专题11 椭圆方程的几何性质十四类综合题型（压轴题专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题11 椭圆方程的几何性质 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求共焦点的椭圆方程 题型二、椭圆中x,y的取值范围（椭圆的参数方程） 题型三、根据椭圆的有界性求范围或最值 题型四、点和椭圆的位置关系综合应用 题型五、椭圆的对称性综合应用 题型六、由几何关系求椭圆的离心率 题型七、求椭圆离心率的最值与范围 题型八、由椭圆离心率求参数的最值与范围 题型九、求椭圆的弦长及有关三角形的面积 题型十、椭圆中点弦的直接应用 题型十一、翻译条件后的椭圆中点弦问题 题型十二、求椭圆的焦点弦长 题型十三、椭圆中的“4a"三角形问题 题型十四、椭圆中的光学性质 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 椭圆几何性质是圆锥曲线高频考点，所有题型均围绕椭圆范围、对称性、顶点、离心率、焦半径、弦长公式、点差法等核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是椭圆恒满足，二是直线与椭圆联立后必须检验判别式，所有参数结果最终均需合规检验 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求共焦点的椭圆方程 典例1 （25-26高二上·山西吕梁·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，且离心率： (2)经过点，且与椭圆有相同的焦点. 题型模版 1.特征：已知一个椭圆，求和它焦点相同的椭圆方程；题干常给出椭圆过定点、离心率、长短轴关系等附加条件；陷阱：共焦点意味着不变，改变，不要误把当成定值 2.方法：先由已知椭圆算出公共焦距，确定焦点所在坐标轴 共焦点椭圆统一设元：焦点在x轴；焦点在y轴 将附加条件（定点、离心率等）代入方程解出 回代得到椭圆标准方程，检验保证 补充结论：共焦点椭圆系，固定，焦点坐标不变 变式1-1已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点且与椭圆有公共的焦点，求椭圆的标准方程． 变式1-2过点且与椭圆＋＝24，有相同焦点的椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 变式1-3分别求满足下列条件的椭圆的标准方程: （1）直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点； （2）过点，且与椭圆有相同焦点． 类型二、椭圆中x,y的取值范围（椭圆的参数方程） 典例2 （2026·甘肃兰州·一模）已知曲线，则曲线上的点到直线的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：已知椭圆方程，求椭圆上点横纵坐标范围；求含二元代数式的值域、最值；适合三角换元处理 2.方法：范围直接结论：焦点在x轴；焦点在y轴 参数方程换元：焦点在x轴；焦点在y轴 将代数式全部转化为关于的三角函数，借助三角函数有界性求值域 注意是离心角，不是椭圆上点和原点连线的倾斜角，不要混淆 补充结论：参数方程是处理椭圆二元最值的强力工具，优先于代数消元 变式2-1（2025·江西新余·二模）已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为_____. 变式2-2（24-25高二上·上海·期末）已知椭圆方程为，点为椭圆的右顶点，定点在轴上，点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，则实数的取值范围为________． 变式2-3（24-25高二上·上海·阶段检测）在椭圆上任意一点P，左右焦点分别为，若有，则点P纵坐标的取值范围为________. 题型三、根据椭圆的有界性求范围或最值 典例3 （25-26高三·全国·一轮复习）设B是椭圆的上顶点，若C上的任意一点P都满足，则椭圆C的离心率的取值范围是_______. 题型模版 1.特征：条件含有椭圆上动点坐标，构造目标函数，依靠自身取值边界求最值、参数范围；常和向量、距离、斜率、代数式结合 2.方法：方案一：代数消元，用椭圆方程消去一个变量，转化为单变量函数，带上变量定义域 方案二：参数方程三角换元，转化三角函数最值 方案三：几何法，转化距离、斜率等几何意义画图观察边界 求出结果后回代检验，确认取等的点在椭圆上 补充结论：椭圆上横纵坐标天然有界，是隐含约束条件，极易漏掉造成范围偏大 变式3-1（25-26高二上·江苏南京·期末）椭圆的长轴的顶点为、，动点P在椭圆内，且，则的取值范围是______． 变式3-2（25-26高二上·河北张家口·期中）已知点为椭圆上一点，直线过圆的圆心且与圆交于，两点，则的取值范围为_____． 变式3-3（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知为椭圆上一动点，则点到直线：距离的取值范围为__________． 题型四、点和椭圆的位置关系综合应用 典例4 （26-27高二上·河北保定·期中）若对任意，圆与椭圆至多有3个公共点，则的取值范围为________． 题型模版 1.特征：给定定点，判断点在椭圆内、椭圆上、椭圆外；已知点的位置求参数范围；结合直线、最值、存在性综合考查 2.方法：判定公式（焦点x轴椭圆）： ：点在椭圆内部 ：点在椭圆上 ：点在椭圆外部 已知位置直接列不等式求解参数 常用推论：椭圆内部的点作为中点时，中点弦一定存在 补充结论：点在椭圆内⇔以该点为中点的弦存在 变式4-1（2025·北京海淀·一模）已知椭圆，，分别是的左、右顶点，是的上顶点，的面积为2，且． (1)求椭圆的方程及长轴长； (2)已知点，点在直线上，设直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断点是否在椭圆上，并说明理由． 变式4-2（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆上存在关于直线对称的点，则的取值范围是______. 变式4-3（23-24高二上·江苏徐州·期末）（多选）已知直线与圆相切，椭圆，则（    ） A．点在圆O内 B．点在圆O上 C．点在椭圆C内 D．点在椭圆C上 题型五、椭圆的对称性综合应用 典例5 （25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知椭圆，其右焦点为，现把椭圆长轴分成6等分，过每个等分点作轴的垂线，交椭圆上半部分于，则=_______ 题型模版 1.特征：题干出现对称点、关于x轴/y轴/原点对称、直线对称；利用对称性简化计算，减少运算量 2.方法：椭圆本身对称性：关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称；若在椭圆上，则都在椭圆上 关于坐标轴/原点对称：直接写对称坐标，替换条件 关于直线对称：抓住两个核心：两点连线与对称轴垂直、两点中点落在对称轴上 对称问题优先画图，转化等量关系，避免盲目联立 补充结论：过椭圆中心的弦叫做直径，直径两端点关于原点对称 变式5-1（25-26高二上·湖北·期中）设椭圆：的左、右焦点分别为，，过作平行于轴的直线交于两点，若，，则椭圆的方程为__________ 变式5-2（24-25高三上·安徽芜湖·期末）已知是椭圆的左焦点，，是椭圆上关于原点对称的两点，且，则________． 变式5-3（24-25高二上·江苏南通·期中）已知是椭圆的左､右焦点，过原点的直线与交于两点，当时，四边形面积为60，且的周长为30，则的离心率大小为__________． 题型六、由几何关系求椭圆的离心率 典例6 （2026·重庆渝中·模拟预测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，为圆的一条直径，点为上一点且满足，，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：依托几何图形（焦点三角形、等腰三角形、直角三角形、平行四边形等）给出边长、角度、平行垂直关系，求离心率的具体数值 2.方法：优先把所有边长用表示，全部转化为关系式 消去，利用，等式两边同除以，化成关于的一元方程 解方程，结合舍去大于等于1的增根 有直角、特殊角优先用正弦余弦定理 补充结论：离心率只和比值有关，和椭圆大小无关 变式6-1（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）直线：经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为________． 变式6-2（26-27高一上·河北保定·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率不为0的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 变式6-3（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）椭圆：（）的左右焦点分别为，，是上一点且．是内心，连接的直线交轴于．若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型七、求椭圆离心率的最值与范围 典例7 （26-27高二上·江苏·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若对椭圆上的所有的点均满足，则椭圆的离心率的取值范围为（     ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：给出角度范围、边长不等关系、点的位置限制、垂直存在性等不等条件，求离心率的取值范围 2.方法：根据题干不等条件，列出关于的不等式 统一化为的不等式，结合截取有效区间 焦点三角形模型常用基本不等式构造不等关系 存在性问题：能找到满足条件的点，等价于边界情况可以取到 补充结论：角度越大，离心率越大；点越靠近短轴端点，顶角越大 变式7-1（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，，，则椭圆的离心率的最大值为（     ） A． B． C． D． 变式7-2（2026高三上·全国·专题练习）设椭圆的下顶点为，M，N在椭圆上，若四边形为平行四边形，为的倾斜角，且，则椭圆的离心率的取值范围是______． 变式7-3（25-26高二下·上海·期中）法国数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的蒙日圆为圆，若直线与圆没有公共点，则椭圆的离心率的取值范围为__________. 题型八、由椭圆离心率求参数的最值与范围 典例8 （24-25高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上在第二象限的点，且P的纵坐标为，若椭圆的离心率e的范围是，则的范围是__________. 题型模版 1.特征：已知离心率的范围或者固定值，反求椭圆方程里参数（等）的取值范围 2.方法：由得到，结合建立参数之间等式/不等式 把目标参数转化成单变量函数，依靠的范围求值域 注意隐含约束 补充结论：确定，则比值确定，椭圆形状固定，大小可变 变式8-1（24-25高二上·河南开封·期中）已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点到直线的最短距离不小于，则长半轴长的取值范围为______． 变式8-2（24-25高二上·全国·课后作业）已知是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上关于轴对称的两点，直线的斜率分别为.若椭圆的离心率为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 变式8-3（2026高二·全国·专题练习）已知直线与椭圆交于两点，是椭圆上异于的一点．若椭圆的离心率的取值范围是，则直线，斜率之积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型九、求椭圆的弦长及有关三角形的面积 典例9 （26-27高三上·四川成都·阶段检测）已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于，两点，为椭圆的右焦点，的周长为8，则弦长______． 题型模版 1.特征：一条直线和椭圆交于两点，求弦长；求、等三角形面积，是大题基础题型 2.方法：设直线方程，和椭圆联立，整理一元二次方程，标记，先算 弦长公式：；斜率不存在时直接用纵坐标差计算 面积通用：；常用结论 直线过定点时，优先拆分底为两段焦半径简化计算 补充结论：直线斜率不存在时不要漏算，是高频易错点 变式9-1（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是_______． 变式9-2（24-25高三·全国·二轮复习）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点分别作斜率为的直线，分别交椭圆E于A，B和C，D四点，且，则________． 变式9-3（25-26高二下·上海·期中）已知椭圆，且点和点在该椭圆上.若过点的直线交于另一点，且的面积为9，则的方程为__________. 题型十、椭圆中点弦的直接应用 典例10 （2026高三·全国·专题练习）倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，则线段AB中点M的轨迹方程是_______． 题型模版 1.特征：已知弦的中点坐标，求弦所在直线斜率、弦方程；已知中点和弦斜率，验证中点是否存在；关键词：中点、平分 2.方法：点差法（设而不求）：设交点在椭圆上，两式相减 焦点x轴椭圆结论：，为弦中点，为原点 算出斜率后用点斜式写直线方程 必须检验：把直线代入椭圆验证，确认弦真实存在 补充结论：中点在椭圆外部时，不存在对应的中点弦 变式10-1（2026·广西河池·三模）已知椭圆（），斜率为的一条直线与椭圆交于点，且的中点坐标为，则椭圆的离心率__________． 变式10-2（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）设直线l与椭圆相交于A，B两点，且的中点为，则直线l的斜率为______. 变式10-3（25-26高二上·山东烟台·期末）已知直线经过点，且与椭圆交于A，B两点，若为线段AB的中点，则直线的方程为__________． 题型十一、翻译条件后的椭圆中点弦问题 典例11 （2026·湖北·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，直线交椭圆于，两点．若的重心坐标为，则直线的斜率为___________． 题型模版 1.特征：题干不直接给出中点，给出垂直、向量、面积、角平分线等条件，转化后得到中点信息，再求弦方程、参数范围、离心率 2.方法：第一步翻译条件：向量等式、垂直、面积条件转化为中点坐标关系 第二步使用点差法，建立斜率、中点、关系式 联立椭圆本身条件求解参数 最后检验判别式 补充结论：点差法只能得到必要条件，联立检验是必不可少步骤 变式11-1（2026·山东聊城·模拟预测）已知椭圆的下顶点为，右焦点为，直线的斜率存在，且与交于，两点.若，则的斜率的取值范围是__________. 变式11-2（2026高三·全国·专题练习）设过点的直线l与椭圆交于M，N两点，点B为该椭圆的下顶点且，则直线l的方程为______. 变式11-3（25-26高二上·江西·期末）已知点A、B、C是离心率为的椭圆Γ： （a>b>0）上的三点，直线AB、AC、BC的斜率分别为k₁、k₂、k₃，点D、E、F分别是线段AB、AC、BC的中点，O为坐标原点，直线OD、OE、OF的斜率分别为k₁'、k₂'、k₃'，若，则________． 题型十二、求椭圆的焦点弦长 典例12 （2026高三·全国·专题练习）已知是椭圆的右焦点，设直线过点且与椭圆相交于点，则______． 题型模版 1.特征：直线过椭圆焦点，与椭圆交于两点，求焦点弦长度、焦点弦最值；焦点弦是特殊弦 2.方法：方法一：通用弦长公式联立计算 方法二：焦半径相加：焦点弦，套焦半径公式求和 焦点x轴：， 焦点弦结论：通径（垂直长轴的焦点弦）最短 补充结论：焦点弦没有最大值，直线趋近x轴时弦长趋近 变式12-1（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，则__________. 变式12-2（24-25高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上第一象限的一点，的内心为，若，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 变式12-3（23-24高二下·安徽·阶段检测）在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为，y轴右侧的两点A，B在椭圆上，且直线AB与圆O：相切，若椭圆的焦距为12，的周长为15，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型十三、椭圆中的"4a"三角形问题 典例13 （26-27高二上·河北·阶段检测）已知点，为椭圆（）的左、右焦点，为的上顶点，过点的直线与交于，两点，的短轴长为6．若直线垂直平分线段，则的周长为（   ） A． B．10 C． D． 题型模版 1.特征：椭圆上一点与两个焦点连线，再搭配椭圆另外一个交点，形成由四段焦半径组成的三角形/四边形；核心等量是多次使用椭圆定义 2.方法：反复使用椭圆第一定义：椭圆上任意一点满足 把三角形所有边长全部用减去对应焦半径表示，整体代换 结合余弦定理、勾股定理建立等式，求边长、离心率 补充结论：封闭折线依次经过椭圆上两点、两个焦点，周长常为 变式13-1（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）设椭圆：的左，右焦点分别为，，为坐标原点，过的直线与交于，两点，且，，则的离心率为（） A． B． C． D． 变式13-2（26-27高二上·河北保定·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过作直线与椭圆相交于、两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式13-3（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，，，过且垂直于的直线与椭圆交于，两点，，则的周长是（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 题型十四、椭圆中的光学性质 典例14 （2026·广东·一模）如图，为坐标原点，为椭圆的两个焦点，过分别作椭圆的切线的垂线，垂足分别为．当时，的面积为______． 题型模版 1.特征：椭圆光学性质模型：从一个焦点发出光线经椭圆反射后，反射光线必经过另一焦点；题干给切线、反射角等于入射角、光线路径条件 2.方法：核心性质：椭圆在点处切线是的外角平分线；法线平分 反射条件直接转化角相等，结合焦点三角形边角关系计算 切线斜率可以联立或者用椭圆切线公式：椭圆上点处切线方程 补充结论：光学性质小题直接用，大题一般需要简单证明 变式14-1（25-26高二上·吉林长春·期末）椭圆具有特殊的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.对于椭圆，其左、右焦点分别是，，P为椭圆C上任意一点，面积的最大值为，椭圆C在点P处的切线为l，过点P且与l垂直的直线与椭圆的长轴交于点M（M与O不重合），且，若，则________． 变式14-2（26-27高二上·全国·课堂例题）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 变式14-3（24-25高二下·福建厦门·阶段检测）（多选）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论，正确的是（    ） A．面积的最大值为 B．的最大值为8 C．若，则 D．若，垂足为，则 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（24-25高二上·天津·期中），是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则的最大值是（   ） A．4 B．5 C．2 D．1 2．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且轴，若是等腰直角三角形，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·天津·期中）过椭圆：的中心作直线l交椭圆于M，T两点，是椭圆的左焦点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知分别为曲线（包含点与直线）上的点，定义曲线之间的最短距离为（其中表示点与点距离的最小值）.已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左､右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则下列说法错误的是（ ） A．椭圆的离心率的取值范围是 B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是 C．存在点使得 D．的最小值为1 6．（25-26高二上·山东日照·期末）如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则（    ）    A．40 B．28 C．35 D．30 7．（25-26高二上·四川达州·期末）已知A，B是椭圆C：上关于原点对称的两点，是椭圆C的左焦点，在中有，，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于的平分线．若坐标原点到切线的距离为，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 9．（2025·河南·模拟预测）已知分别是椭圆的左､右焦点，过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，若，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 10．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，．若椭圆C上存在点P，使得的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（26-27高二上·浙江嘉兴·阶段检测）已知椭圆：，左、右焦点分别为，，点为椭圆上异于长轴端点的动点，，则下列说法正确的是（     ） A．若，则符合条件的点有个 B．若，则的面积为 C．的最大值为 D．过的直线与椭圆交于两点，，则 12．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知椭圆C的方程是，P为椭圆C上任意一点，分别为椭圆的左、右焦点，过点且斜率不为0的直线与椭圆C交于A，B两点，的周长为8，则下列说法正确的是（    ） A． B．存在点P，使得的面积为2 C．椭圆C上只存在4个不同的点P，使得为直角三角形 D．内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为 13．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知椭圆，左，右焦点分别为、，点为椭圆上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．若椭圆上存在点，使得，则该椭圆离心率的取值范围为 C．若，则的面积为 D．当，时，坐标原点为，则的取值范围为 三、填空题 14．（26-27高二上·陕西渭南·阶段检测）椭圆的左、右焦点为，，短轴长等于8，离心率为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为______． 15．（25-26高二上·江苏扬州·期中）定义离心率的椭圆为“西瓜椭圆”.已知椭圆：（）是“西瓜椭圆”，则______.若“西瓜椭圆”：（）的右焦点为，直线（）与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆过点，则______. 16．（26-27高二上·天津东丽·阶段检测）已知为椭圆：的动点，则点到直线：最短距离为__________． 17．（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，是上一点，若（），且，则的离心率的取值范围为______． 18．（2026·山东济南·模拟预测）设，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为________． 19．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）设直线与椭圆相交于两点，且的中点为，则直线的斜率为___________． 四、解答题 20．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）已知椭圆的两个焦点分别是，，为椭圆上一点． (1)若椭圆和椭圆共焦点，且点的坐标为，求椭圆的标准方程； (2)若，面积为，且椭圆的离心率为，求椭圆的长轴长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 椭圆方程的几何性质 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求共焦点的椭圆方程 题型二、椭圆中x,y的取值范围（椭圆的参数方程） 题型三、根据椭圆的有界性求范围或最值 题型四、点和椭圆的位置关系综合应用 题型五、椭圆的对称性综合应用 题型六、由几何关系求椭圆的离心率 题型七、求椭圆离心率的最值与范围 题型八、由椭圆离心率求参数的最值与范围 题型九、求椭圆的弦长及有关三角形的面积 题型十、椭圆中点弦的直接应用 题型十一、翻译条件后的椭圆中点弦问题 题型十二、求椭圆的焦点弦长 题型十三、椭圆中的“4a"三角形问题 题型十四、椭圆中的光学性质 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 椭圆几何性质是圆锥曲线高频考点，所有题型均围绕椭圆范围、对称性、顶点、离心率、焦半径、弦长公式、点差法等核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是椭圆恒满足，二是直线与椭圆联立后必须检验判别式，所有参数结果最终均需合规检验 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求共焦点的椭圆方程 典例1 （25-26高二上·山西吕梁·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，且离心率： (2)经过点，且与椭圆有相同的焦点. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，分类讨论椭圆的焦点位置，结合椭圆的离心率公式求得，从而得解； （2）利用共焦点的性质得到，再利用点在椭圆上得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】（1）因为椭圆经过点， 若椭圆焦点在轴上，则， 由，得，所以， 此时椭圆的标准方程为； 若椭圆焦点在轴上，则， 由，得， 此时椭圆的标准方程为； 综上，椭圆的标准方程为或. （2）因为所求椭圆与椭圆有相同的焦点，可得， 因为焦点在轴上，可设它的标准方程为且， 因为椭圆过点，所以有①， 又因为②， 由①②解得：， 所以所求椭圆的标准方程为. 题型模版 1.特征：已知一个椭圆，求和它焦点相同的椭圆方程；题干常给出椭圆过定点、离心率、长短轴关系等附加条件；陷阱：共焦点意味着不变，改变，不要误把当成定值 2.方法：先由已知椭圆算出公共焦距，确定焦点所在坐标轴 共焦点椭圆统一设元：焦点在x轴；焦点在y轴 将附加条件（定点、离心率等）代入方程解出 回代得到椭圆标准方程，检验保证 补充结论：共焦点椭圆系，固定，焦点坐标不变 变式1-1已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点且与椭圆有公共的焦点，求椭圆的标准方程． 【答案】． 【分析】解法一：由题意设方程为，然后根据题意可得和，求出，从而可求得椭圆方程，解法二：由题意设，然后将代入椭圆方程求出，从而可求出椭圆方程. 【详解】解法一：由已知的椭圆方程知：所求的椭圆的焦点在x轴上，设方程为， 由，得，所以，① 又在椭圆上，则，② 由①②解得：， 即所求的方程是． 解法二：由已知设所求的椭圆的标准方程是：， 则， 整理得：，解得， 因为，所以， 故所求的椭圆的标准方程是．    变式1-2过点且与椭圆＋＝24，有相同焦点的椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解出椭圆的焦点坐标，然后设出椭圆方程，代入点即可求解出椭圆的方程. 【详解】因为椭圆即的焦点坐标为， 所以设椭圆的方程为，代入点， 所以，解得：，所以椭圆方程为：， 故选：C. 【点睛】本题考查求解共焦点的椭圆方程，难度一般.解答本题的关键是能根据条件设出椭圆的方程，设椭圆方程的原则：让未知数尽量的少. 变式1-3分别求满足下列条件的椭圆的标准方程: （1）直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点； （2）过点，且与椭圆有相同焦点． 【答案】（1）或；（2）. 【分析】（1）先求直线与坐标轴的交点坐标，分焦点在，轴可得椭圆的方程； （2）设与已知椭圆焦点相同的椭圆方程，将点的坐标代入可得所求的椭圆的方程． 【详解】解：（1）直线方程，令可得，即直线过点， 令则，即直线过 当焦点在x轴上时，，，所以，所求椭圆的标准方程为． 当焦点在y轴上时，，，所以，所求椭圆的标准方程为． （2）设与椭圆有相同焦点的椭圆的方程为：， 将点，代入可得，整理可得：，， 解得：， 所以所求椭圆的方程：． 【点睛】本题考查求椭圆的方程及与已知椭圆焦点相同的椭圆的设法，属于中档题． 类型二、椭圆中x,y的取值范围（椭圆的参数方程） 典例2 （2026·甘肃兰州·一模）已知曲线，则曲线上的点到直线的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的方程，设点为曲线的任意一点，且，进而根据点到直线的距离，结合三角恒等变换求解即可. 【详解】曲线变形得，表示轴右侧的部分椭圆， 所以，， 设点为曲线的任意一点，且， 点到直线的距离为： 因为，， 所以， 所以， 所以曲线上的点到直线的距离的取值范围是. 题型模版 1.特征：已知椭圆方程，求椭圆上点横纵坐标范围；求含二元代数式的值域、最值；适合三角换元处理 2.方法：范围直接结论：焦点在x轴；焦点在y轴 参数方程换元：焦点在x轴；焦点在y轴 将代数式全部转化为关于的三角函数，借助三角函数有界性求值域 注意是离心角，不是椭圆上点和原点连线的倾斜角，不要混淆 补充结论：参数方程是处理椭圆二元最值的强力工具，优先于代数消元 变式2-1（2025·江西新余·二模）已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为_____. 【答案】/ 【分析】根据两点间的距离公式列关于的函数式，然后利用二次函数求出最值即可 【详解】由题意得，且 所以 当时，取得最小值为， 故答案为： 变式2-2（24-25高二上·上海·期末）已知椭圆方程为，点为椭圆的右顶点，定点在轴上，点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】设，利用两点间距离公式建立函数关系，借助二次函数探讨最小值. 【详解】椭圆方程为，则圆的右顶点 设，则，， 则， 所以，， 当恰与点重合时，取得最小值， 即要使时取最小值，则必有，所以. 故答案为：. 变式2-3（24-25高二上·上海·阶段检测）在椭圆上任意一点P，左右焦点分别为，若有，则点P纵坐标的取值范围为________. 【答案】 【分析】设，结合将数量积坐标化，利用椭圆方程消建立关于的不等式，再由椭圆的几何性质得范围取交集可得. 【详解】由椭圆方程，得， 则，所以. 设，由题意得， 则，所以. 由, 解得，所以，解得，或， 所以点P纵坐标的取值范围为. 故答案为：. 题型三、根据椭圆的有界性求范围或最值 典例3 （25-26高三·全国·一轮复习）设B是椭圆的上顶点，若C上的任意一点P都满足，则椭圆C的离心率的取值范围是_______. 【答案】 【分析】设，求出，由于，根据二次函数的性质分类讨论求得的最大值，并由得出关于的不等式，从而求得的范围． 【详解】由已知，设，则，又，， 所以 ， 因为，所以， 当，即时，时，，即满足题意， 此时由得，，， 当，即时，时，， 由题意，， ，， ，，， 又，即， 所以， 综上，的范围是,即. 题型模版 1.特征：条件含有椭圆上动点坐标，构造目标函数，依靠自身取值边界求最值、参数范围；常和向量、距离、斜率、代数式结合 2.方法：方案一：代数消元，用椭圆方程消去一个变量，转化为单变量函数，带上变量定义域 方案二：参数方程三角换元，转化三角函数最值 方案三：几何法，转化距离、斜率等几何意义画图观察边界 求出结果后回代检验，确认取等的点在椭圆上 补充结论：椭圆上横纵坐标天然有界，是隐含约束条件，极易漏掉造成范围偏大 变式3-1（25-26高二上·江苏南京·期末）椭圆的长轴的顶点为、，动点P在椭圆内，且，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先设，根据得到，根据P在椭圆内，得到，故，则，利用极化恒等式得到. 【详解】不妨设， 设，则，， 故， 化简得，因为P在椭圆内，故，即，解得， ， 因为，，两式平方相减可得 . 故答案为： 变式3-2（25-26高二上·河北张家口·期中）已知点为椭圆上一点，直线过圆的圆心且与圆交于，两点，则的取值范围为_____． 【答案】 【分析】根据题意，得到圆心为椭圆的右焦点,连接，化简得到，结合椭圆的几何性质，即可求解. 【详解】由圆，可得的圆心为，半径为， 又由椭圆，可得，，则， 所以所以圆心为椭圆的右焦点, 因为直线过圆的圆心且与圆交于两点， 所以是圆的直径，且为的中点，所以，所以， 如图所示，连接， 可得： 因为点为椭圆上任意一点，所以． 由，所以． 故答案为：．    变式3-3（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知为椭圆上一动点，则点到直线：距离的取值范围为__________． 【答案】 【分析】设椭圆上的点，，由点到直线距离公式和三角函数的性质求出椭圆上的点到直线的取值范围. 【详解】设椭圆上的，， 则到直线：的距离： ，其中， 因为，则，可得， 所以点到直线：距离的取值范围为. 故答案为：. 题型四、点和椭圆的位置关系综合应用 典例4 （26-27高二上·河北保定·期中）若对任意，圆与椭圆至多有3个公共点，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】联立方程组，可知方程组①至多有3组实数解，换元令，可得，，根据二次函数性质结合椭圆有界性分析求解即可. 【详解】由题意可得方程组①，消去可得， 可知对任意，方程组①至多有3组实数解， 因为，令，可得， 令，可知的图象开口向上，对称轴为， 由椭圆方程可知：，且，， 当，即，时，则在内单调递增， 可知在内至多有1个零点，所以方程组①至多有2组实数解，符合题意； 当，即，时，则， 因为在内单调递增，则， 根据的任意性可知：对任意，均存在，使得， 此时在内有2个零点，方程组①有4组解，不合题意； 综上所述：的取值范围为. 题型模版 1.特征：给定定点，判断点在椭圆内、椭圆上、椭圆外；已知点的位置求参数范围；结合直线、最值、存在性综合考查 2.方法：判定公式（焦点x轴椭圆）： ：点在椭圆内部 ：点在椭圆上 ：点在椭圆外部 已知位置直接列不等式求解参数 常用推论：椭圆内部的点作为中点时，中点弦一定存在 补充结论：点在椭圆内⇔以该点为中点的弦存在 变式4-1（2025·北京海淀·一模）已知椭圆，，分别是的左、右顶点，是的上顶点，的面积为2，且． (1)求椭圆的方程及长轴长； (2)已知点，点在直线上，设直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断点是否在椭圆上，并说明理由． 【答案】(1)椭圆的方程为：，其长轴长为； (2)在椭圆上，理由如下： 由（1）可知，，又， 故直线方程为：，又在直线上，故设点， 当时，直线斜率不存在，此时与重合，也与重合，显然在椭圆上； 当时，直线的斜率为，与轴没有交点，不满足题意； 当，且时，直线斜率为，直线方程为：， 令，可得，故； 直线斜率为：，直线方程为：； 直线斜率为：，直线方程为：； 联立，消去可得，代入可得：，即， 又，即，故点在椭圆上. 综上所述，在椭圆上. 【分析】（1）根据题意，列出满足的方程组，求得，即可求得椭圆方程和长轴长； （2）求出方程，设出点的坐标，进而写出方程，从而求得的坐标；再结合已知条件，求得方程，联立方程组，解得坐标，将其代入椭圆方程，即可检验和判断. 【详解】（1）由题可知，， 的面积为2，且，则，又，解得； 故椭圆的方程为：，其长轴长. （2）略 变式4-2（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆上存在关于直线对称的点，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据题意利用点差法可得，进而可求的中点为，结合点在椭圆内，列式求解即可. 【详解】由题意可知：直线的斜率， 设椭圆上关于直线对称的两点分别为，的中点为， 可得，且，， 因为点在上，则，两式相减得， 整理可得，可得，即， 则， 联立方程，解得，即， 因为点在椭圆内，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 变式4-3（23-24高二上·江苏徐州·期末）（多选）已知直线与圆相切，椭圆，则（    ） A．点在圆O内 B．点在圆O上 C．点在椭圆C内 D．点在椭圆C上 【答案】BC 【分析】首先根据直线与圆相切的公式，得到，即可判断点与圆，以及点与椭圆的位置关系. 【详解】由直线与圆相切，可知，圆心到直线的距离， 即，所以点在圆O上， 并且，所以圆在椭圆内，在椭圆内. 故选：BC 题型五、椭圆的对称性综合应用 典例5 （25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知椭圆，其右焦点为，现把椭圆长轴分成6等分，过每个等分点作轴的垂线，交椭圆上半部分于，则=_______ 【答案】 【分析】由题意知与，与分别关于y轴对称，设椭圆的左焦点为，从而，， 利用即可求解． 【详解】由题意，知与，与分别关于y轴对称， 设椭圆的左焦点为，由已知, 则，同时， 所以. 故答案为： 题型模版 1.特征：题干出现对称点、关于x轴/y轴/原点对称、直线对称；利用对称性简化计算，减少运算量 2.方法：椭圆本身对称性：关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称；若在椭圆上，则都在椭圆上 关于坐标轴/原点对称：直接写对称坐标，替换条件 关于直线对称：抓住两个核心：两点连线与对称轴垂直、两点中点落在对称轴上 对称问题优先画图，转化等量关系，避免盲目联立 补充结论：过椭圆中心的弦叫做直径，直径两端点关于原点对称 变式5-1（25-26高二上·湖北·期中）设椭圆：的左、右焦点分别为，，过作平行于轴的直线交于两点，若，，则椭圆的方程为__________ 【答案】 【分析】利用椭圆对称性求出，由椭圆的定义求出，进而求出，即可求出椭圆的方程． 【详解】由题意知，，轴，故， 又，由，解得， ，所以， 从而， 所以椭圆的方程为． 故答案为：． 变式5-2（24-25高三上·安徽芜湖·期末）已知是椭圆的左焦点，，是椭圆上关于原点对称的两点，且，则________． 【答案】 【分析】求出的坐标，利用两点间的距离公式即可得 【详解】解法一：在椭圆中，，∴， 在椭圆上关于原点对称， 设，由对称性，不妨设点在第一象限， 所以， 因为，所以，， ，或， 所以， 所以. 解法二：，，是椭圆上关于原点对称的两点， 则. 故答案为： 变式5-3（24-25高二上·江苏南通·期中）已知是椭圆的左､右焦点，过原点的直线与交于两点，当时，四边形面积为60，且的周长为30，则的离心率大小为__________． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合椭圆的对称性可得四边形为矩形，结合勾股定理及椭圆定义建立关系求出即可得解. 【详解】令椭圆的半焦距为c，依题意，点关于原点对称，而是的中点，又， 则四边形为矩形，有，， 于是，由的周长为30， 得， 则，解得，所以的离心率. 故答案为： 题型六、由几何关系求椭圆的离心率 典例6 （2026·重庆渝中·模拟预测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，为圆的一条直径，点为上一点且满足，，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的方程确定圆心即为右焦点，得出的值，利用向量加法的平行四边形法则（中线向量公式）求出，再结合椭圆的定义求出，最后代入离心率公式即可. 【详解】由圆的方程可知，圆心为，半径， 因为为椭圆的右焦点，所以的坐标为，即， 因为为圆的直径，所以圆心是线段的中点， 根据向量的中点公式，可得， 因为，所以，即， 因为点在椭圆上，由椭圆的定义可知， 又已知，所以，解得, 所以椭圆的离心率. 题型模版 1.特征：依托几何图形（焦点三角形、等腰三角形、直角三角形、平行四边形等）给出边长、角度、平行垂直关系，求离心率的具体数值 2.方法：优先把所有边长用表示，全部转化为关系式 消去，利用，等式两边同除以，化成关于的一元方程 解方程，结合舍去大于等于1的增根 有直角、特殊角优先用正弦余弦定理 补充结论：离心率只和比值有关，和椭圆大小无关 变式6-1（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）直线：经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为________． 【答案】/ 【分析】利用点差法求得中点的轨迹方程，再利用得到中点的横坐标，最后代回直线方程求离心率. 【详解】设，那么， 又，所以即， 因为，所以点在中垂线上，故， 又直线：经过椭圆的左焦点， 所以，又点M在直线：上， 所以，代入得 ，即， 则. 变式6-2（26-27高一上·河北保定·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率不为0的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形面积比得到线段比例关系，结合等腰三角形性质和椭圆定义，利用余弦定理建立的关系求解离心率即可. 【详解】由，得. 因在线段上，，所以. 由，得. 根据椭圆定义，，故， 因此； 则. 因共线，，故. 在等腰中由余弦定理得： . 在中由余弦定理： . 即. 整理得，即，解得或. 又，所以. 变式6-3（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）椭圆：（）的左右焦点分别为，，是上一点且．是内心，连接的直线交轴于．若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，推出点在轴的右侧，由角平分线定理得，推出，，再在中，由余弦定理得出的关系， 【详解】如图所示； 是内心， 是的角平分线， . 又 ， . 在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得， ， . ， ， . 由椭圆的定义得，， ，. 在中，由余弦定理得, ，化简得 . 该椭圆的离心率为. 题型七、求椭圆离心率的最值与范围 典例7 （26-27高二上·江苏·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若对椭圆上的所有的点均满足，则椭圆的离心率的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，将不等式转化为仅含的不等式；根据椭圆上点到焦点的取值范围为，将原不等式转化为，根据，，转化为的不等式，结合解不等式即可. 【详解】由点在椭圆上，得，即. ，，得恒成立. ，，即. 由，，得. ，得，即. 当，即时，不等式恒成立， 当，即时，，则，得，解得，； ，，即椭圆的离心率的取值范围为. 题型模版 1.特征：给出角度范围、边长不等关系、点的位置限制、垂直存在性等不等条件，求离心率的取值范围 2.方法：根据题干不等条件，列出关于的不等式 统一化为的不等式，结合截取有效区间 焦点三角形模型常用基本不等式构造不等关系 存在性问题：能找到满足条件的点，等价于边界情况可以取到 补充结论：角度越大，离心率越大；点越靠近短轴端点，顶角越大 变式7-1（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，，，则椭圆的离心率的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义和余弦定理可表示出，从而可得，再利用换元法将转化为二次函数的形式，求出二次函数的最大值即可. 【详解】设，令，则，， 所以，所以， 在中，，则由余弦定理得 ， 所以， 所以， 令，由，可得，则 ， 当或时，取最大值：， 所以的最大值为. 变式7-2（2026高三上·全国·专题练习）设椭圆的下顶点为，M，N在椭圆上，若四边形为平行四边形，为的倾斜角，且，则椭圆的离心率的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题意，点在椭圆上可得，则，求出的取值范围后即可得解. 【详解】P为椭圆的下顶点，四边形为平行四边形， 在y轴上，，且M，N关于x轴对称， 因为的倾斜角，所以点在第一象限， 可设点， 由点在椭圆上可得，解得， 直线的倾斜角， ，即， 但， ，即 . 变式7-3（25-26高二下·上海·期中）法国数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的蒙日圆为圆，若直线与圆没有公共点，则椭圆的离心率的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据蒙日圆定义求得椭圆的蒙日圆方程，根据直线与圆的位置关系求出的取值范围，结合椭圆的离心率公式可求得结果. 【详解】因为，则椭圆的焦点在轴上， 因为直线，与椭圆都相切， 所以直线，所围成矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆， 且圆的圆心为坐标原点，半径为， 因为直线与圆没有公共点，所以，解得， 所以， 故椭圆的离心率为. 题型八、由椭圆离心率求参数的最值与范围 典例8 （24-25高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆上在第二象限的点，且P的纵坐标为，若椭圆的离心率e的范围是，则的范围是__________. 【答案】 【分析】根据条件依次求得P点坐标、与，进而得，由，令，则，即可求得t的取值范围. 【详解】将P的纵坐标代入椭圆的方程，则， 所以，， 即 ， 所以， 因为 ， 令，则 所以， 即，所以，故 故答案为： 【点睛】关键点睛：关键在于利用向量数量积判断为直角，利用勾股定理和椭圆的定义表示出离心率，然后根据离心率范围求解. 题型模版 1.特征：已知离心率的范围或者固定值，反求椭圆方程里参数（等）的取值范围 2.方法：由得到，结合建立参数之间等式/不等式 把目标参数转化成单变量函数，依靠的范围求值域 注意隐含约束 补充结论：确定，则比值确定，椭圆形状固定，大小可变 变式8-1（24-25高二上·河南开封·期中）已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点到直线的最短距离不小于，则长半轴长的取值范围为______． 【答案】 【分析】先判断椭圆在上方，与平行且距离为的直线方程，联立与椭圆方程，由根的判别式得到不等式，结合离心率，得到. 【详解】过第二，三，四象限，由题意得椭圆与直线没有公共点， 故在椭圆下方， 设直线在上方，与平行， 且它们之间的距离为，设直线方程为， 故，解得或7， 时，直线在下方，不合要求，当时，直线在上方， 则的方程为， 由整理得， 因为上的点到直线的最短距离不小于， 所以，整理得， 由椭圆的离心率为，可知，所以， 所以，则，所以． 故答案为：    变式8-2（24-25高二上·全国·课后作业）已知是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上关于轴对称的两点，直线的斜率分别为.若椭圆的离心率为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】依据题意列出斜率，结合基本不等式求解最值即可. 【详解】设，不妨设点是椭圆长轴的左端点， 则.因为椭圆的离心率， 所以，所以， 当且仅当时，等号成立，故A正确. 故选：A. 变式8-3（2026高二·全国·专题练习）已知直线与椭圆交于两点，是椭圆上异于的一点．若椭圆的离心率的取值范围是，则直线，斜率之积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点的坐标，然后将的坐标代入方程中，相减，构造出直线，的斜率，相乘转化只含有的表达式，再根据的关系以及椭圆的离心率的取值范围是建立不等式，求出直线，斜率之积的取值范围即可. 【详解】设， 由直线与椭圆交于两点可知两点关于原点对称， 所以且， 由题意知：，两式相减得： ， 即， 又， 由椭圆的离心率的取值范围是， 即， 所以， 即， 故选：D. 题型九、求椭圆的弦长及有关三角形的面积 典例9 （26-27高三上·四川成都·阶段检测）已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于，两点，为椭圆的右焦点，的周长为8，则弦长______． 【答案】 【分析】先根据直线经过左焦点，求出，再根据椭圆定义结合的周长为8，求出，进而求出椭圆的标准方程；联立直线与椭圆方程，表示出韦达定理，根据弦长公式即可求出弦长. 【详解】设左焦点为，又直线经过左焦点，则， 因为的周长为8，由椭圆定义可得，所以，又， 所以，因此椭圆标准方程为，设， 联立方程，化简得，则， 根据弦长公式可得. 题型模版 1.特征：一条直线和椭圆交于两点，求弦长；求、等三角形面积，是大题基础题型 2.方法：设直线方程，和椭圆联立，整理一元二次方程，标记，先算 弦长公式：；斜率不存在时直接用纵坐标差计算 面积通用：；常用结论 直线过定点时，优先拆分底为两段焦半径简化计算 补充结论：直线斜率不存在时不要漏算，是高频易错点 变式9-1（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是_______． 【答案】/ 【分析】利用椭圆的离心率确定形状，设出直线方程，并与椭圆方程联立，利用弦长公式计算求解. 【详解】设椭圆半焦距为，由其离心率为，得， 则椭圆的方程为，而的上顶点为，为其焦点， 则，为等边三角形，又，因此直线垂直平分， ，且直线的倾斜角为， 直线方程为，设， 由，得，则， ，解得，， 所以的周长为. 故答案为： 变式9-2（24-25高三·全国·二轮复习）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点分别作斜率为的直线，分别交椭圆E于A，B和C，D四点，且，则________． 【答案】 【分析】先设直线方程，再联立得出，，再应用弦长公式计算化简求值即可. 【详解】设直线AB的方程为， 联立 得，， 则，， ， 同理可得， 由， 化简得，则． 故答案为：. 变式9-3（25-26高二下·上海·期中）已知椭圆，且点和点在该椭圆上.若过点的直线交于另一点，且的面积为9，则的方程为__________. 【答案】或 【分析】以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程 【详解】，则直线的方程为，即， ， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 题型十、椭圆中点弦的直接应用 典例10 （2026高三·全国·专题练习）倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，则线段AB中点M的轨迹方程是_______． 【答案】 【分析】由题意，设直线方程为，，中点，应用点差法得到，结合在椭圆内部求自变量范围即可得. 【详解】倾斜角为，故直线斜率，   设直线方程为，，中点，则， 由在椭圆上，故，则， 由，，，可得， 联立椭圆方程，得，而中点在椭圆内部，故， 所以点M的轨迹方程为. 题型模版 1.特征：已知弦的中点坐标，求弦所在直线斜率、弦方程；已知中点和弦斜率，验证中点是否存在；关键词：中点、平分 2.方法：点差法（设而不求）：设交点在椭圆上，两式相减 焦点x轴椭圆结论：，为弦中点，为原点 算出斜率后用点斜式写直线方程 必须检验：把直线代入椭圆验证，确认弦真实存在 补充结论：中点在椭圆外部时，不存在对应的中点弦 变式10-1（2026·广西河池·三模）已知椭圆（），斜率为的一条直线与椭圆交于点，且的中点坐标为，则椭圆的离心率__________． 【答案】 【分析】根据直线斜率和中点坐标公式，利用点差法可得，再结合的关系可得，进而求解即可. 【详解】设，有， 两式相减得，则， 即， 又因为弦的中点坐标为，直线的斜率为， 所以，则，即， 则，即，则，所以. 变式10-2（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）设直线l与椭圆相交于A，B两点，且的中点为，则直线l的斜率为______. 【答案】 【分析】利用点差法求解即可. 【详解】设，由的中点为，有， 直线l与椭圆相交于A，B两点，则， 两式作差变形得， 即，得， 所以直线l的斜率为. 故答案为： 变式10-3（25-26高二上·山东烟台·期末）已知直线经过点，且与椭圆交于A，B两点，若为线段AB的中点，则直线的方程为__________． 【答案】 【分析】借助点差法可得，再利用为线段AB的中点计算可得，即可得直线的方程. 【详解】因为，所以点在椭圆内，故直线与椭圆相交， 设、，则有、， 故，化简得，故， 由为线段AB的中点，则，， 又，代入，可得，解得， 即直线的方程为，化简得. 故答案为：. 题型十一、翻译条件后的椭圆中点弦问题 典例11 （2026·湖北·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，直线交椭圆于，两点．若的重心坐标为，则直线的斜率为___________． 【答案】/ 【分析】借助点差法及三角形重心性质计算即可得. 【详解】由题意可得，设、， 满足，作差得， 即， 整理得， 由的重心坐标为，则，， 即，， 则，即， 故直线的斜率为. 题型模版 1.特征：题干不直接给出中点，给出垂直、向量、面积、角平分线等条件，转化后得到中点信息，再求弦方程、参数范围、离心率 2.方法：第一步翻译条件：向量等式、垂直、面积条件转化为中点坐标关系 第二步使用点差法，建立斜率、中点、关系式 联立椭圆本身条件求解参数 最后检验判别式 补充结论：点差法只能得到必要条件，联立检验是必不可少步骤 变式11-1（2026·山东聊城·模拟预测）已知椭圆的下顶点为，右焦点为，直线的斜率存在，且与交于，两点.若，则的斜率的取值范围是__________. 【答案】 【分析】首先根据向量关系得到两点的坐标和，利用点差法求直线的斜率表达式，然后利用中点在椭圆内推导参数关系，进而得到斜率的取值范围. 【详解】 设点，， 点，， ，， ， 的中点为， ，相减得， ， 的中点在椭圆内，所以， 化简得，则，令， 因为，函数单调递增， 所以，. 变式11-2（2026高三·全国·专题练习）设过点的直线l与椭圆交于M，N两点，点B为该椭圆的下顶点且，则直线l的方程为______. 【答案】 【分析】设弦的中点E的坐标为，由题可得，，列式求出，进而求得答案. 【详解】设弦的中点E的坐标为，连接，. 因为，且为的中点，有， 又由椭圆中点弦的结论可得， 于是，，解得，. 于是直线l的方程为. 由于，所以E在椭圆内，直线l与椭圆相交，满足条件. 所以直线l的方程为. 故答案为：. 变式11-3（25-26高二上·江西·期末）已知点A、B、C是离心率为的椭圆Γ： （a>b>0）上的三点，直线AB、AC、BC的斜率分别为k₁、k₂、k₃，点D、E、F分别是线段AB、AC、BC的中点，O为坐标原点，直线OD、OE、OF的斜率分别为k₁'、k₂'、k₃'，若，则________． 【答案】 【分析】由点差法以及离心率可得，同理，，则可求. 【详解】设，则， ，， 由于点A、B在椭圆上，则， 两式相减得， 同时乘以得， 即， 由于，则， 则，即， 同理，， 由于， 则， 故答案为：. 题型十二、求椭圆的焦点弦长 典例12 （2026高三·全国·专题练习）已知是椭圆的右焦点，设直线过点且与椭圆相交于点，则______． 【答案】/ 【分析】分别讨论直线的斜率是否为0，结合椭圆的焦半径公式求解即可. 【详解】当直线与轴重合时，与中一个为，另一个为， 所以． 当直线不与轴重合时，设直线的倾斜角为，则， 不妨设在轴上方，则， 所以．综上，．    题型模版 1.特征：直线过椭圆焦点，与椭圆交于两点，求焦点弦长度、焦点弦最值；焦点弦是特殊弦 2.方法：方法一：通用弦长公式联立计算 方法二：焦半径相加：焦点弦，套焦半径公式求和 焦点x轴：， 焦点弦结论：通径（垂直长轴的焦点弦）最短 补充结论：焦点弦没有最大值，直线趋近x轴时弦长趋近 变式12-1（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，则__________. 【答案】 【分析】求出直线的方程，与椭圆方程联立，求出两点的坐标，进而可求出的值，即可得答案. 【详解】由题意可得，所以直线的方程为， 由，得或， 不妨设，则， 所以. 变式12-2（24-25高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上第一象限的一点，的内心为，若，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明焦半径公式，然后根据内切圆的性质求得，进一步得，从而，由得离心率，利用求解即可. 【详解】先证明焦半径公式，对于椭圆方程：， 由椭圆上任意点及左、右焦点、， 得 ； 同理，； 根据椭圆方程知，，即， 故椭圆两个焦半径为，， 如图,设的内切圆与三边切于点， 由圆的性质可知， 则， 又，所以，所以，又， 则，由得，所以，解得， 所以椭圆的方程为. 故选：D 变式12-3（23-24高二下·安徽·阶段检测）在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为，y轴右侧的两点A，B在椭圆上，且直线AB与圆O：相切，若椭圆的焦距为12，的周长为15，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先证明椭圆的焦半径公式，记与圆相切于点，，，，即可推出，从而得到的周长为，即可求出、，从而求出离心率. 【详解】首先证明椭圆（）上任意一点到左、右两焦点、的距离，（焦半径公式）； 证明：因为、， 所以 ； 同理可得； 根据椭圆方程知，，即， 故椭圆两个焦半径为，； 记与圆相切于点，，，， 则，又， 所以，则，， 所以，同理可得，故的周长为． 所以，则，又焦距，所以， 所以离心率. 故选：D 题型十三、椭圆中的"4a"三角形问题 典例13 （26-27高二上·河北·阶段检测）已知点，为椭圆（）的左、右焦点，为的上顶点，过点的直线与交于，两点，的短轴长为6．若直线垂直平分线段，则的周长为（   ） A． B．10 C． D． 【答案】A 【分析】由线段垂直平分线性质知, ,再由可求出,所以的周长 【详解】设的半焦距为，因为的短轴长为6，即，所以，, 连接,因为直线垂直平分线段,所以, 所以,由得,,. 连接，，因为垂直平分线段，所以，， 所以的周长． 题型模版 1.特征：椭圆上一点与两个焦点连线，再搭配椭圆另外一个交点，形成由四段焦半径组成的三角形/四边形；核心等量是多次使用椭圆定义 2.方法：反复使用椭圆第一定义：椭圆上任意一点满足 把三角形所有边长全部用减去对应焦半径表示，整体代换 结合余弦定理、勾股定理建立等式，求边长、离心率 补充结论：封闭折线依次经过椭圆上两点、两个焦点，周长常为 变式13-1（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）设椭圆：的左，右焦点分别为，，为坐标原点，过的直线与交于，两点，且，，则的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用椭圆的定义表示出、，结合的直角条件，通过勾股定理求出与的关系；再在中用勾股定理建立与的等式，进而推导离心率. 【详解】设，由得，因此. 根据椭圆的定义，， ， 由，可知为直角三角形（直角在），由勾股定理， 得，展开并化简： 因，两边除以得， 由此可得，， 又因为共线，且，所以，即为直角三角形， 由勾股定理，得， 得，所以，因此离心率. 变式13-2（26-27高二上·河北保定·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过作直线与椭圆相交于、两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由椭圆的定义及，结合勾股定理求参数m，进而由余弦定理构造椭圆基本量的齐次方程求离心率. 【详解】 设，椭圆的焦距为，则， 由，有，解得或（舍）， 故，，且， 在中，由余弦定理可得， 所以，故，. 变式13-3（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，，，过且垂直于的直线与椭圆交于，两点，，则的周长是（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】先由与的关系推导椭圆离心率，结合垂直平分线性质将的周长转化为，再联立直线与椭圆方程利用弦长公式求，即可得到周长. 【详解】由题设，结合椭圆参数关系，得，即, 由椭圆性质得，又，故为等边三角形； 因为过且垂直于，所以是的垂直平分线，因此 ，， 则的周长为， 根据椭圆定义，对椭圆上任意点有，故，， 因此 ， 代入周长表达式得的周长为。 接下来求的值： 直线的斜率，则直线的斜率， 又过 ，则的方程为， 联立与椭圆方程 ，整理得 ， 设，由韦达定理得，， 由弦长公式， 代入数值计算得：， 由题设，得，解得，故的周长为. 题型十四、椭圆中的光学性质 典例14 （2026·广东·一模）如图，为坐标原点，为椭圆的两个焦点，过分别作椭圆的切线的垂线，垂足分别为．当时，的面积为______． 【答案】2 【分析】切线，与椭圆方程联立，由得，求出直线方程，进而求得坐标，计算，得解. 【详解】方法一：由题意可知直线的斜率存在，设切线， 联立，消去整理得， ，化简得； 因为，且，则直线， 联立，解得，所以， 同理，可得， ， 同理，可得， 又，所以. 方法二： 设切点为,延长交于, 由光学性质可得关于切线对称， , 同理， 题型模版 1.特征：椭圆光学性质模型：从一个焦点发出光线经椭圆反射后，反射光线必经过另一焦点；题干给切线、反射角等于入射角、光线路径条件 2.方法：核心性质：椭圆在点处切线是的外角平分线；法线平分 反射条件直接转化角相等，结合焦点三角形边角关系计算 切线斜率可以联立或者用椭圆切线公式：椭圆上点处切线方程 补充结论：光学性质小题直接用，大题一般需要简单证明 变式14-1（25-26高二上·吉林长春·期末）椭圆具有特殊的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.对于椭圆，其左、右焦点分别是，，P为椭圆C上任意一点，面积的最大值为，椭圆C在点P处的切线为l，过点P且与l垂直的直线与椭圆的长轴交于点M（M与O不重合），且，若，则________． 【答案】3 【分析】根据给定条件，求出椭圆方程，再利用三角形面积公式及椭圆定义，结合余弦定理列式求解. 【详解】由椭圆，得椭圆的短半轴长，设该椭圆半焦距为， 由面积的最大值为，得，，即椭圆的方程为， 由椭圆的光学性质得过点与垂直的直线为的角平分线，而， 则，令， 则，而，， 于是，且， 由，得， 整理得，解得或， 当时，，点与点重合，不符合题意， 所以，. 故答案为：3    变式14-2（26-27高二上·全国·课堂例题）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先根据题意求出的关系，然后根据几何关系列出等式，求出，进而求出的周长. 【详解】由光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为，得，即． 延长交于点，如图，由光的反射定律知垂直平分线段（关键点），连接OH， 则OH是的中位线，于是 ， 而点在圆上，则的周长等于．    故选：D. 变式14-3（24-25高二下·福建厦门·阶段检测）（多选）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论，正确的是（    ） A．面积的最大值为 B．的最大值为8 C．若，则 D．若，垂足为，则 【答案】ACD 【分析】对于A：根据椭圆性质分析判断；对于B：由椭圆定义结合几何性质分析判断；对于C：应用角平分线的性质及余弦定理即可求解；对于D，延长，交于点，应用对称性及圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆方程可知：，，. 对于A：当点为短轴顶点时，面积的最大，最大值为，故A正确； 对于B：因为，则， 可得， 当且仅当为射线与椭圆的交点时，取到最大， 所以的最大值为7，故B错误； 对于C：由椭圆的光学性质，得点与垂直的直线为角的角平分线， 则， 设，则，， 可得，，，， 则， 即， 整理可得，解得或， 当时，，与重合，不合题意， 所以，即，故C正确： 对于D：如图，延长，交于点， 则在中，，， 则且为中点，连， 在中， ， 则点在以原点为圆心，2为半径的圆上，即，故D正确. 故选：ACD. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（24-25高二上·天津·期中），是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则的最大值是（   ） A．4 B．5 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由题意表示出点的坐标，利用向量数量积的坐标表示，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】由椭圆，则，即，所以， 设，则，，， 由在椭圆上，则，即， 易知，所以的最大值为. 故选：C. 2．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且轴，若是等腰直角三角形，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设椭圆的半焦距为，则，， 由轴且是等腰直角三角形得，， 故，即， 因此的离心率． 3．（25-26高二上·天津·期中）过椭圆：的中心作直线l交椭圆于M，T两点，是椭圆的左焦点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的几何性质可得，进而将三角形的周长转化为，再由椭圆的定义及椭圆的上点的范围可得最小值. 【详解】由椭圆：，得，即，. 如图，作出符合题意的图形， 因为椭圆和直线l都是中心对称图形，所以，. 所以的周长为 . 设，则， ， 又因为，所以，当且仅当时等号成立. 所以 ，当且仅当时等号成立. 故选：B. 4．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）已知分别为曲线（包含点与直线）上的点，定义曲线之间的最短距离为（其中表示点与点距离的最小值）.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合椭圆上点的横坐标范围，利用距离公式求解最小值，根据新定义即可得解. 【详解】记，设椭圆上的点为，由椭圆的性质可知， 则 ， 当时，最小，，所以. 故选：B. 5．（核心15 圆锥曲线的定义与几何性质（小题狂练）--题型破局系列【北京专版】）已知椭圆的左､右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则下列说法错误的是（ ） A．椭圆的离心率的取值范围是 B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是 C．存在点使得 D．的最小值为1 【答案】A 【分析】根据点在椭圆外，可求出的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而判断A；根据离心率求出，利用椭圆焦半径的性质可得到的取值范围，从而判断B；设椭圆上顶点，计算得，即可判断C；利用基本不等式可判断D. 【详解】由题意得，又点在椭圆外，则，解得， 所以椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，故A不正确； 当时，，，所以的取值范围是， 即，故B正确； 设椭圆的上顶点为，，， 由于， 所以存在点使得，故C正确； ， 当且仅当时，等号成立， 又，所以，故D正确． 故选：A. 6．（25-26高二上·山东日照·期末）如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则（    ）    A．40 B．28 C．35 D．30 【答案】C 【分析】由椭圆的对称性结合椭圆定义即可分析求解. 【详解】    由题可得，为椭圆上顶点， 则根据椭圆的对称性知，，，， ∴. 故选：C 7．（25-26高二上·四川达州·期末）已知A，B是椭圆C：上关于原点对称的两点，是椭圆C的左焦点，在中有，，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用椭圆的对称性及定义求出和，再利用余弦定理列式求解. 【详解】令椭圆C：的右焦点为，设该椭圆半焦距为， 由A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，得四边形是平行四边形， 则，，由椭圆定义得， 由余弦定理得，整理得， 所以椭圆C的离心率为. 故选：C 8．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于的平分线．若坐标原点到切线的距离为，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助椭圆光学性质以及梯形中位线定理确定焦点三角形中的大小，结合椭圆定义与余弦定理建立的等量关系，最终求出椭圆离心率. 【详解】记是的平分线，设点处的切线为直线，则. 设，则，所以根据椭圆光学性质， 点处切线与、的夹角均为，即. 过点作，过点作，过点作，则， 点、到切线的距离分别为， . 因为为的中点，，由梯形中位线性质得， 原点到切线的距离为：. 由题知，解得，即，故. 在中，由余弦定理得： ， 结合椭圆定义，将右边变形为： ， 代入，，得，整理得，即. 椭圆离心率. 9．（2025·河南·模拟预测）已知分别是椭圆的左､右焦点，过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，若，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用向量条件得到线段长度比例，设，结合椭圆定义写出，再在中使用余弦定理，求解关于的表达式；接着在中由余弦定理求出，再对再次使用余弦定理，建立关系式，进而求出离心率. 【详解】依题意，设，则. 在中，， 化简，得，故，或（舍去）. ， ， 在中，， 整理得. 10．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，．若椭圆C上存在点P，使得的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由正弦定理表示出的外接圆半径，由三角形面积公式、余弦定理、正弦面积公式表示出的内切圆半径， 根据同时结合倍角公式化简整理得到，再根据范围得到的最大值，即可列不等式求解. 【详解】设，的外接圆半径和内切圆半径分别为，, 由椭圆定义得； 由正弦定理， 由得， 由正弦面积公式得，所以 在中，由余弦定理得， 即， 所以，代入得； 又，即，则， 又因为，代入上式得 ， 又因为当为椭圆的上下顶点时，取最大值，即取最大值，所以此时取最大值， ，因此； 所以， 因为，所以，不等式整理得，解得. 二、多选题 11．（26-27高二上·浙江嘉兴·阶段检测）已知椭圆：，左、右焦点分别为，，点为椭圆上异于长轴端点的动点，，则下列说法正确的是（     ） A．若，则符合条件的点有个 B．若，则的面积为 C．的最大值为 D．过的直线与椭圆交于两点，，则 【答案】BCD 【分析】由椭圆方程得，，，焦点为，，且.选项A用数量积的坐标运算判断；选项B用余弦定理求后再算面积； 选项C用椭圆定义把换成 后放大；选项 D联立直线与椭圆, 用韦达定理计算. 【详解】对于选项A， 设， 则，， 所以. 由 得. 又, 故, 从而. 所以方程无解, A错误. 对于选项B, 在中，, 由余弦定理得. 结合 得, 即. 所以, B正确. 对于选项C, 由椭圆定义, 则. 因为，所以. 当在线段上时取等号，此时为的中点， 得，该点在椭圆上且不是长轴端点， 故最大值为， C正确. 对于选项D，当直线不与轴重合时， 设其方程为， 代入椭圆方程得. 设，，则，. 又，， 且. 所以. 由 得. 代入得. 当直线为轴时，，，此时也成立，D正确. 12．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知椭圆C的方程是，P为椭圆C上任意一点，分别为椭圆的左、右焦点，过点且斜率不为0的直线与椭圆C交于A，B两点，的周长为8，则下列说法正确的是（    ） A． B．存在点P，使得的面积为2 C．椭圆C上只存在4个不同的点P，使得为直角三角形 D．内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为 【答案】AD 【分析】根据椭圆的定义结合△ABF₂的周长为8的条件，即可求出的值，从而判断选项A；由椭圆中焦点三角形最大面积为，求出最大面积即可判断选项B；分情况考虑直角三角形的顶点，即可判断选项C；先内切圆的面积公式可知最大时，内切圆半径最大，求出内切圆半径；再由正弦定理可得外接圆半径的等量关系，当时，此时外接圆半径最小，求出最小值，即可判断选项D. 【详解】对于A，由题可知，椭圆焦点在轴上，由椭圆的定义可知，， 又，所以的周长为，所以，选项A正确； 对于B，由A知，则椭圆的方程为，即，所以， 因为，所以不存在点，使的面积为2，选项B错误； 对于C，若为直角三角形，当时，存在两个这样的点；当时，存在两个这样的点； 当时，可得的轨迹为以为直径的圆，即，不包括，两点，因为，所以圆与椭圆有四个交点， 即椭圆上存在4个不同的点，使得. 因此，椭圆上存在8个不同的点，使得为直角三角形，选项C错误； 对于D，由的周长为，设内切圆的半径为， 则，所以当最大时，内切圆半径最大， 此时为上顶点或下顶点，，则，解得； 设外接圆的半径为，由正弦定理可得， 由选项C可知，存在点使得，则，此时， 所以内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为，选项D正确. 13．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知椭圆，左，右焦点分别为、，点为椭圆上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．若椭圆上存在点，使得，则该椭圆离心率的取值范围为 C．若，则的面积为 D．当，时，坐标原点为，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】选项A、利用均值不等式即可得到乘积的最大值；选项B、根据椭圆的焦半径范围求解离心率；选项C、先利用椭圆定义得到，再根据焦点三角形余弦定理以及面积公式，即可求解；选项D、先求出，设，再把坐标代入中，转化为二次函数求值域问题． 【详解】选项A、由椭圆定义， 由均值不等式得， 当且仅当时取等号，则选项A正确； 选项B、已知，又， 联立可得，则， 由，可得， 解不等式，可得， 解不等式，可得，所以， 则该椭圆离心率的取值范围为，则选项B错误； 选项C、设，， 已知，， 由余弦定理得，即， 则，解得， 所以的面积为，则选项C正确； 选项D、因为，，则， 所以，，，则， 设，满足． 则，，， 可变形为， 代入上式，可得， 这是开口向下的二次函数，对称轴为， 在对称轴处，， 在端点处，， 在端点处，， 所以的取值范围为，则选项D正确． 三、填空题 14．（26-27高二上·陕西渭南·阶段检测）椭圆的左、右焦点为，，短轴长等于8，离心率为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为______． 【答案】20 【分析】根据题意可求，利用椭圆的定义，的周长为. 【详解】根据题意可得：，，解得：，， 根据，解得：， 记周长为，. 15．（25-26高二上·江苏扬州·期中）定义离心率的椭圆为“西瓜椭圆”.已知椭圆：（）是“西瓜椭圆”，则______.若“西瓜椭圆”：（）的右焦点为，直线（）与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆过点，则______. 【答案】 9 【分析】第一空直接利用椭圆离心率公式列方程求；第二空利用椭圆的对称性将“圆过右焦点”转化为圆的半径，再联立直线、圆与椭圆方程消去交点坐标，代入由离心率确定的比例关系即可解出斜率. 【详解】对于椭圆，由题意得其离心率，，，所以， 进而，解得， 对于椭圆，由题意得其离心率，进而， 且，进而有， 因为直线过原点，所以是线段的中点， 因为以线段为直径的圆过点，所以， 即以线段为直径的圆的方程为， 设点，则有，，， 将代入后两式得，联立整理得， 将与代入得，即， 结合，解得. 16．（26-27高二上·天津东丽·阶段检测）已知为椭圆：的动点，则点到直线：最短距离为__________． 【答案】 【分析】设出与直线平行且与椭圆相切的直线方程，联立椭圆方程利用判别式为0求出参数，再通过平行线间的距离公式计算最短距离． 【详解】设平行于直线的直线的方程为， 联立方程组， 整理得 令直线与椭圆相切， 则， 解得或． 根据平行线间的距离公式，直线与直线的距离为， 当时，， 当时，， 则点到直线最短距离为． 17．（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，是上一点，若（），且，则的离心率的取值范围为______． 【答案】 【分析】设，则，由椭圆定义可得即，由余弦定理可得，两式相除可得，再根据对勾函数的性质可得的范围，进而可得椭圆离心率的取值范围. 【详解】设，由椭圆定义可得， 设，则，所以，即， 因为，所以， 即， 两式相除得：， 所以，因为，所以， 根据对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以，所以， 所以，所以，所以. 18．（2026·山东济南·模拟预测）设，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为________． 【答案】/ 【分析】利用椭圆的定义表示，再结合直角三角形勾股定理建立与的关系，进而求得离心率. 【详解】设，则，， 根据椭圆定义，，， 又因为，所以在中， 即，解得，则，， 则在中，，即， 所以 故离心率. 19．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）设直线与椭圆相交于两点，且的中点为，则直线的斜率为___________． 【答案】 【分析】利用点差法求解即可． 【详解】设，，则，， 所以，也即， 因为，的中点为，所以，， 所以，所以， 所以直线的斜率为，经检验满足题意． 故答案为： 四、解答题 20．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）已知椭圆的两个焦点分别是，，为椭圆上一点． (1)若椭圆和椭圆共焦点，且点的坐标为，求椭圆的标准方程； (2)若，面积为，且椭圆的离心率为，求椭圆的长轴长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设椭圆的标准方程为，从而根据共焦点得到，再将点的坐标代入椭圆得到，进而即可求出椭圆的标准方程； （2）设椭圆的长半轴长为，半焦距为，则根据椭圆的定义，三角形的面积公式及余弦定理得到，再根据椭圆离心率的定义得到，进而即可求出长轴长。 【详解】（1）设椭圆的标准方程为，半焦距为， 由椭圆和椭圆共焦点，则设其长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 则，，则，则①， 又为椭圆上一点，则②， 联立①和②，得，解得，或（舍去）； 则，所以椭圆的标准方程为． （2）设椭圆的长半轴长为，半焦距为， 由椭圆的两个焦点分别是，，为椭圆上一点， 则，， 又，面积为， 则，即， 则由余弦定理得， 即③， 又椭圆的离心率为，即，即④， 联立③和④，得，得， 所以椭圆的长轴长为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $