图，已知，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，交的延长线于点Q，且，对说明理由． 【考点2】全等三角形判定与性质（第18-31题） · 先找对应边对应角 · 根据已知条件选判定定理 · 角平分线性质直接用 18．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段检测）小明在用尺规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的： 根据以上的作法，能得到，你认为全等的理由是（　　） A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA 19．（25-26八年级上·全国·期中）如图，，的延长线过点E，，，，则（  ） A． B． C． D． 20．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，已知，点B，F，C，E在同一条直线上，若，则的长为（　　　）    A．5 B．4 C．3 D．2 21．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，平分，，则______． 22．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图中的四个三角形，其中与①全等的三角形是______（填序号）． 23．（13-14七年级下·福建漳州·阶段检测）如图，在和中，已知，请你添加一个条件_____，使． 24．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，，，垂足分别为，，要根据“”直接证明，应添加的条件是________． 25．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，点、、、在同一条直线上，，，，如果，，那么的长等于________． 26．（2024·陕西渭南·二模）如图，在和中，点D在上，，，请你再添加一个条件：______，使得，并说明理由． 27．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段检测）如图，，垂足分别为E、F， （1）若，且，则，其根据是____． （2）若，且，则，其根据是____． （3）若，且，则，其根据是____．    28．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，D是上一点，为上一点，连接并延长至F，使，连接． 若______，则． 请从①，②，③，④．这四个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 29．（24-25八年级上·广东东莞·期中）我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，，对角线交于点O．求证： (1) ； (2)． 30．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，判断与的数量关系并加以说明． 31．（23-24八年级上·重庆开州·期中）如图，在中，，D为外一点，连接，，，已知，过点A作于点E，F为延长线上一点．    (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【考点3】等腰与等边三角形（第32-40题） · 等边对等角列方程 · 三线合一作辅助线 · 分类讨论腰/底 32．（24-25八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E．连接，将分成两个角，且．则的度数是（   ） A． B． C． D． 33．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上的点F处，若，且为等腰三角形，则是度数为（    ） A． B． C．或 D．或 34．（23-24九年级下·贵州铜仁·阶段检测）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为________． 35．（24-25八年级下·广东梅州·阶段检测）如图，在中，，点D 在边上，，则_____．    36．（22-23八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 _____条．    37．（25-26八年级上·陕西延安·期末）我们称等腰三角形的腰长与其底边长的比值为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则这个等腰三角形的“和谐比”为____． 38．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，的半径为，圆周角，求的长． 39．（22-23八年级下·山东烟台·期末）如图，点是等边内一点，连接，延长到点，使．延长到点，使，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 40．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，为边上的垂直平分线，与的平分线交于点，过点作交的延长线于点，作，交于点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【考点4】轴对称与坐标对称（第41-52题） · 对称点坐标规律 · 折叠问题找对应点 · 格点画图数个数 41．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，关于直线（直线上各点的横坐标都为1）对称，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 42．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）王老师给全班同学留了一个特色寒假作业，画一张有关兔子的图画，以下四个图形是开学后收上来的图画中的一部分，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 43．（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图，在中，，分别是边，上的点，将沿折叠；使点落在点处，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 44．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，将长方形沿翻折，使点C、D分别落在点H和边上的点G处，若，则（    ） A． B． C． D． 45．（23-24八年级上·广东广州·期中）将坐标平面内的点先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，然后将所得的像作关于y轴的轴对称变换，最终所得的像为，则是(　　) A．原点 B． C． D． 46．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与关于某直线成轴对称的格点三角形一共有________个． 47．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，与关于直线对称，，，则的度数为___________． 48．（23-24七年级下·广西柳州·期中）如图所示，长方形纸片中，，现将长方形纸片沿折叠，使点B落在点处，与交于点E；再将三角形沿折叠，使点D落在点处．则______． 49．（24-25八年级上·新疆吐鲁番·期末）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于y轴对称的； (2)若点是内一点，则其在内的对应点的坐标是______． 50．（25-26八年级上·全国·单元复习）下列图形是轴对称图形吗？如果是，画出它们的对称轴． 51．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在方格纸中画出关于直线对称的． 52．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，在方格纸中，的顶点都在格点上． (1)在图中作出关于直线l对称的；（要求：点A与，点B与，点C与相对应） (2)在第（1）题的基础上，连接，求四边形的面积． 【考点5】命题证明与尺规作图（第53-60题） · 逆命题交换条件结论 · 尺规作图保留痕迹 · 证明题先写已知求证 53．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使．分别以点，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，过点作于点，若，则的长为（    ） A．2 B．1.5 C．1 D．0.5 54．（18-19八年级上·辽宁大连·期末）已知如图，中，是角平分线，，垂足为E．若，则点D到边的距离是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 ∵平分，，， ∴， 即点到的距离为2， 故选：C． 55．（25-26七年级下·全国·期末）命题“末位数字是5的数能被5整除”的逆命题是_____ 命题（填“真”或“假”）． 56．（25-26八年级上·山西大同·期中）命题“如果两个三角形全等，那么它们的面积相等”的逆命题是____． 57．（25-26七年级下·上海·期中）现有直线和直线外一点，如图是小明同学利用“过直线外一点作已知直线的平行线”的作图痕迹，请问该同学这样作平行线依据的判定定理是：_____． 58．（24-25七年级下·福建福州·期末）尺规作图：已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形． 已知：，线段． 求作：，使得，，．（保留作图痕迹，不要求写作法．） 59．（23-24八年级上·山东德州·阶段检测）画 60．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）尺规作图：如图，已知，过点作直线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 💯 课后巩固 复习建议 · 三边关系先找最长边 · 全等先找对应 · 等腰分类讨论 · 对称坐标记规律 · 证明写已知求证 【作业1】．（25-26七年级下·安徽宿州·期末）已知等腰三角形一边长为，周长为，则它的腰长为（     ） A． B． C．或 D． 【作业2】．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）下列运动图标中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【作业3】．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆或三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，2，4 D．1，2，4 【作业4】．（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图，在和中，，可直接用“”判定这两个三角形全等的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【作业5】．（25-26八年级上·全国·期末）在中，若是直角，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【作业6】．（23-24八年级上·河北沧州·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．三个角分别相等的两个三角形全等 C．对顶角相等 D．三角形的一个外角大于任何一个内角 【作业7】．（23-24七年级下·四川雅安·期末）如图所示，已知，补充一个条件，可使，那么补充的条件不能是（   ）    A． B． C． D． 【作业8】．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知关于轴的对称点为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【作业9】．（25-26八年级上·全国·期末）已知点与点关于y轴对称，则的值为（   ） A．1 B． C．7 D． 【作业10】．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，上，下两幅“娃娃脸”图案关于轴对称，上图中左，右眼睛的坐标分别为，，则下图中左，右眼睛的坐标分别是___________． 【作业11】．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）如图，在中，，，、分别是、的平分线，经过点，且，分别交、于点、，则的周长是_________． 【作业12】．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，和关于直线对称，连接交直线于点，若，，，则五边形的周长为________． 【作业13】．（24-25八年级上·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 【作业14】．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）点关于x轴对称后再向右平移m个单位，其对应点落在y轴上，则_______． 【作业15】．（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，在中，点D，E，F，分别为，，的中点，，则的值为______． 【作业16】．（24-25七年级下·四川达州·期末）有一座小山，现要在小山的两端开一条隧道．如图，施工队要知道两点之间的距离（无法直接测量），于是先在平地上取可以直接到达点和点的点，连接，并延长到点，使，连接，并延长到点，使，连接．经测量，， ，则两点之间的距离为___________． 【作业17】．（25-26八年级上·全国·期末）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，，，求证：． 【作业18】．（24-25八年级上·吉林长春·期中）某段河流的两岸是平行的，某数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就能测得河的宽度．他们是这样做的： ①在河流的岸边点B处，选对岸正对的一棵树A； ②沿河岸直行处有一棵树C，继续前行到达点D处； ③从点D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的点E处时，停止行走； ④测得的长为． 根据测量数据求河的宽度． 【作业19】．（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，，，平分，求的度数． 解：在中，（①______） 又， ②______度 平分， ③______度． ④______＋⑤______（⑥______）， ______度． 【作业20】．（24-25八年级上·四川凉山·阶段检测）如图，已知等腰三角形和等腰三角形，，，，连接，交于点，连接．求证： (1)； (2)平分． 1 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $