5.5 一次函数与二元一次方程 学案 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

5.5 一次函数与二元一次方程 学案 2026-2027学年苏科版八年级数学上册 学生版 目录导航 知识讲解 1 典例与变式 3 A 基础巩固 11 B 能力提升 13 C 思维拓展 15 D 综合应用 16 知识讲解 一、方程的一组解，对应图上的一个点 把代入，等式成立。这里的“1”和“3”能交换位置后仍代表同一个点吗？不能：数对的第一个数对应，第二个数对应，点与点不同，虽然这两个数对恰好都满足这个方程。 方程的一组解是使等式成立的一对未知数的值；把它们依次作为横、纵坐标，就得到一个点。由可得，反过来由也可得，所以这两个式子有完全相同的解。 因此，满足原方程的每一组解，都对应直线上的点；这条直线上的每一个点，其横、纵坐标也都满足原方程。描出的几个点帮助我们画图，等价变形才说明为什么全部点都对应解。 本节主要讨论两个未知数的系数都非零的二元一次方程。它可写成，其中，因而对应一条一次函数的图象。 二、为什么交点对应方程组的解 一个点只在第一条直线上，能说明它的坐标满足两个方程吗？不能。它只保证第一式成立，还须检查第二式。 交点同时在两条直线上，所以它的横、纵坐标同时满足两个方程；反过来，若一对数同时满足两个方程，对应的点就同时在两条直线上。由此，两条直线的公共点与方程组的解一一对应。读交点时必须读横、纵两个坐标，不能只把横坐标当作二元一次方程组的解。 三、图解怎样与代数计算互相检查 若交点落在两条小格之间，怎样确认它的精确坐标？先不要把估读的小数直接写成精确答案。 图解时，先把两个方程分别改写为便于作图的形式；每条直线选两个不同的、坐标方便计算的点，代回原式检查后描点画整直线，再读公共点。两个点确定一条直线，但原方程的解不只有这两组。 图象能直观显示交点位置；估读得到的数一般只能作为近似值，应用表示。需要精确值时，再用代入或加减消元求解，最后把所得横、纵坐标代回两个原方程。若只验证一式，可能把“某条线上的点”误当作公共点。 四、图上看不见交点，是否就是无解 两条直线在一张小图中没有相交，是因为它们永不相交，还是交点在图外？仅凭小图不能决定，还要比较关系式。 将两式写成与，其中是的系数，是常数项。比较这两组数： 关系式的特点 整条直线的位置 方程组的解 相交于一点 一组解 ， 平行，无公共点 无解 ， 重合，公共点有无穷多个 无穷多组解 理由也可以从式子看：公共点满足。左边的系数非零时，能唯一确定；系数为0而右边非零时，等式不可能成立；两边都为0时，两个方程是同一个关系的不同写法，并没有给出第二条新的限制。 图窗只是纸上显示的范围，不自动限制函数的取值范围。 若题目另外规定只取某个范围内的图象，就要检查交点是否同时属于这两个范围。 五、辅助直线能用，名称不能混淆 “图象是一条直线”能推出“是一次函数”吗？还缺条件。一次函数要求。是常函数，图象是水平直线；是竖直直线，同一个对应多个，不表示关于的函数。这里不把这两种只有一个未知数的方程称为本节所说的二元一次方程。 不过，水平线仍可以帮助解一元方程：画与，交点横坐标就是该一元方程的解。二元方程组求一对数，一元方程只求一个未知数，答题对象不同。 实际问题还要回到变量的含义：若设的是单价，应按题设检查正性；若设的是件数，通常还要检查整数。不能不看变量就一律加“整数”条件。 典例与变式 例1 方程的解怎样放到图上 对于方程，完成下表。 点 坐标 的值 是否为方程的解 A B C D （1）哪些数对是方程的解？在网格中画出对应的点。 （2）把方程改写为关于的式子并画出图象。没有列在表中的为什么也是原方程的解？直线上每一点的坐标都满足原方程吗？请给出不只依赖表中几个点的理由。 变式1 从图的证据写回方程 图中的直线经过、，三个候选方程如下。 候选 方程 ① ② ③ （1）先用哪一个已知点就能排除③？写出检验过程。 （2）①与②表示不同的直线吗？给出不只核验P、Q的理由，并写出原直线上一个未标出点所对应的解。 例2 用交点解释方程组 用图象解方程组 （1）画图前，分别选两个方便作图的点。为什么每个方程要画一整条直线，而不只标这两个点？ （2）画图，读出交点，写出方程组的解，并代回两个原方程检验。 （3）只取第一条直线上的点，能得到方程组的解吗？ 变式2 图上估出的数，怎样核验 方程组的两条直线如图，交点看起来接近。小宁直接把方程组的解写成，。 先检查这对数分别是否满足两个方程，再求精确解。小宁使用等号是否合适？图解与代数计算各帮了什么忙？ 例3 有几个公共点 三个方程组见下表。先把每组的第二个方程与第一个比较，再完成表格，并说明判断的理由。 方程组 第二式改写为关于的式子 两条直线的位置 解的情况 甲：， 乙：， 丙：， 丙能否只写作为全部答案？ 变式3 小图没交点，结论可信吗 图中只显示、的窗口，画的是两条直线与，题目没有限制这两个函数的自变量范围。小华说：“图上没有交点，所以对应方程组无解。” 先看关系式中的什么信息，就能知道他的理由不足？不用把纸无限扩大，求出交点，并解释为什么原图看不见它。 例4 不是每条直线都叫一次函数图象 在同一坐标系中画出、、。 （1）找出三条直线的公共点，逐一判断这三个关系式中哪个是关于的一次函数，哪个是常函数，哪个不表示关于的函数，并说明理由。 （2）用这个公共点说明，方程的解为什么只写，不写一对数。 变式4 同一个一元方程，两种画法 解一元方程，甲画和，乙画和轴。 （1）先说明乙的式子怎样从原方程得到，再分别作图并完成表格。 画法 两条图象的交点 原一元方程的解 甲 乙 （2）两人的交点纵坐标不同，为什么仍得到同一个方程的解？代回原方程核验。 例5 两张购买记录确定单价 同一种笔和同一种本的单价两次均不变，且两种单价均大于0，无优惠和其他费用。购买记录如下。设笔的单价为元/支，本的单价为元/本。 记录 笔/支 本/本 总价/元 一 2 1 11 二 1 2 13 （1）列出每张记录对应的方程。仅已知满足第一张记录的一个点，其横、纵坐标表示什么？能直接作为两种单价的答案吗？ （2）用图象求两种单价，再用代数计算核验。 （3）图中标出的能否作为实际单价答案？分别从购买记录和单价条件说明理由。 变式5 多一张记录，是否多一条独立信息 另一家商店销售笔和本，各次两种商品的单价均不变且均大于0，无优惠和其他费用。记录如下。 记录 笔/支 本/本 总价/元 你选择的两张记录（勾选） A 2 1 14 B 4 2 28 C 1 2 16 先选两张能确定单价的记录，说明为什么不选A、B组合，再求出两种单价。最后说明没有选用的记录还有什么用。 分层练习 A 基础巩固 1．选择：点与解的次序 下列哪一组数同时满足和？（　　） 选项 A B C D 2．填空：交点怎样写成方程组的解 图中两直线分别为与，交点为P，虚线给出P向两轴的投影。 方程组的解为________；另写一组满足第一式但不满足第二式的数对：________。 3．判断并改错 判断下列说法，错误的请改正。 序号 说法 判断与改正 ① 与组成的方程组无解 ② 的图象是一条直线，所以它是一次函数 ③ 图解二元一次方程组时，只要读交点的横坐标 B 能力提升 4．作图点先过检验 用图象解方程组有人选择了下表中的描点数据。 方程 第一个点 第二个点 先找出不合格的点，保持它的横坐标不变进行改正，再作图求解，并代回两个原方程检验。 5．交点位置能确定第二条线吗 已知第一条直线为，要求第二条一次函数图象与它有且只有一个交点，且交点的横坐标为。 候选 第二条直线 代入所得的 A B C D （1）先用哪条已知条件确定交点的纵坐标？完成表格，选出符合要求的一项。 （2）另写一个不在表中的合格一次函数，并说明为什么候选B不符合要求。 6．由已知公共点写出方程组 两条一次函数图象交于，第一条还经过，第二条还经过。 先说清哪些点的信息属于哪条直线，再求两条直线的关系式，写出对应的二元一次方程组。不重新联立计算，能否直接写出这个方程组的解？为什么？ C 思维拓展 7．两种消元结果怎样在图上解释 分别把第一式乘2，再减去第二式，完成下表。 方程组 消元所得等式 图象位置与解的情况 甲：， 乙：， 能把所得等式分别理解成“”与“”吗？说明理由，并写出甲的全部解的表示方法。 8．直线交点是否一定属于两段图象 给定两段图象：，其中；，其中。 （1）先求这两段图象所在整直线的交点，再判断它是否是题目所给两段图象的公共点。 （2）如果只把第一段的范围改为，两段图象是否有公共点？此时公共点在第一段的什么位置？ D 综合应用 9．不必先求系数 已知两条一次函数图象与交于，其中均非零，且。求方程组的解。 先完成对应表，说明应把哪两个整体分别看作原图的横坐标和纵坐标，再求解，并说明为什么没有其他解。 原图中的量 新方程组中与它对应的整体 横坐标 纵坐标 10．两两相交就是共同解吗 三条直线分别为，，。 （1）先由与求交点P，检验P是否在上。再求另两对交点，完成表格，并判断这三个方程是否有共同的一组解。 线对 交点坐标 是否满足余下的方程 与 与 与 （2）只把第三式的右边改为一个数，使三个方程有公共解，应改成多少？说明为什么只能是这个数。 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.5 一次函数与二元一次方程 学案 2026-2027学年苏科版八年级数学上册 教师解析版 目录导航 知识讲解 1 典例与变式 3 A 基础巩固 13 B 能力提升 15 C 思维拓展 17 D 综合应用 18 知识讲解 一、方程的一组解，对应图上的一个点 把代入，等式成立。这里的“1”和“3”能交换位置后仍代表同一个点吗？不能：数对的第一个数对应，第二个数对应，点与点不同，虽然这两个数对恰好都满足这个方程。 方程的一组解是使等式成立的一对未知数的值；把它们依次作为横、纵坐标，就得到一个点。由可得，反过来由也可得，所以这两个式子有完全相同的解。 因此，满足原方程的每一组解，都对应直线上的点；这条直线上的每一个点，其横、纵坐标也都满足原方程。描出的几个点帮助我们画图，等价变形才说明为什么全部点都对应解。 本节主要讨论两个未知数的系数都非零的二元一次方程。它可写成，其中，因而对应一条一次函数的图象。 二、为什么交点对应方程组的解 一个点只在第一条直线上，能说明它的坐标满足两个方程吗？不能。它只保证第一式成立，还须检查第二式。 交点同时在两条直线上，所以它的横、纵坐标同时满足两个方程；反过来，若一对数同时满足两个方程，对应的点就同时在两条直线上。由此，两条直线的公共点与方程组的解一一对应。读交点时必须读横、纵两个坐标，不能只把横坐标当作二元一次方程组的解。 三、图解怎样与代数计算互相检查 若交点落在两条小格之间，怎样确认它的精确坐标？先不要把估读的小数直接写成精确答案。 图解时，先把两个方程分别改写为便于作图的形式；每条直线选两个不同的、坐标方便计算的点，代回原式检查后描点画整直线，再读公共点。两个点确定一条直线，但原方程的解不只有这两组。 图象能直观显示交点位置；估读得到的数一般只能作为近似值，应用表示。需要精确值时，再用代入或加减消元求解，最后把所得横、纵坐标代回两个原方程。若只验证一式，可能把“某条线上的点”误当作公共点。 四、图上看不见交点，是否就是无解 两条直线在一张小图中没有相交，是因为它们永不相交，还是交点在图外？仅凭小图不能决定，还要比较关系式。 将两式写成与，其中是的系数，是常数项。比较这两组数： 关系式的特点 整条直线的位置 方程组的解 相交于一点 一组解 ， 平行，无公共点 无解 ， 重合，公共点有无穷多个 无穷多组解 理由也可以从式子看：公共点满足。左边的系数非零时，能唯一确定；系数为0而右边非零时，等式不可能成立；两边都为0时，两个方程是同一个关系的不同写法，并没有给出第二条新的限制。 图窗只是纸上显示的范围，不自动限制函数的取值范围。 若题目另外规定只取某个范围内的图象，就要检查交点是否同时属于这两个范围。 五、辅助直线能用，名称不能混淆 “图象是一条直线”能推出“是一次函数”吗？还缺条件。一次函数要求。是常函数，图象是水平直线；是竖直直线，同一个对应多个，不表示关于的函数。这里不把这两种只有一个未知数的方程称为本节所说的二元一次方程。 不过，水平线仍可以帮助解一元方程：画与，交点横坐标就是该一元方程的解。二元方程组求一对数，一元方程只求一个未知数，答题对象不同。 实际问题还要回到变量的含义：若设的是单价，应按题设检查正性；若设的是件数，通常还要检查整数。不能不看变量就一律加“整数”条件。 典例与变式 例1 方程的解怎样放到图上 对于方程，完成下表。 点 坐标 的值 是否为方程的解 A B C D （1）哪些数对是方程的解？在网格中画出对应的点。 （2）把方程改写为关于的式子并画出图象。没有列在表中的为什么也是原方程的解？直线上每一点的坐标都满足原方程吗？请给出不只依赖表中几个点的理由。 解析 （1）先按横坐标代、纵坐标代，再比较左边与6是否相等。A、B、C、D对应的左边依次为6、6、7、6，因此A、B、D的坐标是解，C的坐标不是解。 （2）移项得，画出经过A、B、D的整条直线。把代入得；也可直接检验，所以是解。 从可以得到，反向移项也成立。因而任何满足原方程的数对都对应直线上的点，直线上任意一点的坐标也满足原方程。几个点排成直线只是画图的依据，不能替代这两个方向的说明。 变式1 从图的证据写回方程 图中的直线经过、，三个候选方程如下。 候选 方程 ① ② ③ （1）先用哪一个已知点就能排除③？写出检验过程。 （2）①与②表示不同的直线吗？给出不只核验P、Q的理由，并写出原直线上一个未标出点所对应的解。 解析 （1）任选一个已知点即可。用P检验，，所以③不表示该直线；若选Q，也有。 （2）①与②表示同一条直线。②两边同除以2就得到①，且①两边同乘2也得到②，两式的解完全相同，均可写成。P、Q是此直线上的两个不同点，因此它就是图中直线。未标出的解可取，因为。只验证P、Q不能代替两式等价的说明。 例2 用交点解释方程组 用图象解方程组 （1）画图前，分别选两个方便作图的点。为什么每个方程要画一整条直线，而不只标这两个点？ （2）画图，读出交点，写出方程组的解，并代回两个原方程检验。 （3）只取第一条直线上的点，能得到方程组的解吗？ 解析 （1）先改写为、，便于由求。前者可选、，后者可选、。每条直线上的全部点才对应那个方程的全部解，只标两个点会漏掉其他解。 （2）画两条直线，读得交点为。由两式相加得，故；代入得。检验：，，两式都成立，所以方程组的解为 （3）不能。，但。该点只在第一条直线上，不是两线公共点。 变式2 图上估出的数，怎样核验 方程组的两条直线如图，交点看起来接近。小宁直接把方程组的解写成，。 先检查这对数分别是否满足两个方程，再求精确解。小宁使用等号是否合适？图解与代数计算各帮了什么忙？ 解析 先检验估读值，而不是根据小数看起来合理就接受。，，这对数只满足第二式，不是方程组的精确解。 两式相加得，所以；代入，得。检验：，。 精确解为若保留一位小数，只能写、。图解显示交点的位置，代数计算确定精确值；精确值也可以反过来检查画图是否合理。 例3 有几个公共点 三个方程组见下表。先把每组的第二个方程与第一个比较，再完成表格，并说明判断的理由。 方程组 第二式改写为关于的式子 两条直线的位置 解的情况 甲：， 乙：， 丙：， 丙能否只写作为全部答案？ 解析 先把共同的第一式改成，再比较第二式，避免只凭原式系数看起来不同就判断是不同直线。 方程组 第二式改写 位置 解的情况 甲 相交 唯一解 乙 平行 无解 丙 重合 无穷多组解 甲中两式相加得，故、；检验得、。乙的第二式除以2得，不可能与同时成立。丙的第二式除以2就是第一式，未增加新的限制。 丙不能只写作为全部答案；它只是一组解。丙的所有解可写为，其中可取任意实数。 变式3 小图没交点，结论可信吗 图中只显示、的窗口，画的是两条直线与，题目没有限制这两个函数的自变量范围。小华说：“图上没有交点，所以对应方程组无解。” 先看关系式中的什么信息，就能知道他的理由不足？不用把纸无限扩大，求出交点，并解释为什么原图看不见它。 解析 先看一次项系数：1与1.1不同，两条整直线必有一个交点，不能用小图中没看到来判无解。 令，得，所以，。 交点坐标 代入 代入 交点的横、纵坐标都超出所显示的图窗，因此原图看不见它。图窗不是题目规定的自变量范围，这两条直线并没有到窗口边缘就停止。 例4 不是每条直线都叫一次函数图象 在同一坐标系中画出、、。 （1）找出三条直线的公共点，逐一判断这三个关系式中哪个是关于的一次函数，哪个是常函数，哪个不表示关于的函数，并说明理由。 （2）用这个公共点说明，方程的解为什么只写，不写一对数。 解析 （1）先看各式对、的限制：是一条水平线，是一条竖直线，它们交于。又因，这个点也在上，所以三条线公共点为。 的一次项系数2非零，是一次函数；的函数值不变，是常函数，不是一次函数；线上如、的横坐标相同而纵坐标不同，因而不表示关于的函数。 （2）要求一次函数的函数值等于3，公共点横坐标给出，代入检验。这个一元方程只含未知数，所以解只写；点的纵坐标3说明相等的函数值，不是新增的未知数解。 变式4 同一个一元方程，两种画法 解一元方程，甲画和，乙画和轴。 （1）先说明乙的式子怎样从原方程得到，再分别作图并完成表格。 画法 两条图象的交点 原一元方程的解 甲 乙 （2）两人的交点纵坐标不同，为什么仍得到同一个方程的解？代回原方程核验。 解析 （1）把原方程的右边移到左边，得，即，因此乙用与的交点求根。由得。甲此时，乙此时。 画法 交点 原一元方程的解 甲 乙 （2）甲的纵坐标表示原式两边相等的值7，乙的纵坐标表示“两边的差”为0，含义不同。两种画法共同确定的是横坐标，不是说两个方程组有同一组解。 核验原式，左边，右边，成立。 例5 两张购买记录确定单价 同一种笔和同一种本的单价两次均不变，且两种单价均大于0，无优惠和其他费用。购买记录如下。设笔的单价为元/支，本的单价为元/本。 记录 笔/支 本/本 总价/元 一 2 1 11 二 1 2 13 （1）列出每张记录对应的方程。仅已知满足第一张记录的一个点，其横、纵坐标表示什么？能直接作为两种单价的答案吗？ （2）用图象求两种单价，再用代数计算核验。 （3）图中标出的能否作为实际单价答案？分别从购买记录和单价条件说明理由。 解析 （1）先按“笔的费用＋本的费用＝总价”列式，得到与。第一条直线上的一个点，其坐标表示满足第一张记录总价的两个数；若两坐标都为正，才可作为仅针对第一张记录的候选单价。它不一定满足第二张记录，所以不能直接确定为答案。 （2）两式写为、。第一条可取、，第二条可取、作图，读得交点。求精确值时，将第一式乘2减去第二式，得，所以；代入得。检验：、，且两种单价均为正。笔每支3元，本每本5元。 （3）不能。虽满足第一式，却有，不满足第二张记录；它还使笔单价为0，违反单价大于0的条件。图中横、纵轴均匀刻度不同，读数应分别按各轴刻度，不用直线的视觉倾角判断一次项系数大小。 变式5 多一张记录，是否多一条独立信息 另一家商店销售笔和本，各次两种商品的单价均不变且均大于0，无优惠和其他费用。记录如下。 记录 笔/支 本/本 总价/元 你选择的两张记录（勾选） A 2 1 14 B 4 2 28 C 1 2 16 先选两张能确定单价的记录，说明为什么不选A、B组合，再求出两种单价。最后说明没有选用的记录还有什么用。 解析 先看记录是否给出了新的限制，而不是只看记录有几张。设笔、本的单价分别为元/支、元/本。 记录 对应方程 与其他记录的关系 A 与C可共同确定单价 B 恰为A的2倍 C 不是A或B的倍数 可以选A、C，也可以选B、C，不能只选A、B来确定唯一单价：A、B的图象重合，如和都符合这两张记录，单价仍不唯一。 选A、C，将A的方程乘2减去C的方程，得，故；代入A得。检验A、C分别得、，两单价均为正，所以笔每支4元，本每本6元。 未选的B可检验记录是否一致：，吻合。它没有提供新的独立限制，但仍可用于核对数据。 分层练习 A 基础巩固 1．选择：点与解的次序 下列哪一组数同时满足和？（　　） 选项 A B C D 解析 选B。每对数都要按在前、在后的顺序代入，并且两个方程都成立。 选项 A 5 0 B 4 3 C 6 D 3 6 只有B的两列分别等于4和3。 2．填空：交点怎样写成方程组的解 图中两直线分别为与，交点为P，虚线给出P向两轴的投影。 方程组的解为________；另写一组满足第一式但不满足第二式的数对：________。 解析 按两轴投影读得P的横坐标为、纵坐标为2，所以解为检验：，。 第二空不唯一，例如，因为，但。满足第一式的点很多，只有两线公共点同时满足第二式。 3．判断并改错 判断下列说法，错误的请改正。 序号 说法 判断与改正 ① 与组成的方程组无解 ② 的图象是一条直线，所以它是一次函数 ③ 图解二元一次方程组时，只要读交点的横坐标 解析 ①错误。第二式两边除以2就是第一式，两条直线重合，方程组有无穷多组解，不是无解。 ②错误。是常函数，其的系数为0，不符合一次函数一次项系数非零的条件。 ③错误。应读出交点的横、纵两个坐标，分别作为、的值；一组解是一对数，不是单独一个横坐标。 B 能力提升 4．作图点先过检验 用图象解方程组有人选择了下表中的描点数据。 方程 第一个点 第二个点 先找出不合格的点，保持它的横坐标不变进行改正，再作图求解，并代回两个原方程检验。 解析 先检验作图数据，避免用错误点画线后硬读交点。 代入第一式得，不合格。当时，，应改成。其余三个点均满足各自方程。 画与，读交点为。代数上两原式相加得，所以、。检验：，，故解为 5．交点位置能确定第二条线吗 已知第一条直线为，要求第二条一次函数图象与它有且只有一个交点，且交点的横坐标为。 候选 第二条直线 代入所得的 A B C D （1）先用哪条已知条件确定交点的纵坐标？完成表格，选出符合要求的一项。 （2）另写一个不在表中的合格一次函数，并说明为什么候选B不符合要求。 解析 （1）先用已知的第一条直线，把代入，得，所以所需交点必须是。A、B、C、D代入后分别得。A经过P，且一次项系数与第一条的2不同，所以仅有一个交点，选A。B虽然经过P却重合；C平行且不经过P；D不经过P。 （2）例如。代入得，它经过P，且一次项系数3不等于2，所以有且只有一个交点。B与第一条直线完全相同，公共点有无穷多个，违反“有且只有一个交点”。构造时既要经过所需点，也要排除重合；所写函数还须满足一次函数的一次项系数非零条件。 6．由已知公共点写出方程组 两条一次函数图象交于，第一条还经过，第二条还经过。 先说清哪些点的信息属于哪条直线，再求两条直线的关系式，写出对应的二元一次方程组。不重新联立计算，能否直接写出这个方程组的解？为什么？ 解析 P属于两条直线；A只作为第一条线的另一个已知点，B只作为第二条线的另一个已知点。因此第一条用A、P，第二条用B、P求式，不能误用A、B确定其中一条。 设第一条直线的关系式为。代入A得，再代入P得，所以，关系式为。同样，设第二条直线为，代入B得，再代入P得，所以，关系式为。对应方程组可写为 不用重新联立，因为已知公共点P对应两式的共同解，且两线一次项系数不同、只有这一个交点。所以解为检验也有、。 C 思维拓展 7．两种消元结果怎样在图上解释 分别把第一式乘2，再减去第二式，完成下表。 方程组 消元所得等式 图象位置与解的情况 甲：， 乙：， 能把所得等式分别理解成“”与“”吗？说明理由，并写出甲的全部解的表示方法。 解析 先保留整个等式相减，不把消掉未知数后的0误当成。甲得，即；乙得，即。 甲的恒成立，只说明两式重复，不说明，也不说明任意都能选；仍须满足原式。两式均为，图象重合，全部解是，其中为任意实数。 乙的不可能成立，不是，所以两式不能同时满足，方程组无解。它们分别为与，一次项系数相同、常数项不同，图象平行。这与消元中的矛盾相互印证。 8．直线交点是否一定属于两段图象 给定两段图象：，其中；，其中。 （1）先求这两段图象所在整直线的交点，再判断它是否是题目所给两段图象的公共点。 （2）如果只把第一段的范围改为，两段图象是否有公共点？此时公共点在第一段的什么位置？ 解析 （1）先求整直线的交点，再逐一核对题设范围。 由，得，所以、。代入两式均得4，整直线的交点是。 但不满足第一段的，虽然满足第二段的，仍不是两段图象的公共点。两条整直线只有这一个交点，因此原两段没有公共点；不能据此说不带范围的原方程组无解。 （2）改后同时满足两个范围，故成为公共点。它在第一段的右端点，且允许取等号，所以该端点应画实心。这里是题目明确限制图象范围，与只是图窗太小看不见交点不同。 D 综合应用 9．不必先求系数 已知两条一次函数图象与交于，其中均非零，且。求方程组的解。 先完成对应表，说明应把哪两个整体分别看作原图的横坐标和纵坐标，再求解，并说明为什么没有其他解。 原图中的量 新方程组中与它对应的整体 横坐标 纵坐标 解析 不必先求，先比较新旧式子的结构：把看作原来的，把看作原来的。只要满足新方程组，就必须是原来两条直线的公共点。 因为，原两线一次项系数不同，唯一公共点是，所以，，得到、。 回验：P在两条线上，故、；把代入新两式，两边分别就是这两个等式，因此成立。反过来，任何新解都必须满足、，而这两个等式分别只给出、，所以没有其他解。答案为 10．两两相交就是共同解吗 三条直线分别为，，。 （1）先由与求交点P，检验P是否在上。再求另两对交点，完成表格，并判断这三个方程是否有共同的一组解。 线对 交点坐标 是否满足余下的方程 与 与 与 （2）只把第三式的右边改为一个数，使三个方程有公共解，应改成多少？说明为什么只能是这个数。 解析 （1）先求前两式的共同解，再验第三式；两两相交不保证三个条件同时成立。前两式相加得，所以、，即；但，P不在上。 与联立，两式相加得，所以、。减去得，代入得。 线对 交点坐标 检验余下的方程 与 ，不满足 与 ，不满足 与 ，不满足 三式没有共同的一组解。其实前两式只有唯一共同解，它不满足第三式，就已经足以得出这一结论；另外两对的计算进一步显示三个两两交点不同。 （2）应改成0。前两式不变，任何三式公共解都必须是；把第三式改为，该点恰好满足。由于在这个点只能等于0，其他右边常数都不能使三式有公共解。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $