1.1 多项式的因式分解 教学设计 2026-2027学年湘教版数学八年级上册
湘教版八年级上册 第1章 1.1《多项式的因式分解》教学设计
（1课时 · 教学评一体化设计 · 配套课件《八上数学_1-1_多项式的因式分解.pptx》）
课题 | 1.1 多项式的因式分解 | 课型 | 新授课（1课时） |
年级 | 八年级 | 教材 | 湘教版（2025秋版）八年级上册第1章 因式分解 |
授课教师 |
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一、课程标准要求
《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与代数”领域“代数式”主题中要求：能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）（请教师对照课标原文核对）。本节是因式分解的起始课，不教具体方法，任务是让学生弄清“什么是因式分解”，理解它与整式乘法的关系，为1.2提公因式法、1.3公式法做准备。课标同时强调运算能力、几何直观和推理意识，本设计用“拼图面积”和“整除说理”两个活动落实这几项素养。
二、教材分析
新教材把因式分解从原七年级下册第3章移到八年级上册第1章，章下分三节：1.1多项式的因式分解、1.2提公因式法、1.3公式法，章末有“多知道一点：十字相乘法与分组分解法”和数学文化“陈景润：勇攀科学高峰的典范”（目录信息来自电子课本目录及新教材解读资料，请教师以手中课本为准）。新教材明确“因式分解也称为分解因式”，强调它与整式乘法是方向相反的变形。
本节内容不多，但它是全章的“地基”：判断一个变形是不是因式分解，会用整式乘法检验，知道要分解到每个因式都不能再分解为止。教材的定义比较抽象，学生容易只记住“写成积”，而忽略“对象是多项式”“结果是整式的积”“两边恒等”。因此本设计先用两个真实的计算情境引出“和变积”的好处，再把整式乘法等式“反过来读”，用拼图给出几何解释，最后用例题和变式把四个要点逐一落实。
三、学情分析
学生在七年级已经熟练掌握单项式乘多项式、多项式乘多项式和乘法公式，这是本节最重要的基础；但过了一个暑假，乘法公式容易遗忘，尤其容易把 (a + b)² 写成 a² + b²，所以课件第5页先做旧知回顾。学生对“逆向思考”不太习惯，常把整式乘法误认为因式分解，或者认为“右边有乘号就是因式分解”，如把 x² − 4x + 5 写成 x(x − 4) + 5。八年级学生动手兴趣高，用卡片拼长方形可以把抽象的等式变成看得见的面积，降低理解难度。
四、学习目标
1. 能说出因式分解的意义，能运用“对象、结果、彻底、恒等”四个要点判断一个变形是不是因式分解，判断正确率不低于80%。（抽象能力）
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2. 能用整式乘法检验因式分解的结果是否正确，能根据因式分解的结果用“展开比较”或“代值”求出待定系数。（运算能力、推理意识）
3. 能用拼图说明因式分解的几何意义，能利用给定的因式分解结果解释整除问题、进行简便计算。（几何直观、应用意识）
五、评价任务设计（教学评一体化）
学习目标 | 评价任务 | 评价方式 | 达成证据与标准 |
目标1 意义与判断 | 例1（6个变形）、变式1（选择）；检测第1题 | 变式1全班手势作答，教师即时统计；检测同桌互批 | 能说出判断理由；变式1正确率低于80%时回到“四看”再讲 |
目标2 检验与求系数 | 例2、变式2、例3、变式3；检测第2、3题 | 学生板演，教师点评书写；检测同桌互批 | 写出展开的每一步；会用两种方法求系数并互相检验 |
目标3 几何意义与应用 | 拼图活动、例4、拓展；检测第4、5、6题 | 小组展示拼法，组间互评；出门条 | 拼法正确并写出等式；能用 x³ − x = x(x + 1)(x − 1) 说明整除 |
六、教学重点与难点
重点：因式分解的意义；判断一个变形是否为因式分解，并能用整式乘法检验。
难点：理解因式分解与整式乘法的关系——同一个等式，变形方向相反；理解“分解要彻底”。
七、教学准备
1. 课件《八上数学_1-1_多项式的因式分解.pptx》（30页）。课件中的所有等式和数值都已用 Python（sympy）展开核对，核对记录见工作目录 build/verify.txt。
2. 学具：每组一套拼图卡片，a × a 正方形2张（蓝）、a × b 长方形4张（橙）、b × b 正方形3张（绿），建议 a = 6 cm、b = 2.5 cm（a : b ≈ 2.4 : 1，与课件图形比例一致）。
3. 学案：例1判断表、检测题、出门条，每人一份。
八、教学过程
（一）情境导入（约5分钟）
教学环节 | 教师活动 | 学生活动 | 评价要点 | 设计意图 |
菜地面积 | 出示劳动实践基地两块相邻菜地（宽3.6 m，长7.2 m和2.8 m，按比例绘图），让学生用两种方法求总面积 | 方法1：25.92 + 10.08 = 36；方法2：3.6 × (7.2 + 2.8) = 36 | 能说出方法2“把几个积的和变成一个积” | 从学生熟悉的简便计算出发，感受“和变积”的价值 |
整除问题 | 提问：99³ − 99 能被100整除吗？不算出结果能判断吗？ | 笔算得 970200 = 100 × 9702；思考能否“看出来” | 能提出“把 x³ − x 写成积”的想法 | 制造认知冲突，留下悬念，例4前后呼应 |
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（二）概念探究（约9分钟）
教学环节 | 教师活动 | 学生活动 | 评价要点 | 设计意图 |
旧知回顾 | 出示五个整式乘法，学生口答结果 | 口答 ma + mb + mc、a² − b² 等 | 完全平方公式不漏中间项 | 激活旧知，指出这些都是“积 → 和” |
反过来读 | 把三个等式从右往左读，提问共同特点 | 说出：左边是多项式，右边是整式的积，两边相等 | 能概括出三个特点 | 从已有等式中“发现”新概念 |
给出定义 | 板书定义，类比 12 = 2² × 3；说明“因式” | 圈出关键词：多项式、乘积的形式 | 能用自己的话复述定义 | 类比数的分解，降低抽象程度 |
拼图 | 发放卡片：1张a²、3张ab、2张b²，拼成长方形 | 拼图，写出 a² + 3ab + 2b² = (a + b)(a + 2b) | 拼法正确，能用两种方法表示面积 | 几何直观：和是面积之和，积是长 × 宽 |
四看 | 归纳判断要点：对象、结果、彻底、恒等 | 齐读口诀 | — | 形成判断方法，为例题作准备 |
（三）例题精讲与变式（约16分钟）
教学环节 | 教师活动 | 学生活动 | 评价要点 | 设计意图 |
例1 | 出示6个变形，要求独立判断并说理由 | 判断：(1)(6)是因式分解，其余不是，并说明理由 | 第(3)(4)(5)题的理由是否准确 | 落实目标1，逐条对应“四看” |
变式1 | 全班手势作答，即时统计 | 选C | 正确率 ≥ 80% | 即时评价，决定是否补讲 |
例2 | 示范第(1)题的“展开比较”书写；学生完成(2)(3)(4) | 发现(2)分解不彻底，(4)两边不相等 | 展开过程完整 | 落实检验方法和“彻底”要求 |
变式2 | 两人一组检验三个分解；介绍代值检验的作用和局限 | 展开检验，三题均正确 | 能说出“代值相等不能证明正确” | 培养严谨的推理意识 |
议一议 | 组织讨论因式分解与整式乘法的关系 | 说出：同一等式、方向相反、可以检验 | 表述准确 | 突破难点 |
例3、变式3 | 示范“展开—对齐—比较系数”；变式3一题两法 | 求出 m = −1；a = −3，b = −4 | 两种方法结果一致 | 落实目标2，渗透待定系数思想 |
例4 | 回到导入问题，利用 x³ − x = x(x + 1)(x − 1) | 说明 99³ − 99 = 99 × 100 × 98 | 说理有依据 | 前后呼应，体会因式分解的价值 |
（四）拓展与活动（约6分钟）
教学环节 | 教师活动 | 学生活动 | 评价要点 | 设计意图 |
拓展 | 出示 n³ − n 的数值表，提问它一定是6的倍数吗 | 观察表格，用“三个连续整数的积”说理 | 能说出“必有3的倍数和偶数” | 从特殊到一般，发展推理意识 |
拼图活动 | 小组用1张a²、4张ab、3张b²拼长方形，3分钟 | 拼出长 a + 3b、宽 a + b 的长方形，写出等式 | 按量表记分：拼法、等式、验证各1分 | 落实目标3，在合作中表达 |
易错辨析 | 出示四个错例 | 找错因并改正 | 能说出错因 | 针对常见错误进行纠偏 |
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