5.2 一次函数的概念 学案 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

5.2 一次函数的概念 学案 2026-2027学年苏科版八年级数学上册 教师解析版 上一节已经学会按规定的范围判断函数，并用式、表、图表示对应关系。本节进一步研究一类特殊关系：自变量x每增加相同的量，函数值y的变化量也相同。要认出这种关系，不仅要看到式子中有 x，还要看清化简后的形式、一次项系数是否为零，以及式子在什么范围内适用。 目录导航 知识详解 1 典例与变式 7 A 基础巩固 18 B 综合应用 20 C 拓展提升 24 D 课后限时练 27 本学案的选择题均为单项选择。判断题须说明理由；填空题写全条件和单位；解答题保留列式、推算与检验过程。 知识脉络 知识详解 一、一次函数与正比例函数 一只容器中原有12 L水，现以每分钟4 L的速度匀速加水，只研究开始加水到加满以前的过程。加水时间为 t min，新加入的水量为 u L，容器中的总水量为 V L。经过 t min，新加入的水量是 ；总水量还要加上原有的12 L，所以 。 两个式子都描述均匀加水，但不能把它们混称为同一种比例关系。时间变为原来的2倍，新加入的水量也变为原来的2倍；总量中的12 L不会随时间一起翻倍。例如 t＝1时总量16 L，t＝2时总量20 L，并不是32 L。 一般地，形如 （k、b为常数，且 ）的函数，叫作一次函数。其中 k 是一次项系数，b 是常数项。特别地，当 时，关系式成为 （），叫作正比例函数。 正比例函数是一次函数的特殊情形；一次函数不一定是正比例函数。 不能把两个名称看成互相排斥的两类。也是正比例函数：定义要求k非零，并不要求k为正。“正比例函数”中的“正”不是对k符号的限制。 为什么必须保留 ？若k＝0，式子就变成y＝b，x的一次项不再存在。它仍可表示函数，却不是本节定义的一次函数。因此，“是函数”“含有字母x”“可以写成kx＋b的外观”都不足以完成判断。 在一个已经确定的一次函数中，k、b不随x改变。比较不同方案时，它们可以取不同的值；每选定一组k、b，才得到一个具体的函数。不要在同一条规则里，一会儿取k＝2，一会儿又取k＝3，却仍把它当成同一个一次函数。 二、一次函数的判断 判断一次函数，检查的是化简后的关系式，不是最先看见的项。例如 ，真正的一次项系数是2，常数项是6； ，虽然原式多次出现x，合并后一次项完全抵消，所以不是一次函数； ，分母是非零常数，仍能化为一次函数形式，且一次项系数为负。 含参数的式子也要执行同样的检查。要使 成为一次函数，二次项必须消去，所以a−2＝0；同时一次项必须保留，所以a＋1≠0。由第一条得a＝2，代回第二条得到3≠0，最后关系式为y＝3x＋4，确实合格。 若把式子改成 ，消去二次项仍要求a＝2，但此时一次项也一起消失，只剩y＝4。因此不存在合格的a。消去高次项与保留非零一次项是两项同时要满足的条件，不能只做前一项。 要求正比例函数时，在满足一次函数条件的基础上，还要让常数项等于0。求出参数可能的值后，必须代回原式，看最终留下的具体式子；这样既能检查运算，也能发现使关系式变成常数函数的值。 三、k和b的意义 已知某关系是一次函数 ，当x从 变为 时，对应的y分别为 、。两式相减，固定的b抵消，得到 。 若 ，就有 。这说明k是“y的变化量÷x的变化量”，不是把任意一个y除以对应的x；只有b＝0且x≠0时，才有 。 比较不同记录时，x的两次变化量不相同，不能只比较y增加了多少。上图中y先增加6、后增加9，并不矛盾，因为x分别增加2、3；x每增加1，y都增加3。k为负时，也照样使用这个关系式，例如k＝−2表示x增加1，y减少2。 单位也要跟着量走。若x的单位是min，y的单位是L，那么k的单位就是L/min，b的单位是L。式子中的kx与b必须能表示同一种量，才能相加。不同记录的单位不一致时，应先统一单位。 把x＝0代入 ，在代数式上得到y＝b。但在实际问题中，只有x＝0属于适用范围，并且x表示从所选起点开始计量时，才能把b解释为该起点的实际状态。 若某个实际关系只在2≤x≤8内符合这个式子，算出的b只是式子的常数项；没有额外条件，就不能断言x＝0时的实际结果就是b。 还要区分“已知是一次函数，由记录求式子”和“只看到几次记录，猜测是否均匀变化”。有限个数据可以与某个一次函数一致，却不能证明未记录的所有x也符合这个式子。用一次函数求式时，应当有题目给出的“一次函数”条件，或匀速、均匀变化等明确规律，不能自己添上。 四、待定系数法 知道函数类型，但还不知道系数时，可以先用字母表示待求的系数，再把已知对应值代入，列方程求解，这种方法叫作待定系数法。 通常按“设、列、解、验”进行：按已知类型设关系式；把每组x与对应的y成对代入；解出系数并写回关系式；检查所有已知记录、非零条件和适用范围。若已知是正比例函数，就设 ，只需求k；若只知道是一次函数，一般设 。若某个系数已经给出，就不必把它再次当成未知数。 例如，已知是正比例函数，且x＝2时y＝6，代入得6＝2k，所以k＝3，关系式为y＝3x。若已知是一次函数，且x＝1时y＝4、x＝3时y＝10，则 第二式减第一式得2k＝6，所以k＝3，再代回得b＝1。关系式y＝3x＋1满足两组记录，且k≠0。 并不是“见到一个点就一定能求正比例函数，见到两次记录就一定能求一次函数”。先看这些信息是否有效、是否冲突。 正比例函数的一个已知点 能得到什么 原因 (0，0) 不能唯一确定k 任意非零k都满足0＝k×0 (0，3) 不可能 x＝0时y只能为0 (2，0) 不可能 只能得到k＝0，不符合定义 (2，6) 唯一确定y＝3x x不为0，可以求出非零k 一次函数的两次记录 能得到什么 原因 同一组数重复记录 通常不足以唯一确定 实际上仍只有一个条件 x相同而y不同 不可能 同一个x不能对应两个不同的y x不同而y相同 不可能是一次函数 相减只能得到k＝0 x不同且y不同 唯一确定一个一次函数 可先求唯一的非零k，再求b 最后一行以没有其他冲突条件为前提；若还给了第三个点，应继续代入检验，不能只取前两个点算完就忽略其他信息。 五、一次函数与点的坐标 根据上一节的图象含义，点P的坐标为(a，c)，且P在 的图象上，就意味着当x＝a时y＝c，即 。横坐标代入x，纵坐标代入y；点的位置记录了x与y的对应关系，不是额外背诵的公式。 如果两个点含有共同字母，先看两个点的横坐标、纵坐标各相差多少，往往不用先求这些字母。例如A(r，s)、B(r＋2，s＋6)在同一个一次函数的图象上，代入得到 、；相减得6＝2k，所以k＝3。但是r、s还未给出，b＝s−3r仍不确定，不能擅自宣布整个关系式已经唯一确定。 另一种情况是用同一个参数描述点的两个坐标。若P的坐标为(t＋1，3t−2)，令x＝t＋1，则t＝x−1；代入y＝3t−2，得到y＝3x−5。这里消去的是描述点的参数t，不是把x、y也当成固定常数。若t可以取任意实数，x也可以取任意实数；若t有限制，还要把它换成x的限制。 检验一个关系式是否适合所有这样的点，应代入一般的t，检查等式是否总成立。只试一个t碰巧成立，不能证明所有t都成立；但只要找出一个不成立的t，就足以否定“所有点都满足”的说法。 六、实际问题中的函数关系式 写实际关系式时，先用量的名称列出数量等式，再把单位统一，最后整理成字母式。例如“剩余量＝原有量−每单位时间用量×时间”，比直接凭题目出现两个数就凑成kx＋b更可靠。若题目说速度、流量或单价在研究过程中保持不变，才能把相应系数作为常数。 关系式求出后，还要保留实际边界。连续用水的时间可以取非整数；成件制作的数量通常只能取整数。到“刚好用完”时剩余量可以为0；用完后仍继续把原式延长并得到负的剩余量，就超出了适用范围。写出范围，才能说明哪些自变量的值可以代入这段实际关系式。 “成正比例”有时说的是两个整体，而不是单独的x与y。例如“y＋2与x−1成正比例”，应先把y＋2看作一个完整的量，把x−1看作另一个完整的量，设 （a为常数，且 ）， 再整理为 。这个式子一定是一次函数，但是否是正比例函数，还要看常数项−a−2是否为0。例如a＝−2时得到y＝−2x，是正比例函数；a＝1时得到y＝x−3，不是正比例函数。 若整体中也含有y以外的x项，整理后的一次项系数还可能改变，仍要重新检查，而不能只看到“成正比例”四个字就作结论。本节用代数与对应关系把条件讲清；一次函数的完整图象、象限和图象变换将在下一节研究。 典例与变式 题型一、一次函数与正比例函数的判断 例1 打印费用中的固定部分 资料室按每页0.2元收取打印费，另收每份3元装订费。一份资料打印x页，打印费记为C元，总费用记为T元。每份至少1页、至多50页，均为整页。 （1）【填空】分别写出C、T关于x的关系式及x的允许取值。 （2）【判断】“C既是x的正比例函数，也是x的一次函数。”判断并说明理由；再判断T是否为x的正比例函数。 （3）【解答】当页数从10增至20时，C和T是否都变为原来的2倍？用数据说明。式子中的常数项3，能否称为本题实际存在的“0页资料的总费用”？ 例1 解析 （1）打印费＝每页费用×页数，所以C＝0.2x。总费用＝打印费＋装订费，所以T＝0.2x＋3。x只能取1、2、3、…、50。页数为整数，且题目不接受0页或超过50页的资料。 （2）这句话正确。C＝0.2x中一次项系数0.2≠0，常数项为0，所以C既是x的正比例函数，也是x的一次函数。T＝0.2x＋3的常数项为3，不为0，所以T是一次函数，但不是正比例函数。 （3）x＝10时C＝2元、T＝5元；x＝20时C＝4元、T＝7元。打印费确实翻倍，总费用没有翻倍，因为装订费仍只收一次3元。不能把3元称为本题实际存在的0页资料总费用：x＝0不在允许范围内。它是题目明确给出的每份固定装订费；“表示固定费用组成”和“存在一笔0页交易”不是同一件事。 变式训练1 同一个切割过程中的已用量与剩余量 一条长30 m的绳子，每次截取完整的2 m，不计损耗。已经截取x段，已用绳长记为u m，剩余绳长记为y m，允许一段也未截取，也允许刚好截完。 （1）【填空】写出u、y关于x的关系式和x的全部允许取值。 （2）【选择】下列说法正确的是（ ）。 A. y的一次项系数为负，所以y不是一次函数 B. u和y都是x的正比例函数 C. y是x的一次函数，但不是正比例函数 D. x可以取0至15之间的任意实数 （3）【判断】“同一过程中每多截一段，u增加2，y减少2，二者的变化都具有固定的每段变化量。”判断并说明依据。 变式训练1 解析 （1）已用绳长u＝2x，剩余绳长y＝30−2x。由每次截完整2 m、总长30 m，最多截15段，所以x＝0、1、2、…、15。x＝0表示尚未截取，x＝15表示刚好截完，两个端点均允许。 （2）选C。y＝−2x＋30中k＝−2≠0、b＝30≠0，所以是一次函数但不是正比例函数。A错在把负系数当作排除条件；B错在忽略剩余量中的30；D错在忽略段数只能取整数。 （3）正确。每多截一段，已用量增加2 m，剩余量减少2 m。把后一段的结果减去前一段的结果，已用量相差2 m，剩余量相差−2 m。两式中变化量的符号不同，但每段对应的变化量各自固定。 题型二、利用定义求参数 例2 一个式子中的两项参数要求 已知 ，a、b为常数。 （1）【填空与说明】若y是x的一次函数，a、b各应满足什么条件？写出化简后的关系式。 （2）【解答】若进一步要求y是x的正比例函数，求a、b，并代回原式检验。 （3）【判断】“只要把常数项变成0，就一定得到正比例函数。”判断并给出本题中一个反例。 例2 解析 （1）要成为一次函数，须同时满足a−2＝0和a＋1≠0。由前者得a＝2，后者成为3≠0，符合要求。因此a＝2，b可以是任意实数，关系式为y＝3x＋2b−6。一次函数不要求常数项非零，故这里不能排除b＝3。 （2）还要使常数项2b−6＝0，得b＝3。代回原式：y＝0x²＋3x＋0＝3x。一次项系数3非零，因此a＝2、b＝3时为正比例函数。 （3）错误。例如取a＝0、b＝3，常数项虽然为0，关系式却是y＝−2x²＋x，仍有二次项，不是正比例函数。常数项为0只是一条必要条件，还要满足化简后只有非零的一次项。 变式训练2 找不到参数时 要说明矛盾在哪里 小林希望通过选择a，使 成为一次函数。 （1）【解答】是否存在这样的a？把需要同时满足的条件写出来，再解释结论。 （2）【判断】“只把常数项4换成另一个数，就能解决上述矛盾。”判断并说明理由。 （3）【解答】若只把一次项改为(a＋1)x，其他两项保持不变，是否能得到一次函数？若能，写出a和最终关系式，并说明这次为何没有一起消失。 变式训练2 解析 （1）不存在。消去二次项要求a−1＝0；保留非零一次项要求a−1≠0，两条不能同时成立。具体看，a≠1时有二次项；a＝1时二次项和一次项一起消失，得到y＝4，也不是一次函数。 （2）错误。无论把4换成哪个常数，都不会改变二次项和一次项共用的系数a−1，矛盾仍在。改变常数项不能把已经消失的一次项恢复出来。 （3）可以。改后为y＝(a−1)x²＋(a＋1)x＋4。取a＝1消去二次项，此时a＋1＝2≠0，因此得到y＝2x＋4。这里二次项系数和一次项系数不再同时为0。 题型三、根据变化量求关系式 例3 步行记录不是等时间间隔 小明从家出发时开始计时。第2 min至第10 min，他沿笔直道路继续远离家匀速步行。下面记录了这一时段内他离家的距离s（m）与时间t（min）。 t/min 2 5 9 s/m 180 420 740 （1）【解答】前后两段各走了多少米、用了多少分钟？据此求这段时间s关于t的关系式，并写出适用范围。 （2）【填空】t＝10时，s＝____m。式中一次项系数的实际含义是____。 （3）【判断】“这段关系式不能用来求小明在t＝0时离家的实际距离。”判断并解释：小明在t＝0时实际在哪里，式子的常数项为什么不是这个实际距离？ 例3 解析 （1）从第2 min至第5 min，共3 min，走了420−180＝240 m，每分钟走240÷3＝80 m。从第5 min至第9 min，共4 min，走了740−420＝320 m，每分钟走320÷4＝80 m。题目已明确这段匀速步行，所以可设s＝80t＋b。代入t＝2、s＝180，得180＝160＋b，b＝20。因此s＝80t＋20，适用范围为2≤t≤10。代入t＝5、9，分别得420、740，与记录一致。 （2）t＝10时s＝80×10＋20＝820 m。一次项系数80表示这段步行每分钟离家增加80 m，也就是这段远离家的步行速度为80 m/min。 （3）正确。小明在t＝0时刚从家出发，离家距离为0。求出的式子只描述第2至第10分钟的匀速阶段，不能反推前2分钟也按同样规律行走。20是这段关系式的常数项，不是实际出发距离。把0代入代数式会得到20，但0不在这段式子的适用范围内。 变式训练3 能否由这些数据确定关系式 已知y是x的函数，x可以取任意实数。现在只给出三组对应值，没有给出其他规律。 x 0 2 5 y 1 5 11 （1）【判断】“这三组数据符合y＝2x＋1，因此这个函数对所有x一定都满足y＝2x＋1。”判断并解释。 （2）【解答】规则甲规定：对任意x，y＝2x＋1；规则乙规定：当x＝0、2、5时，y＝2x＋1；当x取其他值时，y＝0。两条规则是否都符合现有记录？x＝1时各得到多少？这说明什么？ （3）【填空】若补充“y是x的一次函数”，关系式为____，x＝1时y＝____。说明这条补充条件为何有用。 变式训练3 解析 （1）错误。三组记录都满足y＝2x＋1，只能说明这个式子与现有记录一致，不能证明未给出的所有x也按同一式子对应。 （2）两条规则都符合现有记录。规则甲在x＝0、2、5时输出1、5、11；规则乙在这三个输入处也按2x＋1计算，输出相同。x＝1时，规则甲输出3，规则乙输出0。两条规则都能使每个实数输入对应唯一输出，却在未给出的输入1处不同。这说明现有三组记录不能唯一决定全部对应规则。 （3）补充为一次函数后，可设y＝kx＋b。由(0，1)得b＝1，由(2，5)得5＝2k＋1，所以k＝2。代入(5，11)也成立。因此y＝2x＋1，x＝1时y＝3。补充条件把待求关系限制为一次函数，不再允许第2问的规则乙；两组横坐标不同且纵坐标不同的记录已能确定k、b，第三组用于核验。 题型四、用待定系数法求关系式 例4 从坐标记录确定关系式 已知y是x的一次函数，图中P、Q是其图象上的两个点，每个小方格的边长表示1个单位。 （1）【填空】从图中读出P、Q的坐标。 （2）【解答】用待定系数法求y关于x的关系式，写出代入、求解和回查过程。 （3）【解答】点R(4，−5)是否在该函数图象上？若点S(a，7)也在图象上，求a。 例4 解析 （1）P(−1，5)，Q(3，−3)。先看横坐标，再看纵坐标；不能把点的位置顺序写反。 （2）设y＝kx＋b，且k≠0。由两点得 第二式减第一式得4k＝−8，所以k＝−2；代回−k＋b＝5，得2＋b＝5，b＝3。故y＝−2x＋3。检验：x＝−1时y＝5，x＝3时y＝−3，且k＝−2≠0，符合全部条件。 （3）x＝4时，−2×4＋3＝−5，与R的纵坐标相同，所以R在图象上。由S(a，7)在图象上，得7＝−2a＋3，解得a＝−2。回代−2×(−2)＋3＝7，成立。 变式训练4 两次记录未必是两个有效条件 计划用两次记录确定一个一次函数。四份记录卡如下。 （1）【选择】哪一份记录能唯一确定一个一次函数（ ）？ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 （2）【解答】分别说明其余三份记录为什么不能完成任务，并求出合格记录对应的关系式。 （3）【解答】如果事先已知是正比例函数，只保留记录(2，5)，信息是否已经足够？求出关系式，并解释为什么这与甲中的结论不矛盾。 变式训练4 解析 （1）选D，即丁。 （2）甲两次都是(2，5)，实际上只得到2k＋b＝5一个条件。例如y＝x＋3与y＝2x＋1都满足，因此不能唯一确定。乙中x＝2时既有y＝5又有y＝8，违反函数的唯一对应要求。丙的两横坐标不同，纵坐标相同，相减得到0＝2k，强迫k＝0；得到的是常数关系y＝5，不是一次函数。丁满足 相减得2k＝4，故k＝2，再得b＝1，所以y＝2x＋1。代入两组数据均正确，且k≠0。 （3）足够。已知正比例函数，只设y＝kx。由(2，5)得k＝，所以 ，且k非零。甲只知道是一次函数，k、b都未确定；本问多了“正比例”这一条件，已知b＝0，所以并不矛盾。重复一条记录本身没有增加条件，新增的函数类型才缩小了选择范围。 题型五、点的坐标与关系式 例5 两式相减求k A(r，s)、B(r＋4，s−6)在同一个一次函数 的图象上。 （1）【选择并说明】k的值是（ ）。 A. B. C. D. −10 （2）【判断】“由这两个点可以求出k，但还不能唯一确定b。”判断并说明理由；再写出两个都可能符合上述描述的一次函数。 （3）【解答】补充A的坐标为(2，5)，求这个一次函数的关系式，并求B的坐标回查。 例5 解析 （1）选A。两点代入得s＝kr＋b，s−6＝k(r＋4)＋b。后式减前式得−6＝4k， 所以 。B把输出差与输入差的顺序颠倒，C遗漏减少量的负号，D把两种变化量直接相减，均不符合定义。 （2）正确。由A只能得到 ，而r、s的具体值尚未给出。例如 可取A(0，1)、B(4，−5)； 可取A(0，2)、B(4，−4)。两组都符合B比A横坐标大4、纵坐标小6，b却不同。因此只确定k，不代表已确定整个关系式。 （3）代入A(2，5)，得 ，解得b＝8。因此 。此时r＝2、s＝5，B为(6，−1)。回代x＝6，y＝−9＋8＝−1，符合条件。 变式训练5 用x表示点的纵坐标 点P的坐标为(2t−1，t＋3)，其中−1≤t≤3。 （1）【解答】消去t，写出这些点的横坐标x与纵坐标y之间的关系及x的取值范围，并判断是否为一次函数。 （2）【判断】“t＝1时，P满足y＝2x＋2，所以所有这样的P都满足y＝2x＋2。”判断，并给出明确的反例或证明。 （3）【解答】点(3，5)与点(3，6)中，哪些能作为这样的P？对能取到的点求t；对不能取到的点解释矛盾。 变式训练5 解析 （1）由x＝2t−1，得 。代入y＝t＋3，得到 。 一次项系数 ，所以是一次函数关系。由−1≤t≤3，得到−3≤x≤5；两个端点都可取。不能把横坐标直接当成t，也不能消去t以后漏掉范围。 （2）错误。t＝1时P(1，4)，确实满足y＝2x＋2。但取同样允许的t＝0，得P(−1，3)，而2×(−1)＋2＝0，不等于3。一个允许值不成立，就能否定“所有点都满足”；只验t＝1不能证明一般结论。 （3）若横坐标为3，由2t−1＝3得t＝2，且2在−1≤t≤3内。这时纵坐标只能为2＋3＝5，所以(3，5)可以取到，t＝2；(3，6)不能取到。也可由y＝6得到t＝3，此时横坐标为5，不是3，前后矛盾。 题型六、实际问题与整体正比例 例6 排水问题中的关系式 一只容器从t＝0起以恒定速度排水，直到恰好排空立即停止。容器中剩余水量y（L）关于排水时间t（min）满足一次函数关系。t＝2时剩余31 L，t＝5时剩余19 L，不计其他进出水。 （1）【解答】求y关于t的关系式，解释两个系数的意义。 （2）【解答】求排空时刻，并写出该关系式在本过程中的适用范围。 （3）【判断】“把t＝12代入得到的数，就是排水12 min后容器中的水量。”判断并说明原因。 （4）【解答】已排出的水量记为u L，写出u关于t的关系式和范围，并分别判断u、y是否为t的正比例函数。 例6 解析 （1）设y＝kt＋b。由两次记录得2k＋b＝31、5k＋b＝19。相减得3k＝−12，所以k＝−4；代回得b＝39。因此y＝39−4t。−4表示每分钟剩余水量减少4 L，即排水速度为4 L/min；39表示t＝0时原有39 L水。这里题目明确从t＝0起按同一恒定速度排水，所以可把39解释为实际初始水量。 （2）排空时y＝0，所以39−4t＝0，得 min，即9.75 min。过程从t＝0开始，到恰好排空时结束，故 。起点和排空瞬间都属于本过程。 （3）错误。12＞，已超过排空时刻。把12代入原式得到−9 L，不是实际水量；负值提醒我们用了范围以外的输入。排空后已经停止排水，实际容器中仍为0 L，不能继续使用排水阶段的同一个一次式。 （4）已排出量＝初始量−剩余量，所以u＝39−(39−4t)＝4t，范围同样为 。u是t的正比例函数，也是一次函数；y＝−4t＋39是一次函数但不是正比例函数。两者分别描述已排出量和剩余量，不能混淆。 变式训练6 成正比例的可能是两个整体 已知y−2与x＋3成正比例，当x＝0时y＝14。 （1）【解答】先按两个整体的关系设式，再求y关于x的关系式。 （2）【判断】“y−2与x＋3成正比例，不代表y与x也成正比例。”判断，并用本题求出的关系式说明。 （3）【填空与检验】当y＝2时，x＝____。把这一组数代回未展开的整体关系式检验。如果题目只给出x＝−3、y＝2这组数据，而没有x＝0、y＝14，能否确定比例系数？ 变式训练6 解析 （1）设y−2＝c(x＋3)，其中c是非零常数。由x＝0、y＝14，得14−2＝c(0＋3)，即12＝3c，所以c＝4。故y−2＝4(x＋3)，展开得y＝4x＋14。回代x＝0得到y＝14，符合条件。 （2）正确。本题是“y−2”与“x＋3”这两个整体成正比例，并不是y与x成正比例。整理后的常数项14不为0，所以y是x的一次函数，但不是正比例函数。甚至从已知x＝0、y＝14即可排除y＝kx。 （3）y＝2时，2＝4x＋14，解得x＝−3。代入未展开的式子：左边y−2＝0，右边4(x＋3)＝4×0＝0，成立。两个整体同时为0并不否定已经由其他有效记录求出的非零比例系数。但若只给出(−3，2)，代入只能得到0＝c×0，任意非零c都满足，不能唯一确定比例系数。比如c＝1与c＝2就会得到两个不同的关系式。 A 基础巩固 1．考察四个关系式：① ；② ；③ ；④ （x≠0）。 【选择】其中一次函数、正比例函数分别有（ ）。 A. 1个、1个 B. 2个、1个 C. 2个、2个 D. 3个、1个 第1题 解析 选B。①y＝−0.4x，k非零、b＝0，既是一次函数又是正比例函数。②y＝2x＋5−2x−2＝3，是常数函数，不是一次函数。③ ，是一次函数，但b不为0，不是正比例函数。④x出现在分母中，不能在其规定范围内写成固定非零k的y＝kx＋b形式，不是一次函数。因此一次函数2个，正比例函数1个。A漏算③；C误把③也当正比例；D多计了常数式或分式。 2．判断条件是否完整 【判断】逐条判断并说明理由。 （1）一次函数中b＝0时，它是正比例函数。 （2）只要写成y＝kx＋b，且k、b都是常数，就一定是一次函数。 （3）一个含x²项的式子中，只要x²项消失，就一定得到一次函数。 （4）在同一个一次函数中，x增加2，对应的y变化量为2k。 第2题 解析 （1）正确。已知是一次函数，已经含有k≠0这一条件，再加b＝0，就得到正比例函数形式y＝kx。 （2）错误。还缺少k≠0。例如k＝0、b＝3时得到y＝3，不是一次函数。 （3）错误。还要检查一次项是否非零，并确认其他不合要求的项已消去。例如y＝(a−1)x²＋(a−1)x＋4取a＝1，二次项消失，但只剩y＝4。 （4）正确。设原输入为x，原输出为kx＋b；新输入为x＋2，新输出为k(x＋2)＋b。后者减前者等于2k。k为负时，2k为负，表示输出减少；“变化量”应保留符号。 3．已知 ，m为常数。 【填空与说明】它是一次函数时，m应满足____；它是正比例函数时，m＝____，关系式为____；m＝4时关系式为____，它是不是函数、是不是一次函数？ 第3题 解析 一次项系数为m−4，要非零，所以一次函数条件是m≠4。 正比例还要求3m−6＝0，得m＝2；此时m−4＝−2≠0，所以关系式为y＝−2x。 m＝4时，y＝0x＋12−6＝6。它仍是函数，因为每个x都对应唯一的6；但没有非零一次项，所以不是一次函数。不能把“不是一次函数”误说成“不是函数”。 4．已知y是x的正比例函数，x＝−3时y＝9。 【填空】比例系数为____；关系式为____；x＝0时y＝____；y＝−12时x＝____；若点(r，6)在其图象上，则r＝____。 第4题 解析 设y＝kx。由x＝−3、y＝9得9＝−3k，k＝−3，故y＝−3x。 x＝0时y＝0；由−12＝−3x得x＝4；由6＝−3r得r＝−2。回代−3×4＝−12、−3×(−2)＝6，均成立。填空依次为−3，y＝−3x，0，4，−2。 B 综合应用 5．某冷却实验从t＝0起持续12 min，整个过程中温度T（℃）每分钟降低3 ℃。t＝4 min时温度为26 ℃。 （1）【解答】求T关于t的关系式及适用范围，求初始温度。 （2）【判断】“只知道一组对应值，绝不可能确定一个一次函数。”用本题说明判断依据。 第5题 解析 （1）每分钟降低3 ℃，所以一次项系数已知为−3，设T＝−3t＋b。由t＝4、T＝26，得26＝−12＋b，b＝38。故T＝38−3t，0≤t≤12。t＝0时T＝38 ℃，即初始温度为38 ℃；回代t＝4得到26 ℃。温度范围由题设的12分钟过程限制，不能无条件向以后延长。 （2）错误。若k、b都未知，一组点值通常不足；本题已知k＝−3，只剩b一个未知数，一组对应值就能求出它。是否够用，要看已经知道哪些条件，而不是只数记录有几行。 6．已知y是x的一次函数。下面三组记录中，恰有一组的y抄错了，但不知道是哪一组；各组的x都抄写正确。 x 1 3 5 y 4 8 10 （1）【判断】小华用前两组求得y＝2x＋2，便断定“第三组抄错，应把10改为12”。这个结论是否一定正确？说明原因。 （2）【解答】分别写出两种可能的正确关系式。对每一种，指出哪些记录正确、哪一处应改成多少，并检验确实只有一处错误。 第6题 解析 （1）不一定正确。小华的式子只在“前两组都抄对”时成立，但题目没有给出这个前提。恰有一处错误，并未指定哪一处；不能因为前两组排在前面，就把它们看作更可信。 （2）例如下面两种都可能。 第一种：保留(1，4)、(3，8)。由 ，得b＝2，所以y＝2x＋2。x＝5时y＝12，故第三组10应改为12；前两组代入都成立，恰有一处错误。 第二种：保留(1，4)、(5，10)。由 ，得 ，所以 。x＝3时y＝7，故第二组8应改为7；第一、三组都成立，仍恰有一处错误。 还可以保留(3，8)、(5，10)，得到y＝x＋5，此时第一组4应改为6。给出前两种已足以反驳唯一判断；三种的一次项系数均非零。 7．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点。已知A(−4，0)，B在y轴正半轴，O为原点，△OAB的面积为10。 （1）【解答】求OA的长和B的坐标。说明为什么OA不是−4。 （2）【解答】求这个一次函数的关系式，并代入A、B的坐标检验。 （3）【解答】若删去“B在y轴正半轴”这一条件，其余条件不变，重新求所有可能的关系式。说明为什么不能只保留第2问的结果。 第7题 解析 （1）A的横坐标为−4，表示A在原点左侧；线段长度是正数，所以OA＝|−4−0|＝4，不能把横坐标−4直接当长度。因为两坐标轴互相垂直，△OAB是直角三角形，，解得OB＝5。B在y轴正半轴，所以横坐标为0、纵坐标为5，即B(0，5)。 （2）设y＝kx＋b。由B(0，5)得b＝5；由A(−4，0)得0＝−4k＋5，解得 ，故 。检验：x＝−4时y＝0，x＝0时y＝5，且一次项系数非零。 （3）面积仍为10，因此OB的长度仍为5；但B不再只许在原点上方，还可以在下方，所以B可能为(0，5)或(0，−5)。前一种仍得 ；后一种由b＝−5、0＝−4k−5得 ，关系式为 。两式分别通过A及对应的B，都满足面积10和非零系数条件，因此共有两种。只保留第2问会漏掉B在负半轴的情况；原图不能替代已经删去的条件。 8．小华把一根7.2 m长的绳子绕成绳团。开始计时时已经绕好1.2 m，随后按每30 s绕450 cm的速度匀速绕线，绕完为止。记计时t s时已经绕好的总长度为L m。 （1）【解答】求L关于t的关系式，并写出适用范围。 （2）【解答】已经绕好的总长度达到6.75 m需要多少秒？检验该时刻是否在本过程内。 （3）【判断】“已经绕好的总长度L与t成正比例。”判断；若不正确，指出本情境中哪个长度与t成正比例，并写出关系式。 第8题 解析 （1）450 cm＝4.5 m，所以每秒绕线 m。总长度＝计时前已绕长度＋计时后新绕长度，所以L＝1.2＋0.15t，L以m为单位，t以s为单位。绕完时L＝7.2，解1.2＋0.15t＝7.2，得t＝40。因此适用范围为0≤t≤40，允许任意实数时间，包括两个端点。不能把450直接当成m使用。 （2）由1.2＋0.15t＝6.75，得0.15t＝5.55，t＝37 s。37在0至40之间，符合实际过程；代回1.2＋0.15×37＝6.75 m。 （3）错误。L含计时前已经绕好的1.2 m，常数项不为0，不是正比例函数。计时后新绕的长度记为u m，则u＝0.15t，0≤t≤40，它与t成正比例。量的名字不同，关系式也不同。 9．一次函数在x＝−2时的函数值为1，在x＝6时的函数值为17。x＝2时的函数值记为M，x＝1、3时的函数值分别记为N、P。 （1）【解答】不必先求b，利用x、y的变化量求M。 （2）【解答】求N＋P。说明为什么这里可以利用相等的x变化量，而不是凭图形外观猜测。 第9题 解析 （1）输入从−2增至6，共增加8；输出从1增至17，共增加16，所以k＝16÷8＝2。从−2到2，输入增加4，输出增加2×4＝8，因此M＝1＋8＝9。全过程无需先求b。 （2）从2到1输入减少1，输出减少2，所以N＝9−2＝7；从2到3输入增加1，输出增加2，所以P＝9＋2＝11，故N＋P＝18。也可以设y＝kx＋b，则N＋P＝(k＋b)＋(3k＋b)＝2(2k＋b)＝2M＝18。这个结论来自一次关系中的固定单位变化量，不是从图上看起来对称就猜出来的。 C 拓展提升 10．考虑一组关系式 。每选定一个m，才得到一条具体规则。 （1）【填空与解释】哪些m能得到一次函数？在一个已选定的一次函数中，m能否随x任意改变？ （2）【解答】找一个x，使所有符合条件的一次函数都得到同一个y。求出这组x与y，并用含m的原式证明。 （3）【判断】“这些函数的常数项相同。”判断，并选两个合格的m给出反例；说明这与第2问并不矛盾。 第10题 解析 （1）一次项系数m−1要非零，所以m≠1。每选定一个m，系数m−1和3m−2就固定；在同一个函数里，m不能再随x任意改变，否则研究的已经不再是这条固定的一次函数。 （2）可先用两个合格的m寻找候选。m＝0时y＝−x−2；m＝2时y＝x＋4。若存在共同输入，应使−x−2＝x＋4，得x＝−3，对应y＝1。再检验所有合格的m： 。 因此输入−3、输出1是所有这些一次函数共同的一组对应值。只比较两条式子是寻找候选，最后代入一般m才证明所有合格m都满足。 （3）错误。m＝0时常数项为−2，m＝2时常数项为4，二者不同，而且两个m都合格。它们在x＝0时输出不同，但可以在另一个输入x＝−3时输出相同，因此与第2问并不矛盾。 11．已知y是x的一次函数，三组对应值如下，最后一项尚未填写。 x 2 6 10 y 7 19 c 给每个y都加上同一个常数d，得到新的一组对应值z，即z＝y＋d。要求z与x成正比例。 （1）【解答】求y关于x的关系式和c。 （2）【解答】求d和z关于x的关系式。 （3）【判断】“给各个y加上同一个数，任意两个函数值的差保持不变。”判断并用本题数据或等式说明。 第11题 解析 （1）由两组已知值，，再由7＝3×2＋b得b＝1，所以y＝3x＋1。x＝10时c＝31，代入原表检验前两组均成立。 （2）z＝y＋d＝3x＋1＋d。要使z与x成正比例，常数项须为0，即1＋d＝0，所以d＝−1，z＝3x。一次项系数3≠0，符合正比例条件。 （3）正确。任取两个原输出y₁、y₂，新的差为(y₂＋d)−(y₁＋d)＝y₂−y₁，d抵消。例如前两组原输出差为19−7＝12；各减1后为18−6＝12。因此固定的加减不会改变这两次输出之差。 12．已知y−x与x＋2成正比例，比例系数为a，因此a≠0。 （1）【解答】先按整体关系列式，再整理为y关于x的式子。判断“y必定是x的一次函数”是否正确，并说明哪些a合格、哪些a不合格。 （2）【解答】若x＝1时y＝7，求a和y关于x的关系式，并代回整体关系检验。 （3）【解答】在原题允许的a中，是否可能使y成为x的正比例函数？说明理由，不能只凭第2问的特例作结论。 第12题 解析 （1）应设y−x＝a(x＋2)，且a≠0。整理得y＝(a＋1)x＋2a。一次项系数是a＋1，而不是a，所以“必定是一次函数”错误。除题设a≠0外，还需a＋1≠0，即a≠−1。因此a≠0且a≠−1时为一次函数；a＝−1虽然满足整体比例条件，却得到y＝−2，是常数函数。 （2）代入x＝1、y＝7，得7−1＝a(1＋2)，即6＝3a，所以a＝2。故y＝3x＋4。检验整体关系：y−x＝(3x＋4)−x＝2x＋4＝2(x＋2)，对任意x成立；已知点也满足7＝3×1＋4。 （3）不可能。若y是x的正比例函数，整理后的常数项2a必须等于0，只能得到a＝0，但这违背原题比例系数a≠0。这个结论检查了全部允许的a，不是只看第2问a＝2这一个特例。 D 课后限时练 先独立完成，再核对条件和范围；遇到判断题要写理由。 13．已知y＝(2−m)x＋m，m为常数。 【选择】要使y是x的一次函数但不是正比例函数，m应满足（ ）。 A. m≠2 B. m≠0 C. m≠2且m≠0 D. m＝0或m＝2 第13题 解析 选C。一次函数要求2−m≠0，即m≠2；不是正比例函数还要求常数项m≠0。两条须同时满足。A漏掉m＝0时为正比例的情形；B漏掉m＝2时为常数函数的情形；D恰好选了应排除的两种情况。 14．已知下表来自同一个一次函数。 x −1 2 6 y 8 2 □ 【填空】空缺读数为____；一次项系数为____；常数项为____。 第14题 解析 。由x＝2、y＝2，得2＝−4＋b，b＝6，故y＝−2x＋6。x＝6时y＝−12＋6＝−6。填空依次为−6、−2、6。也可由第二次到第三次输入增加4，输出减少8，得到2−8＝−6；不能沿用前两次输入间隔3。 15．记录能否确定函数 【判断】分别判断并说明理由。 （1）已知一个正比例函数图象经过原点，就能唯一求出比例系数。 （2）没有其他冲突条件时，两组横坐标不同、纵坐标也不同的记录，能唯一确定一个一次函数。 第15题 解析 （1）错误。(0，0)代入y＝kx只得到0＝0，不能限制k。例如y＝x和y＝−2x均为正比例函数，都满足这一记录而k不同。 （2）正确。由两组记录相减，。横坐标不同保证分母非零，纵坐标不同保证分子非零，因此能唯一求出非零k。再代入任一记录得到唯一b，即可确定一个一次函数。题设已排除其他冲突条件。 16．已知y是x的一次函数，A、B为其图象上的点，网格中每个小方格的边长表示1个单位。 【解答】读出A、B坐标，求函数关系式；再求x＝−1时的函数值，并检验点(4，5)是否在图象上。 第16题 解析 A(2，1)，B(5，7)。设y＝kx＋b，则2k＋b＝1，5k＋b＝7。相减得3k＝6，k＝2，再得b＝−3，故y＝2x−3。代入两点分别得到1、7，且k≠0。 x＝−1时y＝2×(−1)−3＝−5。点(4，5)的横坐标代入得2×4−3＝5，与其纵坐标相同，所以该点在图象上。 17．手工店出售可连续量取的彩绳，每米9元，每单另收5元线轴费。每单可购买0.5 m至3 m彩绳。购买x m的总费用为y元。 【解答】写出y关于x的关系式和范围，判断是否为正比例函数；若总费用为32元，求购买长度并检验是否允许。 第17题 解析 总费用＝彩绳费用＋线轴费，所以y＝9x＋5，0.5≤x≤3，x可取该范围内任意实数，因为彩绳可以连续量取，不限整米。 这是一次函数，但不是正比例函数，因为常数项5不为0。由32＝9x＋5，得9x＝27，x＝3 m。3是允许范围的右端点，题目允许购买3 m，因此可行；回代9×3＋5＝32元。 18．已知 是x的一次函数，且它的图象经过点(1，7)。 【解答】求p、q和函数关系式；判断它是否为正比例函数，并检验点(−1，−5)是否在其图象上。 第18题 解析 一次函数要求p−2＝0、p＋q≠0，所以p＝2，并且q≠−2。整理后y＝(q＋2)x＋q−3。 由经过(1，7)，得7＝q＋2＋q−3＝2q−1，解得q＝4。此时p＋q＝6≠0，满足保留一次项的条件。代回原式得y＝6x＋1；代入x＝1得7，与已知点相符。 常数项1不为0，所以它不是正比例函数。点(−1，−5)代入得6×(−1)＋1＝−5，成立，故该点在图象上。 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2 一次函数的概念 学案 2026-2027学年苏科版八年级数学上册 学生版 上一节已经学会按规定的范围判断函数，并用式、表、图表示对应关系。本节进一步研究一类特殊关系：自变量x每增加相同的量，函数值y的变化量也相同。要认出这种关系，不仅要看到式子中有 x，还要看清化简后的形式、一次项系数是否为零，以及式子在什么范围内适用。 目录导航 知识详解 1 典例与变式 7 A 基础巩固 16 B 综合应用 18 C 拓展提升 20 D 课后限时练 22 本学案的选择题均为单项选择。判断题须说明理由；填空题写全条件和单位；解答题保留列式、推算与检验过程。 知识脉络 知识详解 一、一次函数与正比例函数 一只容器中原有12 L水，现以每分钟4 L的速度匀速加水，只研究开始加水到加满以前的过程。加水时间为 t min，新加入的水量为 u L，容器中的总水量为 V L。经过 t min，新加入的水量是 ；总水量还要加上原有的12 L，所以 。 两个式子都描述均匀加水，但不能把它们混称为同一种比例关系。时间变为原来的2倍，新加入的水量也变为原来的2倍；总量中的12 L不会随时间一起翻倍。例如 t＝1时总量16 L，t＝2时总量20 L，并不是32 L。 一般地，形如 （k、b为常数，且 ）的函数，叫作一次函数。其中 k 是一次项系数，b 是常数项。特别地，当 时，关系式成为 （），叫作正比例函数。 正比例函数是一次函数的特殊情形；一次函数不一定是正比例函数。 不能把两个名称看成互相排斥的两类。也是正比例函数：定义要求k非零，并不要求k为正。“正比例函数”中的“正”不是对k符号的限制。 为什么必须保留 ？若k＝0，式子就变成y＝b，x的一次项不再存在。它仍可表示函数，却不是本节定义的一次函数。因此，“是函数”“含有字母x”“可以写成kx＋b的外观”都不足以完成判断。 在一个已经确定的一次函数中，k、b不随x改变。比较不同方案时，它们可以取不同的值；每选定一组k、b，才得到一个具体的函数。不要在同一条规则里，一会儿取k＝2，一会儿又取k＝3，却仍把它当成同一个一次函数。 二、一次函数的判断 判断一次函数，检查的是化简后的关系式，不是最先看见的项。例如 ，真正的一次项系数是2，常数项是6； ，虽然原式多次出现x，合并后一次项完全抵消，所以不是一次函数； ，分母是非零常数，仍能化为一次函数形式，且一次项系数为负。 含参数的式子也要执行同样的检查。要使 成为一次函数，二次项必须消去，所以a−2＝0；同时一次项必须保留，所以a＋1≠0。由第一条得a＝2，代回第二条得到3≠0，最后关系式为y＝3x＋4，确实合格。 若把式子改成 ，消去二次项仍要求a＝2，但此时一次项也一起消失，只剩y＝4。因此不存在合格的a。消去高次项与保留非零一次项是两项同时要满足的条件，不能只做前一项。 要求正比例函数时，在满足一次函数条件的基础上，还要让常数项等于0。求出参数可能的值后，必须代回原式，看最终留下的具体式子；这样既能检查运算，也能发现使关系式变成常数函数的值。 三、k和b的意义 已知某关系是一次函数 ，当x从 变为 时，对应的y分别为 、。两式相减，固定的b抵消，得到 。 若 ，就有 。这说明k是“y的变化量÷x的变化量”，不是把任意一个y除以对应的x；只有b＝0且x≠0时，才有 。 比较不同记录时，x的两次变化量不相同，不能只比较y增加了多少。上图中y先增加6、后增加9，并不矛盾，因为x分别增加2、3；x每增加1，y都增加3。k为负时，也照样使用这个关系式，例如k＝−2表示x增加1，y减少2。 单位也要跟着量走。若x的单位是min，y的单位是L，那么k的单位就是L/min，b的单位是L。式子中的kx与b必须能表示同一种量，才能相加。不同记录的单位不一致时，应先统一单位。 把x＝0代入 ，在代数式上得到y＝b。但在实际问题中，只有x＝0属于适用范围，并且x表示从所选起点开始计量时，才能把b解释为该起点的实际状态。 若某个实际关系只在2≤x≤8内符合这个式子，算出的b只是式子的常数项；没有额外条件，就不能断言x＝0时的实际结果就是b。 还要区分“已知是一次函数，由记录求式子”和“只看到几次记录，猜测是否均匀变化”。有限个数据可以与某个一次函数一致，却不能证明未记录的所有x也符合这个式子。用一次函数求式时，应当有题目给出的“一次函数”条件，或匀速、均匀变化等明确规律，不能自己添上。 四、待定系数法 知道函数类型，但还不知道系数时，可以先用字母表示待求的系数，再把已知对应值代入，列方程求解，这种方法叫作待定系数法。 通常按“设、列、解、验”进行：按已知类型设关系式；把每组x与对应的y成对代入；解出系数并写回关系式；检查所有已知记录、非零条件和适用范围。若已知是正比例函数，就设 ，只需求k；若只知道是一次函数，一般设 。若某个系数已经给出，就不必把它再次当成未知数。 例如，已知是正比例函数，且x＝2时y＝6，代入得6＝2k，所以k＝3，关系式为y＝3x。若已知是一次函数，且x＝1时y＝4、x＝3时y＝10，则 第二式减第一式得2k＝6，所以k＝3，再代回得b＝1。关系式y＝3x＋1满足两组记录，且k≠0。 并不是“见到一个点就一定能求正比例函数，见到两次记录就一定能求一次函数”。先看这些信息是否有效、是否冲突。 正比例函数的一个已知点 能得到什么 原因 (0，0) 不能唯一确定k 任意非零k都满足0＝k×0 (0，3) 不可能 x＝0时y只能为0 (2，0) 不可能 只能得到k＝0，不符合定义 (2，6) 唯一确定y＝3x x不为0，可以求出非零k 一次函数的两次记录 能得到什么 原因 同一组数重复记录 通常不足以唯一确定 实际上仍只有一个条件 x相同而y不同 不可能 同一个x不能对应两个不同的y x不同而y相同 不可能是一次函数 相减只能得到k＝0 x不同且y不同 唯一确定一个一次函数 可先求唯一的非零k，再求b 最后一行以没有其他冲突条件为前提；若还给了第三个点，应继续代入检验，不能只取前两个点算完就忽略其他信息。 五、一次函数与点的坐标 根据上一节的图象含义，点P的坐标为(a，c)，且P在 的图象上，就意味着当x＝a时y＝c，即 。横坐标代入x，纵坐标代入y；点的位置记录了x与y的对应关系，不是额外背诵的公式。 如果两个点含有共同字母，先看两个点的横坐标、纵坐标各相差多少，往往不用先求这些字母。例如A(r，s)、B(r＋2，s＋6)在同一个一次函数的图象上，代入得到 、；相减得6＝2k，所以k＝3。但是r、s还未给出，b＝s−3r仍不确定，不能擅自宣布整个关系式已经唯一确定。 另一种情况是用同一个参数描述点的两个坐标。若P的坐标为(t＋1，3t−2)，令x＝t＋1，则t＝x−1；代入y＝3t−2，得到y＝3x−5。这里消去的是描述点的参数t，不是把x、y也当成固定常数。若t可以取任意实数，x也可以取任意实数；若t有限制，还要把它换成x的限制。 检验一个关系式是否适合所有这样的点，应代入一般的t，检查等式是否总成立。只试一个t碰巧成立，不能证明所有t都成立；但只要找出一个不成立的t，就足以否定“所有点都满足”的说法。 六、实际问题中的函数关系式 写实际关系式时，先用量的名称列出数量等式，再把单位统一，最后整理成字母式。例如“剩余量＝原有量−每单位时间用量×时间”，比直接凭题目出现两个数就凑成kx＋b更可靠。若题目说速度、流量或单价在研究过程中保持不变，才能把相应系数作为常数。 关系式求出后，还要保留实际边界。连续用水的时间可以取非整数；成件制作的数量通常只能取整数。到“刚好用完”时剩余量可以为0；用完后仍继续把原式延长并得到负的剩余量，就超出了适用范围。写出范围，才能说明哪些自变量的值可以代入这段实际关系式。 “成正比例”有时说的是两个整体，而不是单独的x与y。例如“y＋2与x−1成正比例”，应先把y＋2看作一个完整的量，把x−1看作另一个完整的量，设 （a为常数，且 ）， 再整理为 。这个式子一定是一次函数，但是否是正比例函数，还要看常数项−a−2是否为0。例如a＝−2时得到y＝−2x，是正比例函数；a＝1时得到y＝x−3，不是正比例函数。 若整体中也含有y以外的x项，整理后的一次项系数还可能改变，仍要重新检查，而不能只看到“成正比例”四个字就作结论。本节用代数与对应关系把条件讲清；一次函数的完整图象、象限和图象变换将在下一节研究。 典例与变式 题型一、一次函数与正比例函数的判断 例1 打印费用中的固定部分 资料室按每页0.2元收取打印费，另收每份3元装订费。一份资料打印x页，打印费记为C元，总费用记为T元。每份至少1页、至多50页，均为整页。 （1）【填空】分别写出C、T关于x的关系式及x的允许取值。 （2）【判断】“C既是x的正比例函数，也是x的一次函数。”判断并说明理由；再判断T是否为x的正比例函数。 （3）【解答】当页数从10增至20时，C和T是否都变为原来的2倍？用数据说明。式子中的常数项3，能否称为本题实际存在的“0页资料的总费用”？ 变式训练1 同一个切割过程中的已用量与剩余量 一条长30 m的绳子，每次截取完整的2 m，不计损耗。已经截取x段，已用绳长记为u m，剩余绳长记为y m，允许一段也未截取，也允许刚好截完。 （1）【填空】写出u、y关于x的关系式和x的全部允许取值。 （2）【选择】下列说法正确的是（ ）。 A. y的一次项系数为负，所以y不是一次函数 B. u和y都是x的正比例函数 C. y是x的一次函数，但不是正比例函数 D. x可以取0至15之间的任意实数 （3）【判断】“同一过程中每多截一段，u增加2，y减少2，二者的变化都具有固定的每段变化量。”判断并说明依据。 题型二、利用定义求参数 例2 一个式子中的两项参数要求 已知 ，a、b为常数。 （1）【填空与说明】若y是x的一次函数，a、b各应满足什么条件？写出化简后的关系式。 （2）【解答】若进一步要求y是x的正比例函数，求a、b，并代回原式检验。 （3）【判断】“只要把常数项变成0，就一定得到正比例函数。”判断并给出本题中一个反例。 变式训练2 找不到参数时 要说明矛盾在哪里 小林希望通过选择a，使 成为一次函数。 （1）【解答】是否存在这样的a？把需要同时满足的条件写出来，再解释结论。 （2）【判断】“只把常数项4换成另一个数，就能解决上述矛盾。”判断并说明理由。 （3）【解答】若只把一次项改为(a＋1)x，其他两项保持不变，是否能得到一次函数？若能，写出a和最终关系式，并说明这次为何没有一起消失。 题型三、根据变化量求关系式 例3 步行记录不是等时间间隔 小明从家出发时开始计时。第2 min至第10 min，他沿笔直道路继续远离家匀速步行。下面记录了这一时段内他离家的距离s（m）与时间t（min）。 t/min 2 5 9 s/m 180 420 740 （1）【解答】前后两段各走了多少米、用了多少分钟？据此求这段时间s关于t的关系式，并写出适用范围。 （2）【填空】t＝10时，s＝____m。式中一次项系数的实际含义是____。 （3）【判断】“这段关系式不能用来求小明在t＝0时离家的实际距离。”判断并解释：小明在t＝0时实际在哪里，式子的常数项为什么不是这个实际距离？ 变式训练3 能否由这些数据确定关系式 已知y是x的函数，x可以取任意实数。现在只给出三组对应值，没有给出其他规律。 x 0 2 5 y 1 5 11 （1）【判断】“这三组数据符合y＝2x＋1，因此这个函数对所有x一定都满足y＝2x＋1。”判断并解释。 （2）【解答】规则甲规定：对任意x，y＝2x＋1；规则乙规定：当x＝0、2、5时，y＝2x＋1；当x取其他值时，y＝0。两条规则是否都符合现有记录？x＝1时各得到多少？这说明什么？ （3）【填空】若补充“y是x的一次函数”，关系式为____，x＝1时y＝____。说明这条补充条件为何有用。 题型四、用待定系数法求关系式 例4 从坐标记录确定关系式 已知y是x的一次函数，图中P、Q是其图象上的两个点，每个小方格的边长表示1个单位。 （1）【填空】从图中读出P、Q的坐标。 （2）【解答】用待定系数法求y关于x的关系式，写出代入、求解和回查过程。 （3）【解答】点R(4，−5)是否在该函数图象上？若点S(a，7)也在图象上，求a。 变式训练4 两次记录未必是两个有效条件 计划用两次记录确定一个一次函数。四份记录卡如下。 （1）【选择】哪一份记录能唯一确定一个一次函数（ ）？ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 （2）【解答】分别说明其余三份记录为什么不能完成任务，并求出合格记录对应的关系式。 （3）【解答】如果事先已知是正比例函数，只保留记录(2，5)，信息是否已经足够？求出关系式，并解释为什么这与甲中的结论不矛盾。 题型五、点的坐标与关系式 例5 两式相减求k A(r，s)、B(r＋4，s−6)在同一个一次函数 的图象上。 （1）【选择并说明】k的值是（ ）。 A. B. C. D. −10 （2）【判断】“由这两个点可以求出k，但还不能唯一确定b。”判断并说明理由；再写出两个都可能符合上述描述的一次函数。 （3）【解答】补充A的坐标为(2，5)，求这个一次函数的关系式，并求B的坐标回查。 变式训练5 用x表示点的纵坐标 点P的坐标为(2t−1，t＋3)，其中−1≤t≤3。 （1）【解答】消去t，写出这些点的横坐标x与纵坐标y之间的关系及x的取值范围，并判断是否为一次函数。 （2）【判断】“t＝1时，P满足y＝2x＋2，所以所有这样的P都满足y＝2x＋2。”判断，并给出明确的反例或证明。 （3）【解答】点(3，5)与点(3，6)中，哪些能作为这样的P？对能取到的点求t；对不能取到的点解释矛盾。 题型六、实际问题与整体正比例 例6 排水问题中的关系式 一只容器从t＝0起以恒定速度排水，直到恰好排空立即停止。容器中剩余水量y（L）关于排水时间t（min）满足一次函数关系。t＝2时剩余31 L，t＝5时剩余19 L，不计其他进出水。 （1）【解答】求y关于t的关系式，解释两个系数的意义。 （2）【解答】求排空时刻，并写出该关系式在本过程中的适用范围。 （3）【判断】“把t＝12代入得到的数，就是排水12 min后容器中的水量。”判断并说明原因。 （4）【解答】已排出的水量记为u L，写出u关于t的关系式和范围，并分别判断u、y是否为t的正比例函数。 变式训练6 成正比例的可能是两个整体 已知y−2与x＋3成正比例，当x＝0时y＝14。 （1）【解答】先按两个整体的关系设式，再求y关于x的关系式。 （2）【判断】“y−2与x＋3成正比例，不代表y与x也成正比例。”判断，并用本题求出的关系式说明。 （3）【填空与检验】当y＝2时，x＝____。把这一组数代回未展开的整体关系式检验。如果题目只给出x＝−3、y＝2这组数据，而没有x＝0、y＝14，能否确定比例系数？ A 基础巩固 1．考察四个关系式：① ；② ；③ ；④ （x≠0）。 【选择】其中一次函数、正比例函数分别有（ ）。 A. 1个、1个 B. 2个、1个 C. 2个、2个 D. 3个、1个 2．判断条件是否完整 【判断】逐条判断并说明理由。 （1）一次函数中b＝0时，它是正比例函数。 （2）只要写成y＝kx＋b，且k、b都是常数，就一定是一次函数。 （3）一个含x²项的式子中，只要x²项消失，就一定得到一次函数。 （4）在同一个一次函数中，x增加2，对应的y变化量为2k。 3．已知 ，m为常数。 【填空与说明】它是一次函数时，m应满足____；它是正比例函数时，m＝____，关系式为____；m＝4时关系式为____，它是不是函数、是不是一次函数？ 4．已知y是x的正比例函数，x＝−3时y＝9。 【填空】比例系数为____；关系式为____；x＝0时y＝____；y＝−12时x＝____；若点(r，6)在其图象上，则r＝____。 B 综合应用 5．某冷却实验从t＝0起持续12 min，整个过程中温度T（℃）每分钟降低3 ℃。t＝4 min时温度为26 ℃。 （1）【解答】求T关于t的关系式及适用范围，求初始温度。 （2）【判断】“只知道一组对应值，绝不可能确定一个一次函数。”用本题说明判断依据。 6．已知y是x的一次函数。下面三组记录中，恰有一组的y抄错了，但不知道是哪一组；各组的x都抄写正确。 x 1 3 5 y 4 8 10 （1）【判断】小华用前两组求得y＝2x＋2，便断定“第三组抄错，应把10改为12”。这个结论是否一定正确？说明原因。 （2）【解答】分别写出两种可能的正确关系式。对每一种，指出哪些记录正确、哪一处应改成多少，并检验确实只有一处错误。 7．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点。已知A(−4，0)，B在y轴正半轴，O为原点，△OAB的面积为10。 （1）【解答】求OA的长和B的坐标。说明为什么OA不是−4。 （2）【解答】求这个一次函数的关系式，并代入A、B的坐标检验。 （3）【解答】若删去“B在y轴正半轴”这一条件，其余条件不变，重新求所有可能的关系式。说明为什么不能只保留第2问的结果。 8．小华把一根7.2 m长的绳子绕成绳团。开始计时时已经绕好1.2 m，随后按每30 s绕450 cm的速度匀速绕线，绕完为止。记计时t s时已经绕好的总长度为L m。 （1）【解答】求L关于t的关系式，并写出适用范围。 （2）【解答】已经绕好的总长度达到6.75 m需要多少秒？检验该时刻是否在本过程内。 （3）【判断】“已经绕好的总长度L与t成正比例。”判断；若不正确，指出本情境中哪个长度与t成正比例，并写出关系式。 9．一次函数在x＝−2时的函数值为1，在x＝6时的函数值为17。x＝2时的函数值记为M，x＝1、3时的函数值分别记为N、P。 （1）【解答】不必先求b，利用x、y的变化量求M。 （2）【解答】求N＋P。说明为什么这里可以利用相等的x变化量，而不是凭图形外观猜测。 C 拓展提升 10．考虑一组关系式 。每选定一个m，才得到一条具体规则。 （1）【填空与解释】哪些m能得到一次函数？在一个已选定的一次函数中，m能否随x任意改变？ （2）【解答】找一个x，使所有符合条件的一次函数都得到同一个y。求出这组x与y，并用含m的原式证明。 （3）【判断】“这些函数的常数项相同。”判断，并选两个合格的m给出反例；说明这与第2问并不矛盾。 11．已知y是x的一次函数，三组对应值如下，最后一项尚未填写。 x 2 6 10 y 7 19 c 给每个y都加上同一个常数d，得到新的一组对应值z，即z＝y＋d。要求z与x成正比例。 （1）【解答】求y关于x的关系式和c。 （2）【解答】求d和z关于x的关系式。 （3）【判断】“给各个y加上同一个数，任意两个函数值的差保持不变。”判断并用本题数据或等式说明。 12．已知y−x与x＋2成正比例，比例系数为a，因此a≠0。 （1）【解答】先按整体关系列式，再整理为y关于x的式子。判断“y必定是x的一次函数”是否正确，并说明哪些a合格、哪些a不合格。 （2）【解答】若x＝1时y＝7，求a和y关于x的关系式，并代回整体关系检验。 （3）【解答】在原题允许的a中，是否可能使y成为x的正比例函数？说明理由，不能只凭第2问的特例作结论。 D 课后限时练 先独立完成，再核对条件和范围；遇到判断题要写理由。 13．已知y＝(2−m)x＋m，m为常数。 【选择】要使y是x的一次函数但不是正比例函数，m应满足（ ）。 A. m≠2 B. m≠0 C. m≠2且m≠0 D. m＝0或m＝2 14．已知下表来自同一个一次函数。 x −1 2 6 y 8 2 □ 【填空】空缺读数为____；一次项系数为____；常数项为____。 15．记录能否确定函数 【判断】分别判断并说明理由。 （1）已知一个正比例函数图象经过原点，就能唯一求出比例系数。 （2）没有其他冲突条件时，两组横坐标不同、纵坐标也不同的记录，能唯一确定一个一次函数。 16．已知y是x的一次函数，A、B为其图象上的点，网格中每个小方格的边长表示1个单位。 【解答】读出A、B坐标，求函数关系式；再求x＝−1时的函数值，并检验点(4，5)是否在图象上。 17．手工店出售可连续量取的彩绳，每米9元，每单另收5元线轴费。每单可购买0.5 m至3 m彩绳。购买x m的总费用为y元。 【解答】写出y关于x的关系式和范围，判断是否为正比例函数；若总费用为32元，求购买长度并检验是否允许。 18．已知 是x的一次函数，且它的图象经过点(1，7)。 【解答】求p、q和函数关系式；判断它是否为正比例函数，并检验点(−1，−5)是否在其图象上。 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $