甘肃省兰州市第五十八中学2026-2027学年高一上学期期中数学试卷

2026-2027 学年第一学期期中试卷 高一数学试卷 全卷共 150 分，考试时间 120 分钟． 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求。 1．已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把 ， 在数轴上表示出来，再取并集． 【解答】，，所以 ．故选 C． 2．命题 ：“， ”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题：改写量词，并否定结论． 【解答】命题 是全称量词命题，其否定为“， ”．故选 B． 3．“ ”是“ ”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分别检验两个方向： 能否推出 ，以及反之能否推出． 【解答】当 时， 成立，充分性成立； 取 ，则 ，但 不成立，必要性不成立． 所以“ ”是“ ”的充分不必要条件．故选 A． 4．已知关于 的不等式 的解集为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不等式的解集端点就是对应方程的两根，用韦达定理求 ，． 【解答】由解集 知 ， 是方程 的两根， 所以 ，，即 ，， 所以 ．故选 A． 5．若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】凑出“积为定值”：把 写成 ，再用基本不等式，注意等号成立的条件． 【解答】因为 ，所以 ， ， 当且仅当 ，即 时取等号，所以最小值为 ．故选 B． 6．函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】被开方数非负，解一元二次不等式． 【解答】由 得 ，即 ，解得 ， 所以定义域为 ．故选 A． 7．已知函数 若 ，则 （　　） A． B． C． 或 D． 【答案】B 【分析】按 与 分段代入，解出的 要满足该段的自变量范围． 【解答】当 时，，得 ，不符合，舍去； 当 时，，即 ，解得 或 （舍去）， 所以 ．故选 B． 8．若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分离参数得 对 恒成立，转化为求右侧函数的最小值． 【解答】由 得 对任意 恒成立． 因为 ，当且仅当 时取等号，所以 ， 所以 ，即 ．故选 A． 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分。 9．设集合 ，，则下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】ABD 【分析】把 ， 画在数轴上，逐一按选项的条件检验包含关系与端点． 【解答】A：，， 需 ，正确； B： 需 ，正确； C：当 时 ，，不是 ，错误； D：当 时 ；若 ，则 ， 所以 ，正确．故选 ABD． 10．已知 ，，则下列结论正确的是（　　） A． B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】ACD 【分析】逐项用基本不等式判断，注意等号成立的条件；B 项方向反了． 【解答】A：，正确； B：由 得 ，故 错误； C：，正确； D：，正确．故选 ACD． 11．下列说法正确的是（　　） A．函数 与 是同一个函数 B．函数 与 是同一个函数 C．函数 的值域为 D．若 ，则 【答案】AC 【分析】逐项判断：A、B 看定义域与对应关系；C 用基本不等式求值域；D 直接代入化简． 【解答】A：，两个函数的定义域都是 ，对应关系相同，是同一个函数，正确； B： 的定义域为 ，与 的定义域不同，不是同一个函数，错误； C：当 时 ；当 时 ，所以值域为 ，正确； D：，错误．故选 AC． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知命题 ：，：．若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是 ______． 【答案】 【分析】先解出 对应的集合，再由“ 是 的充分不必要条件”得两集合的真包含关系． 【解答】由 得 ，记 ，． 因为 是 的充分不必要条件，所以 是 的真子集， 需 （当 时 仍是 的真子集）， 所以 的取值范围是 ． 13．若正实数 ， 满足 ，则 的最大值为 ______． 【答案】 【分析】把 凑成 ，再用基本不等式． 【解答】因为 ，，所以 ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号，所以 的最大值为 ． 14．已知函数 在区间 上的值域为 ，则实数 的取值范围是 ______． 【答案】 【分析】配方得 ，最小值在 处取到；再比较端点函数值确定 的范围． 【解答】，所以 在 上递减，在 上递增，最小值为 ． 要使值域为 ，一方面需 ，即 ； 另一方面 ，，当 时 ，故需 ． 所以 的取值范围是 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13 分）解下列不等式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）因式分解后按“小于取中间”写出解集；（2）移项通分，转化为分式不等式，注意分母不为零． 【解答】（1）由 得 ，解得 ， 所以解集为 ． （2）由 得 ，即 ， 也就是 ，解得 ， 所以解集为 ． 16．（15 分）已知集合 ，． （1）当 时，求 ； （2）若 ，求实数 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先解不等式求 ，再取并集；（2） 等价于 ，由端点列不等式组． 【解答】由 得 ，所以 ． （1）当 时，，所以 ． （2）由 得 ， 所以 且 ，解得 ， 即 的取值范围是 ． 17．（15 分）（1）已知 ，，且 ，求 的最小值； （2）用一段长为 36 m 的铁丝网围成一个矩形场地，并在场地中间用一段铁丝网将它隔成两个全等的矩形（隔网与该矩形的一边平行）．求该矩形场地面积的最大值． 【答案】（1）；（2） m² 【分析】（1）用“ ”的代换：，展开后用基本不等式；（2）设边长，写出周长（含隔网）与面积的关系，再配方或基本不等式求最值． 【解答】（1）， 由 ，得 ， 当且仅当 时取等号，所以最小值为 ． （2）设矩形的一边长为 m，与隔网垂直的另一边长为 m，则 （，）， 面积 ，或取 为自变量：由 得 ， 所以当 ， 时， 取最大值 （m²）． 故该矩形场地面积的最大值为 m²． 18．（17 分）已知函数 （）． （1）当 时，解不等式 ； （2）若 对任意 恒成立，求 的取值范围； （3）若 在区间 上的最小值为 ，求 的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）直接解一元二次不等式；（2）用判别式；（3）配方后按对称轴 与区间 的位置关系分类讨论最小值． 【解答】（1）当 时，，即 ，解得 ， 所以解集为 ． （2） 恒成立，需 ，解得 ， 即 的取值范围是 ． （3），对称轴为 ． ① 当 时， 在 上递增，最小值 ，得 ，不满足 ，舍去； ② 当 时，最小值 ，得 ，取 ； ③ 当 时， 在 上递减，最小值 ，得 ，不满足 ，舍去． 综上，． 19．（17 分）定义：设 是非空实数集，若对任意 ， 且 ，都有 ，则称集合 是“差封闭集”． （1）分别判断集合 与 是否为“差封闭集”，并说明理由； （2）已知集合 （）是“差封闭集”，求 的值； （3）已知集合 （）是“差封闭集”，求 ， 的值． 【答案】（1） 是， 不是；（2）；（3）， 【分析】按定义逐一验证：只需对集合中所有两两之差取绝对值，检查是否仍属于原集合；求参数时，把新元素与已有元素作差，分类讨论落在哪个元素上． 【解答】（1） 中两两之差的绝对值为 ，，，都属于 ，所以 是“差封闭集”； 中 ，所以 不是“差封闭集”． （2） 中，，，还需 ． 若 ，则 ，与 矛盾；若 ，则 ；若 ，无解． 所以 ． （3）（）中， 必须在 中： 得 （舍）； 无解； 得 （舍）；故 ，即 ． 此时 ， 必须在 中： 若 ，则 （舍）；若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，无解． 当 时，，两两之差为 ，，，都属于 ，符合； 当 时，，，不符合． 所以 ，． 高一数学（答案）　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027 学年第一学期期中试卷 高一数学试卷 全卷共 150 分，考试时间 120 分钟． 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求。 1．已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 2．命题 ：“， ”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．“ ”是“ ”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知关于 的不等式 的解集为 ，则 （　　） A． B． C． D． 5．若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 7．已知函数 若 ，则 （　　） A． B． C． 或 D． 8．若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分。 9．设集合 ，，则下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 10．已知 ，，则下列结论正确的是（　　） A． B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 11．下列说法正确的是（　　） A．函数 与 是同一个函数 B．函数 与 是同一个函数 C．函数 的值域为 D．若 ，则 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知命题 ：，：．若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是 ______． 13．若正实数 ， 满足 ，则 的最大值为 ______． 14．已知函数 在区间 上的值域为 ，则实数 的取值范围是 ______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13 分）解下列不等式： （1）； （2）． 16．（15 分）已知集合 ，． （1）当 时，求 ； （2）若 ，求实数 的取值范围． 17．（15 分）（1）已知 ，，且 ，求 的最小值； （2）用一段长为 36 m 的铁丝网围成一个矩形场地，并在场地中间用一段铁丝网将它隔成两个全等的矩形（隔网与该矩形的一边平行）．求该矩形场地面积的最大值． 18．（17 分）已知函数 （）． （1）当 时，解不等式 ； （2）若 对任意 恒成立，求 的取值范围； （3）若 在区间 上的最小值为 ，求 的值． 19．（17 分）定义：设 是非空实数集，若对任意 ， 且 ，都有 ，则称集合 是“差封闭集”． （1）分别判断集合 与 是否为“差封闭集”，并说明理由； （2）已知集合 （）是“差封闭集”，求 的值； （3）已知集合 （）是“差封闭集”，求 ， 的值． 高一数学　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $