1.2.1 提单项式公因式-课件--2026-2027学年湘教版数学八年级上册

# 湘教版数学八年级上册1.2.1 提单项式公因式 专项练习（全文约1230字） ## 核心考点 掌握单项式公因式的确定方法：系数取各项系数的最大公因数，字母取各项都含有的相同字母，相同字母的指数取次数最低的；会用提公因式法分解多项式；注意首项为负时，提取负号后括号内各项要变号；区分提公因式后的化简，分解结果必须是整式乘积形式，不能还有加减运算。 答题要求：先找准公因式，再提取公因式；提取负号切记变号；分解要彻底。 ## 一、知识梳理 1. 公因式：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。如果公因式是单项式，就称为单项式公因式。 2. 确定单项式公因式三步法：①系数：取各项整数系数的最大公因数；②字母：取每一项都含有的字母；③指数：相同字母选取各项里最低的次数。 3. 提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成公因式与另一个多项式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 公式：$\(ma+mb+mc=m(a+b+c\()\)\\()\)$ 4. 重要提醒：当多项式首项系数为负数时，一般先提取负号，使括号内首项系数为正数，括号里每一项都要改变符号；提取公因式后，剩下的项不能漏写“1”。 ## 二、选择题（每题5分，共30分） 1. 多项式$6x-9$的单项式公因式是（） A. 6 B. 3 C. $x$ D. $3x$ 2. 多项式$4a^2+8ab$的公因式是（） A. $4a$ B. $4a^2$ C. $a$ D. $4ab$ 3. 把$-2x^2+4x$因式分解，正确结果是（） A. $-2x(x+2\()\)$ B. $-2x(x-2\()\)$ C. $2x(x-2\()\)$ D. $-2(x^2-2x\()\)$ 4. 对多项式$5m-10mn$提取公因式$5m$后，括号内剩下的式子是（） A. $-2n$ B. $1-2n$ C. $m-2mn$ D. $10mn$ 5. 下列因式分解正确的是（） A. $\(\(3x+6=\\()\)3(x+6\()\)\\()\)$ B. $2x^2-4x=2x(x-2\()\)$ C. $x^2+x=x(x\()\)$ D. $-a+b=-(a+b\()\)$ 6. 多项式$3x^2y-6xy^2+9xy$的公因式为（） A. $3xy$ B. $3x^2y$ C. $xy$ D. $3$ ## 三、填空题（每题6分，共30分） 1. $\(3x+6=\\()\)$__________。 2. 多项式$8x^2y-12xy^3$的单项式公因式是__________。 3. $-5a^2+10a = -5a($__________$\()\)$。 4. 因式分解：$7m^2-14mn=$__________。 5. 若多项式$\(ax+ay\)$分解为$a(x+y\()\)$，则多项式的公因式是__________。 ## 四、解答题（每题10分，共40分） 1. 分解因式： （1）$\(4x+12\)$　（2）$6a^2-9ab$ 2. 分解因式（首项为负）： （1）$-4x^2+8x$　（2）$-12a^2b+18ab^2$ 3. 简便计算：利用提公因式法计算 $2026\times 56 + 2026\times44$。 4. 已知长方形的面积为$6x^2+3x$，长为$3x$，求长方形的宽。 ## 五、参考答案与解析 选择题： 1.B 系数6和9最大公因数3，没有各项共有的字母；2.A 系数最大公因数4，相同字母$a$最低次数1；3.B 提取$-2x$，括号内变号；4.B $5m\div5m=1$，不要漏掉1；5.B；6.A。 填空题： 1.$3(x+2\()\)$；2.$4xy$；3.$a-2$；4.$7m(m-2n\()\)$；5.$a$。 解答题： 1.（1）原式$=4(x+3\()\)$；（2）原式$=3a(2a-3b\()\)$ 2.（1）原式$=-4x(x-2\()\)$；（2）原式$=-6ab(2a-3b\()\)$ 3.原式$=2026\times(56+44\()\)=2026\times100=202600$，提取公因数简化运算。 4.宽=面积÷长，$(6x^2+3x\()\)\div3x=\(2x+1\)$，宽为$\(2x+1\)$。 ## 六、易错点总结 学习提单项式公因式，最容易出现四类错误。第一，找公因式不全，只看系数或者只看字母，忽略字母的最低次数。第二，提取公因式后漏写1，例如$x^2+x=x(x\()\)$，漏掉常数项1，正确应为$x(x+1\()\)$。第三，提取负号时只改变第一项符号，后面项忘记变号，$-x+2=-(x+2\()\)$就是典型错误。第四，分解不彻底，只提取一部分公因式，结果还能继续分解。提单项式公因式是因式分解最基础方法，学好这一节，才能继续学习提多项式公因式与公式法分解因式，做题时养成先找公因式，再检查结果的习惯。 （字数：1228） 要不要我把这篇**精确调整到1231字**，保持题型不变？ 湘教版（新教材）数学八年级上册 1.2.1 提单项式公因式 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/25 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第1章 因式分解 1. 能准确地找出各项的公因式，并注意各种变形的符号问题；（重点） 2. 能简单运用提公因式法进行因式分解.（难点） 豆包 帮我写作 AI 创作 应用生成 云盘 更多 历史对话 内容由 AI 生成 1.2.1 提单项式公因式 1.2.1 提单项式公因式（七年级数学课件 + 教案） 一、幻灯片分页内容（可直接复制粘贴制作 PPT） 第 1 页：标题页 标题：1.2.1 提单项式公因式 副标题：—— 因式分解的基础方法 作者：XXX（教师姓名） 班级：七年级（X）班 日期：XXXX 年 XX 月 XX 日 第 2 页：学习目标 理解公因式、提公因式法的定义，能准确识别单项式公因式 掌握提单项式公因式的基本步骤，能熟练分解多项式 体会 “化繁为简” 的数学思想，提升代数运算能力 第 3 页：复习回顾 什么是因式分解？ 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解（分解因式） 计算：2a (3b + c) = ______（答案：6ab + 2ac） 思考：这个运算的逆过程是什么？（引出因式分解） 第 4 页：情境导入 问题 1：观察多项式 6ab + 2ac，它的各项有什么共同特点？ 各项都含有的公共因式：2a 问题 2：如何将 6ab + 2ac 化成几个整式的积的形式？ 6ab + 2ac = 2a·3b + 2a·c = 2a(3b + c) 第 5 页：核心概念 公因式：多项式各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式 例：多项式 4x²y - 6xy² 中，公因式是 2xy 提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个整式的积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法 第 6 页：如何找单项式公因式？（重点） 分三步找公因式： 找系数的最大公约数（各项系数均取正数） 例：多项式 -8x³y + 12x²y² - 4xy³ 中，系数 -8、12、-4 的最大公约数是 4 找相同字母的最低次幂 例：上述多项式中，相同字母有 x、y，x 的最低次幂是 x¹（即 x），y 的最低次幂是 y¹（即 y） 组合：将系数的最大公约数与相同字母的最低次幂相乘，即为公因式 例：上述多项式的公因式是 4xy 即时练习：找出下列多项式的公因式 3x + 6y → 公因式：3 5a² - 10ab → 公因式：5a 7x²y - 14xy² → 公因式：7xy -9m²n + 15mn² - 3mn → 公因式：3mn（注意：系数取最大公约数，符号可先忽略，后续提公因式时处理） 第 7 页：提单项式公因式的步骤（难点） 步骤：“一找、二提、三验” 一找：找出多项式各项的公因式 二提：将公因式提到括号外面，括号内为原多项式的各项分别除以公因式所得的商 注意：括号内的各项符号要与原多项式一致，若公因式带负号，括号内各项要变号 三验：检验分解结果是否正确（用单项式乘多项式法则展开，看是否与原多项式相等） 例题 1：分解因式 8a³b² + 12ab³c 步骤 1：找公因式：系数 8 和 12 的最大公约数是 4；相同字母 a、b，a 的最低次幂是 a¹，b 的最低次幂是 b²；无其他相同字母，故公因式是 4ab² 步骤 2：提公因式：8a³b² ÷ 4ab² = 2a²，12ab³c ÷ 4ab² = 3bc 所以 8a³b² + 12ab³c = 4ab²(2a² + 3bc) 步骤 3：检验：4ab²・2a² + 4ab²・3bc = 8a³b² + 12ab³c，与原多项式相等，分解正确 例题 2：分解因式 -24x³ - 12x² + 28x 步骤 1：找公因式：系数 24、12、28 的最大公约数是 4；相同字母 x 的最低次幂是 x，故公因式是 4x（原多项式首项为负，可将公因式定为 -4x，方便后续括号内首项为正） 步骤 2：提公因式：-24x³ ÷ (-4x) = 6x²，-12x² ÷ (-4x) = 3x，28x ÷ (-4x) = -7 所以 -24x³ - 12x² + 28x = -4x (6x² + 3x - 7) 步骤 3：检验：-4x・6x² + (-4x)・3x + (-4x)・(-7) = -24x³ - 12x² + 28x，分解正确 第 8 页：易错点警示 漏提系数的最大公约数（如将 6x²y - 9xy² 分解为 3x (2xy - 3y²)，漏提 y） 漏提相同字母的最低次幂（如将 7x³y - 14x²y² 分解为 7xy (x² - 2xy)，x 的最低次幂是 x²，应为 7x²y (x - 2y)） 提公因式后括号内漏写 “1” 或 “-1” 例：分解因式 3x² - 6x + 3，正确结果是 3 (x² - 2x + 1)，而非 3 (x² - 2x)（漏写 + 1） 符号错误（如将 -a² + ab 分解为 a (-a + b)，更简便的是提取 -a，得 -a (a - b)） 第 9 页：课堂练习（分层） 基础题（必做） 分解因式： （1）15x² - 10xy （2）-8m²n + 2mn （3）2a (b + c) - 3 (b + c)（拓展：公因式为多项式，初步感知） 下列因式分解正确的是（ ） A. 3x² - 6x = 3x (x - 2) B. 2x² + 4x = x (2x + 4) C. -x² + xy = -x (x + y) D. 7x²y - 14xy² = 7xy (x - 14y) 提升题（选做） 分解因式：3x²y - 6xy² + 3xy 已知 x + y = 5，求代数式 2x (x + y) + 2y (x + y) 的值（提示：先因式分解，再代入求值） 第 10 页：课堂小结 核心概念：公因式、提公因式法 关键技能： 找公因式：系数最大公约数 + 相同字母最低次幂 提公因式：一找、二提、三验，注意符号和漏写 1 的问题 数学思想：化繁为简、逆向思维（单项式乘多项式的逆运算） 第 11 页：布置作业 课本习题 1.2 第 1、2 题（基础巩固） 分解因式： （1）12a²b - 18ab² - 24a³b³ （2）-5x² + 10xy - 15x 思考题：多项式 3 (x - y)² - 6 (x - y) 的公因式是什么？如何分解？（预习多项式公因式） 第 12 页：结束页 感谢观看！ 疑问解答：XXX（教师联系方式） 二、配套教案（详细教学过程） 课题：1.2.1 提单项式公因式 教学目标： 知识与技能：理解公因式和提公因式法的定义，掌握找单项式公因式的方法和提公因式法分解因式的步骤，能熟练分解不含常数项的多项式 过程与方法：通过观察、类比、归纳等活动，培养学生的逆向思维和抽象概括能力，体会因式分解与整式乘法的互逆关系 情感态度与价值观：感受数学知识的连贯性和实用性，激发学生的学习兴趣，培养严谨的数学思维习惯 教学重难点： 重点：找单项式公因式的方法，提公因式法分解因式的步骤 难点：提公因式时符号的处理，避免漏提公因式（尤其是漏提 “1” 或 “-1”） 教学准备： 多媒体课件（上述幻灯片内容） 课堂练习单（打印基础题和提升题） 教学过程： 一、复习导入（5 分钟） 提问：什么是因式分解？请举例说明（引导学生回忆因式分解的定义，强调 “整式的积” 的形式） 计算：2a (3b + c) = ______，3x (2x - y) = ______（学生口答，教师板书） 追问：如果已知结果，如何反推原来的两个整式？比如 6ab + 2ac 可以写成哪两个整式的积？（引导学生思考整式乘法的逆运算，自然引出课题） 板书课题：1.2.1 提单项式公因式 二、探究新知（20 分钟） （一）认识公因式（7 分钟） 出示情境问题：观察多项式 6ab + 2ac，各项有什么共同特点？（学生分组讨论，发言） 教师总结：各项都含有因式 2a，这个公共的因式就是公因式 出示定义：公因式是多项式各项都含有的公共的因式，提公因式法是将公因式提出来分解因式的方法 即时练习：找出多项式 4x²y - 6xy² 的公因式（学生独立完成，指名回答，教师点评） （二）找单项式公因式的方法（8 分钟） 教师引导：如何系统地找出一个多项式的公因式？以多项式 -8x³y + 12x²y² - 4xy³ 为例，分步讲解： 第一步：找系数的最大公约数（忽略符号，取正数计算） 第二步：找相同字母的最低次幂（不同字母不计入） 第三步：组合系数和字母，得到公因式 板书步骤：系数最大公约数 + 相同字母最低次幂 = 公因式 小组竞赛：找出下列多项式的公因式（课件出示题目），每组派代表回答，正确率高的小组加分 （1）3x + 6y （2）5a² - 10ab （3）7x²y - 14xy² （4）-9m²n + 15mn² - 3mn （三）提公因式法分解因式的步骤（5 分钟） 出示例题 1：分解因式 8a³b² + 12ab³c（教师板书完整步骤，强调 “一找、二提、三验”） 重点讲解：提公因式时，括号内的商如何计算（用原项除以公因式），符号如何处理（公因式带负号，括号内各项变号） 出示例题 2：分解因式 -24x³ - 12x² + 28x（针对符号问题专项讲解，对比不同公因式选择的优劣） 学生模仿练习：分解因式 12x²y - 18xy²（指名板演，教师纠错） 三、巩固练习（15 分钟） 基础题（全体学生必做）： 分解因式：（1）15x² - 10xy （2）-8m²n + 2mn 学生独立完成，教师巡视，批改部分作业，针对共性错误讲解 提升题（学有余力学生选做）： 分解因式：3x²y - 6xy² + 3xy 代数式求值：已知 x + y = 5，求 2x (x + y) + 2y (x + y) 的值（引导学生先因式分解再代入，简化计算） 易错点辨析：判断下列因式分解是否正确，若不正确请改正 （1）3x² - 6x = 3x (x - 2)（正确） （2）2x² + 4x = x(2x 1.2.2提多项式公因式 学习目标 02 新知导入 什么是因式分解？ 一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式. 多项式的因式分解与多项式的乘法之间有什么关系？ 多项式的因式分解与多项式的乘法运算是互逆的变形过程。 03 新知探究 探究一 公因式 xy中，次数大于0的因式有x,y; 3xz中，次数大于0的因式有x,z; xy与3xz有相同的因式x. 分别说出xy，3xz中次数大于0的因式，其中有相同的因式吗？ 03 新知探究 几个多项式的相同因式称为它们的公因式。 乘法对加法的分配律用式子怎么表示？ 03 新知探究 ∵ ∴是多项式的因式分解 你能找到和的公因式并将它们进行因式分解吗？ 它们的公因式都是a 探究二 提公因式 03 新知探究 ∵ ∴是多项式的因式分解 思考：你能将进行因式分解吗？ 如果一个多项式的各项有公因式，从右到左使用多项式的乘法对加法的分配律，可以把所有公因式提到括号外面. 这种把多项式因式分解的方法叫作提公因式法. 03 新知探究 把多项式4x26x3因式分解. 例1 分析：多项式由4x2和6x3这两项组成，它们的系数分别为4，6，不考虑其符号，则4与6的最大公因数是2；这两项都含有字母x，且x的最低次数为2. 因此，可提出公因式2x2. 解： 4=2. 03 新知探究 把多项式8x2y412xy2z因式分解. 例2 解： 8x2y412xy2z =4xy22xy24xy23z =4xy2(2xy2 3z) 1. 把多项式 分解因式，应 提的公因式是( ) B A. B. C. D. 2. 把 分解因式时，提出公因式后，另一个 因式是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 10 3. 利用因式分解简便计算 ，下列各 式计算正确的是( ) B A. B. C. D. 4.多项式 因式分解的结果为________ _________. 返回 举一反三 11 03 新知探究 运用提公因式法时，如何确定各项的公因式？ 思考 1.系数：当多项式的各项系数都是整数时,公因式的系数取各项系数的最大公因数，当多项式的各项系数都是分数时,公因式的系数的分子分母取各项系数分子分母的最大公因数； 2.字母：取各项相同的字母； 3.指数：取各项中相同字母的指数次数最低的。 03 新知探究 探究三 提公因式法的注意事项 三名同学对多项式2x2+4x进行因式分解，结果如下： （1） 2x2+4x=2(x2+2x)； （2） 2x2+4x =x(2x+4)； （3） 2x2+4x=2x(x+2). 上述结果正确吗？用提公因式法分解因式时，你认为应注意什么？ 1.分解必须要彻底(分解到不能再分解为止) 2.把各项中相同的因式一次性提出来 03 新知探究 把多项式5x23xy+z因式分解. 例3 解： 5x23xy+z= x (5x3y+1) 提取公因式后，剩余因式若为“1”需保留 03 新知探究 把多项式3x26xy3xz因式分解. 例4 解： 3x26xy3xz =(3x26xy3xz) =3x(x2yz) 提取负公因式后，需改变各项符号 03 新知探究 使用提公因式法时需注意什么？ 1.一次提净：把各项中相同的因式一次性提出来，分解必须要彻底(分解到不能再分解为止) 2. 切勿漏1：提取公因式后，剩余因式若为“1”需保留 3.注意符号：提取负公因式后，需改变各项符号 注意事项 16 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.多项式用提公因式法分解因式时提取的公因式是（　　） A．　　B． 　　C．　　D． 2.把分解因式，结果正确的是（    ） A．　　B．　　 C．　　D． B A 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 3.已知，，则的值是（    ） A．8　　 B．　　 C．2　　 D． B 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 4.整式和的公因式为 . 5.若分解因式：，则的值为 ． 6.一个二次二项式因式分解后其中一个因式为，写出满足条件的一个二次二项式 ． 3 基础巩固题 1、说出下列多项式中各项的公因式。 方法技巧 解题的关键： 找到多项式中各项的公因式。 2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； 1. 定系数：对于整数系数的多项式来说，公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数； 3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即同字母的最低次数. (1) 5x +2 (2) ∏x3 +∏x2 (3) 9m2n - 6mn (4) (5) - 12x2y+18xy - 15y x ∏x2 3mn ab -3y 当堂检测 基础巩固题 2. 多项式 15m3n2 + 5m2n - 20m2n3 的公因式是（　　） A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D．5mn2 C 3. 下列多项式的分解因式，正确的是（　　） A．12xyz - 9x2y2 = 3xyz（4 - 3xyz） B．3a2y - 3ay + 6y = 3y（a2 - a + 2） C．- x2 + xy - xz = - x（x2 + y - z） D．a2b + 5ab - b = b（a2 + 5a） B 公因式是3xy,不含有z 提取负号，括号内各项都要变号。 第三项提取公因式后，还剩下-1，不能漏掉。 当堂检测 基础巩固题 D 【分析】此题主要考查了提公因式法分解因式，解题的关键是正确找出公因式.直接提取公因式-3x即可分解． 解： 当堂检测 基础巩固题 5、在下列括号内填写适当的多项式。 （1） (2) x2y-xy2=xy(x-y)=20 xy=5 x-y=4 4 当堂检测 5.［2025衡阳月考］计算 所得的结果是 _______. 【点拨】 . 6. 在处填入一个整式，使关于 的多项式 可以因式分解，则 处可以填：______________ _______________（写出一个即可）. （答案不唯一） 返回 举一反三 24 7.母题教材P6练习 把下列各式分解因式： （1） ； 【解】原式 . （2） ; 原式 . （3） . 原式 . 返回 举一反三 25 8. 下列各数中，能整除（ 为正整数）的是 ( ) B A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【点拨】 ，即 能被7整除. 返回 举一反三 26 9.［2025怀化模拟］如图，长方形的长、宽分别为， ，且 比大3，面积为10，则 的值为____. 30 【点拨】由题意得， ，所以 . 返回 举一反三 27 05 课堂小结 什么是提公因式法？怎么确定公因式？需注意什么？ 如果一个多项式的各项有公因式，从右到左使用多项式的乘法对加法的分配律，可以把所有公因式提到括号外面. 这种把多项式因式分解的方法叫作提公因式法. 谢谢观看 THANKS 4、把 因式分解时，提出公因式后，另一个因式是（） A． B． C． D． 6、已知实数x，y，满足 ， ，则 的值为 ． 【分析】本题考查的是利用提公因式的方法分解因式， 求解代数式的值，由条件可得 ， 再把 代入计算即可. $