专题1.1 多项式的因式分解与提公因式法（6大题型+高效培优讲义）数学新教材湘教版八年级上册

本讲义聚焦多项式的因式分解与提公因式法核心知识点，前承整式乘法的互逆关系，通过因式分解概念、公因式确定（系数取最大公因数、相同字母取最低次幂）、提公因式法步骤（pa+pb+pc=p(a+b+c)）构建学习支架，配合即学即练夯实基础。 该资料以分层设计与素养导向为特色，知识点分阶递进，题型涵盖判断、参数求解、错题分析等，典例融入中考真题，培养抽象能力（符号意识）和推理意识。如错题正解题型引导学生辨析错误，发展批判性思维，课中助力教师精准教学，课后通过综合练习帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

专题1.1 多项式的因式分解与提公因式法 教学目标 1.了解整式乘法与因式分解之间的互逆关系； 2.能判断是否为因式分解； 3.会用提公因式法分解因式。 教学重难点 1.重点：判定是否为因式分解与提公因式法因式分解； 2.难点：会用提公因式法分解因式。 知识点01 因式分解的概念 因式分解的定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【即学即练】1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义判断是否分解成几个因式的乘积即可求解． 【详解】解：A、是整式乘法，不属于因式分解，故该选项不符合题意； B、含有分式，不属于因式分解，故该选项不符合题意； C、不是乘积形式，不属于因式分解，故该选项不符合题意； D、是因式分解，故该选项符合题意． 2．下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义：因式分解是将多项式变形为几个整式乘积的形式，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、是整式乘法，结果为多项式和的形式，不是因式分解，不符合题意； B、右边是和的形式，不是整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； C、右边是和的形式，不是整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、将多项式变形为两个整式与的乘积，符合因式分解的定义，符合题意． 3．关于的二次三项式因式分解的结果是，则______． 【答案】1 【分析】根据因式分解的定义，展开因式分解后的多项式，对比对应项的系数即可求解． 【详解】解：∵， ∴由题意得，， ∴． 知识点02 公因式 公因式：一个多项式的各项含有的因式 最大公因式：系数应取各项系数的最大公因数，字母取各项都含有的相同字母且各个相同字母的指数取最低次幂。 【即学即练】4．将多项式进行分解因式时，应提取的公因式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先找各项系数的最大公约数，再找各项相同字母的最低次幂，二者乘积即为所求公因式． 【详解】解：∵ 多项式中，两项系数和的最大公约数是；两项共有的相同字母为，且的最低次数为，第二项不含，没有公共的因式； ∴ 应提取的公因式为． 5．运用提公因式法将分解因式，应提取的最大公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求系数的最大公约数，再找各项相同字母的最低次幂，将两者相乘即可得到最大公因式； 【详解】解：∵ 多项式中，系数4和12的最大公约数为4，各项共有的字母是a和b，a的最低次幂为，b的最低次幂为，c仅在第二项出现，不参与公因式构成， ∴ 最大公因式为； 6．把多项式分解因式，应提取的公因式为______． 【答案】 【详解】解：多项式中，各项系数和的最大公因数为，各项都含有的相同字母为，，相同字母的最低次幂分别为，， 因此公因式为． 知识点03 提公因式法因式分解 提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)； 注意:挖掘隐含公因式;有时公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最好能一次性提取完. 【即学即练】7．把多项式分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵多项式的各项公因式为， ∴提取公因式得. 8．分解因式的结果是______． 【答案】 【详解】解：． 9．已知，，则代数式的值为____________． 【答案】 【分析】根据题意可求出，利用提公因式法把所求式子因式分解为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴ ． 题型01 判断是否是因式分解 【典例1】（25-26八年级下·河南平顶山·期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的含义逐一判断选项即可． 【详解】解：根据因式分解的定义，变形后等式右边必须是几个最简整式的乘积． ∵A选项是整式乘法，右边为和的形式，不是乘积，不符合要求，A错误． ∵B选项将多项式化为两个整式与的乘积，符合因式分解的定义，B正确． ∵C选项是整式乘法，右边为差的形式，不是乘积，不符合要求，C错误． ∵D选项右边为，是和的形式，不是几个整式的乘积，不符合要求，D错误． 【变式1】（25-26八年级下·山东枣庄·期末）下列各式中，由左向右变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断各选项即可． 【详解】解：因式分解要求变形后的结果为几个整式的积. 对于选项A，右侧的不是整式，不符合因式分解的定义，∴A错误； 对于选项B，该变形是整式乘法运算，结果为多项式和的形式，不是整式积的形式，∴B错误； 对于选项C，右侧为，是和的形式，不是几个整式积的形式，∴C错误； 对于选项D，左侧是多项式，右侧是两个整式的积，符合因式分解的定义，∴D正确． 【变式2】（25-26八年级上·北京西城·阶段检测）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键． 根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【详解】解：选项①是整式乘法，不是因式分解； 选项②右边不是积的形式，不是因式分解； 选项③左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解； 选项④右边含有分式，不是整式，不是因式分解； 故答案为③． 【变式3】（24-25八年级下·山东枣庄·阶段检测）下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的是___________． 【答案】④ 【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】解：①中不是整式，它不是因式分解； ②是乘法运算，它不是因式分解； ③中等号左边是单项式，它不是因式分解； ④符合因式分解的定义，它是因式分解． 故答案为：④． 题型02 已知因式分解的结果求参数 【典例1】（25-26八年级上·河北邯郸·阶段检测）已知，则a的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·安徽滁州·期末）若多项式可因式分解为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用多项式乘多项式法则展开因式分解后的式子，根据多项式相等对应系数相等求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）已知多项式可分解成，则_________． 【答案】 【分析】本题先将因式分解的结果展开，再根据多项式相等对应项系数相等，即可求出的值，用到多项式乘多项式的运算法则． 【详解】解：由题意得展开右侧多项式： ， 对比等式两边对应项系数，可得 【变式3】（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）若将多项式因式分解得，则的值为______． 【答案】 【分析】先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出和的值，再计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ， 解得， ． 题型03 已知因式分解中错题正解 【典例1】甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，则正确的分解结果为 ． 【答案】 【分析】根据题意分别运算和，确定、的值，然后进行因式分解即可． 【详解】解：∵甲看错了，分解结果为， ∴由，可知 ， 又∵乙看错了，分解结果为， ∴由，可知， ∴， ∵， ∴正确的分解结果为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了整式乘法运算以及因式分解的知识，解决本题的关键是理解题意，求出、的值． 【变式1】在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值． 【答案】， 【分析】根据题意甲看错了b，分解结果为，可得a系数是正确的，乙看错了a，分解结果为，b系数是正确的，在利用因式分解是等式变形，可计算的参数a、b的值． 【详解】解：∵，小明看错了b， ∴， ∵，小张看错了a， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查因式分解的系数计算，解题的关键在于弄清哪个系数是正确的． 题型04 公因式 【典例1】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）多项式的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据公因式的定义判断即可． 【详解】解：由题意得，， ∴多项式的公因式是a． 【变式1】（25-26八年级下·河南开封·期末）下列多项式中，各项的公因式为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】公因式是多项式各项系数的最大公约数，与各项都含有的相同字母的最低次幂的乘积，按规则求出各选项的公因式，即可得到答案． 【详解】解：根据公因式的确定规则，对各选项逐一判断： ∵ 选项A：多项式 ，系数最大公约数为，相同字母最低次幂为 ，∴ 公因式为 ，故不符合题意； ∵ 选项B：多项式，系数最大公约数为，相同字母最低次幂为，∴ 公因式为，故不符合题意； ∵ 选项C：多项式，系数和的最大公约数为，相同字母的最低次幂为，的最低次幂为，∴ 公因式为，故符合题意； ∵ 选项D：多项式 ，系数最大公约数为，相同字母最低次幂为，公因式为 ，故不符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·广东梅州·期中）把多项式分解因式，应提取的公因式是______． 【答案】 【分析】先找各项系数的最大公因数，再找各项相同字母的最低次幂，将二者相乘即可得到公因式． 【详解】解：多项式中，各项系数分别为和，其最大公因数为；各项所含字母中，两项都含有字母，的最低次幂为，只有第二项含有字母，因此公共字母部分为；将系数的最大公因数与公共字母部分相乘，可得公因式为． 【变式3】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）多项式的公因式是__________． 【答案】 【分析】本题根据公因式的定义，先计算多项式各项系数的最大公约数，再提取各项共有的相同字母的最低次幂，两者乘积即为所求公因式． 【详解】解：， 因此多项式的公因式为． 题型05 提公因式法因式分解 【典例1】（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）把多项式分解因式，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）多项式因式分解的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将互为相反数的项变形为相同形式，再提取公因式得到结果． 【详解】 ． 【变式2】（2026·甘肃天水·中考真题）因式分解：________________． 【答案】 【详解】解： ． 【变式3】（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）因式分解：______． 【答案】 【分析】先提出公因式x，再分组提公因式解答． 【详解】解：原式 ， ． 题型06 利用提公因式法因式分解求值 【典例1】（2026·四川凉山·中考真题）已知，，则的值为（     ） A．6 B．8 C．12 D．18 【答案】D 【分析】本题利用提公因式法对所求代数式因式分解，再整体代入已知条件计算，不需要分别求出每个未知数的值． 【详解】解：∵ 已知， ∴ 整体代入得，原式 ． 【变式1】（2026·广东广州·二模）如图，边长为，的矩形的周长为，面积为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的周长公式和面积公式分别求出与的值，再代入计算即可． 【详解】解：矩形的周长为，面积为， ，， ， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·四川成都·期末）已知，，则______． 【答案】 【分析】先将因式分解，再代入求值即可． 【详解】解：，， ． 【变式3】（25-26八年级下·全国·暑假作业）若，则________． 【答案】 【分析】先将移项为，再运用提公因式的方法求代数式的值即可． 【详解】∵， ∴，， ∴ ． 一、单选题 1．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）将多项式分解因式时，应提取的公因式为（     ） A． B．y C． D． 【答案】C 【分析】先求系数的最大公约数，再找各项共有的相同字母的最低次幂，两者乘积即为公因式． 【详解】解：∵多项式的系数为和，和的最大公约数是， 又∵两项共有的相同字母为，的最低次幂是，多项式第一项不含字母， ∴应提取的公因式为． 2．（25-26八年级下·山西晋中·期中）若，，则的值为（   ） A．8 B．15 C．25 D．45 【答案】B 【分析】本题考查提公因式因式分解和代数式整体代入求值，先对所求多项式因式分解，再代入已知条件计算即可． 【详解】解： 又， 代入得 因此原式的值为． 3．（25-26八年级下·广东深圳·期中）下列用提公因式法分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对每个选项提取公因式后，和选项给出的结果对比，即可得到正确答案． 【详解】解：A. ，本选项运算错误，不符合题意； B. ，本选项运算错误，不符合题意； C. ，分解结果正确，本选项运算正确，符合题意； D. ，本选项运算错误，不符合题意． 4．（25-26八年级下·山东青岛·期中）若多项式因式分解的结果为，则的值为（    ） A． B．9 C． D．6 【答案】A 【分析】利用因式分解与整式乘法互逆的关系，展开因式分解的结果，对比对应项系数求出和的值，再计算． 【详解】解：∵，又， ∴ 对比对应项系数得，， 解得， 将代入得， ∴． 5．（25-26七年级下·山东济南·期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，且变形结果要正确，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵选项A是整式乘法运算，结果是多项式，不是整式的积的形式，∴ A不属于因式分解； ∵选项B分解错误，，∴ B不属于因式分解； ∵选项C的右边是和的形式，不是几个整式的积，∴ C不属于因式分解； ∵选项D将多项式化为整式的积的形式，且分解正确，符合因式分解的定义，∴ D属于因式分解． 二、填空题 6．（25-26八年级下·四川成都·期末）分解因式：______． 【答案】 【详解】解： ． 7．（25-26八年级下·四川成都·期中）若二次三项式分解因式为，则a的值为______． 【答案】 【详解】解：， ∵， ∴， 对比等式两边对应项的系数可得． 故答案为：． 8．（25-26八年级下·江苏常州·阶段检测）若，则___________． 【答案】 【分析】先将因式分解，再代入求解． 【详解】解:， 将代入， 得． 9．（25-26八年级下·福建漳州·期末）多项式，则各项的最大公因式是________． 【答案】/ 【分析】本题考查多项式最大公因式的求解，按照先找系数的最大公约数，再找各项共有的相同字母的最低次幂，将两者相乘即可得到结果． 【详解】解：多项式的各项系数为，其绝对值的最大公约数是． 各项都含有的字母为，只出现在第二项中，因此公因式不含．的最低次幂是，的最低次幂是． 因此该多项式各项的最大公因式为． 10．（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）二次三项式有一个因式是，则实数的值为______． 【答案】 【分析】已知二次三项式的一个一次因式，可设出另一个一次因式，根据多项式乘法法则展开后，利用多项式相等对应项系数相等列方程求解． 【详解】设另一个因式为， 由题意得， 即， ，解得． 三、解答题 11．（25-26八年级下·全国·暑假作业）先因式分解，再求值． (1)，其中，； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 当，时， 原式； （2）解： 当， 原式． 12．（25-26八年级下·全国·单元复习）利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提取公因式计算即可； （2）先将式子变形为，再提取公因式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】首先观察多项式各项，确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，两者相乘得到公因式；因为因式分解提公因式法的规则是将公因式提取到括号外，所以用多项式的每一项分别除以公因式，将得到的结果作为括号内的因式，整理后完成分解；如果多项式首项系数为负，那么先提取负号，使括号内首项系数为正，再对剩余部分提取公因式． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 14．（25-26七年级下·河北唐山·阶段检测）分解因式时，嘉嘉看错了a的值，分解的结果是，琪琪看错了b的值，分解的结果是，求的值． 【答案】 【分析】根据因式分解及整式的乘法进行求解即可． 【详解】解：∵嘉嘉看错了a的值，分解的结果是，且， ∴， ∵琪琪看错了b的值，分解的结果是，且， ∴， ∴． 15．（25-26七年级下·浙江金华·期中）因式分解 ，其中，，都为整数，求这样的的最大值． 【答案】 【分析】先由多项式乘以多项式展开，再由多项式相等得到，，结合，，都为整数，分类讨论求解即可． 【详解】解：由， ∴，， ，，都为整数， ∴当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∴这样的的最大值是． 一、单选题 1．（2026·广西·中考真题）因式分解：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查提公因式法因式分解，找出多项式各项的公因式，提取公因式即可得到结果． 【详解】解：． 2．（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）多项式可因式分解为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将因式分解后的结果展开，对比原式对应项即可求出． 【详解】∵ 多项式可因式分解为，. ． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若多项式可分解为，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 【答案】B 【分析】将分解后的因式展开，对比原多项式对应项的系数，即可求出的值． 【详解】解： ∵ 多项式可分解为 ∴将展开结果与对比，对应项系数相等，可得． 4．（25-26八年级下·江苏常州·期末）已知，，则的值为（     ） A．6 B．7 C．12 D．14 【答案】C 【分析】把所求代数式因式分解得到，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 5．（25-26八年级下·辽宁阜新·期中）下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式， A、符合因式分解的定义，故符合题意； B、等式右边不是整式积的形式，不符合因式分解定义，不符合题意； C、该变形是整式乘法，是将乘积化为多项式，不是因式分解，不符合题意； D、左边不是多项式，不符合因式分解的要求，不符合题意． 二、填空题 6．（2026·云南昆明·三模）因式分解：____________． 【答案】 【详解】解：． 7．（25-26八年级上·安徽淮南·期末）在对多项式进行因式分解时，提取的公因式为______． 【答案】 【分析】根据公因式的确定方法，分别求出多项式各项系数的最大公约数，以及各项共有的相同字母的最低次数，二者乘积即为公因式． 【详解】解：多项式的各项系数分别为，，，其最大公约数为，各项都含有的相同字母为，，其中的次数分别为，，，最低次数为，的次数分别为，，，最低次数为， 因此提取的公因式为． 8．（25-26八年级上·全国·单元复习）下列变形①；②；③；④；⑤中，是因式分解的是______（填序号） 【答案】② 【分析】本题主要考查了因式分解的意义，直接利用因式分解的意义分析得出答案． 【详解】解：①，是多项式乘法，故①不是因式分解； ②，是因式分解，； ③是单项式，不是因式分解； ④中不是整式，故④不是因式分解； ⑤，等式右边不是整式的乘积，故⑤不是因式分解， 故答案为：②． 9．（2026·广东东莞·二模）已知整式分解因式的结果为，则______． 【答案】16 【分析】本题考查了因式分解，将已知分解后的结果展开，对比原式对应项系数即可求得． 【详解】解：， 则， 即． 10．（25-26八年级下·陕西·期末）已知，，则的值为________． 【答案】 【分析】把所求代数式因式分解为，再代入求值即可． 【详解】∵，， ∴． 三、解答题 11．（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 12．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）先因式分解，再计算求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】先利用互为相反数的平方相等变形，提取公因式完成因式分解，再代入、的值计算即可． 【详解】解： ， 把，代入得， 原式． 13．（22-23九年级下·广东东莞·自主招生）已知实数，，定义新运算“”满足（，，是常数），已知，，求的值． 【答案】 【分析】根据新运算的定义，列出关于常数，，的等式，通过消元得到参数间的关系，再代入待求式化简，消去参数得到最终结果即可． 【详解】解：由题意，得，得， ∴， ∴， ∴， ． 14．（25-26八年级上·河南濮阳·阶段检测）用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查提公因式法分解因式，合并同类项，解题的关键是掌握提公因式法． （1）先转化使其有相同的公因式，再提取公因式即可； （2）先转化使其有相同的公因式，再提取公因式即可； （3）先提取公因式，然后合并同类项，再提取公因式即可； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 15．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）1637年，笛卡尔在其《几何学》中首次应用待定系数法进行因式分解．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下．分解因式：． 解：观察可知，当时，原式，所以原式可分解为与另一个整式的积．因为为三次式，且最高次项系数为1，而是一次式，一次项的系数为1．所以可设另一个整式为，即．因为上式对任意恒成立，所以可另取几个方便计算的的值代入上述等式的左右两边，得到方程组，求得，的值，从而完成对的因式分解． (1)取和代入，求，的值． (2)尝试用上述方法分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按要求代入指定的值，得到关于，的方程组求解即可； （2）先试根得到原式的一个一次因式，再用待定系数法求出另一个二次因式，即可完成分解． 【详解】（1）解：已知， 将代入等式两边，得左边， 右边， 因此， 解得， 将，代入等式两边，得左边， 右边， 因此， 解得， 即 （2）对于多项式，当时，原式， 因此原式可分解为与一个二次整式的乘积， 设另一个整式为，可得， 取代入等式，得左边，右边， 因此， 取代入等式，得左边， 右边， 因此， 解得， 因此 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.1 多项式的因式分解与提公因式法 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01因式分解的概念 知识点02公因式 2.知识清单 知识点03提公因式法因式分解 题型01判断是否是因式分解 多项式的因式分解与提 题型02已知因式分解的结果求参数 公因式法 题型03已知因式分解中错题正解 3.题型精讲 题型04公因式 题型05提公因式法因式分解 题型06利用提公因式法因式分解求值 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.了解整式乘法与因式分解之间的互逆关系； 教学目标 2.能判断是否为因式分解： 3.会用提公因式法分解因式。 1.重点：判定是否为因式分解与提公因式法因式分解： 教学重难点 2.难点：会用提公因式法分解因式。 知识清单 知识点01因式分解的概念 因式分解的定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解， 1/8 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 也叫做把这个多项式分解因式， 【即学即练】1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是() A.x(x-1)=x2-x C.x2+3x-4=x(x+3)-4 D.x2+2x+1=(x+1)2 2.下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是() A.(x+2)(x-2)=x2-4 B.x2+5x+4=(x+2)+x C.x2-2x+1=x(x-2)+1 D.x2-y2=(x+y)(x-y) 3.关于x的二次三项式x2+mx-6因式分解的结果是(x+3)(x-2),则m= 知识点02公因式 公因式：一个多项式的各项含有的因式 最大公因式：系数应取各项系数的最大公因数，字母取各项都含有的相同字母且各个相同字母的指数取最 低次暴。 【即学即练】4.将多项式4xy-2y进行分解因式时，应提取的公因式为() A.2x B.2y C.xy D.x 5.运用提公因式法将4ab+12abc分解因式，应提取的最大公因式是() A.ab B.4a2b C.4ab D.4abc 6.把多项式6y-2y分解因式，应提取的公因式为 知识点03提公因式法因式分解 提公因式法：pa+pb+pc=p(a什b叶c): 注意：挖掘隐含公因式；有时公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最 好能一次性提取完. 【即学即练】7.把多项式x2-9x分解因式，结果正确的是() A.x(x-9) B.(x+3)(x-3)C.x(x+3)(x-3)D.(x-3)}2-9 218 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.分解因式x2-5x的结果是 9.已知a-b=5,b-c=-7,则代数式a2-ac-ab+bc的值为. 题型精讲 题型01判断是否是因式分解 【典例1】(25-26八年级下·河南平顶山期末)下列各式从左到右的变形是因式分解的是() A.a(a+b)=a2+ab B.a2+5a+6=(a+2)(a+3) C.(a+b)(a-b)=a2-b2 D.a2+2a+1=a(a+1)+1 【变式1】(25-26八年级下山东枣庄·期末)下列各式中，由左向右变形是因式分解的是() A2+1=xx+》 x B.(x+y)=x+2x+y C.x2-3x+4=x(x-3)+4 D.x'y-xy2=xy(x-y) 【变式2】(25-26八年级上·北京西城阶段检测)下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是 (填序号) ①x0x-3到=2-3x:@r2-5x+6=x0-)+6:@r+3x+2=+l6c+2①+x=r0+日 【变式3】c2425八年级下山东恐庄价膜检测)下列从左到石的支形：①r+x+1=+3+)@ (a+b)(a-b)=a2-b:③15x2y=3x50y:④a2-2a+1=(a-1);其中是因式分解的是 题型02 己知因式分解的结果求参数 【典例1】(25-26八年级上河北邯郸阶段检测)已知x-4x+3=(x-(x-0),则a的值为() A.1 B.3 C.-3 D.-1 【变式1】(25-26七年级下·安徽滁州期末)若多项式x2+ax+b可因式分解为(x+9x-6),则a+b的 值为() 318 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-54 B.-51 C.-56 D.-57 【变式2】(25-26八年级下江苏泰州期末)已知多项式a2+a+k可分解成(a-2)(a+3),则k= 【变式3】(25-26八年级下山东青岛阶段检测)若将多项式2x2+mx-12因式分解得(x+4)(2x+n）,则 mn的值为 题型03已知因式分解中错题正解 【典例1】甲、乙两个同学分解因式x+mx+n时，甲看错了m,分解结果为(x+9x-2);乙看错了n,分 解结果为(x-5(x+2),则正确的分解结果为一· 【变式1】在分解因式x2+ar+b时，小明看错了b,分解结果为(x+2(x+4);小张看错了a,分解结果为 (x-1)(x-9),求a,b的值. 题型04公因式 【典例1】(25-26八年级下·陕西渭南期末)多项式a2+ab的公因式是（) A.a B.b C.a2 D.ab 【变式1】(25-26八年级下河南开封期末)下列多项式中，各项的公因式为3y的是() A.xy2-x2y B.6.xy2-12xy2 C.9xy3-15x2y2 D.3x2y-6x2y 【变式2】(25-26八年级下·广东梅州期中)把多项式2x+4y分解因式，应提取的公因式是 【变式3】(25-26八年级下江苏宿迁期末)多项式8x2yz+12yz-24xz2的公因式是 题型05提公因式法因式分解 【典例1】(25-26八年级下·江西吉安阶段检测)把多项式x2-4x分解因式，结果正确的是() A.x(x-4) B.(x+2)(x-2) C.x(x+2)(x-2) D.(x-2)2-9 【变式1】(25-26七年级下·全国课后作业)多项式(2-a)y+(a-2)因式分解的结果正确的是() 418 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.(2-a)(y+1) B.(2-a)y-1) C.(a-2)xy-1) D.(a-2)(xy+1) 【变式2】(2026甘肃天水中考真题)因式分解：5ab+10ab2= 【变式3】(2425九年级下·安徽芜湖自主招生)因式分解：x-y-2y2= 题型06 利用提公因式法因式分解求值 【典例1】(2026四川凉山中考真题)已知a+b=3,3a-2c=2,则9a(a+b)-6c(a+b)的值为() A.6 B.8 C.12 D.18 【变式1】(2026广东广州二模)如图，边长为a,b的矩形的周长为14，面积为10，则a2b+ab的值 是() 个 b -a A.70 B.140 C.55 D.24 【变式2】(25-26八年级下四川成都期末)已知mn=2,n-m=3,则m2n-mn2= 【变式3】(25-26八年级下·全国暑假作业)若x2-2x-1=0,则x-5x-2028= 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(25-26八年级下陕西汉中期末)将多项式2x+4y分解因式时，应提取的公因式为() A.xy B.y C.2x D.2y 2.(25-26八年级下山西晋中期中)若a+b=5,ab=3,则ab+ab2的值为() A.8 B.15 C.25 D.45 518 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26八年级下·广东深圳期中)下列用提公因式法分解因式正确的是（) A.12abc-9a'b2c2=3abc(4-3ab) B.3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2y) C.-a2+ab=-a(a-b) D.x'y+5xy-y=y(x2+5x) 4.(25-26八年级下山东青岛期中)若多项式x2-x+a因式分解的结果为(x+2x+b),则a+b的值为 () A.-9 B.9 C.-6 D.6 5.(25-26七年级下山东济南·期末)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是() A.(x+3)(x-3)=x2-9 B.x2-4y2=(x+4y)(x-4y) C.x2-5x+6=x(x-5)+6 D.4x2-4x+1=(2x-1) 二、填空题 6.(25-26八年级下四川成都期末)分解因式：my+my= 7.(25-26八年级下四川成都期中)若二次三项式分解因式为x+ax+2=(x-2)(x-1),则a的值为 8.(25-26八年级下江苏常州阶段检测)若x-y=-3,y=2,则x2y-y2= 9.(25-26八年级下福建漳州期未)多项式6ab+12abc-3a2b,则各项的最大公因式是 10.(25-26八年级下山西运城阶段检测)二次三项式3x2-ax-6有一个因式是(3x+2),则实数a的值为 三、解答题 11.(25-26八年级下·全国暑假作业)先因式分解，再求值. (①)2a2(b-3)-(3-b),其中a=1,b=-1: ②aa+ba-b创-aa+b,其中a+b=1b= 12.(25-26八年级下·全国单元复习)利用因式分解计算： (1）32027-32026: (2)(-2)+(-2)+29 13.(25-26八年级下·全国课后作业)把下列各式因式分解： (1)2mn+4m2: 618 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)7p2-21p; (3)8ab2-12ab3c+ab: (④-24x3+12x2-28x. 14.(25-26七年级下河北唐山阶段检测)分解因式x+ax+b时，嘉嘉看错了a的值，分解的结果是 (x+2(x+5),琪琪看错了b的值，分解的结果是(x-3(x+),求ab的值. 15.(25-26七年级下浙江金华期中)因式分解x+mx-12=(x+Px+9），其中m,p,9都为整数， 求这样的m的最大值. 能力提升 一、单选题 1.(2026广西中考真题)因式分解：2a2-3a=() A.a(2a-3) B.a(2a+3) c.a(a-3) D.a(a+3) 2.(25-26八年级下四川绵阳开学考试)多项式+A可因式分解为x(1-),则A为() Aa B.-axy C.-ay D.ay 3.(25-26八年级下·江苏无锡期中)若多项式x2+mx-12可分解为x-3x+4),则m的值为() A.-1 B.1 C.7 D.-7 4.(25-26八年级下江苏常州期末)已知a-b=1,ab=6,则2ab-2ab的值为() A.6 B.7 C.12 D.14 5.(25-26八年级下辽宁阜新期中)下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（) A.2am+bm=m(2a+b) B.x2-1=xx-1 C.(a+b)(a-b)=a2-b D.1-0+ aa 二、填空题 6.(2026云南昆明三模)因式分解：a2-a=」 7.(25-26八年级上安徽准南期末)在对多项式6ab-2ab2+ab进行因式分解时，提取的公因式为 718 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(25-26八年级上全国单元复习)下列变形0(c+1(-)=x2-1:②9a2-12a+4=(3a-2}2:③ ⑤x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x中，是因式分解的是 (填序号) 9.(2026广东东莞二模)已知整式4m2-a分解因式的结果为4(m+2)(m-2),则a= 10.(25-26八年级下陕西期末)已知a+b=-5,ab=6,则ab+ab的值为 三、解答题 11.(25-26八年级下江西吉安阶段检测)分解因式： (1)8a2+12a: (2)x(x-5)-4(5-x). 12（235-26八年级下江西九让阶段检测0先队式分能，西计红求值：-以-0-，我中 Γ2 13.(22-23九年级下广东东莞·自主招生)已知实数x,y,定义新运算“&”满足x&y=+by+C( a,b,c是常数)，己知2&5=10,4&7=28，求2023&2026的值. 14.(25-26八年级上·河南濮阳阶段检测)用提公因式法将下列各式因式分解： (1)2a(m-n)-4b(n-m): (210b(x-y2-5a(y-x)2. (3)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b) 15.(25-26七年级下·浙江宁波·期末)1637年，笛卡尔在其《几何学》中首次应用待定系数法进行因式分 解。关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下.分解因式：x-4x+3, 解：观察可知，当x=1时，原式=1-4+3=0，所以原式可分解为(x-1)与另一个整式的积.因为 x-4x+3为三次式，且最高次项系数为1，而x-1是一次式，一次项的系数为1.所以可设另一个整式为 x+hx+c,即x-4x+3=(x-(x+br+c).因为上式对任意x恒成立，所以可另取几个方便计算的x的 值代入上述等式的左右两边，得到方程组，求得b,c的值，从而完成对x-4x+3的因式分解. (1)取x=0和x=2代入，求b,c的值. (2)尝试用上述方法分解因式：x3+2x2-1 818