1.1 多项式的因式分解 课件（1课时）2026-2027学年湘教版数学八年级上册

湘教版 数学 八年级上册 第1章　因式分解 1.1 多项式的因式分解 把一个多项式写成几个整式的积 授课班级：八（　）班　　授课教师：________ 课时：1课时 a2 ab ab ab b2 b2 a b b a b a2 + 3ab + 2b2 = (a + b)(a + 2b) 同一个长方形，面积的两种写法 【封面】湘教版《数学》八年级上册（2025年秋季版）第1章“因式分解”第1节。本课1课时。 右侧图形是本课第8页要用的“拼图”：1个a×a正方形、3个a×b长方形、2个b×b正方形拼成一个长方形，面积既是 a²+3ab+2b²，也是 (a+b)(a+2b)。上课前可以先让学生猜：右边这个图想说什么？ 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）逐一展开核对，记录见 build/verify.txt。 1 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.1 多项式的因式分解 2 学习目标与评价任务 学习目标 评价任务 达成标准 1. 说出因式分解的意义，能判断一个变形是不是因式分解 例1、变式1；检测第1题 能说出判断理由；判断正确率 ≥ 80% 2. 能用整式乘法检验因式分解的结果，并能根据结果求待定系数 例2、例3、变式2、变式3；检测第2、3题 写出“展开—比较”的完整过程，结果正确 3. 能用拼图说明因式分解的几何意义，能用给定的分解结果解决整除和简便计算问题 拼图活动、例4；检测第4、5、6题 拼法正确并写出等式；说理有依据 重点 因式分解的意义；判断一个变形是否为因式分解，并会用整式乘法检验。 难点 理解因式分解与整式乘法的关系：同一个等式，变形方向相反。 【学习目标与评价任务】三条目标都写成可观察、可检测的行为，每条对应本课的具体评价任务和当堂检测题号，课末用第25页评分标准和第28页量表对照达成情况。 重点：因式分解的意义；判断与检验。难点：理解因式分解与整式乘法的关系（同一等式、方向相反）。 2 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.1 多项式的因式分解 3 一、情境导入 情境导入①：两块菜地一共多大？ 番茄 辣椒 7.2 m 2.8 m 3.6 m 图按比例绘制（1 m ≈ 0.55 英寸） 你能用两种方法算出总面积吗？ 方法1：3.6 × 7.2 + 3.6 × 2.8 　　 = 25.92 + 10.08 = 36（m²） 方法2：3.6 × (7.2 + 2.8) 　　 = 3.6 × 10 = 36（m²） 想一想 方法2为什么算得快？“几个积的和”变成了什么？ 【情境导入①】学校劳动实践基地有两块相邻的长方形菜地，宽都是3.6 m，长分别是7.2 m和2.8 m（数据为课堂情境设定，图按比例绘制）。 先让学生独立算，再比较两种算法：方法1先乘后加，方法2先把7.2和2.8加起来凑成10，再乘。 追问：方法2为什么简单？——它把“几个积的和”变成了“一个积”。这就是本章要学的“因式分解”的思想。不要在这里讲“提公因式法”，只点出“和变成积”。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）逐一展开核对，记录见 build/verify.txt。 3 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.1 多项式的因式分解 4 一、情境导入 情境导入②：不用算出结果，能判断吗？ 993 − 99 能被 100 整除吗？ 方法一：直接算 993 = 970299 970299 − 99 = 970200 970200 = 100 × 9702　✓ 方法二：看结构 如果能把 x3 − x 写成几个整式的积…… 那么把 x = 99 代进去， 就能直接“看出”它是不是 100 的倍数。 带着这个问题学习本节，答案在例4揭晓。 【情境导入②】先不讲方法，让学生用计算器或笔算验证：99³ = 970299，970299 − 99 = 970200 = 100 × 9702，所以能被100整除。 追问：如果把99换成999、9999，还要一个个去算吗？能不能“看出”它是100的倍数？——如果能把 x³ − x 写成几个整式的积，问题就简单了。这个问题留到例4（第19页）解决，前后呼应。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）逐一展开核对，记录见 build/verify.txt。 4 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.1 多项式的因式分解 5 二、概念探究 旧知回顾：整式乘法（积 → 和） 整式的积 计算结果（多项式） m(a + b + c) = ma + mb + mc (a + b)(a − b) = a2 − b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (x + 2)(x + 3) = x2 + 5x + 6 x(x − 1) = x2 − x 观察 左边都是 几个整式的“积” 右边都是 一个多项式（“和”） 整式乘法：积 → 和 【旧知回顾】七年级学过的整式乘法：单项式乘多项式、平方差公式、完全平方公式、多项式乘多项式。学生口答，教师点击后逐行出示右列结果（结果列为橙色）。 强调：这些都是把“积”化成“和”。为下一页“反过来看”做准备。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）逐一展开核对，记录见 build/verify.txt。 5 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.1 多项式的因式分解 6 二、概念探究 探究：把等式“反过来”读 积的形式 和的形式（多项式） (x + 2)(x + 3) x2 + 5x + 6 (a + b)(a − b) a2 − b2 m(a + b + c) ma + mb + mc 整式乘法 → ← 这是什么变形？ 议一议：从右往左的变形有什么共同特点？（看左边 · 看右边 · 看两边关系） 【概念探究：反过来看】同一个等式，从左往右读是整式乘法，从右往左读是把一个多项式写成了积。 提问：从右往左的变形有什么共同特点？ 预设：左边是一个多项式；右边是几个整式相乘的形式；两边相等。 这三点就是下一页定义中的关键词。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）逐一展开核对，记录见 build/verify.txt。 6 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.1 多项式的因式分解 7 二、概念探究 因式分解的意义 定义　一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式。 举例：认识“因式” x2 − 4 = (x + 2)(x − 2) x + 2 和 x − 2 都是 x2 − 4 的因式。 因式分解的结果要写成积的形式。 类比：数的分解 12 = 22 × 3 把一个数写成几个因数的积 x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) 把一个多项式写成几个整式的积 【概念】定义采用新教材表述：“一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式。”【请教师核对：与课本第1.1节原文逐字比对】 类比数的分解：12 = 2² × 3 是把一个数写成几个因数的积；因式分解是把一个多项式写成几个整式（因式）的积。 “因式”的说明为教师讲解，不是课本原文。 7 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.1 多项式的因式分解 8 二、概念探究 几何直观：拼一拼，算一算 学具卡片 a2 1 张 ab ab ab 3 张 b2 b2 2 张 a2 ab ab ab b2 b2 a b b a b 长 a + 2b ，宽 a + b 各块面积之和：a2 + 3ab + 2b2　　长 × 宽：(a + b)(a + 2b) 所以　a2 + 3ab + 2b2 = (a + b)(a + 2b)　——和变成了积 【几何直观】学具：每组1张a×a正方形卡片（蓝）、3张a×b长方形卡片（橙）、2张b×b正方形卡片（绿）。 让学生拼成一个长方形（不重叠、无空隙）。用两种方法表示面积：各块面积之和 a² + 3ab + 2b²；长×宽 (a + b)(a + 2b)。 结论：因式分解可以看成把“几块面积的和”重新拼成“一个长方形的长×宽”。图形按 a : b = 1.9 : 0.8 绘制，未拉伸。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）逐一展开核对，记录见 build/verify.txt。 8 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.1 多项式的因式分解 9 二、概念探究 理解要点：四看 ① 看对象 左边是 一个多项式。 单项式本身已是积，不谈分解。 ② 看结果 右边是 几个整式的积。 最后一步运算必须是乘法。 ③ 看彻底 每个因式 都不能再分解。 方法在1.2、1.3学习。 ④ 看恒等 左右两边 必须相等。 可以用整式乘法检验。 口诀：左边多项式，右边积的形，分到不能分，两边要相等。 【理解要点】判断一个变形是不是因式分解，抓住四点：对象、结果、彻底、恒等。 “彻底”这一点本节只要求能发现“还能分解”，具体怎么分解留到1.2、1.3学习。 单项式本身就是数与字母的积，因此不讨论单项式的因式分解。 9 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.1 多项式的因式分解 10 三、例题精讲与变式 例1　下列从左到右的变形，哪些是因式分解？ (1)　x2 − 4 = (x + 2)(x − 2) (2)　(x + 1)(x − 1) = x2 − 1 (3)　x2 − 4x + 5 = x(x − 4) + 5 (4)　x2 + x = x2(1 + 1/x) (5)　2ab = 2 · a · b (6)　a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 判断三步 ① 左边是不是多项式？　② 右边是不是几个整式的积？　③ 两边是否相等？ 先独立判断，再和同桌说一说理由（2分钟）。 【例1】学生独立判断2分钟，同桌交流理由。教师巡视，重点看第(3)(4)(5)题。 提示判断三步：看左边是不是多项式 → 看右边是不是积（整式的积） → 看两边是否相等。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）逐一展开核对，记录见 build/verify.txt。 10 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.1 多项式的因式分解 11 三、例题精讲与变式 例1　解答 题号 变形 是否 理由 (1) x2 − 4 = (x + 2)(x − 2) 是 左边是多项式，右边是整式的积，两边相等 (2) (x + 1)(x − 1) = x2 − 1 不是 把积化成了和，是整式乘法 (3) x2 − 4x + 5 = x(x − 4) + 5 不是 右边最后一步是加法，不是积 (4) x2 + x = x2(1 + 1/x) 不是 因式 1 + 1/x 不是整式 (5) 2ab = 2 · a · b 不是 左边是单项式，不是多项式 (6) a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 是 (a − b)2 = (a − b)(a − b)，是积，且两边相等 结论：(1)(6) 是因式分解。关键看“结果是不是整式的积”。 【例1 解答】逐题追问“为什么”。 (2) 是整式乘法，方向反了；(3) 右边最后一步是加法，结果不是积；(4) 因式 1 + 1/x 不是整式；(5) 左边是单项式；(6) (a − b)² 就是 (a − b)(a − b)，是积，并且两边相等，是因式分解。 结论：(1)(6) 是因式分解。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）逐一展开核对，记录见 build/verify.txt。 11 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.1 多项式的因式分解 12 三、例题精讲与变式 变式1　下列变形中，属于因式分解的是（　　） A.　a(a + 1) = a2 + a B.　a2 + 2a + 1 = a(a + 2) + 1 C.　m2 − 9 = (m + 3)(m − 3) D.　x2 − x − 2 = x(x − 1) − 2 参考答案：C A：积 → 和，是整式乘法 B：右边最后一步是加法，不是积 C：左边多项式，右边积，展开相等 ✓ D：右边最后一步是减法，不是积 手势作答：举 1~4 根手指代表 A~D，全班同时亮出。 【变式1】全班用手势（举1~4根手指）同时作答，教师即时统计正确率，低于80%则回到第9页“四看”再讲一遍。 答案：C。A 是整式乘法；B、D 右边最后一步是减法或加法，不是积。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）逐一展开核对，记录见 build/verify.txt。 12 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.1 多项式的因式分解 13 三、例题精讲与变式 例2　判断下列因式分解是否正确，并说明理由 (1)　x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) (2)　2x2 − 8 = 2(x2 − 4) (3)　x2 − 3x − 4 = (x + 1)(x − 4) (4)　a2 + 4 = (a + 2)2 方法：展开比较 ① 把右边用整式乘法展开； ② 看展开结果是否等于左边； ③ 看每个因式能否继续分解。 示范　第(1)题 解：(x − 2)(x − 3) = x2 − 3x − 2x + 6 = x2 − 5x + 6，等于左边； x − 2、x − 3 都不能再分解，所以分解正确。 【例2】方法：把右边用整式乘法展开，看是否等于左边；再看每个因式能否继续分解。 先示范第(1)题，板演完整过程，强调书写格式：写出展开的每一步，最后写结论。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）逐一展开核对，记录见 build/verify.txt。 13 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.1 多项式的因式分解 14 三、例题精讲与变式 例2　解答（2）（3）（4） (2) 2(x2 − 4) = 2x2 − 8，两边相等； 但 x2 − 4 = (x + 2)(x − 2)，还能继续分解。 分解不彻底，应为 2x2 − 8 = 2(x + 2)(x − 2)。 不彻底 (3) (x + 1)(x − 4) = x2 − 4x + x − 4 = x2 − 3x − 4，等于左边； x + 1、x − 4 不能再分解。 正确 (4) (a + 2)2 = a2 + 4a + 4 ≠ a2 + 4，两边不相等。 错误 提醒：(a + 2)2 ≠ a2 + 22，完全平方展开不能漏掉中间项。 【例2 解答】(2) 两边相等，但 x² − 4 还能写成 (x + 2)(x − 2)，分解不彻底；(3) 展开相等，正确；(4) (a + 2)² = a² + 4a + 4 ≠ a² + 4，错误。 第(2)题可请学生上台写出正确结果，第(4)题提醒常见错误“(a + b)² = a² + b²”。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）逐一展开核对，记录见 build/verify.txt。 14 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.1 多项式的因式分解 15 三、例题精讲与变式 变式2　用整式乘法检验下列因式分解 题号 因式分解 检验过程（参考答案） (1) 6x2 + x − 2 = (2x − 1)(3x + 2) (2x − 1)(3x + 2) = 6x2 + 4x − 3x − 2 = 6x2 + x − 2　✓ (2) x3 − x = x(x + 1)(x − 1) x(x + 1)(x − 1) = x(x2 − 1) = x3 − x　✓ (3) x2 + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1) (x + 3)(x − 1) = x2 − x + 3x − 3 = x2 + 2x − 3　✓ 小技巧：代值检验（只能“查错”） 取 x = 2：左边 6 × 4 + 2 − 2 = 24，右边 (2 × 2 − 1)(3 × 2 + 2) = 3 × 8 = 24。 代值不相等，一定错；代值相等，还要展开才能确认正确。 【变式2】三题全部正确。学生两人一组，一人展开、一人核对。 代值检验：取 x = 2，左边 6×4 + 2 − 2 = 24，右边 (2×2 − 1)(3×2 + 2) = 3×8 = 24。代值相等只说明“可能对”，不能证明一定对；代值不相等就一定错。证明要靠展开。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）逐一展开核对，记录见 build/verify.txt。 15 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.1 多项式的因式分解 16 三、例题精讲与变式 议一议：因式分解与整式乘法有什么关系？ x2 − 4 和（多项式） (x + 2)(x − 2) 积（整式相乘） 因式分解 整式乘法 同一个等式 两种变形的左右两边是同一个等式。 方向相反 整式乘法：积 → 和；因式分解：和 → 积。 可以检验 因式分解的结果，用整式乘法展开来检验。 【议一议】因式分解与整式乘法的关系。 同一个等式 x² − 4 = (x + 2)(x − 2)：从右往左是整式乘法，是一种运算；从左往右是因式分解，是一种恒等变形。两者方向相反，所以因式分解的结果可以用整式乘法检验。 说明：不少教辅说“互为逆运算”，表述不严谨，课上用“方向相反的变形”。【请教师核对：课本“议一议”的表述】 16 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.1 多项式的因式分解 17 三、例题精讲与变式 例3　已知因式分解的结果，求字母的值 若多项式 x2 + mx − 6 因式分解的结果是 (x + 2)(x − 3)，求 m 的值。 第1步　展开 (x + 2)(x − 3) = x2 − 3x + 2x − 6 = x2 − x − 6 第2步　对齐 x2 + mx − 6 = x2 − x − 6 第3步　比较系数 一次项系数相等：m = −1 方法：展开 → 对齐 → 比较对应项系数。　易错：−3x + 2x = −x，不是 x。 【例3】待定系数：先展开已知的积，再与原多项式对齐，比较对应项的系数。 (x + 2)(x − 3) = x² − 3x + 2x − 6 = x² − x − 6，与 x² + mx − 6 比较一次项系数，得 m = −1。 常见错误：展开时把 2x − 3x 算成 x，符号出错。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）逐一展开核对，记录见 build/verify.txt。 17 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.1 多项式的因式分解 18 三、例题精讲与变式 变式3　一题两法 已知 x2 + ax + b = (x + 1)(x − 4)，求 a、b 及 a + b 的值。 法一　展开比较 (x + 1)(x − 4) = x2 − 4x + x − 4 　　　　　　 = x2 − 3x − 4 比较系数：a = −3，b = −4 a + b = −7 法二　代值（等式对任意 x 成立） 取 x = 0：b = (0 + 1)(0 − 4) = −4 取 x = 1：1 + a + b = (1 + 1)(1 − 4) = −6 所以 a + b = −7，a = −3 两种方法结果一致，可以互相检验。 【变式3】一题两法。法一展开比较；法二代值：因为等式对所有 x 都成立，可以取 x = 0、x = 1 代入。 x = 0：b = (0 + 1)(0 − 4) = −4；x = 1：1 + a + b = (1 + 1)(1 − 4) = −6，所以 a + b = −7，a = −3。 两种方法结果一致，可以互相检验。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）逐一展开核对，记录见 build/verify.txt。 18 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.1 多项式的因式分解 19 三、例题精讲与变式 例4　回到问题：用因式分解“看出”答案 导入②　99³ − 99 能被 100 整除吗？ 已知 x3 − x = x(x + 1)(x − 1)（变式2已检验） 令 x = 99： 993 − 99 = 99 × (99 + 1) × (99 − 1) 　　　　 = 99 × 100 × 98 所以 993 − 99 能被 100 整除。 导入①　菜地面积 3.6 × 7.2 + 3.6 × 2.8 = 3.6 × (7.2 + 2.8) = 3.6 × 10 = 36（m²） 依据：ma + mb = m(a + b) ——下节课 1.2 提公因式法 追问：99³ − 99 还能被哪些数整除？ 【例4 前后呼应】回到导入②：利用 x³ − x = x(x + 1)(x − 1)（变式2已检验），令 x = 99，得 99³ − 99 = 99 × 100 × 98，所以能被100整除（同时也能被98、99整除）。 导入①的菜地问题：3.6 × 7.2 + 3.6 × 2.8 = 3.6 × (7.2 + 2.8)，用的是 ma + mb = m(a + b)，下节课“提公因式法”专门学习。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）逐一展开核对，记录见 build/verify.txt。 19 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.1 多项式的因式分解 20 四、拓展与活动 拓展：n³ − n 一定是 6 的倍数吗？ n 2 3 4 5 6 n³ − n 6 24 60 120 210 (n − 1) · n · (n + 1) 1 × 2 × 3 2 × 3 × 4 3 × 4 × 5 4 × 5 × 6 5 × 6 × 7 ÷ 6 1 4 10 20 35 说理 n3 − n = n(n2 − 1) = (n − 1)n(n + 1)，是三个连续整数的积。 三个连续整数中，一定有一个是 3 的倍数，至少有一个是偶数， 所以 n3 − n 一定是 6 的倍数（n 为整数）。 【拓展探究】n³ − n = (n − 1)n(n + 1)，是三个连续整数的积。三个连续整数中一定有一个是3的倍数，至少有一个是偶数，所以积一定是6的倍数（n为整数）。 表中数据已核算；另用 Python 对 n = −50 到 200 全部验证能被6整除（只作课前核验，课堂上以说理为准）。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）逐一展开核对，记录见 build/verify.txt。 20 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.1 多项式的因式分解 21 四、拓展与活动 小组活动：拼出长方形，写出等式 任务（3分钟） 用 1 张 a × a、4 张 a × b、3 张 b × b 拼成一个长方形（不重叠、无空隙）， 写出表示面积的等式，并用整式乘法验证。 a2 ab ab ab ab b2 b2 b2 1 张 4 张 3 张 卡片按 a : b ≈ 2.4 : 1 绘制，与学具比例一致 参考拼法（活动后出示） a2 ab ab ab ab b2 b2 b2 a b b b a b 长 a + 3b，宽 a + b a2 + 4ab + 3b2 = (a + b)(a + 3b) 【小组活动：拼图】每组发1张a×a、4张a×b、3张b×b卡片，3分钟内拼成一个长方形（不重叠、无空隙），写出等式。 拼法：长 a + 3b，宽 a + b，得 a² + 4ab + 3b² = (a + b)(a + 3b)。 评价：拼法正确1分，等式正确1分，能用整式乘法验证1分（记入第28页量表“几何解释”一栏）。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）逐一展开核对，记录见 build/verify.txt。 21 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.1 多项式的因式分解 22 四、拓展与活动 易错辨析：错在哪里？ 错误写法 错因 正确结果 x2 + 2x + 1 = x(x + 2) + 1 结果不是积 x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 x3 − 4x = x(x2 − 4) 分解不彻底 x3 − 4x = x(x + 2)(x − 2) x2 − 9 = (x − 3)2 两边不相等 x2 − 9 = (x + 3)(x − 3) (x + 1)(x − 1) = x2 − 1 是因式分解 方向反了 这是整式乘法 检验口诀：展开看相等，因式看彻底。 【易错辨析】让学生先找错因，再改正。第1行“结果不是积”；第2行“分解不彻底”（本节只要求发现，x² − 4 的分解在1.3学习）；第3行展开不相等；第4行方向反了。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）逐一展开核对，记录见 build/verify.txt。 22 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.1 多项式的因式分解 23 五、当堂检测 当堂检测（一）　限时 6 分钟 1. 下列变形属于因式分解的是（　　） A.　(x + 3)(x − 3) = x2 − 9 B.　x2 − 9 + x = (x + 3)(x − 3) + x C.　x2 − 6x + 9 = (x − 3)2 D.　6x2y = 2x · 3xy 2. 若 x2 + kx − 10 = (x − 2)(x + 5)，则 k = ______。 3. 下列因式分解正确的是（　　） A.　a2 − b2 = (a − b)2 B.　x2 + 2x + 1 = x(x + 2) + 1 C.　3a2 − 3 = 3(a + 1)(a − 1) D.　4x2 − 1 = (4x + 1)(4x − 1) 【当堂检测（一）】限时6分钟，独立完成，不讨论。第1~5题每题2分，满分10分；第6题选做，不计入总分。 答案见第25页。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）逐一展开核对，记录见 build/verify.txt。 23 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.1 多项式的因式分解 24 五、当堂检测 当堂检测（二） 4. 计算：25 × 1.37 + 25 × 8.63 = ______。 5. 用若干张卡片拼成一个面积为 a2 + 5ab + 6b2 的长方形， 　这个长方形的长和宽分别是______和______（长 > 宽）。 6.（选做）已知 x2 − x = x(x − 1)， 　说明 20252 − 2025 能被 2024 整除。 草稿区（第5题可以画拼图） 【当堂检测（二）】第4题考查“和变积”的简便计算；第5题考查几何意义（可在右侧草稿区画拼图）；第6题选做，考查整除说理。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）逐一展开核对，记录见 build/verify.txt。 24 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.1 多项式的因式分解 25 五、当堂检测 检测答案与评分标准 题号 答案 要点 分值 1 C A 是整式乘法；B 不是积；D 左边是单项式 2 2 k = 3 (x − 2)(x + 5) = x2 + 3x − 10 2 3 C D：(4x + 1)(4x − 1) = 16x2 − 1 ≠ 4x2 − 1 2 4 250 25 × (1.37 + 8.63) = 25 × 10 2 5 a + 3b；a + 2b a2 + 5ab + 6b2 = (a + 2b)(a + 3b) 2 6 选做 20252 − 2025 = 2025 × (2025 − 1) = 2025 × 2024 — 评价：9～10分 ★★★　　6～8分 ★★　　5分及以下 ★（课后面批订正） 【答案与评分】同桌交换批改，教师公布答案。9~10分为★★★，6~8分为★★，5分及以下为★，课后面批订正。 第2题：(x − 2)(x + 5) = x² + 3x − 10，k = 3。第3题：A 应为 (a + b)(a − b)；B 不是积；D 展开是 16x² − 1。第4题：25 × (1.37 + 8.63) = 250。第5题：(a + 2b)(a + 3b)，长 a + 3b，宽 a + 2b。第6题：2025² − 2025 = 2025 × 2024。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）逐一展开核对，记录见 build/verify.txt。 25 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.1 多项式的因式分解 26 六、小结与作业 课堂小结：我学到了什么？ 多项式的因式分解 意义 把一个多项式写成几个整式的积（和 → 积） 关系 与整式乘法：同一等式，方向相反 检验 展开比较；每个因式不能再分解 应用 整除说理、简便计算、求待定系数 几何意义：拼图面积 a2 + 3ab + 2b2 = (a + b)(a + 2b) 【课堂小结】请学生先说，教师再用结构图梳理：一个意义、一个关系、一个检验方法、两类应用。 26 27 板书设计 1.1　多项式的因式分解 一、意义：多项式 → 几个整式的积（和 → 积） 　x2 − 4 = (x + 2)(x − 2) 二、四看：对象 · 结果 · 彻底 · 恒等 三、关系： 　因式分解　x2 − 4　⇄　(x + 2)(x − 2)　整式乘法 四、检验：展开比较 五、应用：993 − 99 = 99 × 100 × 98 例3： (x + 2)(x − 3) = x2 − x − 6 m = −1 拼图： a2 + 3ab + 2b2 = (a + b)(a + 2b) 【板书设计】左侧主板书保留整节课，右侧副板书用于例题演算和学生板演。 27 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.1 多项式的因式分解 28 六、小结与作业 课堂学习评价量表 评价维度 ★★★ ★★ ★ 概念判断（目标1） 判断正确并能用“四看”说清理由 判断正确，理由不完整 判断有错误 检验与求值（目标2） 展开过程完整、结果正确，会用两种方法求系数 结果正确，过程有跳步 展开出错 几何解释与应用（目标3） 拼法正确，写出等式并验证；能用分解结果说理 拼法正确，等式或说理不完整 拼不出或写不出等式 合作与表达 主动发言，能补充或纠正同伴 参与讨论，能复述结论 较少参与 记录方式：小组长在学案上打★，教师抽查两组。 【评价量表】课堂上由小组长对照记录，教师抽查。四个维度对应三条学习目标和小组合作。课后汇总，作为下节课分组和个别辅导的依据。 28 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.1 多项式的因式分解 29 六、小结与作业 自我评价与出门条 我能…… ★★★ ★★ ★ 说出因式分解的意义，判断一个变形是不是因式分解 □ □ □ 用整式乘法检验因式分解，并求出待定系数 □ □ □ 用拼图解释因式分解，用分解结果说明整除问题 □ □ □ 出门条（1分钟） 自己编一个因式分解的等式，并用整式乘法检验它。 ______________________ = ______________________　　检验：______________________ 【自评与出门条】学生对照三条目标自评，并在出门条上写出一个自己编的因式分解等式，用整式乘法检验。教师课后翻阅出门条，统计目标达成情况。 29 湘教版 数学 八年级上册　第1章 因式分解　1.1 多项式的因式分解 30 六、小结与作业 分层作业 A 基础 （必做） 1. 判断是否为因式分解：x2 − 25 = (x + 5)(x − 5)；(a + 3)2 = a2 + 6a + 9； 　 m2 − m + 1 = m(m − 1) + 1。 2. 用整式乘法检验：x2 − x − 12 = (x − 4)(x + 3)。 B 提高 （必做） 3. 若 x2 + px + q = (x − 2)(x + 6)，求 p、q。 4. 利用 x2 − 1 = (x + 1)(x − 1) 计算 1012 − 1。 C 拓展 （选做） 5. 画出拼图，说明 2a2 + 3ab + b2 = (2a + b)(a + b)。 6. 说明 20262 − 2026 能被 2025 整除。 预习：1.2 提公因式法——想一想：导入①中的 3.6 × 7.2 + 3.6 × 2.8，为什么可以写成 3.6 × (7.2 + 2.8)？ 【分层作业参考答案】 1. 是；不是（整式乘法）；不是（结果不是积）。 2. (x − 4)(x + 3) = x² + 3x − 4x − 12 = x² − x − 12，正确。 3. (x − 2)(x + 6) = x² + 4x − 12，p = 4，q = −12。 4. 101² − 1 = (101 + 1)(101 − 1) = 102 × 100 = 10200。 5. 2张a×a、3张a×b、1张b×b拼成长 2a + b、宽 a + b 的长方形。 6. 2026² − 2026 = 2026 × 2025，所以能被2025整除。 【计算核验】本页所有等式和数值已用 Python（sympy）逐一展开核对，记录见 build/verify.txt。 30 $