第13章·三角形·期中复习·培优提升讲义（知识梳理+典例+练习）· 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第13章·三角形·期中复习·培优提升讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解三角形的基本概念，掌握三边关系与第三边取值范围的确定方法 · 掌握三角形内角和定理与外角的性质，会进行角度计算 · 理解中线、角平分线、高线的性质，能利用它们求线段长度与面积 · 掌握等腰三角形等边对等角的性质与应用 · 能综合运用三角形知识结合平行线解决几何问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.三角形的边 三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 确定第三边取值范围：两边之差<第三边<两边之和 三角形具有稳定性，四边形不具有 中线平分对边，把三角形分成面积相等的两部分 概念辨析例题：已知三角形的两边长分别为3和7，则第三边a的取值范围是（　　）A．a>4　B．a<10　C．4<a<10　D．4≤a≤10 答案：C 解析：第三边大于两边之差且小于两边之和：7-3<a<7+3，即4<a<10。故选C。 ✅️ 2.三角形的角 三角形内角和定理：三角形三个内角之和等于180° 外角的性质：外角等于与它不相邻的两个内角之和 直角三角形的两个锐角互余 与角平分线相关的角度计算：角平分线把角分成两个相等的角 概念辨析例题：在△ABC中，∠A=50°，∠B=∠C，则∠B的度数为（　　）A．50°　B．60°　C．65°　D．70° 答案：C 解析：∠A+∠B+∠C=180°，∠B=∠C，所以50°+2∠B=180°，解得∠B=65°。故选C。 ✅️ 3.三角形的中线、角平分线与高 中线：连接顶点与对边中点的线段，平分对边且平分三角形面积 角平分线：平分内角的射线，角平分线上的点到角两边距离相等 高：从顶点向对边作垂线，垂线段是三角形的高 重心：三条中线的交点，重心把每条中线分成2:1两部分 概念辨析例题：如图，AD是△ABC的中线，若△ABD的面积为6，则△ABC的面积为（　　）A．6　B．9　C．12　D．18 答案：C 解析：AD是中线，将△ABC分成面积相等的两个三角形，所以S△ABC=2S△ABD=12。故选C。 ✅️ 4.等腰三角形与平行线综合 等腰三角形：两腰相等，等边对等角 等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边高线三线合一 平行线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 综合应用：结合平行线与三角形性质进行角度计算与证明 概念辨析例题：在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=80°，则底角∠B的度数为（　　）A．40°　B．50°　C．60°　D．80° 答案：B 解析：AB=AC，所以∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，80°+2∠B=180°，∠B=50°。故选B。 🧀 知识总结表 核心概念 性质/定理 注意事项 三角形三边关系 两边之和>第三边>两边之差 求范围用两边之差<第三边<两边之和 内角和定理 三个内角之和180° 外角=不相邻两内角之和 中线 平分对边与面积 重心分中线2:1 角平分线 平分角，点到两边等距 角度计算先找等角 等腰三角形 等边对等角 顶角平分线三线合一 📩 核心考点 【考点1】三角形的基本概念与三边关系（第1-14题） · 三边关系判断能否构成三角形 · 第三边范围用两边之差<第三边<两边之和 · 中线把三角形面积平分 1．（23-24七年级下·广东湛江·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多3，与的和为13，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求长度、几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了三角形的中线定义和解二元一次方程组，根据周长的差得出边与的差等于3是解题的关键． 根据三角形中线的定义得到，进而得到和的周长的差等于与的差，然后联立关于、的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∴的周长的周长 ， 即， 又， 得， 解得． 故选：D． 2．（24-25七年级下·江西鹰潭·阶段检测）若的两边长分别为3和8，则第三边的长不可能是（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【知识点】确定第三边的取值范围、构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形三边关系定理，即三角形的任意两边之和必须大于第三边，任意两边之差必须小于第三边．理解三角形三边关系定理是解题的关键． 设第三边为x，根据三边关系列不等式组即可求解． 【详解】解：设第三边长为x，依题意得，， ， 能构成三角形的三边可能是B，C，D，不可能构成三角形的是A， 故选：A． 3．（24-25七年级下·重庆·阶段检测）如图，工人师傅在砌门时，常用木条固定长方形门框，这里所运用的几何原理是（   ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性即可求解．熟知三角形的稳定性是解题关键． 【详解】解：工人师傅在砌门时，常用木条固定长方形门框，这里所运用的几何原理是三角形具有稳定性． 故选C． 4．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，D为中边上的一点，，，，E是上的一点，且的面积等于面积的3倍，的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．不确定 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了同高的三角形面积的计算，解决本题的关键是得到的面积与的面积之间的关系． 根据与同高可得面积比为，再由的面积等于面积的3倍，可得的面积与的面积之间的关系，再由同高计算面积即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵的面积等于面积的3倍， ∴，即， ∵， ∴， 整理可得， ∵与同高，记作h， ∴， 解得． 故选：B ． 5．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）已知三角形的两条边长分别是，，则该三角形的周长不可能是（） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．设第三边的长为，根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得，据此求出周长范围即可． 【详解】解：设第三边的长为，根据三角形的三边关系得：， 即， 设三角形的周长为 则该三角形的周长范围为：， 故选：A． 6．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，是上一点，是的中点，，分别是，的中点．若阴影部分面积为2，则的面积为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查三角形的中线与面积关系，熟练掌握三角形的中线把面积分成相等的两部分是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据三角形的中线可进行求解． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴， ∵阴影部分面积为2，即， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴； 故选C． 7．（25-26八年级上·新疆巴州·期末）如图，在中，D是的中点，连接，若的面积是5，则的面积是________． 【答案】10 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查中线与三角形面积的关系，根据中线得到底边的关系是解题的关键． 首先根据中线得到，结合的面积是5得到，即可求解的面积． 【详解】解：如图，过点C作于点E， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 8．（25-26八年级上·全国·期中）若一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边的长为偶数，则这个三角形的周长是______． 【答案】16或18 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是根据三边关系确定第三边的取值范围，再结合偶数条件求出第三边的可能值，进而计算周长． 先利用三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”确定第三边的范围，再在范围内找出偶数，最后分别计算周长． 【详解】解：根据三角形三边关系，设第三边的长为，则，即， 因为第三边的长为偶数，所以可以是6或8， 当时，三角形的周长为， 当时，三角形的周长为． 故答案为：16或18． 9．（23-24七年级下·重庆江北·期末）设的面积为m，如图E、D，分别是边靠近点A和点C的4等分点，连接，相交于点O，与的面积差记为S，则S的值为________． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】此题考查了三角形的面积，根据同高底不相等的三角形面积之比等于底之比即可求解. 【详解】解：设的面积为m， ∵E、D，分别是边靠近点A和点C的4等分点， ∴， ∴， 故答案为： 10．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）刘家峡大桥是采用单跨桁式加劲梁悬索桥，主大桥结构采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是________． 【答案】三角形具有稳定性 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查了三角形具有稳定性． 根据三角形具有稳定性作答即可． 【详解】解：主大桥结构采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 11．（24-25六年级下·上海·期中）如图所示，在中，，求阴影部分面积是三角形面积的______（几分之几）． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的中线及三角形的面积，解题的关键是熟练运用三角形的高、底边与面积的关系．大三角形面积减去3个小三角形面积等于阴影面积，再求解即可． 【详解】解：，， 面积：面积， 设的面积为， 面积：， 面积， 面积面积， 面积， 同理，面积：面积， 面积：， 面积， 面积面积， 面积， 阴影面积， 阴影部分面积是三角形面积的． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，则_______． 【答案】5 【知识点】重心的概念 【分析】本题考查三角形的重心，根据三角形的重心是三角形的三条中线的交点，得到分别为的中点，进而得到，即可得出结果． 【详解】解∶∵点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E． ∴，， ∴． 故答案为：5． 13．（23-24八年级上·重庆垫江·阶段检测）在中，为边的中线．若与的周长差为，则________． 【答案】或 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，由为边上的中线，得，根据题意，分类讨论进而即可求解，掌握中线的性质是解题的关键． 【详解】解：①当时，    ∵与的周长差为3， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴, ②当时，同理可得，则 故答案为：或． 14．（25-26七年级下·四川达州·期末）某种花卉供不应求，王伯伯打算将原有的一块种植地△ABC进行改造，改造方案如下:分别延长的至点，使得分别为的中点，依次连接点得，已知的面积为，改造甲区域成本为元，扩建乙区域成本为元，则改造总费用为____元． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】连接，，，根据分别为的中点，得到，，，根据三角形的面积公式得到，求得，于是得到结论． 【详解】解：连接，，， ∵分别为的中点， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得， ∴乙部分的面积为， ∴改造总费用（元）． 【考点2】三角形的内角与外角（第15-30题） · 内角和180°列方程求角 · 外角等于不相邻两内角之和 · 直角三角形两锐角互余 15．（23-24八年级上·河南商丘·期末）等腰中，、为三角形的角平分线，且、交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】由角平分线定义可知，，，在和内应用三角形内角和定理，即可求解，本题考查了角平分线，三角形内角和定理，解题的关键是，选择适合的三角形，列出角度之间的等量关系． 【详解】解：、为三角形的角平分线， ，， 有， 在中，，即： ， 在中，，即：，即：， ，解得：， 故选：． 16．（23-24八年级上·山西大同·期末）如图，是内一点，连接，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形内角和定理的应用．熟练掌握三角形内角和等于180度是解题的关键． 先在中，根据三角形内角和求出，再在中，根据三角形内角和定理得，即可求解． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 17．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）将一副三角板按如图所示的方式放置，图中的大小等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角板中角度计算问题 【分析】本题主要考查了三角板的角度特征、直角三角形内角和、及三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 先根据三角板的角度确定、、的度数，再利用直角三角形内角和求出，结合邻补角的性质得到，最后通过三角形内角和定理计算． 【详解】解：由题意可得，，， ∴ ∴， ∴ 故选：． 18．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，在中，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，进行求解即可． 【详解】解：由图可知，是的外角， ∵，， ∴； 故选B． 19．（23-24七年级下·广西桂林·期末）在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质是解题的关键． 由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可得，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得即可判定④． 【详解】解：∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴ ， ∴，故①正确， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确． ∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴．故④正确． 综上正确的有：①②④． 故选：D． 20．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，分别平分和，且相交于，，于点G，则下列结论：①；②；③：④；⑤是等腰直角三角形，其中正确的结论是（     ） A．①③④⑤ B．①②③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键． 根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；只需要证明，，即可判断④；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出，即可判断②③；根据现有条件无法推出⑤． 【详解】解：平分， ， ， ，故①正确； ，，， ，，即， ， 又， ，故④正确； ， ， ，分别平分，， ， ， ， ∵ ∴， ，故③正确； ， ，故②错误； ∵ ∴是直角三角形， 根据现有条件，无法推出，即无法得到是等腰直角三角形，故⑤错误； ∴正确的有①③④， 故选：D． 21．（22-23八年级上·山东德州·阶段检测）如图，，平分交于点，，，，分别是，延长线上的点，和的平分线交于点．下列选项错误的是（    ） A． B． C．平分 D．为定值 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】证明，得，故正确；证，得平分，故正确，利用三角形的外角性质及角平分线定义得，进而得，故正确；，若，则，与事实不相符，故错误． 【详解】解：如图，    ∵，， ∴，，，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴平分，故正确， ∵平分，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故正确． ∵， 若， ∴，与事实不相符，故错误； 故选∶． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、三角形的外角性质、直角三角形的性质及角平分线的性质，熟知三角形的内角和等于是解题的关键． 22．（23-24八年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图所示，在中，，的角平分线与的外角的平分线所在的直线交于点D，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形角平分线的定义、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形的外角的性质，三角形内角和定理等知识，设，，构建方程组求解即可． 【详解】解：设，， 则有，， ∴， ∴． 故选：B． 23．（25-26八年级上·广西百色·阶段检测）如图，在中，平分于点P，交的延长线于点M．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角，根据三角形的内角和定理求出的度数，角平分线求出的度数，再根据三角形的内角和定理和对顶角相等，求出的度数，进而利用三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分于点P， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选B． 24．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，平分交的延长线于点，平分交的延长线于点，与交于点，与互余，下列说法：①；②；③若，则；④若，则，正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、直角三角形的两个锐角互余、根据平行线判定与性质求角度、锐角互余的三角形是直角三角形、角平分线的有关计算 【详解】解：平分，平分， ，， ， ， ，， ∴， ∴①②正确， 若，则，题目中没告知与的位置关系， ∴无法求出的大小； 若， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ∴④正确． 25．（2026·湖南岳阳·一模）如图，体育课上，张老师用旧轮胎帮助同学们进行负重训练，绳子与水平地面的夹角为，绳子与人体的夹角，则人体的倾斜角__________°． 【答案】 75 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】根据三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：∵是的外角，， ∴． 26．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）一个直角三角形的两个锐角的和为________度． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：∵直角三角形的两个锐角互余， ∴一个直角三角形的两个锐角的和为度， 故答案为：． 27．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，直线，l与a、b交于E、F点，平分交a于P点，若，则__°． 【答案】35 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点，掌握三角形外角的性质成为解题的关键． 先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后再根据三角形外角的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵直线，， ∴， ∵平分交a于P点，， ∴， ∵, ∴，解得：． 故答案为：35． 28．（23-24七年级下·四川成都·期中）中，，，那么为________． 【答案】80 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形内角和定理得，解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】根据三角形内角和定理得， 故答案为：80． 29．（22-23七年级下·内蒙古包头·期末）如图，是的角平分线，若，，则_______度． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查三角形内角和定理和角平分线到了．由三角形内角和定理求出，由角平分线定义得到即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 故答案为：． 30．（2026·重庆·二模）如图，，E为平面内一点，连接交于点F．若，，则的度数是________． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数 【分析】根据平行线的性质求出，根据三角形外角的性质可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 【考点3】角平分线、中线与三角形综合（第31-42题） · 角平分线找等角 · 中线平分面积求面积比 · 多知识综合列方程 31．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段检测）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、2且a、b是关于x的一元二次方程的两根，求m的值（   ） A．9 B．10 C．9或10 D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义，构成三角形的条件．分当2为腰长时，当2为底边长时，利用根与系数的关系得到，，进而求出a、b的值，再根据三角形三边的关系进行求解即可． 【详解】解：当2为腰长时，假设此时， ∵，是关于的一元二次方程的两根， ∴， ∴， ∴此时等腰三角形的三边长为，，，不能构成三角形，不符合题意； 当2为底边长时，则， ∵，是关于的一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴， ∴此时等腰三角形的三边长为，，，能构成三角形，符合题意，， ∴， ∴， 综上所述，的值为10． 故选：B． 32．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在直角三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使边与边重合，则的长为______．    【答案】/10度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形折叠中的角度问题 【分析】由折叠的性质可得，然后根据直角三角形的两个锐角互余可得，进而根据三角形外角的性质可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可知， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质、三角形外角的性质及折叠的性质，熟练掌握直角三角形的性质、三角形外角的性质及折叠的性质是解题的关键． 33．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，是角平分线，是边上的高．若，，则________． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义可求出的度数，由三角形的高的定义和三角形内角和定理可求出的度数，据此由角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 34．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，点在的延长线上，，，则________． 【答案】/度 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形的外角性质，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 35．（25-26七年级下·重庆万州·期中）已知a，b，c是的三条边长，化简的结果为____． 【答案】 【知识点】整式的加减运算、三角形三边关系的应用、带有字母的绝对值化简问题 【分析】先根据三角形三边关系判断每个绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简绝对值，最后合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵a，b，c是的三条边长， ∴， ∴， ∴ ． 36．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段检测）在中，，是的高，所在直线交于点（点与都不重合），则的度数为_____（用含的代数式表示）． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，分三种情况讨论：当是锐角时，当是钝角时，当是直角时，分别依据三角形内角和定理以及四边形内角和，即可得到的度数，解决问题的关键是画出图形分类讨论，利用三角形内角和是进行推算． 【详解】解： ①、如图①，若是锐角三角形， ∵是高， ∴在四边形中， ； ②、如图②，若是钝角三角形， ∵是高， ③、当是钝角时，同理可得） ④、当是钝角时，如图③， ∵是高， 又 ∴四边形中， ⑤、当是直角时，不合题意，舍去； 综上所述，的度数为或． 37．（25-26七年级下·重庆北碚·期末）如图，______． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，然后利用三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解：如图， ∵是的外角，是的外角， ∴，， 又∵， ∴． 38．（24-25八年级上·四川自贡·阶段检测）如图，在中，，分别平分，，且，交于点O，为外角的平分线，交的延长线于点E，已知，则的度数为______． 【答案】/115度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，进而得到，再利用的外角即可解答． 【详解】解：∵平分， ， ∵为外角的平分线， ， ， ， ， 又， ， 故答案为：． 39．（24-25八年级上·浙江温州·阶段检测）在中，的平分线与的平分线相交于点，的外角平分线与的外角平分线相交于点．若，则________． 【答案】125 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、平角的性质、角平分线等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键． 由三角形内角和定理得，，，根据角平分线定义得，，则，再根据平角的定义可得，然后根据角平分线的定义可得，则，最后根据三角形的内角和定理解答即可． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∵的外角平分线与的外角平分线相交于点， ∴，， ∴， ∴， ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：125． 40．（23-24八年级上·河南商丘·期中）如图，是的角平分线，是的高，，点F为边上一点，当为直角三角形时，的度数为_________． 【答案】或 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】分、两种情况、分别画出图形，再依据三角形内角和定理以及角平分线的定义即可解答．灵活利用三角形内角和定理和分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：如图1:当时， ∵是的角平分线，， ∴， ∴中，； 如图2:当时， ． 故答案为：或． 41．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）在中，是边上的高，，，则的度数为___________． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形的性质、角的和与差．本题分为锐角三角形和为钝角三角形两种情况，画出相应的图形再根据三角形的高以及直角三角形两锐角互余，由图形中角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如下图所示，当为锐角三角形时， ，， ， ， 又， ； 如下图所示，当为钝角三角形时， ，， ， ， 又， ． 故答案为：或． 42．（24-25八年级上·河北保定·期中）已知的三边长是． (1)用“”或“”填空： ， ， ． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】三角形三边关系的应用、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题主要考查三角形三边数量关系，绝对值的化简，掌握三角形中三边数量，去绝对值的方法是解题的关键． （1）根据三角形中三角边的数量关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行判定即可求解； （2）根据绝对值的性质“正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0”化简计算即可求解． 【详解】（1）解：由三角形三边的数量关系得，，，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：由（1）可得，，，， ∴ ． 【考点4】等腰三角形与平行线（第43-52题） · 等边对等角求底角 · 三线合一灵活使用 · 平行线性质结合三角形角 43．（23-24八年级上·四川绵阳·期中）如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两直线平行同位角相等、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，本题先求解，再利用平行线的性质证明，，从而可得答案． 【详解】解：延长交于点H，如图所示：    ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 故选：C． 44．（23-24八年级上·浙江温州·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由等腰三角形的性质可得，，由外角性质可得，可得，根据题意得，求出即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又 ∴ ∴，解得，, ∴， 故选：C． 45．（21-22七年级下·江苏连云港·期中）如图，的角平分线相交于，且于，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论是（    ）    A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算 【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案． 【详解】①∵， ∴， 又∵是的角平分线， ∴，故正确； ②∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． ∵，且， ∴，即， ∴，故正确； ③条件不足，无法证明平分，故错误； ④∵， ∴， ∴， ∴，故正确． 故选B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理及多边形内角和，三角形外角的性质，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键． 46．（26-27八年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图，在中，，点D为边的延长线上一点，过点D作，若比大，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【详解】解： 在 中，， ． 比 大 ， ． 解得 ． ， ． 47．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，为边的延长线上一点，且，若，则________． 【答案】 【知识点】等边对等角、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握“同一个三角形中，等边对等角”是解题的关键．由，得，由，得，进而即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 48．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，已知四边形中，为上一点，连接、，与的延长线交于点，，，则的度数为______． 【答案】/50度 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质 【分析】题目主要考查平行线的性质及三角形外角的定义，对顶角相等，理解题意，找出各角之间的关系是解题关键． 设，则，结合图形得出，再由平行线的性质确定，根据三角形外角的定义得出，利用对顶角相等即可求解，然后代入计算即可． 【详解】解：设，则， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 49．（23-24七年级下·贵州黔南·期中）如图，，若，，则的度数为______． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】根据平行线的性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：， ， 在中，，， ． 故答案为：． 50．（25-26七年级下·陕西·期中）一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为______． 【答案】15或18 【知识点】等腰三角形的定义、构成三角形的条件 【分析】分两种情况讨论腰长的取值，再根据三角形三边关系验证能否组成三角形，最后计算周长． 【详解】解：分两种情况讨论∶ 情况一∶若腰长为，则底边长为，此时三角形三边长分别为、、． ∵，，满足三角形三边关系：任意两边之和大于第三边， ∴该情况成立，此时周长为． 情况二∶若腰长为，则底边长为，此时三角形三边长分别为、、． ∵，，满足三角形三边关系：任意两边之和大于第三边， ∴该情况成立，此时周长为． 51．（23-24七年级下·全国·暑假作业）如图所示，在中，． 求证：是直角三角形． 【答案】 证明：， ， ， ， 是直角三角形． 【知识点】三角形内角和定理的应用、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，可证明．在中，已知，等量代换可证是直角三角形，熟记直角三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】略． 52．（24-25八年级上·云南昭通·阶段检测）如图，在中，是的高．延长到点F，和的平分线交于点G，求的度数． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，三角形外角的性质等知识点，由，，，推出是解题的关键． 由和的角平分线交于点G可得，，由三角形外角的性质可得，，进而可得，则，由是的高可得，然后根据即可求出的度数． 【详解】解：和的角平分线交于点G， ，， ，， ， ， 是的高， ， ． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 三边关系注意两边之差取严格小于 · 内角和与外角性质是角度计算核心 · 中线平分面积、角平分线找等角 · 等腰三角形先确认等边对等角 · 综合题先画图标角再列式计算 【作业1】（23-24八年级下·江西抚州·阶段检测）如图，在中，平分平分，且，，，求的周长． 【答案】5 【知识点】三角形角平分线的定义、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由角平分线的定义，得，结合平行线的性质，得，进行角难度等量代换，得，再结合等角对等边，即可作答． 【详解】解：如图： ∵平分平分 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 则的周长 【作业2】（23-24八年级上·云南楚雄·期中）已知，等腰三角形两边的长分别为和，求这个等腰三角形的周长． 【答案】或 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是分是腰长与底边两种情况讨论求解． 【详解】解：①是腰长时，三角形的三边分别为、、， 能组成三角形，周长， ②是底边长时，三角形的三边分别为、、， 能组成三角形，周长， 综上所述，这个等腰三角形的周长是或． 【作业3】（25-26八年级上·吉林·阶段检测）如图，已知、分别是的两个外角、的平分线，且，求的度数. 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 先根据分别是的平分线可知，再由是的两个外角得出，故 根据在中即可得出结论． 【详解】解：∵分别是的平分线， ∵是的两个外角， ∴， 在中， ∵， ∴． 【作业4】（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，在边上，，求的度数． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】此题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，根据三角形内角和定理，可求出的度数，利用三角形的外角性质即可求得度数． 【详解】解：， ， ， ． 【作业5】（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如图，相交于点E，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】 解：与的位置关系是平行；理由如下： ∵， ∴， ∴． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质等知识，属于基础题；由三角形外角的性质得，再由平行线的判定即可得与的位置关系是平行． 【详解】略 【作业6】（24-25七年级下·山东聊城·期末）问题情境：综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图①，直线 ，直线分别交于点的平分线交于点．试判断和的数量关系，并说明理由． (1)数学思考：请你解答上边的问题； (2)深入探究：有点是射线上不与、重合的一点，过点作交于点，连接． ①当点在点右侧时（如图②），为探究与之间的数量关系，小飞过点作，请根据他的思路，写出与之间的数量关系，并说明理由； ②当时，的平分线交于点所在直线与直线交于点，若，试求的度数． 【答案】(1) 解：． 理由：因为， 所以. 因为平分， 所以， 所以； (2)① 解：． 理由：因为， 所以， 所以， 所以． ②或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，准确识图，灵活运用相关知识是解题的关键； 对于（1），根据平行线的性质得，再根据角平分线的定义得，然后根据等量代换得出答案； 对于（2），分两种情况：当点在点右侧时，先根据平行线的性质得，进而得出，及，然后根据三角形外角的性质得，可得答案；当点在点和A之间时，仿照上述解答过程，最后根据解答即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：当点在点右侧时因为， 所以，， 所以. 因为平分， 所以. 因为， 所以； 当点在点和A之间时， 因为， 所以， 所以. 因为平分， 所以， 因为， 所以． 【作业7】（24-25八年级上·广东珠海·阶段检测）如图，在中，与的平分线交于点P． (1)若，则________； (2)若，试用含的式子表示的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义． （1）由三角形的内角和定理可求得，又由角平分线得到，，从而，即可解答； （2）同（1）思路即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线交于点P ∴，， ∴． 故答案为： （2）解： 平分，平分 ． 【作业8】（24-25八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，点在上，点在上，、交于点，且， ，，求的度数． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，由三角形外角的性质得，，得，由可得，，由可得结论． 【详解】解：，， ， 又， ，， 又，， ． 【作业9】（23-24七年级下·河北邢台·阶段检测）如图，在中，是的角平分线，P为线段上的一个动点，交直线于点E． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，若是锐角，请对说明理由． 【答案】(1) (2) 证明：设，， ∵平分， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理得到，然后根据角平分线的定义得到，然后利用直角三角形的两锐角互余解题； （2）设，，根据角平分线和三角形的内角和得到，然后再利用直角三角形的两锐角互余解题即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵ ∴； （2）略 【作业10】（23-24七年级下·江苏泰州·期中）如图，已知，点A、B分别在上运动（不与点O重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点． (1)如图1，若，点为线段上位于内一点，连接，若，则______； (2)如图2，求的度数（用m的代数式表示）； (3)若，则______． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查三角内角和定理，角平分线和三角形外角的性质，解题的关键是熟记三角形内角和定理． （1）结合题意求出，根据三角形内角和是求解即可； （2）由题意得到，即可求出答案； （3）结合（2）解方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：平分，平分， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ． 故答案为：． 【作业11】（23-24七年级下·北京·期中）如图，已知四边形中，点为上一点，与交于点，． (1)若，求的度数； (2)若，平分，，求． 【答案】(1)； (2)； 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据平行线判定与性质求角度、角平分线的有关计算 【分析】（1）本题考查平行线的性质，根据得到，结合即可得到答案； （2）本题考查平行线的性质和判定，三角形的内角和定理，角平分线有关计算，根据得到，结合得到，从而得到，得到，根据平分，得到，结合及三角形内角和定理即可得到答案； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴． 【作业12】（23-24七年级下·江西宜春·阶段检测）如图，点在线段上，点、在线段上，于点H，于点K，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1) 证明： ，， ， ， ， ， ； (2) 【知识点】三角形角平分线的定义、根据平行线判定与性质证明、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的性质与判定及角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）根据，，易证，得到，由，等量代换推出，依据内错角相等，两直线平行即可证明； （2）（2）由得，可得，根据角平分线的定义得，再由，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 【作业13】（26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的角平分线，．求证：． 【答案】证明：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． 【知识点】三角形角平分线的定义、根据平行线判定与性质证明、同位角相等两直线平行、角平分线的有关计算 【分析】因为是的角平分线，所以根据角平分线的定义，可得到与的数量关系，计算出的度数．对比和的度数，如果二者相等，那么根据“同位角相等，两直线平行”的判定定理，即可证明． 【详解】略 【作业14】（25-26八年级下·江西吉安·期中）解答下列问题： (1)解不等式：． (2)如图，将沿的方向平移得到，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一元一次不等式的解集、三角形内角和定理的应用、利用平移的性质求解 【分析】（1）按照解一元一次不等式的步骤进行即可； （2）利用平移的性质求得，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得； （2）解：由平移得， 在中，． 【作业15】（25-26七年级上·全国·课后作业）在中，是中的角平分线． (1)若是的高，且（如图1），求的度数； (2)若F是上一点，且，垂足为G（如图2），求证：； (3)若F是延长线上一点，且为垂足（如图3），（2）中结论是否依然成立？ 【答案】(1) (2) 证明：∵ ， ∵， 又， ． (3) 成立． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理，外角定理，角平分线的有关计算，熟练掌握三角形内角和定理，外角定理是解题的关键． （1）先由三角形内角和定理求得，由角平分线得到，根据互余关系求解，再由即可求解； （2）由互余和三角形外角性质得到，，再由三角形内角和定理得到，然后代入化简即可； （3）同（2）解题思路即可求解． 【详解】（1）解：由题意得． 又是的角平分线， ． 又是的高， ． ． （2）略 （3）解：成立，理由如下． 证明：同理，，， 又， ． 即． 【作业16】（24-25七年级下·北京·期中）（1）如图，按要求画图并回答问题： ①过点画点到直线的垂线段，垂足为； ②过点画直线，交的延长线于点； ③在线段，，中，最短的是______，理由为______． （2）已知：如图，直线，被，所截，平分，，，，求的大小． 补充完成下列推理过程： ∵，（已知）， ∴， ∴（______）， ∴______（______）． ∵（已知）， ∴______（等量代换）． ∵平分（已知）， ∴（角平分线定义）． ∵（已证）， ∴______（______）． 【答案】 （1）①②如图，即为所作： ③，垂线段最短； （2）同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等； ；；两直线平行，内错角相等． 【知识点】画三角形的高、根据平行线判定与性质求角度、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查了画三角形的高，和过直线外一点作已知直线的平行线，平行线的判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据画三角形的高和画平行线的方法即可作图，根据垂线段最短即可作答； （2）根据平行线的判定与性质即可求解． 【详解】解：（1）在线段，，中，最短的是，理由为垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短； （2）故答案为：同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；；两直线平行，内错角相等． 【作业17】（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）【结论发现】 小明在完成教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论应用】 （1）如图1，在中，，点E是的内角平分线与外角平分线的交点，则的度数为 °； （2）如图2，在中，，延长至点E，延长至点D，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于P、F，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，则的度数为______． 【答案】（1）20；（2）；（3）200 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）设，由角平分线定义得，，，由三角形外角定理得，，则，据此得，因此当时可得的度数； （2）先求出，进而得，再由（1）可知，据此可得的度数； （3）①延长，交于，延长，交于，先求出，，再根据，得，则，由此可得的度数． 【详解】解：（1）设， 平分，平分， ，，， ，， 整理得：， 当时，， 故答案为：20； （2）和是邻补角， ， 平分，平分， ，， ， 即， ， 由（1）可知， ； （3）①延长，交于，延长，交于，如下图所示： ，， 即， 同理：， ，， ， 由（1）可知：， ； 故答案为：200． 【点睛】此题主要考查了角平分线定义，邻补角定义，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，准确识图，理解角平分线定义，邻补角定义，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理是解决问题的关键． 【作业18】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点，都在轴上，点的横坐标为，点的横坐标为，实数，满足． (1)求点，的坐标； (2)如图，点从坐标原点出发，以个单位/秒的速度沿轴向终点运动，点运动的时间为秒，的中点为点，点的横坐标为，用含的代数式表示，不必写出的范围； (3)如图，在（2）的条件下，第一象限内的点到轴的距离为，点的纵坐标为，点在轴负半轴，四边形的面积为，三角形的面积为，三角形的面积为，点在第四象限，过点作，连接交于点，，，当时，求三角形的面积． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2) (3) 【知识点】坐标系中的动点问题（不含函数）、绝对值非负性、加减消元法、三角形内角和定理的应用、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】（1）根据绝对值的非负性和偶次方的非负性列出方程组求解即可； （2）根据题意得出点的横坐标为，，则，再表示出，根据点为的中点，列出等式，变形即可解答； （3）由题意得出，设，（在轴负半轴），表示出​，从而得出四边形面积，结合题中四边形的面积为，列方程求出，则，表示出，，根据，列方程求出，，，， 根据，，结合三角形内角和定理证明轴，从而得出，最后根据割补法求三角形的面积即可； 【详解】（1）解：，，， ，， ， 解方程组得， ∴点的坐标为，点的坐标为． （2）解：点从坐标原点出发，以个单位/秒的速度沿轴向右运动，点运动的时间为秒， ， ∴点的横坐标为， ∵点的横坐标为，点在轴正半轴， ， ， ∵点的坐标为， ， ， ∵点为的中点，         ， ， ∴用含的代数式表示为：． （3）解：由题意，在第一象限，到轴距离为2，点的纵坐标为，则， 设，（在轴负半轴）， ∵， ∴​， ∴四边形面积 ， ∵四边形的面积为， ∴，解得，则， ∵， ∴， ， ∵， ∴，解得：或， ∵，∴． 当时，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴轴， 又在第四象限， ∴， 分别过点作轴垂线，分别交轴于点，如图， ∵，，， ∴，，，，， ∴， ∴的面积为． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章·三角形·期中复习·培优提升讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 理解三角形的基本概念，掌握三边关系与第三边取值范围的确定方法 · 掌握三角形内角和定理与外角的性质，会进行角度计算 · 理解中线、角平分线、高线的性质，能利用它们求线段长度与面积 · 掌握等腰三角形等边对等角的性质与应用 · 能综合运用三角形知识结合平行线解决几何问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.三角形的边 三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 确定第三边取值范围：两边之差<第三边<两边之和 三角形具有稳定性，四边形不具有 中线平分对边，把三角形分成面积相等的两部分 概念辨析例题：已知三角形的两边长分别为3和7，则第三边a的取值范围是（　　）A．a>4　B．a<10　C．4<a<10　D．4≤a≤10 答案：C 解析：第三边大于两边之差且小于两边之和：7-3<a<7+3，即4<a<10。故选C。 ✅️ 2.三角形的角 三角形内角和定理：三角形三个内角之和等于180° 外角的性质：外角等于与它不相邻的两个内角之和 直角三角形的两个锐角互余 与角平分线相关的角度计算：角平分线把角分成两个相等的角 概念辨析例题：在△ABC中，∠A=50°，∠B=∠C，则∠B的度数为（　　）A．50°　B．60°　C．65°　D．70° 答案：C 解析：∠A+∠B+∠C=180°，∠B=∠C，所以50°+2∠B=180°，解得∠B=65°。故选C。 ✅️ 3.三角形的中线、角平分线与高 中线：连接顶点与对边中点的线段，平分对边且平分三角形面积 角平分线：平分内角的射线，角平分线上的点到角两边距离相等 高：从顶点向对边作垂线，垂线段是三角形的高 重心：三条中线的交点，重心把每条中线分成2:1两部分 概念辨析例题：如图，AD是△ABC的中线，若△ABD的面积为6，则△ABC的面积为（　　）A．6　B．9　C．12　D．18 答案：C 解析：AD是中线，将△ABC分成面积相等的两个三角形，所以S△ABC=2S△ABD=12。故选C。 ✅️ 4.等腰三角形与平行线综合 等腰三角形：两腰相等，等边对等角 等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边高线三线合一 平行线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 综合应用：结合平行线与三角形性质进行角度计算与证明 概念辨析例题：在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=80°，则底角∠B的度数为（　　）A．40°　B．50°　C．60°　D．80° 答案：B 解析：AB=AC，所以∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，80°+2∠B=180°，∠B=50°。故选B。 🧀 知识总结表 核心概念 性质/定理 注意事项 三角形三边关系 两边之和>第三边>两边之差 求范围用两边之差<第三边<两边之和 内角和定理 三个内角之和180° 外角=不相邻两内角之和 中线 平分对边与面积 重心分中线2:1 角平分线 平分角，点到两边等距 角度计算先找等角 等腰三角形 等边对等角 顶角平分线三线合一 📩 核心考点 【考点1】三角形的基本概念与三边关系（第1-14题） · 三边关系判断能否构成三角形 · 第三边范围用两边之差<第三边<两边之和 · 中线把三角形面积平分 1．（23-24七年级下·广东湛江·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多3，与的和为13，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25七年级下·江西鹰潭·阶段检测）若的两边长分别为3和8，则第三边的长不可能是（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 3．（24-25七年级下·重庆·阶段检测）如图，工人师傅在砌门时，常用木条固定长方形门框，这里所运用的几何原理是（   ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短 4．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，D为中边上的一点，，，，E是上的一点，且的面积等于面积的3倍，的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．不确定 5．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）已知三角形的两条边长分别是，，则该三角形的周长不可能是（） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，是上一点，是的中点，，分别是，的中点．若阴影部分面积为2，则的面积为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 7．（25-26八年级上·新疆巴州·期末）如图，在中，D是的中点，连接，若的面积是5，则的面积是________． 8．（25-26八年级上·全国·期中）若一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边的长为偶数，则这个三角形的周长是______． 9．（23-24七年级下·重庆江北·期末）设的面积为m，如图E、D，分别是边靠近点A和点C的4等分点，连接，相交于点O，与的面积差记为S，则S的值为________． 10．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）刘家峡大桥是采用单跨桁式加劲梁悬索桥，主大桥结构采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是________． 11．（24-25六年级下·上海·期中）如图所示，在中，，求阴影部分面积是三角形面积的______（几分之几）． 12．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，点O是的重心，延长交于点D，延长交于点E．若，则_______． 13．（23-24八年级上·重庆垫江·阶段检测）在中，为边的中线．若与的周长差为，则________． 14．（25-26七年级下·四川达州·期末）某种花卉供不应求，王伯伯打算将原有的一块种植地△ABC进行改造，改造方案如下:分别延长的至点，使得分别为的中点，依次连接点得，已知的面积为，改造甲区域成本为元，扩建乙区域成本为元，则改造总费用为____元． 【考点2】三角形的内角与外角（第15-30题） · 内角和180°列方程求角 · 外角等于不相邻两内角之和 · 直角三角形两锐角互余 15．（23-24八年级上·河南商丘·期末）等腰中，、为三角形的角平分线，且、交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24八年级上·山西大同·期末）如图，是内一点，连接，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 17．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）将一副三角板按如图所示的方式放置，图中的大小等于（   ） A． B． C． D． 18．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，在中，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 19．（23-24七年级下·广西桂林·期末）在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列结论正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 20．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，分别平分和，且相交于，，于点G，则下列结论：①；②；③：④；⑤是等腰直角三角形，其中正确的结论是（     ） A．①③④⑤ B．①②③④ C．①②③ D．①③④ 21．（22-23八年级上·山东德州·阶段检测）如图，，平分交于点，，，，分别是，延长线上的点，和的平分线交于点．下列选项错误的是（    ） A． B． C．平分 D．为定值 22．（23-24八年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图所示，在中，，的角平分线与的外角的平分线所在的直线交于点D，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 23．（25-26八年级上·广西百色·阶段检测）如图，在中，平分于点P，交的延长线于点M．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 24．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图，在四边形中，平分交的延长线于点，平分交的延长线于点，与交于点，与互余，下列说法：①；②；③若，则；④若，则，正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 25．（2026·湖南岳阳·一模）如图，体育课上，张老师用旧轮胎帮助同学们进行负重训练，绳子与水平地面的夹角为，绳子与人体的夹角，则人体的倾斜角__________°． 26．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）一个直角三角形的两个锐角的和为________度． 27．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，直线，l与a、b交于E、F点，平分交a于P点，若，则__°． 28．（23-24七年级下·四川成都·期中）中，，，那么为________． 29．（22-23七年级下·内蒙古包头·期末）如图，是的角平分线，若，，则_______度． 30．（2026·重庆·二模）如图，，E为平面内一点，连接交于点F．若，，则的度数是________． 【考点3】角平分线、中线与三角形综合（第31-42题） · 角平分线找等角 · 中线平分面积求面积比 · 多知识综合列方程 31．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段检测）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、2且a、b是关于x的一元二次方程的两根，求m的值（   ） A．9 B．10 C．9或10 D． 32．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在直角三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使边与边重合，则的长为______．    33．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，是角平分线，是边上的高．若，，则________． 34．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，点在的延长线上，，，则________． 35．（25-26七年级下·重庆万州·期中）已知a，b，c是的三条边长，化简的结果为____． 36．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段检测）在中，，是的高，所在直线交于点（点与都不重合），则的度数为_____（用含的代数式表示）． 37．（25-26七年级下·重庆北碚·期末）如图，______． 38．（24-25八年级上·四川自贡·阶段检测）如图，在中，，分别平分，，且，交于点O，为外角的平分线，交的延长线于点E，已知，则的度数为______． 39．（24-25八年级上·浙江温州·阶段检测）在中，的平分线与的平分线相交于点，的外角平分线与的外角平分线相交于点．若，则________． 40．（23-24八年级上·河南商丘·期中）如图，是的角平分线，是的高，，点F为边上一点，当为直角三角形时，的度数为_________． 41．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）在中，是边上的高，，，则的度数为___________． 42．（24-25八年级上·河北保定·期中）已知的三边长是． (1)用“”或“”填空： ， ， ． (2)化简：． 【考点4】等腰三角形与平行线（第43-52题） · 等边对等角求底角 · 三线合一灵活使用 · 平行线性质结合三角形角 43．（23-24八年级上·四川绵阳·期中）如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 44．（23-24八年级上·浙江温州·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 45．（21-22七年级下·江苏连云港·期中）如图，的角平分线相交于，且于，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论是（    ）    A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 46．（26-27八年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图，在中，，点D为边的延长线上一点，过点D作，若比大，则的度数为（     ） A． B． C． D． 47．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，为边的延长线上一点，且，若，则________． 48．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，已知四边形中，为上一点，连接、，与的延长线交于点，，，则的度数为______． 49．（23-24七年级下·贵州黔南·期中）如图，，若，，则的度数为______． 50．（25-26七年级下·陕西·期中）一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为______． 51．（23-24七年级下·全国·暑假作业）如图所示，在中，． 求证：是直角三角形． 52．（24-25八年级上·云南昭通·阶段检测）如图，在中，是的高．延长到点F，和的平分线交于点G，求的度数． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 三边关系注意两边之差取严格小于 · 内角和与外角性质是角度计算核心 · 中线平分面积、角平分线找等角 · 等腰三角形先确认等边对等角 · 综合题先画图标角再列式计算 【作业1】（23-24八年级下·江西抚州·阶段检测）如图，在中，平分平分，且，，，求的周长． 【作业2】（23-24八年级上·云南楚雄·期中）已知，等腰三角形两边的长分别为和，求这个等腰三角形的周长． 【作业3】（25-26八年级上·吉林·阶段检测）如图，已知、分别是的两个外角、的平分线，且，求的度数. 【作业4】（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，在边上，，求的度数． 【作业5】（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如图，相交于点E，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【作业6】（24-25七年级下·山东聊城·期末）问题情境：综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图①，直线 ，直线分别交于点的平分线交于点．试判断和的数量关系，并说明理由． (1)数学思考：请你解答上边的问题； (2)深入探究：有点是射线上不与、重合的一点，过点作交于点，连接． ①当点在点右侧时（如图②），为探究与之间的数量关系，小飞过点作，请根据他的思路，写出与之间的数量关系，并说明理由； ②当时，的平分线交于点所在直线与直线交于点，若，试求的度数． 【作业7】（24-25八年级上·广东珠海·阶段检测）如图，在中，与的平分线交于点P． (1)若，则________； (2)若，试用含的式子表示的值． 【作业8】（24-25八年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，点在上，点在上，、交于点，且， ，，求的度数． 【作业9】（23-24七年级下·河北邢台·阶段检测）如图，在中，是的角平分线，P为线段上的一个动点，交直线于点E． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，若是锐角，请对说明理由． 【作业10】（23-24七年级下·江苏泰州·期中）如图，已知，点A、B分别在上运动（不与点O重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点． (1)如图1，若，点为线段上位于内一点，连接，若，则______； (2)如图2，求的度数（用m的代数式表示）； (3)若，则______． 【作业11】（23-24七年级下·北京·期中）如图，已知四边形中，点为上一点，与交于点，． (1)若，求的度数； (2)若，平分，，求． 【作业12】（23-24七年级下·江西宜春·阶段检测）如图，点在线段上，点、在线段上，于点H，于点K，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【作业13】（26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，是的角平分线，．求证：． 【作业14】（25-26八年级下·江西吉安·期中）解答下列问题： (1)解不等式：． (2)如图，将沿的方向平移得到，若，求的度数． 【作业15】（25-26七年级上·全国·课后作业）在中，是中的角平分线． (1)若是的高，且（如图1），求的度数； (2)若F是上一点，且，垂足为G（如图2），求证：； (3)若F是延长线上一点，且为垂足（如图3），（2）中结论是否依然成立？ 【作业16】（24-25七年级下·北京·期中）（1）如图，按要求画图并回答问题： ①过点画点到直线的垂线段，垂足为； ②过点画直线，交的延长线于点； ③在线段，，中，最短的是______，理由为______． （2）已知：如图，直线，被，所截，平分，，，，求的大小． 补充完成下列推理过程： ∵，（已知）， ∴， ∴（______）， ∴______（______）． ∵（已知）， ∴______（等量代换）． ∵平分（已知）， ∴（角平分线定义）． ∵（已证）， ∴______（______）． 【作业17】（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）【结论发现】 小明在完成教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论应用】 （1）如图1，在中，，点E是的内角平分线与外角平分线的交点，则的度数为 °； （2）如图2，在中，，延长至点E，延长至点D，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于P、F，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，则的度数为______． 【作业18】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点，都在轴上，点的横坐标为，点的横坐标为，实数，满足． (1)求点，的坐标； (2)如图，点从坐标原点出发，以个单位/秒的速度沿轴向终点运动，点运动的时间为秒，的中点为点，点的横坐标为，用含的代数式表示，不必写出的范围； (3)如图，在（2）的条件下，第一象限内的点到轴的距离为，点的纵坐标为，点在轴负半轴，四边形的面积为，三角形的面积为，三角形的面积为，点在第四象限，过点作，连接交于点，，，当时，求三角形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $