第13章三角形期中复习满分压轴讲义（知识梳理典例练习）2026--2027学人教版八年级数学上册

第13章 三角形 期中复习 满分压轴讲义 （知识梳理典例练习）2026-年人教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握三角形三边关系，能判断三条线段能否构成三角形 · 理解三角形的中线、高、角平分线概念，会求面积 · 熟练运用三角形内角和定理与外角性质求角度 · 综合平行线性质解决三角形角度问题 · 掌握三角形折叠与轴对称的角度计算 📚 知识梳理 ☆ 1.三角形的边与三边关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 判断三条线段能否构成三角形：最短两边之和>最长边 等腰三角形需分类讨论腰与底边 三角形具有稳定性 概念辨析例题：已知三角形两边长为3和7，第三边为整数，求第三边可能值。 答案：5,6,7,8,9 解析：7-3<第三边<7+3，即4<x<10，整数x=5,6,7,8,9。 ☆ 2.三角形的中线、高、角平分线与面积 中线：顶点到对边中点连线，三条中线交于重心 高：顶点到对边（或延长线）的垂线段 角平分线：内角平分线与对边交点连线 中线将三角形分成面积相等的两部分 概念辨析例题：△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABC面积为20，求△ABD面积。 答案：10 解析：中线等分面积，△ABD=△ABC=10。 ☆ 3.三角形内角和与外角性质 三角形内角和=180° 直角三角形两锐角互余 外角等于不相邻两内角之和 外角大于任一不相邻内角 概念辨析例题：△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，求∠C和∠C的外角。 答案：∠C=70°，外角=110° 解析：∠C=180°-50°-60°=70°，外角=180°-70°=110°=∠A+∠B。 ☆ 4.平行线与三角形角度综合 两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 结合三角形内角和定理求角度 三角板叠放问题常用平行线性质 折叠问题注意对应角相等 概念辨析例题：AB∥CD，∠A=40°，∠C=30°，求∠AEC。 答案：70° 解析：过E作EF∥AB，则∠AEF=∠A=40°，∠CEF=∠C=30°，∠AEC=70°。 📋 知识总结表 概念 性质/公式 注意事项 三边关系 a+b>c，|a-b|<c 判断需最短两边之和 中线 顶点到对边中点 等分面积 高 垂线段 钝角三角形高在外部 内角和 180° 直角三角形两锐角互余 外角 =不相邻两内角和 大于任一不相邻内角 平行线 同位/内错相等，同旁互补 注意截线 ⚠️ 核心考点 【考点1】三角形的边与三边关系（第1-4题） · 判断三边：最短两边之和>最长边 · 等腰三角形分类讨论腰与底边 · 绝对值化简结合三边关系 1．（25-26七年级下·重庆北碚·期末）已知，，为三角形的三边长，且满足，则以，为边长的等腰三角形的周长为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、构成三角形的条件 【分析】先利用三角形三边关系化简等式右侧，再根据平方和算术平方根的非负性求出，的值，最后分情况讨论等腰三角形的周长，验证三边关系后得到结果． 【详解】解：，，是三角形的三边长， ，， ，， 等式右侧为：， 可得：， 整理得：， ，， ，， 解得：，， ①当腰长为，底边长为时， ，符合三角形三边关系， 三角形的周长为， ②当腰长为，底边长为时， ，符合三角形三边关系， 三角形的周长为， 综上，等腰三角形的周长为或． 2．（24-25九年级上·全国·期末）从，，，，中任选个数，使得所选的个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的的最小值是_____． 【答案】 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形的两边之和大于第三边，首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数，我们就要考虑从这2017个数中选一组数，使这一组数中任意两个小数之和都不大于大数，则选出的数要满足每一个数都等于它前面两个数之和，在，，，，中最多可以选出个数，如果再增加一个数则一定有可以构成三角形边长的三个数，所以满足条件的的最小值是． 【详解】解：首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 即这个数中任意两个小的数之和都不大于大的数， 则这个数分别为：、、、、、、、、、、、、、、、， 即每一个数都等于它前面两个数之和， 则这一组数中任意选出三个数一定有两个小的数之和不大于大的数， 这一组数中任意选出三个数都不能构成三角形三边长， ， 如果从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 则， 如果从，，，，中任意再选一个数加入这个数列中，则这个数列中一定可以找到能构成三角形三边长的三个数， 满足条件的的最小值是． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）等腰三角形一腰上的中线把周长分为15和12两部分，求该三角形三边的长． 【答案】8，8，11或10，10，7 【知识点】三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目需进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，是解题的关键．已知等腰三角形的一腰上的中线把这个三角形的周长分为12和15两部分，由于没有具体说明哪部分是12，哪部分是15，所以需分两种情况进行分析：第一种，第二种，由此可分别求得三角形的三边的长． 【详解】解：在中，，是中线． 设，， ①当时，则，解得， ∴三角形三边的长分别为8，8，11． ②当时，则，解得， ∴三角形三边的长分别为10，10，7． 经检验，两种情况均符合三角形的三边关系， 因此这个三角形三边的长分别为8，8，11或10，10，7． 4．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于、的方程组． (1)求方程组的解（用含的代数式表示）； (2)若方程组的解满足条件，求的取值范围； (3)若、是等腰三角形的两条边，且等腰三角形的周长为9，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数、三角形三边关系的应用 【分析】（1）运用加减消元法解答即可； （2）根据不等式的性质解不等式即可； （3）先根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系列式即可求得a的值； 【详解】（1）解： 得：，解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴该方程组的解为； （2）解：∵， ∴，化简为：， 解得：， 解得：， 解得：； （3）解：∵x、y是等腰三角形的两条边，且等腰三角形的周长为9， 若腰长为x，底边长为y，则，解得：， ∴， 此时三角形三边长为2，2，5，不能组成三角形，舍去； 若腰长为y，底边长为x，则，解得：， ∴， 此时三角形三边长为1，4，4，能组成三角形； ∴； 【考点2】三角形的中线、高、角平分线与面积（第5-14题） · 中线等分面积，重心分中线2:1 · 高的位置：锐角三角形内、直角三角形直角边、钝角三角形外 · 角平分线分对边成比例 5．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在中，经过的重心交于点，若的面积为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据三角形中线求面积、重心的概念 【分析】本题考查了三角形的面积和三角形的重心，解题的关键是掌握在高相等的情况下，面积比等于底之比． 延长交于，设，则根据重心的概念可得是中线，通过面积转换可得，，，，最后在中，求解x即可． 【详解】解：延长交于，如图， 设． ∵是的重心， ∴是中线， ∴D是中点，则和等底同高， ∴． ∴． ∵是中点， ∴ ． ∵， ∴ ， 又∵是中点，和等底同高， ∴ ∴ 解得， 在中， 解得， ∴ ， ∴． 故选A． 6．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，中，，下列说法不正确的是（   ） A．是的中线 B．若，则 C．若，则互相重合 D． 【答案】A 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、等腰三角形的性质和判定、三角形角平分线的定义 【分析】此题考查了三角形的角平分线、中线和高， 根据三角形的角平分线、中线和高的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴是的中线， ∴，不一定是的中线； 故A选项错误，D选项正确． ∵，， ∴点C到的距离为5， ∴． 故B正确； ∵，， ∴是的角平分线， 是的中线， ∵，是的中线， ∴是的角平分线；则互相重合， ∴互相重合， 即互相重合． 故C正确． 综上所述，只有A错误． 故选：A． 7．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段，，，的中点．若的面积为2，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．24 D．28 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】连接，，根据三角形的中线将三角形的面积平分，可分别求得，，，可得，再根据点D是线段的中点，即可求得答案． 【详解】解：连接，， 点G是线段的中点， ，， 点F是线段的中点， ，， 点E是线段的中点， ，， ， 点D是线段的中点， ． 8．（25-26八年级上·安徽·期末）如图，在中，已知D，E，F分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为6，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．24 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了与中线有关的三角形面积的计算，利用三角形中线将三角形面积进行转化是解题的关键． 由点F是的中点可得，由点E是的中点可得，，从而得到，再由，进而求得的面积． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴， ∵点E是的中点， ∴，， ， ∵， ． 故选：D． 9．（24-25八年级上·四川德阳·期中）设的面积为1．如图①，，分别是，的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是，的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是，的4等分点，，相交于点，与的面积差记为，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了图形的变化类规律、三角形的面积，解题的关键是得出． 由题意求得 ，根据点分别是的中点，得，，从而得出，同理可得：，，，…， 归纳出，代入n值即可得到答案． 【详解】解：由题意得： ， ∵点分别是的中点， ，， ， 同理可得：， ， ， …， ． ． 故选：D． 10．（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）如图，在中，点是边上一点，，点D、F分别是、的中点，若，则______________． 【答案】3 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积可求出，，再由得到，据此可得答案． 【详解】解：∵点D、F分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴． 11．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，在中，，，，，则长为________． 【答案】/ 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的面积，由可求得的长度，再根据即可求出，解答的关键是熟记三角形的面积公式． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）如图，三角形的面积为，，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】18 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形面积、三角形中线的性质、一元一次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图，连接，由三角形中线的性质可得，，易得，；设，易得，即，，进而求得，进而求得图中阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴，， ∴，即， ∴， 设， ∵， ∴，则． ∴，解得：， ． 故答案为18． 13．（25-26七年级下·江苏南通·期末）【课本重现】 三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心．反之，连接三角形的任一顶点与重心，将该线段延长并与顶点的对边相交，所得交点即为这条对边的中点．如图①，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平平衡状态． 【解决问题】 (1)利用图①，求的值； (2)如图②，的重心为点，的面积为，点是的中点，连接交的延长线于点，求的面积； (3)如图③，在（2）的条件下，点为线段上一点，连接并延长交于点，若是的中点，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】根据三角形中线求面积、重心的概念 【分析】（1）设，，利用三角形中线的性质求得，根据等高的两个三角形面积的比等于底边的比得到，据此计算即可求解； （2）延长交于点，延长交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，如图，利用（1）的结论求得，设，求得，根据的面积为，求得，再证明的重心为点，再利用（1）的结论求解即可； （3）连接，，，，延长交于点，如图，设，，求得，，得到，根据，求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：设，， ∵分别为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：延长交于点，延长交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，如图， ∵的重心为点，由（1）知，，， 设， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 解得， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴的重心为点， ∴，， ∴； （3）解：连接，，，，延长交于点，如图， 设，， ∵是的中点， ∴，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 同理， ∵的重心为点， ∴， ∴， ∴， ∵的重心为点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 14．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图1，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，这就是重心的物理性质．受此启发，数学兴趣小组对三角形重心的几何性质展开探究． 【观察发现】 (1)如图2，小组成员在上画出中线，可以得到 （填“”“”或“”）； 【初步探究】 (2)如图3，、、是的三条中线，三者相交于点，猜想与的数量关系并证明你的结论； 【拓展应用】 (3)如图4，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点，．若，，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)； 证明：∵是的中线， ∴是的中线， ∴, 同理可得：,, 设，， ∴, ∵ ∴ ∴ 同理可知，， ∴ ∴,, ∴ (3)30 【知识点】根据三角形中线求面积、重心的有关性质 【分析】（1）中线将三角形分成两个等底同高的三角形，故面积相等； （2）根据中线可知，根据面积转化即可求得，进而可判断相等； （3）连接，延长交于点，根据面积公式可知，，即可求解，进而可求解面积． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵和的高相等， 则两个三角形的面积相等； （2）略 （3）连接，延长交于点， 由（2）可知， ∵， ∴, 同理可知, ∵，， ∴,, ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 【考点3】三角形内角和与外角性质（第15-35题） · 内角和180°是核心 · 外角=不相邻两内角和 · 角平分线+内角和模型：∠BIC=90°+∠A 15．（25-26七年级下·重庆开州·期中）如图，点、点分别是的边AB、AC上的点，连接并延长到，使得，若，比的余角小，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线．下列结论： ①； ②； ③平分； ④； ⑤．其中结论正确的有几个（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、求一个角的余角、根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理、角平分线的定义以及角度的计算与代换．由平行线的判定和性质可判定①②③④，设，，，由角平分线的定义可得，，可判断⑤． 【详解】解：①， ， 故结论①正确； ②， ， 又， ， ， 故结论②正确； ③， ， 又， ， 平分， 故结论③正确； ④比的余角小， ， ， ， ， ， ， ， 故结论④正确； ⑤设，，， 为的平分线， ， ， 即， 由③知， ，即， 将代入， 得， 解得， ， 故结论⑤不正确； 综上所述，正确的结论是①②③④； 故选：． 16．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，平分交的延长线于点，平分交的延长线于点，与交于点，与互余，下列说法：①；②；③若，则；④若，则，正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、锐角互余的三角形是直角三角形 【详解】解：平分，平分， ，， ， ， ，， ∴， ∴①②正确， 若，则，题目中没告知与的位置关系， ∴无法求出的大小； 若， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ∴④正确． 17．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列4个结论一定正确的有（   ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理和外角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解． 由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理可求，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义以及三角形内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合，可判定④． 【详解】解：∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故②正确； 如图，∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴． 故④正确； 综上正确的有：①②④． 故选：C． 18．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）下列四个条件：①在中，；②的三个内角度数之比是；③在中，；④的三个外角的度数之比是其中能确定是直角三角形的是（） A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查直角三角形的判定、三角形内角和定理（）和外角和定理（）等知识点，求得各选项三角形中的最大角是解题的关键． 分别计算每个条件下各内角的度数，判断是否存在90°角即可解答． 【详解】①设，则， ∴，解得， ∴，不是直角三角形； ②设内角为，则，解得：， ∴内角为，是直角三角形； ③∵，且， ∴， ∴，即，是直角三角形； ④设外角为，则，解得， ∴外角为，对应内角为，是直角三角形． ∴②③④符合条件． 故选C． 19．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，的两条内角平分线相交于点，两条外角平分线交于点．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查有关角平分线的计算，三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关性质是解题的关键． 根据得到，结合角平分线得到，从而得到，最后结合角平分线求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵的两条内角平分线相交于点， ∴， ∴， ∵两条外角平分线交于点， ∴， ∴． 故选：B． 20．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，在中，，，分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，垂足为点O．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】垂线的定义理解、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、垂直的定义、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 先根据垂直的定义可得，然后根据同角的余角相等即可判定A；根据角平分线的定义可得，由三角形外角的性质可得，然后运用角的和差即可判定B；先根据三角形外角的性质可得，再结合可判定C；先说明，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故A正确；    ∵、分别是高和角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 由A得：， ∴，故C错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故D正确． 故选：C． 21．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点，的对应点分别是点），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的值为（    ） ①；②；③；④ A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④ 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用平移的性质求解 【分析】由平移的性质可得：，且，再分情况进行讨论即可． 【详解】解：由平移的性质可得：，且， ①设，则，当， 由题意得到， 即， 解得， ； ②当，设，则， 由题意得到， 即， 解得， ； ③当平移距离大时，设，则，， ， ， 故． 综上所述，则的值为①②④． 22．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在中，平分，平分，，则________度． 【答案】80 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，掌握三角形内角和为180°是解题的关键． 由角平分线的定义可得，即；再运用三角形内角和定义以及可知，即，最后再运用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：80． 23．（25-26八年级上·山东滨州·阶段检测）如图，是的外角，平分，平分，且，相交于点D．若，则的度数为______． 【答案】/80度 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查三角形的外角的性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 根据角平分线的定义可得、，继而得到，进而完成解答． 【详解】解：∵平分，平分， ∴、 ． 故答案为． 24．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，是角平分线，则图中的等腰三角形共有_______个. 【答案】8/八 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等． 根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形． 【详解】解：如图， 中，， ， ， ， 是角平分线， ， ，， ， ，，，，，， ，， ，，，，，，，是等腰三角形，共8个， 故答案为：8． 25．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，，的平分线交于点O，． （1）的度数为_____． （2）若CD平分外角，交BO的延长线于点D，点E是的两外角平分线的交点，则的度数为_____． 【答案】 80° 10° 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据三角形内角和定理，角的平分线定义解答即可． （2）根据三角形内角和定理，角的平分线定义，三角形外角性质解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角的平分线定义，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵BO平分，CO平分， ∴，. ∵，， ∴， ∴， ∴. （2）解：由（1）知. ∵点E是的两外角平分线的交点， ∴，， ∴ . ∵BO平分，CD平分外角， ∴，. ∵，， ∴ ， ∴. 26．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，分别是的内角、的平分线，两外角、的平分线交于点， (1)若，求的度数． (2)若用含有的式子表示，则______，并给予证明． 【答案】(1) (2) ， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵两外角、的平分线交于点， ∴， ∴， ∴． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，熟练掌握三角形的内角和定理，是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理求出的度数，角平分线求出的度数，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可； （2）根据三角形的外角的定义，结合角平分线的定义，求出的度数，进而求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵分别是的内角、的平分线， ∴， ∴， ∴； （2）略 27．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知，、交于，． (1)如图1，若，求的值； (2)如图2，若，平分，求的值； (3)如图3，若，平分，平分，探究与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)0 (3) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）根据平行线的性质可得，再由三角形的外角定理求解即可； （2）由，，平分可得，再根据可得，由此求解的值即可； （3）设，，根据，平分，平分和三角形的内角和定理以及等量代换可得，从而有，由，可得，再次运用三角形内角和定理可得出，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ， 又， ， 则的值为； （2）解：， ， ，平分， ， ， ， ， ， 则的值为0； （3），证明如下： 如图： 设，， ，平分，平分， ，， ， ， ，， ，， ， 又， ， ． 28．（25-26七年级下·广东广州·期中）【学科融合】物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫作入射角，反射光线与法线的夹角r叫作反射角（如图①）由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角，这就是光的反射定律． 【问题解决】 （i）如图②，有两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得它们的余角也相等，即，； （ii）如图③，图④，两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线． 【数学推理】 (1)如图②，在（i）的条件下，证明：． 【尝试探究】 (2)（多选题）下列关系式正确的是（    ） A．在图②中， B．在图②中， C．在图③中， D．在图④中， E．在图④中， (3)如图③，光线与相交于点E，则______（用含的式子表示）． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)ADE (3) 【知识点】同旁内角互补两直线平行、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查直角三角形的性质，平行线的判定，三角形内角和定理等． （1）根据直角三角形两锐角互余及同旁内角互补，两直线平行证明即可； （2）根据图象及已知条件逐项分析即可； （3）根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：在图②中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，故A正确； 由（1）得，但没有条件证明，故B错误； 在图③中，无法证明，故C错误； 在图④中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D正确； ∵， ∴，故E正确； 综上，关系式正确的是ADE； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 29．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，已知等腰中，，，交于点，平分，与交于点，与交于点． (1)当时，求的度数； (2)猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】（1）根据等边对等角求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，利用三角形内角和求出的度数，再利用垂线性质求出的度数，最后利用三角形外角性质求出结果； （2）根据等边对等角求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，利用三角形内角和求出的度数，再利用垂线性质求出的度数，最后利用三角形外角性质求出结果； （3）由（2）可知，再分情况当时，当时，当时，分别利用等边对等角，三角形内角和定理求出结果即可 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ； （2）， ， 平分， ， ， ， ， ； （3）由（2）可知， 是等腰三角形， 当时， ， 在中，， ， 解得，不能构成三角形，此种情况不存在； 当时， 在中，， ， 解得：； 当时， ， 在中，， ，解得：， 综上所述的度数为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，三角形外角性质等知识，根据等腰三角形的定义分情况讨论求解为解题关键． 30．（25-26八年级上·安徽六安·期中）两张直角三角形纸片如图1摆放，点D在上，，． (1)证明：． (2)如图2，分别作分别作与的平分线交于点F，若，求的度数； (3)如图3，点P，G分别在线段，上，连接，作的平分线交于点Q，若点H是线段上一点，连接，且．设，，，求，，之间的数量关系． 【答案】(1) 证明：， 又，， ， ； (2) (3) 【知识点】角平分线的有关计算、平行公理推论的应用、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，内错角相等两直线平行，直角三角形的两个锐角互余，角平分线的有关计算，平行公理推论的应用，两直线平行内错角相等，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角形内外角之间的有关计算是解题的关键． （1）由三角形的内角和定理可得，利用已知条件，及等式的性质可得，根据内错角相等两直线平行即可得证； （2）由直角三角形的两个锐角互余及已知条件可得，由与的平分线交于点可得，过作，由平行公理推论可得，由两直线平行内错角相等可得，，由即可得出答案； （3）设，则，，由（1）可得，利用平行线的性质可得，，由三角形外角的性质可得，，由、可得，利用等式的性质消去即可得出，，之间的数量关系． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 与的平分线交于点， ，， ， 如图，过作， 由（1）可得：， ， ，， ； （3）解：如图，当在线段上， 设，则，， 由（1）可得：， ，， ， ， ，，，的平分线交于点Q， ，， 由、可得： ， ，，之间的数量关系为：． 31．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）如图①，在中，，是上一点，且． (1)求证：． (2)如图②，若的平分线分别交于点，求证：． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2) 解：∵平分， ∴， 又∵，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、角的等量代换，以及三角形外角、等角的补角相等． （）先利用直角三角形，得到，再结合已知，替换后得出；最后根据三角形内角和，推出，证明； （）先根据角平分线定义，得到；再根据三角形外角性质，结合已知，得，根据等角的补角相等即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 32．（25-26七年级下·吉林长春·期末）在中，与的角平分线与相交于点P． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，延长至M，延长至N，与的角平分线相交于点Q，若． ①用含的代数式表示的大小为__________°； ②用含的代数式表示的大小为__________°； (3)如图3，在（2）的条件下，延长、交于点R．在中，除外，若一个内角是另一个内角的3倍，直接写出的大小． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）根据三角形内角和定理可得，进而得到；①②利用角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可； （3）如图：延长至D，利用角平分线的定义、三角形外角的性质可得，再结合，然后分和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，，点P是和的平分线的交点， ∴，， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴，， ①∵与的角平分线与相交于点P， ∴，， ∴， ∵， ∴． ②∵与的角平分线相交于点Q， ∴，， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图：延长至D， ∵为的外角的角平分线， ∴, ∵，, ∴, ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； 由（2）可知 ∵在中，除外，若一个内角是另一个内角的3倍， ∴①当时，即，解得：； ②当时，即，解得：； 综上所述，的度数是或． 33．（24-25七年级下·四川南充·阶段检测）如图（a）所示，将一把含角的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． (1)填空：______°，______° (2)如图（b）所示，现把三角板绕点B逆时针旋转，当，且点C恰好落在边上时，①_______，_______°：（结果用含n的代数式表示） ②若恰好是的倍，求n的值． (3)如图（a）所示放置的三角板，现将射线绕点B以的速度逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以的速度顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为． ①在旋转过程中，若射线与射线相交，设交点为P．当时，则______． ②在旋转过程中，是否存在？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)120，90 (2)①，；②36 (3)①30；②t的值为12或48． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了平行线的性质、邻补角的定义、三角形外角的性质、一元一次方程的应用等知识点，掌握平行线的性质定理并能熟练应用是解题的关键． （1）根据邻补角的定义和平行线的性质以及三角形的外角性质求解即可； （2）①根据两直线平行，内错角相等求出，再用三角形外角等于不相邻的两个内角和可得，根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后根据周角等于计算即可得到；②根据恰好是的倍列方程求解即可； （3）①画出图形，由角的和差和三角形的外角性质可得答案；②分两种情况，根据平行线的性质列方程可解得答案． 【详解】（1）解：∵且， ∴， 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：120，90． （2）解：①如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：，； ②当时，，解得：． ∴n的值是36． （3）解：①如图： 根据题意得：， ， ， 又∵， ． 故答案为：30； ②存在，理由如下： 如图： ∵， ∴， ∴，解得：． 如图： ∵， ∴， ∴，解得：． 综上所述，t的值为12或48． 34．（25-26七年级下·全国·单元测试）在锐角中，点是、的平分线的交点． (1)如图1，点是外角、的三等分线的交点，且，，若，则　 　，　 　； (2)如图2，锐角的外角的平分线与的延长线交于点，在中，如果有一个角是另一个角的倍，试求出的度数． 【答案】(1)； (2)或 【知识点】利用邻补角互补求角度、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据角平分线得出，，结合三角形的内角和定理，求出 由，，求出，根据三角形的内角和定理，计算，得出答案即可； （2）由（1）得，结合三角形的内角和定理，推出，根据补角得出，根据三角形外角的性质，得出，，根据角平分线得出，，推出，根据角平分线得出，根据“在中，如果有一个角是另一个角的倍”，分类讨论；①当时，则求解；当时，则求解；③当时，则求解；④当时，则求解；根据是锐角三角形进行取舍，综合得出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵点是、的平分线的交点， ∴，， ∴中， ； ∵，， ∴， ∴中，； 故答案为：；； （2）解：由（1）可得， ， ∴， ∵是的外角，是的外角， ∴，， 又∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴， 在中，如果有一个角是另一个角的倍，则 ①当时， ， 解得：； ②当时，， 解得：（与锐角不符）； ③当时，， 解得：（与锐角不符）； ④当时，， 解得：； 综上所述，锐角中的度数为或． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义、补角等知识，熟练掌握知识点推理、数形结合、分类讨论是解题的关键． 35．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵点P是和的平分线的交点， ∴， （2）解：∵外角，的角平分线交于点Q， ∴ ， ∴； （3）解：延长至F， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； ∵ ， ∴； 如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 【考点4】平行线与三角形角度综合（第36-41题） · 过拐点作平行线是常用辅助线 · 同旁内角互补列方程 · 三角板叠放注意特殊角 36．（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作交于M，交于N，若，则线段的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线的性质，由角平分线的定义和平行线的性质得，，再由等角对等边得，，进而得，即可求解． 【详解】解：∵、的平分线相交于点E， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 即． ∵， ∴， 故选：D． 37．（25-26七年级下·四川南充·期中）如图所示，与交于点，点在直线上，，，，下列四个结论，其中正确的结论有________． ①；②；③；④． 【答案】①②④ 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、根据平行线的性质求角的度数 【分析】由已知条件即可得出，从而判断①正确；作，结合平行线的性质即可判断②正确；设，，则，，作，结合平行线的性质即可判断③错误，④正确． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； 如图，作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； 设，，则，， 如图，作，则，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴，无法判断是否为，故③错误； ，故④正确； 综上所述，正确的有①②④． 38．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，直线，、分别为直线、上的点，为直线上方一点．若的角平分线与的角平分线交于点，的角平分线与的角平分线交于点，交于点，，，则______． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】过作，设，，根据角平分线的定义可得，，利用平行线的性质和三角形外角的性质可得，在中，利用外角性质可得，根据点位置（由在右侧推断在，右侧），可得，从而求出和，的值，最后利用角平分线和三角形内角和定理求． 【详解】解：如图，过作， 设，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， 设，则， ∵， ∴同理可得：， ∴，即， 在中，是外角， ∴，即， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在中，． 39．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，是的角平分线，，垂足为D，，则__________． 【答案】/58度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上性质． 根据垂直得出直角三角形，利用直角三角形的两个锐角互余得到角的度数关系，然后利用三角形的内角和定理得出，求出，然后利用角平分线的定义和直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 40．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如图①，已知，是直线、间的一点，于点，交于点． (1)的度数是___________． (2)如图②，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按每秒的速度返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为t秒． ①当时，求的度数： ②当时，则时间的值为___________． 【答案】(1) (2)①或；②秒或秒或秒 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、根据平行线的性质求角的度数、直角三角形的两个锐角互余 【分析】（1）延长交于点G，可得，再由三角形内角和定理解答即可； （1）①分两种情况讨论，根据题意画出图形，即可求解；②分三种情况讨论，根据题意画出图形，结合平行线的性质，即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长交于点G， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①第一种情况，如图， ∵，， ∴， ∴射线的运动时间为， ∴射线旋转的角度为， ∵， ∴； 第二种情况，如图， ∵，， ∴， ∴射线的运动时间为， ∴射线旋转的角度为， ∵， ∴； 综上所述，的度数为或； ②如图，射线从出发，运动至如图位置时，，与交于点H， 根据题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 射线垂直后，再顺时针向运动至如图位置时，， 根据题意得：，， ∵， ∴， ∴， 解得：； 射线从出发，运动至如图位置时，，此时垂直时，立刻按每秒的速度向运动， 根据题意得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，满足条件的t的值为秒或秒或秒． 【点睛】本题主要考查平行线性质，三角形内角和定理，合理添加辅助线和根据题意画出相应的图形是解决本题的关键． 41．（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图，分别是，上的点，为，之间的一点，且始终在直线的左侧，连接，． (1)若，则__________； (2)请判断之间的数量关系，并说明理由； (3)在，内部另作一条折线，且点在直线的右侧．若 ，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)解：，理由： 如图，过P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． (3)的度数为 【知识点】平行公理的应用、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的和差计算，平角定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）过P作，利用平行线的性质，进一步等量代换求解即可． （2）过P作，利用平行线的性质，进一步等量代换证明即可． （3）设，，则，，，同理，再列方程解答即可． 【详解】（1）解：如图，过P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）略 （3）解：设，，则，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 解得， ∴． 【考点5】三角形折叠与轴对称（第42-45题） · 折叠前后对应角相等 · 轴对称图形对应点连线被对称轴垂直平分 · 矩形折叠注意勾股定理 42．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，点分别是边上的定点，点P，Q分别是边上的动点，记，，当最小时，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形外角的定义及性质、平角的定义. 作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，由轴对称的性质可得，，，，当、、、在同一直线上时，最小，为，表示出，，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于， ， 由轴对称的性质可得：，，，， ∴， ∴当、、、在同一直线上时，最小，为， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 故选：C． 43．（25-26八年级上·江西上饶·期中）如图，在中，，，点为边上一点且不与两点重合，将沿翻折得到，直线与直线相交于点．若，当为等腰三角形时，______． 【答案】或或 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、等边对等角、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形，三角形外角性质，分四种情况讨论，分别画出图形，根据折叠的性质以及等腰三角形的性质解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠得，，， 当为等腰三角形时，分以下四种情况解答： ①当时，，如图， ∴， ∵， ∴，此时点和点重合，显然不符合题意； ②当时，，如图， ∵， ∴， ∴， ∴； ③当时，，如图， ∴， ∴， ∴； ④当点在线段上侧时，，，如图， 由折叠得，， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，或或， 故答案为：或或． 44．（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图，在中，，．若为射线上的动点，连接，将沿翻折后得到，连接．若为等边三角形或等腰直角三角形，则的度数为___________． 【答案】或或 【知识点】三角形折叠中的角度问题、等边对等角、等边三角形的性质 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形折叠中角度的计算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．分为等腰直角三角形和为等边三角形，再分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况进行讨论即可． 【详解】当为等腰直角三角形时， ①当点在线段上时：如图，则， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时，如图， 则：， ∵翻折， ∴， ∴； 当为等边三角形时，此时点在线段的延长线上，如图， 则， ∴； 综上：或或； 故答案为：或或． 45．（24-25八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，点C是线段上的一个动点，，E为线段上一点，若，则当最小时，与的面积之和为________． 【答案】17 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的判定与性质求解、根据矩形的性质与判定求线段长、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定、矩形的判定和性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，准确作出辅助线、构造平行四边形和矩形是解题的关键． 如图：过点E作，作点B关于直线l的对称点，则、，过点A作，则，且，连接，则四边形是平行四边形，总有，由两点之间线段最短可知：当点E在与直线l的交点处即点时，的值最小，从而的值最小； 此时，过点作的延长线于点F，则，将水平移动得到使其过，再通过矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质可得进一步求得，易得、，然后结合图形运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵点C是线段上的一个动点，，E为线段上一点，， ∴， 如图：过点E作，作点B关于直线l的对称点， ∴、， 如图：过点A作，则，且，连接，则四边形是平行四边形，总有， 由两点之间线段最短可知：当点E在与直线l的交点处即点时，的值最小，从而的值最小， 此时，过点作的延长线于点F，则， ∴四边形是矩形， ∴ ∴， ∴， ∴， 如图：将水平移动得到使其过，则，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∴当最小时，与的面积之和为与，即． 故答案为：17． 💯 课后巩固 复习建议 · 三边关系先判断最短两边之和 · 中线等分面积是常用结论 · 外角=不相邻两内角和 · 平行线拐点作辅助线 · 折叠问题对应角相等 【作业1】．（25-26八年级上·山东临沂·阶段检测）在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是（   ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质是解题的关键． 由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可得，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得即可判定④． 【详解】解：∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴ ， ∴，故①正确， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确． ∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴．故④正确． 综上正确的有：①②④． 故选D． 【作业2】．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，已知点，，，分别是线段，，，的中点．若的面积为3，则的面积为（     ）．    A．18 B．21 C．36 D．42 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，逐步推导各部分三角形面积之间的关系，进行求解． 【详解】解：连接、，如图所示，    ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴，， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴，， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴． 【作业3】．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形的性质 【分析】本题重点考查了三角形的外角的定义及性质和全等三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，全等三角形对应角相等，熟练掌握其性质是解题的关键． 利用三角形外角的性质可以得到是，，，四个角的和，另外根据已知条件，可以得到，，进行等量替换，可以得到为、之和，代入已知数，即可得到答案． 【详解】解：延长至，如下图所示， 由图可知为的外角，为的外角， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 故选：B． 【作业4】．（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，在第1个中，，；在边上任取一点，延长到点，使，连接，得到第2个；在边上任取一点，延长到点，使，得到第3个……按此作法继续下去，则第2025个三角形的底角度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角性质、规律型—图形的变化类等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 先根据等腰三角形的性质求得的度数，再根据三角形一个外角等于与其不相邻的两个内角和，分别求出的度数，找出规律即可得到第个三角形中以为顶点的底角度数． 【详解】解：在中， 是的外角， 同理得， 第个三角形中以为顶点的底角度数是 第2025个三角形的底角度数是：， 故选：B． 【作业5】．（25-26七年级下·重庆·期末）若a，b，c是的三条边长，则的化简结果为_______ 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算、三角形三边关系的应用 【分析】根据三角形的三边关系可得，再去绝对值 ，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵a，b，c是的三条边长， ∴， ∴ ． 【作业6】．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，点，分别在，上，，将沿折叠后，使点落在点处．若，则______． 【答案】60 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形折叠中的角度问题 【分析】本题主要考查了折叠问题以及平行线的性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 由由折叠的性质和平行线的性质即可解答题目． 【详解】解：，， ，， 由折叠可得，， ， 故答案为：60． 【作业7】．（25-26八年级上·广东广州·期中）将一副三角板按如图所示的方式放置．，，，F为与的交点．若，则______． 【答案】 【知识点】三角板中角度计算问题、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形内角和定理及其推论，正确理解和应用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．设交于点H，由，且，，，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，设交于点H， ∵，且， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【作业8】．（24-25七年级下·上海闵行·期中）在中，，点D是边上一点，将沿直线翻折，使点C落在直线上的点E处，如果是直角三角形，那么______°． 【答案】或或或 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题主要考查了三角形折叠中的角度问题，分图1，图2，图3，图4四种情况，根据折叠的性质和三角形内角和定理讨论求解即可． 【详解】解：如图1所示，当时，则， ∵， ∴； 如图2所示，当时，则， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图3所示，当时，则； 如图4所示，当时，则， 由折叠的性质可得， ∴； 综上所述，的度数为或或或； 故答案为：或或或． 【作业9】．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线，物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大，则增加___________． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】起吊物体前，设，求出，增大，再求出此时，即可得到答案． 【详解】解：起吊物体前，设， ，支撑臂为的平分线， ， ， 物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，， ， 增大， ， ， 故增加． 【作业10】．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，的面积为，D、E分别是，上的点，且，，连接，交于点F，连接并延长交于点H，则四边形的面积为_______________． 【答案】 【知识点】代入消元法、根据三角形中线求面积 【分析】根据，利用等底同高三角形面积相等，可得，再由等高三角形面积比等于底之比，得到，设，，用、表示图中各个小三角形面积，利用面积比例关系推导出y与x的数量关系，利用的面积为列方程求出x的值，接着利用面积关系得到，求出，最后将与相加即可得到四边形的面积． 【详解】解：， ，， ，即， ， ， 设，，则，， ，， ，， ，即，化简得， ， ，把代入得，解得， ， ，， ，即， ， ， ， 四边形的面积． 【作业11】．（25-26八年级上·广东汕头·阶段检测）如图1、图2，在中，，点在边所在直线上，作，垂足为点，为的角平分线，的平分线交直线于点． 特例感悟：（1）如图1，延长交的延长线于点，若， ①_____；②请说明． 深入探究： （2）如图2，若，点在线段上，的延长线与的延长线交于点，请用含的代数式表示．并说明理由； 拓展延伸：（3）当点在射线上移动时，若射线与射线相交，设交点为，直接写出与的关系式． 【答案】（1）①； ②由①得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）； （3）或 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用、多边形内角和问题 【分析】（1）①根据平行线的性质和角平分线的定义可得答案； ②根据平行线的性质得＝＝，再根据垂直的定义和角平分线的定义可得结论； （2）和中，由八字模型可得：，再利用四边形内角和整理可得答案； （3）分情况讨论，分别画出对应图形，再根据四边形内角和及三角形内角和定理整理即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， 故答案为：； ②略 （2）解：和中，由八字模型可得， ， ． 故答案为：； （3）解：①如图，当点在延长线上时，    由八字模型可得，和中， ， ； ②如图，当点在线段上时，    由四边形的内角和得， ； ③如图，当点在延长线上时，    由八字模型可得，， ∴ ； 综上分析可知，或． 【点睛】本题主要考查四边形内角和及三角形的内角和定理和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题关键． 【作业12】．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，直线，直线与直线分别交于点E，F，的平分线交于点P． (1)若，求的大小． (2)点G是射线上一个动点（不与点F，P重合），的平分线交直线于点H（点H在线段上），过点H作交直线于点N． ①当点G在线段上时，依题意补全图形，用等式表示和之间的数量关系． ②当点G在线段的延长线上时，用等式表示和之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟悉几何图形的性质是解题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补以及角平分线的性质可得到结果； （2）①先根据情况把图画出来，根据两直线平行内错角相等以及角平分线的性质可得到结果；②先根据情况把图画出来，根据两直线平行内错角相等以及角平分线的性质可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵平分， ∴． ∴． ∴． （2）解：①当点G在线段上时，图形如图所示． ∵平分， ∴， ∵平分， ∴设． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 即． ②当点G在线段的延长线上时，图形如图所示． ∵平分， ∴， ∵平分， ∴设． ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 【作业13】．（25-26八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，是的角平分线，点在延长线上，点在边上，，，交于点， (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，求证：平分； (3)如图3，过点作，垂足为，若，，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； (2) 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即平分； (3)． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】（1）利用三角形的外角性质结合已知求得，再利用可证明，即可推出； （2）由，推出，，得到，再根据可证明，推出，然后证明，推出，即可证明平分； （3）作于点，利用角平分线的性质求得，再求得，，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：作于点， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴，即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形面积公式，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 三角形 期中复习 满分压轴讲义 （知识梳理典例练习）2026-年人教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握三角形三边关系，能判断三条线段能否构成三角形 · 理解三角形的中线、高、角平分线概念，会求面积 · 熟练运用三角形内角和定理与外角性质求角度 · 综合平行线性质解决三角形角度问题 · 掌握三角形折叠与轴对称的角度计算 📚 知识梳理 ☆ 1.三角形的边与三边关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 判断三条线段能否构成三角形：最短两边之和>最长边 等腰三角形需分类讨论腰与底边 三角形具有稳定性 概念辨析例题：已知三角形两边长为3和7，第三边为整数，求第三边可能值。 答案：5,6,7,8,9 解析：7-3<第三边<7+3，即4<x<10，整数x=5,6,7,8,9。 ☆ 2.三角形的中线、高、角平分线与面积 中线：顶点到对边中点连线，三条中线交于重心 高：顶点到对边（或延长线）的垂线段 角平分线：内角平分线与对边交点连线 中线将三角形分成面积相等的两部分 概念辨析例题：△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABC面积为20，求△ABD面积。 答案：10 解析：中线等分面积，△ABD=△ABC=10。 ☆ 3.三角形内角和与外角性质 三角形内角和=180° 直角三角形两锐角互余 外角等于不相邻两内角之和 外角大于任一不相邻内角 概念辨析例题：△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，求∠C和∠C的外角。 答案：∠C=70°，外角=110° 解析：∠C=180°-50°-60°=70°，外角=180°-70°=110°=∠A+∠B。 ☆ 4.平行线与三角形角度综合 两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 结合三角形内角和定理求角度 三角板叠放问题常用平行线性质 折叠问题注意对应角相等 概念辨析例题：AB∥CD，∠A=40°，∠C=30°，求∠AEC。 答案：70° 解析：过E作EF∥AB，则∠AEF=∠A=40°，∠CEF=∠C=30°，∠AEC=70°。 📋 知识总结表 概念 性质/公式 注意事项 三边关系 a+b>c，|a-b|<c 判断需最短两边之和 中线 顶点到对边中点 等分面积 高 垂线段 钝角三角形高在外部 内角和 180° 直角三角形两锐角互余 外角 =不相邻两内角和 大于任一不相邻内角 平行线 同位/内错相等，同旁互补 注意截线 ⚠️ 核心考点 【考点1】三角形的边与三边关系（第1-4题） · 判断三边：最短两边之和>最长边 · 等腰三角形分类讨论腰与底边 · 绝对值化简结合三边关系 1．（25-26七年级下·重庆北碚·期末）已知，，为三角形的三边长，且满足，则以，为边长的等腰三角形的周长为（     ） A． B． C． D．或 2．（24-25九年级上·全国·期末）从，，，，中任选个数，使得所选的个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的的最小值是_____． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）等腰三角形一腰上的中线把周长分为15和12两部分，求该三角形三边的长． 4．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于、的方程组． (1)求方程组的解（用含的代数式表示）； (2)若方程组的解满足条件，求的取值范围； (3)若、是等腰三角形的两条边，且等腰三角形的周长为9，求的值． 【考点2】三角形的中线、高、角平分线与面积（第5-14题） · 中线等分面积，重心分中线2:1 · 高的位置：锐角三角形内、直角三角形直角边、钝角三角形外 · 角平分线分对边成比例 5．（25-26八年级上·广东广州·期末）如图，在中，经过的重心交于点，若的面积为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，中，，下列说法不正确的是（   ） A．是的中线 B．若，则 C．若，则互相重合 D． 7．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段，，，的中点．若的面积为2，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．24 D．28 8．（25-26八年级上·安徽·期末）如图，在中，已知D，E，F分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为6，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．24 9．（24-25八年级上·四川德阳·期中）设的面积为1．如图①，，分别是，的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是，的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是，的4等分点，，相交于点，与的面积差记为，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）如图，在中，点是边上一点，，点D、F分别是、的中点，若，则______________． 11．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，在中，，，，，则长为________． 12．（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）如图，三角形的面积为，，，则图中阴影部分的面积为______． 13．（25-26七年级下·江苏南通·期末）【课本重现】 三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心．反之，连接三角形的任一顶点与重心，将该线段延长并与顶点的对边相交，所得交点即为这条对边的中点．如图①，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平平衡状态． 【解决问题】 (1)利用图①，求的值； (2)如图②，的重心为点，的面积为，点是的中点，连接交的延长线于点，求的面积； (3)如图③，在（2）的条件下，点为线段上一点，连接并延长交于点，若是的中点，求的值． 14．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图1，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，这就是重心的物理性质．受此启发，数学兴趣小组对三角形重心的几何性质展开探究． 【观察发现】 (1)如图2，小组成员在上画出中线，可以得到 （填“”“”或“”）； 【初步探究】 (2)如图3，、、是的三条中线，三者相交于点，猜想与的数量关系并证明你的结论； 【拓展应用】 (3)如图4，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点，．若，，，求四边形的面积． 【考点3】三角形内角和与外角性质（第15-35题） · 内角和180°是核心 · 外角=不相邻两内角和 · 角平分线+内角和模型：∠BIC=90°+∠A 15．（25-26七年级下·重庆开州·期中）如图，点、点分别是的边AB、AC上的点，连接并延长到，使得，若，比的余角小，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线．下列结论： ①； ②； ③平分； ④； ⑤．其中结论正确的有几个（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 16．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，平分交的延长线于点，平分交的延长线于点，与交于点，与互余，下列说法：①；②；③若，则；④若，则，正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 17．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列4个结论一定正确的有（   ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 18．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）下列四个条件：①在中，；②的三个内角度数之比是；③在中，；④的三个外角的度数之比是其中能确定是直角三角形的是（） A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④ 19．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，的两条内角平分线相交于点，两条外角平分线交于点．已知，则（    ） A． B． C． D． 20．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，在中，，，分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，垂足为点O．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 21．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点，的对应点分别是点），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的值为（    ） ①；②；③；④ A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④ 22．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在中，平分，平分，，则________度． 23．（25-26八年级上·山东滨州·阶段检测）如图，是的外角，平分，平分，且，相交于点D．若，则的度数为______． 24．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，是角平分线，则图中的等腰三角形共有_______个. 25．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，，的平分线交于点O，． （1）的度数为_____． （2）若CD平分外角，交BO的延长线于点D，点E是的两外角平分线的交点，则的度数为_____． 26．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，分别是的内角、的平分线，两外角、的平分线交于点， (1)若，求的度数． (2)若用含有的式子表示，则______，并给予证明． 27．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知，、交于，． (1)如图1，若，求的值； (2)如图2，若，平分，求的值； (3)如图3，若，平分，平分，探究与的数量关系，并证明你的结论． 28．（25-26七年级下·广东广州·期中）【学科融合】物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫作入射角，反射光线与法线的夹角r叫作反射角（如图①）由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角，这就是光的反射定律． 【问题解决】 （i）如图②，有两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得它们的余角也相等，即，； （ii）如图③，图④，两块平面镜，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线． 【数学推理】 (1)如图②，在（i）的条件下，证明：． 【尝试探究】 (2)（多选题）下列关系式正确的是（    ） A．在图②中， B．在图②中， C．在图③中， D．在图④中， E．在图④中， (3)如图③，光线与相交于点E，则______（用含的式子表示）． 29．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，已知等腰中，，，交于点，平分，与交于点，与交于点． (1)当时，求的度数； (2)猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)当是等腰三角形时，求的度数． 30．（25-26八年级上·安徽六安·期中）两张直角三角形纸片如图1摆放，点D在上，，． (1)证明：． (2)如图2，分别作分别作与的平分线交于点F，若，求的度数； (3)如图3，点P，G分别在线段，上，连接，作的平分线交于点Q，若点H是线段上一点，连接，且．设，，，求，，之间的数量关系． 31．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）如图①，在中，，是上一点，且． (1)求证：． (2)如图②，若的平分线分别交于点，求证：． 32．（25-26七年级下·吉林长春·期末）在中，与的角平分线与相交于点P． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，延长至M，延长至N，与的角平分线相交于点Q，若． ①用含的代数式表示的大小为__________°； ②用含的代数式表示的大小为__________°； (3)如图3，在（2）的条件下，延长、交于点R．在中，除外，若一个内角是另一个内角的3倍，直接写出的大小． 33．（24-25七年级下·四川南充·阶段检测）如图（a）所示，将一把含角的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． (1)填空：______°，______° (2)如图（b）所示，现把三角板绕点B逆时针旋转，当，且点C恰好落在边上时，①_______，_______°：（结果用含n的代数式表示） ②若恰好是的倍，求n的值． (3)如图（a）所示放置的三角板，现将射线绕点B以的速度逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以的速度顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为． ①在旋转过程中，若射线与射线相交，设交点为P．当时，则______． ②在旋转过程中，是否存在？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 34．（25-26七年级下·全国·单元测试）在锐角中，点是、的平分线的交点． (1)如图1，点是外角、的三等分线的交点，且，，若，则　 　，　 　； (2)如图2，锐角的外角的平分线与的延长线交于点，在中，如果有一个角是另一个角的倍，试求出的度数． 35．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出的度数． 【考点4】平行线与三角形角度综合（第36-41题） · 过拐点作平行线是常用辅助线 · 同旁内角互补列方程 · 三角板叠放注意特殊角 36．（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作交于M，交于N，若，则线段的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 37．（25-26七年级下·四川南充·期中）如图所示，与交于点，点在直线上，，，，下列四个结论，其中正确的结论有________． ①；②；③；④． 38．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，直线，、分别为直线、上的点，为直线上方一点．若的角平分线与的角平分线交于点，的角平分线与的角平分线交于点，交于点，，，则______． 39．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，是的角平分线，，垂足为D，，则__________． 40．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如图①，已知，是直线、间的一点，于点，交于点． (1)的度数是___________． (2)如图②，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按每秒的速度返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为t秒． ①当时，求的度数： ②当时，则时间的值为___________． 41．（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图，分别是，上的点，为，之间的一点，且始终在直线的左侧，连接，． (1)若，则__________； (2)请判断之间的数量关系，并说明理由； (3)在，内部另作一条折线，且点在直线的右侧．若 ，请直接写出的度数． 【考点5】三角形折叠与轴对称（第42-45题） · 折叠前后对应角相等 · 轴对称图形对应点连线被对称轴垂直平分 · 矩形折叠注意勾股定理 42．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，点分别是边上的定点，点P，Q分别是边上的动点，记，，当最小时，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 43．（25-26八年级上·江西上饶·期中）如图，在中，，，点为边上一点且不与两点重合，将沿翻折得到，直线与直线相交于点．若，当为等腰三角形时，______． 44．（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图，在中，，．若为射线上的动点，连接，将沿翻折后得到，连接．若为等边三角形或等腰直角三角形，则的度数为___________． 45．（24-25八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，点C是线段上的一个动点，，E为线段上一点，若，则当最小时，与的面积之和为________． 💯 课后巩固 复习建议 · 三边关系先判断最短两边之和 · 中线等分面积是常用结论 · 外角=不相邻两内角和 · 平行线拐点作辅助线 · 折叠问题对应角相等 【作业1】．（25-26八年级上·山东临沂·阶段检测）在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是（   ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【作业2】．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，已知点，，，分别是线段，，，的中点．若的面积为3，则的面积为（     ）．    A．18 B．21 C．36 D．42 【作业3】．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【作业4】．（25-26八年级上·山东济宁·期中）如图，在第1个中，，；在边上任取一点，延长到点，使，连接，得到第2个；在边上任取一点，延长到点，使，得到第3个……按此作法继续下去，则第2025个三角形的底角度数是（   ） A． B． C． D． 【作业5】．（25-26七年级下·重庆·期末）若a，b，c是的三条边长，则的化简结果为_______ 【作业6】．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，点，分别在，上，，将沿折叠后，使点落在点处．若，则______． 【作业7】．（25-26八年级上·广东广州·期中）将一副三角板按如图所示的方式放置．，，，F为与的交点．若，则______． 【作业8】．（24-25七年级下·上海闵行·期中）在中，，点D是边上一点，将沿直线翻折，使点C落在直线上的点E处，如果是直角三角形，那么______°． 【作业9】．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线，物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并缩短，此时，增大，则增加___________． 【作业10】．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，的面积为，D、E分别是，上的点，且，，连接，交于点F，连接并延长交于点H，则四边形的面积为_______________． 【作业11】．（25-26八年级上·广东汕头·阶段检测）如图1、图2，在中，，点在边所在直线上，作，垂足为点，为的角平分线，的平分线交直线于点． 特例感悟：（1）如图1，延长交的延长线于点，若， ①_____；②请说明． 深入探究： （2）如图2，若，点在线段上，的延长线与的延长线交于点，请用含的代数式表示．并说明理由； 拓展延伸：（3）当点在射线上移动时，若射线与射线相交，设交点为，直接写出与的关系式． 【作业12】．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，直线，直线与直线分别交于点E，F，的平分线交于点P． (1)若，求的大小． (2)点G是射线上一个动点（不与点F，P重合），的平分线交直线于点H（点H在线段上），过点H作交直线于点N． ①当点G在线段上时，依题意补全图形，用等式表示和之间的数量关系． ②当点G在线段的延长线上时，用等式表示和之间的数量关系． 【作业13】．（25-26八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，是的角平分线，点在延长线上，点在边上，，，交于点， (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，求证：平分； (3)如图3，过点作，垂足为，若，，，求的长． 第27章·反比例函数·期中复习·培优提高讲义 （三角形+全等三角形+轴对称）·2026人教版八年级数学上册 1 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $