专题03全等三角形及其性质、判定、角平分线期中复习讲义（核心知识点+典例精讲+分层专项训练）2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题03全等三角形及其性质、判定、角平分线期中复习讲义 ✵复习目标 · 1.认识全等形与全等三角形，掌握全等三角形的性质，规范全等的书写格式。 · 2.熟练掌握 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 五种判定方法，能结合图形条件选择合适判定证明全等。 · 3.掌握角平分线的尺规作图、性质与判定，区分性质与判定的条件和结论。 · 4.能挖掘公共边、公共角、对顶角等隐含条件，规范书写全等证明与几何推理步骤。 ✵高频题型梳理 题型1.图形的全等 题型2.全等三角形的概念与性质 题型3.尺规作图——作三角形、作一个角等于已知角 题型4.用SAS证明三角形全等及SAS综合 题型5.用SSS证明三角形全等及SSS综合 题型6.用ASA（AAS）证明三角形全等及ASA（AAS）综合 题型7.用HL证明直角三角形全等及HL综合问题 题型8.全等三角形判定综合 题型9.倍长中线模型 题型10.旋转模型 题型11.垂线模型 题型12.证明一条线段等于两条线段的和差 题型13.全等三角形综合问题 题型14.角平分线尺规作图 题型15.角平分线的性质与判定 题型16.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一 全等三角形的概念与性质 1.全等形：能够完全重合的图形叫做全等形。平移、翻折、旋转前后的图形全等，形状、大小不变。 2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点、边、角依次称为对应顶点、对应边、对应角。 表示：符号≌，读作 “全等于”；书写时对应顶点对齐，如△ABC ≌△DEF。 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 推论：全等三角形周长、面积相等；对应中线、高、角平分线分别相等。 知识点二 三角形全等的判定 提示：判定全等至少需要一组边相等；AAA、SSA不能判定三角形全等。 SSS（边边边）：三边分别相等的两个三角形全等。 SAS（边角边）：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（必须是夹角）。 ASA（角边角）：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 AAS（角角边）：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等。 HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，仅适用于直角三角形。 知识点三、角平分线的性质与判定 性质定理： 角平分线上的点，到角两边的距离相等。 几何语言：∵ OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥ OB于D∴PC=PD 注意：距离指垂线段长度，必须具备垂直条件。 判定定理:在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 几何语言：∵PC=PD，PC⊥OA于C，PD⊥ OB于D ∴点P在∠AOB的平分线上 注意：运用判定定理，需要同时满足 “点在角内部”“垂直距离” 两个条件。 ✵易错提醒 1. 书写全等时，对应顶点位置必须对齐。 2. SAS 判定中，一定要是两边的夹角，SSA 不能证全等。 3. HL 只对直角三角形生效，普通三角形不能使用。 4. 使用角平分线性质、判定时，不能缺少垂直条件。 5. 公共边、公共角、对顶角是常见隐含相等条件，审题优先挖掘。 6.证明题要写明推理依据，步骤规范。 ✵典例精讲 题型1.图形的全等 1．如图，三个等腰直角三角形中有三个正方形，那么图中阴影部分与这三个等腰直三角形余下白色部分的面积相比较，（　　） A．白色部分大 B．阴影部分大 C．两者一样大 D．无法确定大小关系 2．下列说法正确的是____________（填写语句的序号）： ①形状相同的图形是全等图形；      ②边长相等的等边三角形是全等图形； ③面积相等的三角形是全等三角形；  ④平移前后的两个图形一定是全等形； ⑤全等图形的对应边和对应角都相等． 3．图（），图（）都是由边长为的小正方形和腰长为的等腰直角三角形组成的图形． (1)用实线把图（）分割成六个全等图形； (2)用实线把图（）分割成四个全等图形． 题型2.全等三角形的概念与性质 1．如图，在方格纸中，以为一边作，使之与全等，从，，，四个点中找出符合条件的点P，则点P有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 2．如图，，点在内，连接，若，，则图中阴影部分的面积为________． 3．如图，，，，，交于，． (1)求的度数； (2)求的度数． 题型3.尺规作图——作三角形、作一个角等于已知角 1．如图，已知，根据尺规作图痕迹，可知的度数为（     ） A． B． C． D． 2．已知在与中，若，，，若则______度． 3．请你根据以下材料解决下列问题： 已知：．求作：，使得． 作法：如下图． （1）作． （2）在射线上截取，在射线上截取． （3）连接线段，则即为所求作的三角形．                   (1)根据作图痕迹补全证明． 由作图可知，在和中， 所以_______． (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______（填序号）． ①    ②     ③     ④ 题型4.用SAS证明三角形全等及SAS综合 1．如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具．这样可以利用三角形全等，通过量出的长度，就可知工件内径是否符合标准．其中说明的依据是（     ） A． B． C． D． 2．如图，数学活动课上，小勤用“X”型转动钳测量圆柱形小口容器壁的厚度．已知，，，，则该容器壁的厚度为_________． 3．已知：如图，，，，求证：． 题型5.用SSS证明三角形全等及SSS综合 1．如图，已知，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点；以点为圆心，的长为半径作弧，与以点为圆心，的长为半径所作的弧交于点，连接，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，，，是上两点，，，，则的度数为________． 3．如图，，求证：． 题型6.用ASA（AAS）证明三角形全等及ASA（AAS）综合 1．如图，在中，点，分别在边，上，与相交于点，若，，则的依据是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，D，E是外两点，连接，与交于点F，已知，，若，，则的长为__________． 3．如图，，，求证：． 题型7.用HL证明直角三角形全等及HL综合问题 1．如图，在和中，，．若用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 2．如图，于C，，，，则的长为_________． 3．如图 ，在和中，．求证：． 题型8.全等三角形判定综合 1．如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，，则图中共有________对全等三角形． 3．如图①所示为一条长的线段．已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为（请在图中标出已知角的度数和已知边的长度，尺规作图，保留作图痕迹）． (1)请在图②中画出一个满足题设条件的三角形． (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请在图③中画出所有这样的三角形；若不能，请说明理由． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有__________个． 题型9.倍长中线模型 1．如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（     ） A． B． C． D．无法确定 2．已知，中，，，是边中线，则的取值范围是______ 3．在中，是中线． (1)若，，直接写出的取值范围； (2)如图1，在（1）的条件下，求的取值范围； (3)在图2中作一条直线，使这条直线过顶点，并且与边平行（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 题型10.旋转模型 1．如图，中，，，，点是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则______． 3．解答下列各题 【问题情景】如图①：四边形中，，．，分别是，上的点，且．试探究图中与之间的数量关系． (1)【初步思考】小明同学探究此问题的方法是：延长到，使，连接． 先证明，再证明，从而得出，最后得出与之间的数量关系是_______________． (2)【探索延伸】如图②，将问题情景中条件“”改为“”，其余条件不变，上述数量关系是否成立，成立，请证明；不成立，说明理由． (3)【实际应用】如图③，在某次军事演习中舰艇甲在指挥中心（O）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，两舰艇到指挥中心距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以30海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以40海里/小时的速度前进，1小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达，处且相距70海里．求此时两舰艇的位置与指挥中心（处）形成的夹角的大小． 题型11.垂线模型 1．如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，且，则点C的坐标为________． 3．阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 题型12.证明一条线段等于两条线段的和差 1．已知，中，，，一直线过顶点，过，分别作其垂线，垂足分别为，．如图，求证：； 2．已知，在中，，，一直线过顶点，过、分别作这条直线的垂线，垂足分别为、． (1)如图，求证：； (2)如图，请直接写出、、三者之间的关系________． 3．（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 题型13.全等三角形综合问题 1．如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，，，．点从点出发沿路径以每秒的速度向点运动；点从点出发沿路径以每秒的速度向点运动．点在点出发后开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过和作于，于．设点的运动时间为秒，则当_______秒时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等． 3．如图①是一个鱼尾形风筝，风筝骨架如图②所示，其中主骨架，垂足为点O，，平分，这样设计能够保证两翼宽度一致（即），从而平稳飞行． (1)请说明这样设计的理由； (2)要给骨架贴上布面，连接、，若风筝主骨架的长为，，则需要的布料面积（即四边形的面积）是多少？（不包含尾翼和飘带） 题型14.角平分线尺规作图 1．如图，在中，以顶点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，作于点，若，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，．根据尺规作图的痕迹作射线交于点，过点作于点．若，则的周长为________． 3．如图，， (1)求作射线，使平分，交于（尺规作图保留痕迹，不写作法）； (2)求的度数． 题型15.角平分线的性质与判定 1．如图，、、分别平分、、，于点D，若的周长为32，，则的面积为（     ） A．8 B．16 C．32 D．48 2．如图，交的延长线于点E，于点F，若，，则下列结论：①；②平分；③；④中正确的是________． 3．如图，于E，于F，若，， (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． ✵分层专项训练 一、单选题 1．如图，，，，则（     ） A． B．2 C． D．3 2．如图，已知，要使，不能添加一个条件是（     ） A． B． C． D． 3．如图是“作一个角等于已知角”的尺规作图及其步骤，则下列说法错误的是（） 作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． A．在作法步骤（2）中，可以得到 B．在作法步骤（3）中，可以得到 C． D．判断的依据是 4．如图已知，增加以下一个条件，仍不能判定与全等的是（     ） A．B． C． D． 5．如图，已知在中，于点R，于点S，，，则四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（     ） A．全部正确 B．仅①②③正确 C．仅①②正确 D．仅①④正确 二、填空题 6．如图，在中，和的外角平分线、交于点P，于点E．若的周长为12，，，则______；______． 7．将一张面积为的三角形纸板按如图所示的方式依次折叠，如图1，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，如图2，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，与相交于点．经测量得知，纸板的三边的长分别为，则点到的距离为__________．    8．如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，则______度． 9．如图所示，，点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴负半轴上运动，且． （1）点P到x轴的距离是_________． （2）若点，则点B的坐标为_________． 三、解答题 10．如图：，若是的中点，连接，并延长交于点， (1)求证； (2)连接，判断与的大小关系，并说明理由． 11．如图，已知：，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 12．如图，，都是等腰三角形，，，，连接和相交于点E，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 13．综合与实践 (1)【问题探究】如图1，在中，，的平分线交于点D，过点D作于点E．证明：． (2)【问题探究】在（1）的基础上，如图2，点F是边上一点，连接，且，判断与之间的数量关系，并说明理由． (3)【问题解决】若图2中的是一块空地，和是三条小路（小路宽度忽略不计）．现要在区域内种植鲜花，已知区域的面积为，，，请直接写出种植鲜花的面积（的面积）． 14．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究实验活动，请你和他们一起活动吧． (1)【初步探索】：如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围．以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是；中线的取值范围是____________． (2)【灵活运用】：如图2，在中，点是的中点，，其中，连接，试判断与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】：如图3，在五边形中，，，为边上的中线，求证：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03全等三角形及其性质、判定、角平分线期中复习讲义 ✵复习目标 1.认识全等形与全等三角形，掌握全等三角形的性质，规范全等的书写格式。 2.熟练掌握 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 五种判定方法，能结合图形条件选择合适判定证明全等。 3.掌握角平分线的尺规作图、性质与判定，区分性质与判定的条件和结论。 4.能挖掘公共边、公共角、对顶角等隐含条件，规范书写全等证明与几何推理步骤。 ✵高频题型梳理 题型1.图形的全等 题型2.全等三角形的概念与性质 题型3.尺规作图——作三角形、作一个角等于已知角 题型4.用SAS证明三角形全等及SAS综合 题型5.用SSS证明三角形全等及SSS综合 题型6.用ASA（AAS）证明三角形全等及ASA（AAS）综合 题型7.用HL证明直角三角形全等及HL综合问题 题型8.全等三角形判定综合 题型9.倍长中线模型 题型10.旋转模型 题型11.垂线模型 题型12.证明一条线段等于两条线段的和差 题型13.全等三角形综合问题 题型14.角平分线尺规作图 题型15.角平分线的性质与判定 题型16.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一 全等三角形的概念与性质 1.全等形：能够完全重合的图形叫做全等形。平移、翻折、旋转前后的图形全等，形状、大小不变。 2.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点、边、角依次称为对应顶点、对应边、对应角。 表示：符号≌，读作 “全等于”；书写时对应顶点对齐，如△ABC ≌△DEF。 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 推论：全等三角形周长、面积相等；对应中线、高、角平分线分别相等。 知识点二 三角形全等的判定 提示：判定全等至少需要一组边相等；AAA、SSA不能判定三角形全等。 SSS（边边边）：三边分别相等的两个三角形全等。 SAS（边角边）：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（必须是夹角）。 ASA（角边角）：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。 AAS（角角边）：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等。 HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，仅适用于直角三角形。 知识点三、角平分线的性质与判定 性质定理： 角平分线上的点，到角两边的距离相等。 几何语言：∵ OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥ OB于D∴PC=PD 注意：距离指垂线段长度，必须具备垂直条件。 判定定理:在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 几何语言：∵PC=PD，PC⊥OA于C，PD⊥ OB于D∴点P在∠AOB的平分线上 注意：运用判定定理，需要同时满足 “点在角内部”“垂直距离” 两个条件。 ✵易错提醒 1. 书写全等时，对应顶点位置必须对齐。 2. SAS 判定中，一定要是两边的夹角，SSA 不能证全等。 3. HL 只对直角三角形生效，普通三角形不能使用。 4. 使用角平分线性质、判定时，不能缺少垂直条件。 5. 公共边、公共角、对顶角是常见隐含相等条件，审题优先挖掘。 6.证明题要写明推理依据，步骤规范。 ✵典例精讲 题型1.图形的全等 1．如图，三个等腰直角三角形中有三个正方形，那么图中阴影部分与这三个等腰直三角形余下白色部分的面积相比较，（　　） A．白色部分大 B．阴影部分大 C．两者一样大 D．无法确定大小关系 【答案】A 【分析】此题考查了全等图形，根据图示可知三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形，进而利用全等图形的性质解答即可，解题的关键是根据三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形解答． 【详解】解：如图， 由图可知三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形， ∴，， ∴图中阴影部分小于余下白色部分的面积， 故选：． 2．下列说法正确的是____________（填写语句的序号）： ①形状相同的图形是全等图形；      ②边长相等的等边三角形是全等图形； ③面积相等的三角形是全等三角形；  ④平移前后的两个图形一定是全等形； ⑤全等图形的对应边和对应角都相等． 【答案】②④⑤ 【分析】本题主要考查了全等形的定义与性质，掌握完全重合的两个图形是全等形成为解题的关键． 根据全等图形的定义和性质逐个判断即可． 【详解】解：①形状相同，大小相等的图形是全等形，错误；②边长相等的等边三角形是全等图形，正确；③面积相等的三角形是全等三角形，错误；④平移前后的两个图形一定是全等形，正确；⑤全等图形的对应边和对应角都相等，正确． 所以，正确的说法有②④⑤． 故答案为：②④⑤． 3．图（），图（）都是由边长为的小正方形和腰长为的等腰直角三角形组成的图形． (1)用实线把图（）分割成六个全等图形； (2)用实线把图（）分割成四个全等图形． 【答案】(1) 解：如图，分成的每一个图形的面积为 ，分成六个等腰直角三角形， ； (2) 解：如图，分成的每一个图形的面积为 ，分成四个直角梯形， ． 【分析】本题考查了复杂作图，根据面积确定出分成的每一个图形的面积是解题的关键． （）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成六个等腰直角三角形即可； （）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成四个直角梯形即可． 【详解】（1）略 （2） 略 题型2.全等三角形的概念与性质 1．如图，在方格纸中，以为一边作，使之与全等，从，，，四个点中找出符合条件的点P，则点P有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】根据能够完全重合的两个三角形全等，进行判断即可. 【详解】解：如图， 观察可知，只有和两个三角形通过翻折，旋转后能与完全重合，能与全等； 故符合条件的点P有2个. 2．如图，，点在内，连接，若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】8 【分析】根据全等三角形面积相等、对应边相等和对应角相等，将阴影面积进行转化，利用等量代换得到阴影面积等于的面积，再利用面积公式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 3．如图，，，，，交于，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由全等三角形的性质得到，进而可证明； （2）由全等三角形的性质得到，结合，可得，则，可知，然后求得，从而可求得的度数． 【详解】（1）解：， ． ． ． （2）解：， ． ∵ ． ． ∴． ∵． ∴． ∴． 题型3.尺规作图——作三角形、作一个角等于已知角 1．如图，已知，根据尺规作图痕迹，可知的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据尺规作图痕迹，判断作图是作一个角等于已知角，得到，然后利用三角形外角的性质，求出． 【详解】解：由尺规作图痕迹可知，所作． 是的外角， ． 2．已知在与中，若，，，若则______度． 【答案】130或50 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，作一个角等于已知角，作三角形，根据题意作，，再作交于点，点，作于点G，作于点H，易证，再根据三角形全等的性质即可解答． 【详解】解：如图，作，，再作交于点，点，作于点G，作于点H， 当为锐角， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 当为钝角时， 同理得， ∴； ∴； 综上，的角度为或． 故答案为：130或50． 3．请你根据以下材料解决下列问题： 已知：．求作：，使得． 作法：如下图． （1）作． （2）在射线上截取，在射线上截取． （3）连接线段，则即为所求作的三角形．                   (1)根据作图痕迹补全证明． 由作图可知，在和中， 所以_______． (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______（填序号）． ①    ②     ③     ④ 【答案】(1)，， (2)③ 【分析】（1）由作图可知，，，根据可证； （2）由证明三角形全等的边和角之间的位置关系可知，证明的依据是． 【详解】（1）证明：由作图可知，在和中， ； （2）解：证明的边和角之间的位置关系是两边夹一角， 证明的依据是． 题型4.用SAS证明三角形全等及SAS综合 1．如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具．这样可以利用三角形全等，通过量出的长度，就可知工件内径是否符合标准．其中说明的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定定理，即可求解． 【详解】解：由题意可知，点为，的中点， ，． 又， ． 2．如图，数学活动课上，小勤用“X”型转动钳测量圆柱形小口容器壁的厚度．已知，，，，则该容器壁的厚度为_________． 【答案】2 【分析】利用证明，得出，结合的长度计算壁厚． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴该容器壁的厚度是． 3．已知：如图，，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴． 【分析】先证明，进而根据，即可证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】略 题型5.用SSS证明三角形全等及SSS综合 1．如图，已知，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点；以点为圆心，的长为半径作弧，与以点为圆心，的长为半径所作的弧交于点，连接，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定（），熟练掌握“三边分别相等的两个三角形全等（）”是解题的关键． 根据作图过程得出三角形三边的等量关系，再依据全等三角形判定定理判断． 【详解】解：∵以点为圆心，长为半径作弧交于， ∴． ∵以点为圆心，长为半径作弧，以为圆心，长为半径作弧交于， ∴，． 在和中， ∴（）． 故选：． 2．如图，，，，是上两点，，，，则的度数为________． 【答案】 【分析】由“”先证明，得出，，利用三角形的内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ， ∴． 3．如图，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】证明，再证明，即可证明． 【详解】略 题型6.用ASA（AAS）证明三角形全等及ASA（AAS）综合 1．如图，在中，点，分别在边，上，与相交于点，若，，则的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先找出两个三角形的三组条件：公共角，夹边，另一组角，两角夹一边，对应 判定． 【详解】解：在和△中 2．如图，在中，，D，E是外两点，连接，与交于点F，已知，，若，，则的长为__________． 【答案】5 【分析】证明，再由全等三角形的对应边相等，结合线段和差求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴． 3．如图，，，求证：． 【答案】证明：在和中， ， ∴， ∴． 【详解】略． 题型7.用HL证明直角三角形全等及HL综合问题 1．如图，在和中，，．若用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形判定方法“”即可求解． 【详解】解：∵，， ∴用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是． 2．如图，于C，，，，则的长为_________． 【答案】2 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 3．如图 ，在和中，．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴， ∴． 【分析】根据推导出，再根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】略 题型8.全等三角形判定综合 1．如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： A. ，，，为 ，不能判定 ，故本选项符合题意 ； B. ，，，符合，能判定 ，故本选项不符合题意； C. ，，，符合 ，能判定 ，故本选项不符合题意； D. ，，，符合 ，能判定 ，故本选项不符合题意 ． 2．如图，已知，，，则图中共有________对全等三角形． 【答案】3 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质，由平行线的性质可得，再利用全等三角形的判定与性质证明即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， 综上所述，图中共有对全等三角形， 故答案为：． 3．如图①所示为一条长的线段．已知一个三角形的两条边长分别是和，一个内角为（请在图中标出已知角的度数和已知边的长度，尺规作图，保留作图痕迹）． (1)请在图②中画出一个满足题设条件的三角形． (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请在图③中画出所有这样的三角形；若不能，请说明理由． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是和，一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有__________个． 【答案】(1)解：如图，取，在上截取，在上截取，连接，即为所求． (2)解：能，由图③知，在上截取，以为圆心以长为半径画弧交于点，连接，如图，即为所求． (3)4 【分析】（1）确定的边和角正常尺规作图即可． （2）和（1）相同的条件，作不全等三角形，角度位置不变，改变长边位置即可． （3）需要分类讨论角度对应的边长，角度对应边不同三角形就不同，共有4个不同三角形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：以已知角为两线段的夹角，可画出一个三角形， 以长的边作角的对边，可画出两个满足条件的三角形， 以长的边作为角的对边，可画出一个满足条件的三角形， ∴满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有个． 题型9.倍长中线模型 1．如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：为边上的中线， ， 在和中， ， ， ∴ 在中，，即， 解得． 2．已知，中，，，是边中线，则的取值范围是______ 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．延长到点E，使，连接，由可证，可得，由三角形三边关系可得． 【详解】解：如图，延长到点E，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵中，， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．在中，是中线． (1)若，，直接写出的取值范围； (2)如图1，在（1）的条件下，求的取值范围； (3)在图2中作一条直线，使这条直线过顶点，并且与边平行（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)； (2)． (3) 【分析】（1）根据三角形三边关系计算即可； （2）延长到，使，连接，证明，根据三角形三边关系计算即可； （3）根据“内错角相等两直线平行”作图即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：延长到，使，连接， 是中线 在和中， ， ， ， ， ， ， ． （3） 略 题型10.旋转模型 1．如图，中，，，，点是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，取AB的中点T，连接PT，过点T作TH⊥AC于H．证明△TBP≌△CBQ（SAS），推出CQ=PT，根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PT的值最小，最小值=TH=AT=5． 【详解】解：如图，取AB的中点T，连接PT，过点T作TH⊥AC于H． ∵∠ACB=90°，∠A=30°， ∴AB=2BC，∠ABC=60°， ∵AT=TB， ∴BC=BT， ∵BP=BQ，∠CBT=∠PBQ， ∴∠CBT-∠PBC=∠PBQ-∠PBC，即∠TBP=∠CBQ， ∴△TBP≌△CBQ（SAS）， ∴CQ=PT， 根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PT的值最小，最小值=TH=AT=AB=5， ∴CQ的最小值为5． 故选A 【点睛】本题考查旋转变换，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 2．如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则______． 【答案】 【分析】在CD上截取CG=CF，连接AG，可得，设AC=CD=3x，则CF=CG=2x，GD=x，再证明，进而即可求解． 【详解】解：在CD上截取CG=CF，连接AG， ∵AC=CD，∠ACG=∠DCF=90°， ∴， ∴∠AGC=∠CFD， 设AC=CD=3x，则CF=CG=2x，GD=x， ∵∠EAB=∠EAF+∠CAB=∠CAB+∠B=90°， ∴∠EAF=∠B， ∴∠E=∠CFD-∠EAF=∠AGC-∠B=∠GAB， 又∵AE=AB， ∴， ∴AF=BG=5x， ∴BD=BG-GD=4x， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 3．解答下列各题 【问题情景】如图①：四边形中，，．，分别是，上的点，且．试探究图中与之间的数量关系． (1)【初步思考】小明同学探究此问题的方法是：延长到，使，连接． 先证明，再证明，从而得出，最后得出与之间的数量关系是_______________． (2)【探索延伸】如图②，将问题情景中条件“”改为“”，其余条件不变，上述数量关系是否成立，成立，请证明；不成立，说明理由． (3)【实际应用】如图③，在某次军事演习中舰艇甲在指挥中心（O）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，两舰艇到指挥中心距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以30海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以40海里/小时的速度前进，1小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达，处且相距70海里．求此时两舰艇的位置与指挥中心（处）形成的夹角的大小． 【答案】(1) (2)成立，证明如下： 延长到，使，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； (3) 【分析】（1）根据题干给出的条件及方法，利用全等三角形的判定和性质证明即可； （2）方法同（1）求解即可； （3）连接，延长相交于点C，根据题意得，，，确定，，然后得出题目符合探索延伸中的条件，利用（2）中结论求解即可． 【详解】（1）解：延长到，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：连接，延长相交于点C， 根据题意得，，， ∵舰艇甲向正东方向以30海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以40海里/小时的速度前进1小时， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 又∵， 且， ∴符合探索延伸中的条件， 由题意知， 又∵ 答：此时两舰艇的位置与指挥中心(O处)形成的夹角的大小为． 题型11.垂线模型 1．如图，小敏将等腰直角三角板放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系、全等三角形的判定及性质，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点，点分别作，垂直于轴，通过证明，得到，，即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，过点，点分别作，垂直于轴， 则， ∴， ∵点C与x轴上表示的点重合，点B坐标为， ∴，，， ∴， 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，且，则点C的坐标为________． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质． 根据点C的不同位置分两种情况讨论，根据“一线三直角”模型构造三角形全等，利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：分两种情况讨论： ①如图， 过点B作x轴的平行线，过点A，C分别向平行线作垂线，垂足分别为点D，E， ∴ ∵，， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； ②如图， 过点B作y轴的平行线，过点A，C分别向平行线作垂线，垂足分别为点D，E， ∴ ∵，， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 综上所述，点C的坐标为或． 故答案为：或 3．阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过“一线三垂直”模型，证明，得． （2）同理证，得，再通过计算的长度． （3）作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型，证，结合A、C的坐标差得到线段长度，即可计算B点坐标． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ； （3）解：如图3过点作轴，过点作轴， 过点作轴，分别与交于点， 轴，轴，轴， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 点坐标为． 【点睛】考查 “一线三垂直”模型、全等三角形的判定（AAS）、等腰直角三角形的性质、平面直角坐标系中点的坐标计算．解题关键识别“一线三垂直”模型，准确找到全等三角形的对应边、对应角；坐标系中利用垂直辅助线将点的坐标差转化为线段长度． 题型12.证明一条线段等于两条线段的和差 1．已知，中，，，一直线过顶点，过，分别作其垂线，垂足分别为，．如图，求证：； 【答案】证明：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ． 【分析】根据同角的余角相等可证，可证，根据全等三角形对应边相等可证结论成立． 【详解】略 2．已知，在中，，，一直线过顶点，过、分别作这条直线的垂线，垂足分别为、． (1)如图，求证：； (2)如图，请直接写出、、三者之间的关系________． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）根据垂直的定义和余角的性质得到，，再利用即可证明结论； （2）先证明，可得，，再由，即可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 3．（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 【答案】（1）①； ②问题①中结论仍然成立，理由如下： ， ， ， 又，， ， ，， ； （2）G是的中点，理由如下： 如图，作于M，于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴点G是的中点． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握相关判定方法及性质是解题的关键． （1）①由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； ②由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）作于M，于N，先证，根据全等三角形的性质得到，同理，由此可得，再由此证明，由全等三角形的性质得到，于是得到点G是的中点． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：； ②略 （2） 略 题型13.全等三角形综合问题 1．如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵，，结合全等三角形的判定定理（）逐个分析选项： A、添加，满足（两角及其中一角的对边相等），可以判定； B、添加，满足（两角及其夹边相等），可以判定； C、添加，不能判定； D、添加，满足（两边及其夹角相等），可以判定． 2．如图，中，，，．点从点出发沿路径以每秒的速度向点运动；点从点出发沿路径以每秒的速度向点运动．点在点出发后开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过和作于，于．设点的运动时间为秒，则当_______秒时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等． 【答案】5或9 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．利用分类讨论的思想方法分三种情况解答：①当时，点M在上，点N在上，当时，求得t值；②当时，点M在上，若，即M与N重合；③当时，点N在上，点M在上，当时，求得t值即可． 【详解】 解：点M从A到C的时间：；从C到B的时间：； 点N从B到C的时间：；从C到A的时间：； 点N出发4秒后，点M开始运动，则点N到点C的时间为：；而点M到点C的时间为：； ①当时，点M在上，如图， 此时有：， 当时， 即：， ∴． ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ②当时，点M在上，若，即M与N重合， 则， ； ③当时，点N在上，点M在上，如图， 当时， 则， ∴（不符合题意）． 综上所述：当t等于5或9秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等． 故答案为：5或9． 3．如图①是一个鱼尾形风筝，风筝骨架如图②所示，其中主骨架，垂足为点O，，平分，这样设计能够保证两翼宽度一致（即），从而平稳飞行． (1)请说明这样设计的理由； (2)要给骨架贴上布面，连接、，若风筝主骨架的长为，，则需要的布料面积（即四边形的面积）是多少？（不包含尾翼和飘带） 【答案】(1)解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明，再证明，即可求解； （2）根据面积的计算得到，代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图： ∵， ∴，， ∵， ∴ ． 题型14.角平分线尺规作图 1．如图，在中，以顶点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，作于点，若，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D作交的延长线于点F，由作图方法可知，平分，由角平分线的性质得到的长，再由三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作交的延长线于点F， 由作图方法可知，平分， ∵，，， ∴， ∵， ∴． 2．如图，在中，，．根据尺规作图的痕迹作射线交于点，过点作于点．若，则的周长为________． 【答案】8 【分析】根据尺规作图痕迹可知是的平分线，然后利用角平分线的性质可证得，根据全等的性质和已知条件进行等量代换，即可求解． 【详解】解：根据尺规作图痕迹可知，是的平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 则的周长为． 3．如图，， (1)求作射线，使平分，交于（尺规作图保留痕迹，不写作法）； (2)求的度数． 【答案】(1)解：如图所示：为所作的平分线， (2) 【分析】（1）按照尺规作图作角平分线的方法作的平分线即可； （2）利用两直线平行，内错角相等求出的度数，再利用角平分线可求，继而根据三角形的外角进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， 平分 ， ． 题型15.角平分线的性质与判定 1．如图，、、分别平分、、，于点D，若的周长为32，，则的面积为（     ） A．8 B．16 C．32 D．48 【答案】D 【分析】由角平分线的性质可得点到三边的距离相等，利用面积分割法将大三角形面积转化为三个小三角形面积之和进行计算． 【详解】解：如图，过点作于，于， 分别平分，，，，， ， 的周长为32， ， ． 2．如图，交的延长线于点E，于点F，若，，则下列结论：①；②平分；③；④中正确的是________． 【答案】①②④ 【分析】利用证明可得，再证明可得及平分，最后结合线段的和差关系推导与的关系． 【详解】解：∵，， ， 在和中， ， ， ，故①正确； ，，， 平分，故②正确； 在中，∵， ，故③错误； 在和中， ， ， ， 点E在的延长线上， ， ，，， ，故④正确； 综上所述，正确的是①②④． 3．如图，于E，于F，若，， (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点在的角平分线上，即平分． (2)2 【分析】（1）根据，判断、是直角三角形，再根据判定定理即可判定、全等，根据全等性质得，再根据角平分线判定定理即可判定平分． （2）根据，判断、是直角三角形，再根据判定定理即可判定、全等，根据全等性质得，再根据，，进而得，，再根据即可列方程，解出即可得的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴， ∵，，，，， ∴，， ∴，解得：， ∴的长为2． ✵分层专项训练 一、单选题 1．如图，，，，则（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】根据全等三角形的性质可得，再根据线段的加减即可解答． 【详解】解：， ， ．即． ，， ． 2．如图，已知，要使，不能添加一个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定进行解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴； ∵，，， ∴； ∵，，， ∴； 添加后无法证明． 3．如图是“作一个角等于已知角”的尺规作图及其步骤，则下列说法错误的是（） 作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． A．在作法步骤（2）中，可以得到 B．在作法步骤（3）中，可以得到 C． D．判断的依据是 【答案】D 【分析】根据尺规作图步骤得出三边对应相等，利用全等三角形判定定理判断． 【详解】解：步骤（2）中以长为半径画弧， ，故A正确． 步骤（3）中以长为半径画弧， ，故B正确． ， ，故C正确，D错误． 4．如图已知，增加以下一个条件，仍不能判定与全等的是（     ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定已知条件：因为，，所以，且两个三角形有公共边，两个三角形均为直角三角形．逐一分析每个选项给出的条件，结合直角三角形全等判定定理（），判断是否能满足全等判定的要求． 找出不符合全等判定条件的选项即可． 【详解】解：，， ∴， 且两个三角形和有公共斜边， 逐一分析选项： 选项A： ， 只能证明和的三个内角对应相等，没有对应边相等， 和中：，公共，， 无法推出或者一组直角边相等， 不能判定． 选项B： ， 两个直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等， 符合直角三角形全等的判定定理， 可证． 选项C： ， 同理，斜边和另一条直角边对应相等， 符合判定， 可证两个三角形全等． 选项D：， 结合已知的、公共边， 符合全等判定， 可证． 5．如图，已知在中，于点R，于点S，，，则四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（     ） A．全部正确 B．仅①②③正确 C．仅①②正确 D．仅①④正确 【答案】C 【分析】根据条件证明，然后根据全等三角形的性质得出①正确，再利用平行线的判定定理可得②正确，根据已知条件无法证明③④． 【详解】解：①∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 故①正确，符合题意； ②∵，， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ③根据现有条件无法证明， 故③错误，不符合题意； ④根据现有条件无法证明， 故④错误，不符合题意； 综上所述，结论正确的有：①②． 二、填空题 6．如图，在中，和的外角平分线、交于点P，于点E．若的周长为12，，，则______；______． 【答案】 【分析】过点P分别作，连接，由角平分线的性质定理可得，然后可得，则有，进而根据割补法可进行求解． 【详解】解：过点P分别作，连接，如图所示： ∵和的外角平分线、交于点P，， ∴， ∵， ∴， ∵的周长为12， ∴， ∴ ． 7．将一张面积为的三角形纸板按如图所示的方式依次折叠，如图1，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，如图2，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，与相交于点．经测量得知，纸板的三边的长分别为，则点到的距离为__________．    【答案】 【分析】根据题意可得，点是角平分线的交点，根据角平分线的性质可得点到三边的距离都相等，设点到三边的距离为，根据三角形面积的计算方法即可求解． 【详解】解：∵点落在边上的点处，折痕所在的直线为， ∴是的角平分线， ∵点落在边上的点处，折痕所在的直线为， ∴是的角平分线， ∴点是角平分线的交点，如图所示，连接，    ∴点到三边的距离都相等，设点到三边的距离为， ∴，且的长分别为，， ∴，，， ∴， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的折叠，角平分线的性质的综合，掌握角平分线的交点到角两边的距离相等，几何图形面积的计算方法等知识是解题的关键． 8．如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，则______度． 【答案】 【分析】连接，利用平行线的性质和全等三角形的判定得出、及是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 和中， ， ，， ， ， 即， 是等腰直角三角形， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是根据平行线判定与性质求角度、连接两点作辅助线、等腰三角形的性质和判定，解题关键是利用辅助线构造等腰三角形． 9．如图所示，，点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴负半轴上运动，且． （1）点P到x轴的距离是_________． （2）若点，则点B的坐标为_________． 【答案】 2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形性质，熟练掌握三角形全等的判断方法是解题的关键． （1）点到轴的距离为纵坐标的绝对值； （2）过点作 轴于，作轴于，根据点的坐标可得，然后利用“HL”证明，根据全等三角形性质求出，再写出点的坐标即可． 【详解】解：（1）， 点到轴的距离为． 故答案为：2． （2）过点作轴于点，作轴于点，如图． ， ． ， ． 在和中， ， ， ， ∴点B的坐标为． 故答案为：． 三、解答题 10．如图：，若是的中点，连接，并延长交于点， (1)求证； (2)连接，判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：是的中点， ， ， ， 在和中， ， ； (2)解：， 理由：如图，连接，， ， ， ， 在和中， ， ， . 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）证明，即可得出结论. 【详解】（1）略 （2）略 11．如图，已知：，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）由平行线的性质得到，再证明，即可利用证明； （2）根据线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 12．如图，，都是等腰三角形，，，，连接和相交于点E，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 证明：过点O作于M，于N，如图， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分. 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）过点O作于M，于N，证明，得到，即可得到结论. 【详解】（1）略 （2）略 13．综合与实践 (1)【问题探究】如图1，在中，，的平分线交于点D，过点D作于点E．证明：． (2)【问题探究】在（1）的基础上，如图2，点F是边上一点，连接，且，判断与之间的数量关系，并说明理由． (3)【问题解决】若图2中的是一块空地，和是三条小路（小路宽度忽略不计）．现要在区域内种植鲜花，已知区域的面积为，，，请直接写出种植鲜花的面积（的面积）． 【答案】(1)证明：∵平分， ． ，且， ． 在和中，， ， (2)解：，理由如下， ， ． 由（1），得， ． 在和中，， ． (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义得出相等的角，证明，即可得出结论； （2）利用证明，即可得出结论； （3）根据三角形的面积求出，然后结合相等的线段得出，最后利用三角形的面积公式求解． 【详解】（1）解：略； （2）解：略； （3）解：∵，且， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为， ∴种植鲜花的面积为． 14．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究实验活动，请你和他们一起活动吧． (1)【初步探索】：如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围．以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是；中线的取值范围是____________． (2)【灵活运用】：如图2，在中，点是的中点，，其中，连接，试判断与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】：如图3，在五边形中，，，为边上的中线，求证：． 【答案】(1)，； (2)，理由如下： 延长至， 使， 连接，如图所示： 由（1）得：， ， 即， 在和中， 延长交于，如图所示： ，即 (3)证明：延长，交于点，如图所示： ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，即 ， 【分析】（1）延长至，使， 连接，如图所示，证明得出， 在中， 由三角形的三边关系即可得出结论； （2）延长至， 使， 连接， 如图所示，由（1）得：， 由全等三角形的性质得出， 得到， 证明得出， 则；延长交于， 证明即可得出结论； （3）延长，交于点，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得到，根据垂直的定义证明即可 【详解】（1）延长至，使， 连接，如图所示： ∵是边上的中线，， ∴， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形三边关系可得， ∴， 即， ， 故答案为： ；； （2）略 （3）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $