1.1 多项式的因式分解-课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

湘教版数学八年级上册1.1多项式的因式分解专项练习 核心考点：因式分解的定义、因式分解与整式乘法的互逆关系、多项式因式判定、基础因式分解初步应用 答题要求：规范书写解题步骤，精准区分因式分解与整式乘法变形，最终结果必须为几个整式积的形式，杜绝残留加减运算。 一、知识要点梳理 1. 因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种多项式的恒等变形叫做因式分解，也叫分解因式。 2. 核心辨析：因式分解是整式乘法的逆运算。整式乘法是“整式积→多项式”，因式分解是“多项式→整式积”。 3. 判定三要素：变形前后式子值相等；结果为整式乘积形式；针对多项式整体变形，而非局部改写。 二、基础巩固选择题（每题5分，共30分） 1. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（） A. x²+2x = x(x+2) B. x(x+2)=x²+2x C. x²+2x+1 = x(x+2)+1 D. x²-4+3x = (x+2)(x-2)+3x 2. 多项式a²-1的因式是（） A. a-1 B. a+2 C. a² D. a-2 3. 下列说法正确的是（） A. 因式分解是整式乘法的正向变形 B. 所有多项式都可以分解为整式积的形式 C. 因式分解结果可以含分式 D. 变形x³-x = x(x²-1)是初步因式分解 4. 多项式3x²-6x的公因式是（） A. 3x B. 3 C. x D. 3x² 5. 若多项式x²+mx可分解为x(x-4)，则m的值为（） A. 4 B. -4 C. 8 D. -8 6. 下列变形不属于因式分解的是（） A. 2ab-2ac=2a(b-c) B. x²-9=(x+3)(x-3) C. m²+4m+4=(m+2)² D. x²+2x = x²(1+2/x) 三、填空题（每题6分，共30分） 1. 因式分解：x²-3x = __________。 2. 多项式4a²b-6ab²的公因式是__________。 3. 若(x+1)是多项式x²+kx+1的一个因式，则k=__________。 4. 整式乘法(x-2)(x+3)=x²+x-6，其逆变形因式分解为__________。 5. 多项式2x²-8x的因式有__________（写出两个即可）。 四、基础解答题（每题10分，共40分） 1. 判断下列各式是否为因式分解，说明理由。 （1）3x+6=3(x+2) （2）x²+5x+6=x(x+5)+6 2. 对下列多项式进行初步因式分解： （1）5x²-10xy （2）-3a²+6a 3. 已知多项式x²-5x+m可分解为(x-2)(x-3)，求m的值。 4. 利用因式分解与整式乘法的互逆关系，验证变形：2x²-4x=2x(x-2)是否正确。 五、参考答案与详细解析 选择题解析：1.A 其余选项未化成整式积形式，B是整式乘法，C、D残留加减运算；2.A 由平方差公式a²-1=(a+1)(a-1)可得；3.D 因式分解是逆运算，结果必为整式；4.A 系数最大公约数3，相同字母最低次幂x；5.B 展开x(x-4)=x²-4x，对应m=-4；6.D 结果含分式，不符合整式要求。 填空题答案：1.x(x-3) 2.2ab 3.2 4.x²+x-6=(x-2)(x+3) 5.2x、x-4（答案不唯一） 解答题解析：1.（1）是，多项式化为整式积，符合定义；（2）不是，结果含加减，未完全分解。2.（1）原式=5x(x-2y)；（2）原式=-3a(a-2)。3.展开(x-2)(x-3)=x²-5x+6，故m=6。4.将2x(x-2)展开得2x²-4x，与原式相等，变形正确。 六、易错点总结 本次练习核心易错点集中在三点：一是混淆因式分解与整式乘法的变形方向，误将展开运算当作分解因式；二是分解不彻底，残留加减运算，未化为纯整式积形式；三是忽略因式必须为整式，出现含分式的错误结果。初学需牢记“多项式变积、整式无分式、恒等不变值”三大原则，夯实后续提公因式、公式法分解的基础。 （全文共计1231字） 湘教版（新教材）数学八年级上册 1.1 多项式的因式分解 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/25 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第1章 因式分解 1.理解因式分解的意义和概念； 2.掌握因式分解与整式乘法的区别和联系.（重点） 学习目标 02 新知导入 回顾：1.单项式与多项式相乘的法则是什么？ 2.单项式与多项式相乘的法则是什么？ 3.完全平方公式和平方差公式是什么？ 单项式与多项式相乘的法则： 单项式与多项式相乘，先用单项式和多项式中的每一项，再把所得的积相加. m·(a+b+…+p)=ma+mb+…+mp (m,a,b,…,p都是单项式) (a+b+…+p)·m=am+bm+…+pm (m,a,b,…,p都是单项式) 02 新知导入 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn (a,b,m,n都是单项式) 多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 02 新知导入 完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2 (ab)2=a22ab+b2 平方差公式 (a+b)(a)=a2b2 03 新知探究 探究一 因式分解的定义 做一做 （1） 因为(x+1)2=__________，所以x2+2x+1=(x+1)(_________)； （2） 因为x(x)=__________，所以x2x=x(_________). x2+2x+1 x+1 x2x x 这两个式子有什么共同点？ 都是将一个多项式转化为两个整式的乘积 03 新知探究 一般地，对于多项式 f 与 g，如果有多项式 h 使得 f =gh，那么把 g 叫作 f 的一个因式. 此时，h 也是 f 的一个因式. 在乘法中，相乘的两个数都叫做积的因数. 动脑筋：将一个多项式转化为两个整式的乘积,这两个整式可以叫做这个多项式的什么？你能给它命名吗？ 03 新知探究 一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式. 填空： 例1 因为(x – 2)(x – 3)=______________ ， 所以___________ =(x – 2)(x – 3)是多项式__________的因式分解. x25x+6 x25x+6 x25x+6 03 新知探究 探究二 因式分解与整式乘法 议一议：多项式的因式分解与多项式的乘法之间有什么关系？与同学交流你的想法. x2+2x+1 (x+1)2 x2x x(x) x25x+6 (x – 2)(x – 3) 多项式的因式分解 多项式的乘法 03 新知探究 多项式的因式分解与多项式的乘法运算是互逆的变形过程。 x2+2x+1=(x+1)2 x2x=x(x) x25x+6=(x – 2)(x – 3) 左边是多项式 右边是整式的乘积 左边是整式的乘积 右边是多项式 (x+1)2=x2+2x+1 x(x)=x2x (x – 2)(x – 3)=x25x+6 03 新知探究 下列各式从左边到右边的变形是因式分解吗？若是，说明 例2 理由并指出它的因式；若不是，说明理由即可. （1） x(x2y)=x22xy； （2） x22x+1=x(x – 2)+1； （3） 3x2x=x(3x – )； （4） xyxy+1=(x – 1)(y – 1). 解：（1） 不是因式分解. 理由：它是整式的乘法. （2） 不是因式分解. 理由：等式右边不是几个多项式的乘积形式. 03 新知探究 解：（3）是因式分解.理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且x(3x – )=3x2x，因而符合因式分解的定义.3x2x的因式为x和(3x – ). （4）是因式分解.理由：等式右边是两个多项式的乘积形式，且 (x – 1)(y – 1)=xyxy+1，因而符合因式分解的定义. xyxy+1的因式 为x – 1和y – 1. 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.下列等式从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． D 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 2.已知关于x的二次三项式分解因式的结果为，则m和n的值分别为（　　） A． B． C． D． B 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 3.下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． B 能力提升题 1、已知多项式可分解为 方法技巧 整式乘法与因式分解是互逆关系。利用整式的乘法可以求因式分解中的参数。 解：(x+2y+m)(2x-y+n) =2x2-xy+nx+4xy-2y2+2ny+2mx-my+mn =2x2+3xy-2y2+(n+2m)x+(2n-m)y+mn 根据题意可得 n+2m=-1,2n-m=8,mn=-6 所以m=-2,n=3 当堂检测 能力提升题 2. 甲、乙两个同学分解因式 x2 + ax + b 时，甲看错了 b，分解结果为 ( x + 2 )( x + 4 )；乙看错了 a，分解结果为 ( x + 1)( x + 9 )，求 a + b 的值. 解：分解因式甲看错了 b，但 a 是正确的， 其分解结果为 x2 + ax + b = (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8， 所以 a = 6. 同理，乙看错了 a，但 b 是正确的， 分解结果为 x2 + ax + b = (x + 1)(x + 9) = x2 + 10x + 9， 所以 b = 9. 因此 a + b = 15. 当堂检测 能力提升题 3. 若多项式 x4 + mx3 + nx﹣16 含有因式 (x﹣2) 和 (x﹣1)， 求 mn 的值. 解：因为 x4 + mx3 + nx﹣16 的最高次数是 4， 所以可设 x4 + mx3 + nx﹣16 = (x﹣1)(x﹣2)(x2 + ax + b). 则 x4 + mx3 + nx﹣16 = x4 + (a﹣3)x3 + (b﹣3a + 2)x2 + (2a﹣3b)x + 2b. 比较系数得 a﹣3 = m，b﹣3a + 2 = 0，2a﹣3b = n，2b =﹣16. 解得 b =﹣8，a =﹣2，m =﹣5，n = 20. 所以 mn =﹣5×20 =﹣100． 方法技巧 整式乘法与因式分解是互逆关系。利用整式的乘法可以求因式分解中的参数。 当堂检测 4. 通过计算比较图①，图②中阴影部分的面积，可以验证的 计算式子是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 19 5. ［2025衡阳月考］若多项式 有一个因式是 ，则这个多项式中 的值是( ) A A. 3 B. C. 5 D. 返回 举一反三 20 6.［2025常德期末］下列各式中，是整式乘法的是______， 是因式分解的是______.（填序号） ① ； ② ; ③ ； ④ . ①② ③④ 返回 举一反三 05 课堂小结 一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式. 多项式的因式分解与多项式的乘法运算是不同的. 多项式的因式分解是把一个多项式化成几个多项式的乘积， 而多项式的乘法运算是把几个多项式的乘积化成一个多项式.多项式的因式分解与多项式的乘法运算是互逆的变形过程。 谢谢观看 THANKS $