29.2.2 圆心角 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

29.2.2 圆心角 29.2 圆的有关性质 1、理解圆的旋转不变性. 2、了解圆心角、弦心距的概念. 3、掌握圆心角、弧和弦及弦上的弦心距的关系定理. 学习目标 2 www.gzsxw.net 港中数学网　收集整理 ☆复习引入 1、圆是轴对称图形吗？它的对称轴是？垂径定理的内容是？我们是怎样证明垂径定理的? 圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线。垂径定理是根据圆的轴对称性进行证明的. 2、绕圆心转动一个圆，它会发生什么变化吗？圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？ 它是不会发生变化的，我们称之为“圆具有旋转不变性”.圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心. 今天这节课我们将运用圆的旋转不变性去探究弧、弦、圆心角、弦心距的关系定理. · 圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. O B A 一、概念 练一练：找出右上图中的圆心角. 圆心角有：∠AOD,∠BOD,∠AOB 补充：弧的度数指的是弧所对的圆心角的度数. 过点O作弦AB的垂线, 垂足为D,则垂线段OD的长度,即圆心到弦的距离，叫弦心距 判一判：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由. ① ② ③ ④ 圆内角 圆外角 圆周角（后面会学到） 圆心角 练习1：如图，AB为⊙O的弦，∠A＝40°，则AB所对的圆心角等于(　　) A．40° B．80° C．100° D.120° ⌒ C 跟踪练习： 显然∠AOB＝∠A′OB′ · A O B 探究一 A′ B′ 如图，在⊙O中，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 可得到： C C′ AB=A′B′ OC=OC′ 7 · O A B 探究一 思考：如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠A′O ′ B′， 你发现的等量关系是否依然成立？为什么？ · O ′ A′ B′ 由∠AOB＝∠A′O ′ B′可得到： OC=OC′ AB=A′B′ · O A B C C′ 四者关系定理 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。 小结 知一推三 思考 四者关系定理中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 练习2、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空： （1）如果AB=CD，那么 _____________,________,____________。 （2）如果OE=OF，那么 _____________,________,____________。 （3）如果AB=CD 那么 ______________,__________,____________。 （4）如果∠AOB=∠COD，那么 _________,________,_________。 ⌒ ⌒ ∠AOB=∠COD OE=OF AB=CD ⌒ ⌒ ∠AOB=∠COD AB=CD AB=CD ⌒ ⌒ ∠AOB=∠COD AB=CD OE=OF OE=OF AB=CD AB=CD ⌒ ⌒ 跟踪练习： 符号语言 利用弧、弦、圆心角的关系求角度 解： ∵BC=CD=DE 例1： 如图，AB是⊙O 的直径，BC=CD=DE. ∠COD=35°，求∠AOE 的度数． · A O B C D E ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 典例分析 12 证明： ∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形. 又∠ACB=60°， ∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA. ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. 例2：如图，在⊙O中， AB=AC ,∠ACB=60°, 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. · A B C O ⌒ ⌒ 温馨提示： 本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键. ∵AB=CD， ⌒ ⌒ 典例分析 例3.如图，已知点O是∠EPF 的平分线上一点，P点在圆外， 以O为圆心的圆与∠EPF 的两边分别相交于A、B和C、D. 求证：AB=CD 证明: 作 , 垂足分别为M 、 N . OM=ON AB=CD . P A B E C M N D F O . P B E D F O A C . 如图，P点在圆上，PB=PD吗？ P点在圆内，AB=CD吗？ 追问： P B E M N D F O M N 同圆或者等圆中，弦心距相等 弦相等. （2025•项城市三模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E，C是 的中点，连接AF．若⊙O的半径为5，且AF＝8，则AE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 B 跟踪练习： 圆心角 圆心角 相等 弧 相等 弦 相等 弦、弧、圆心角弦心距的关系定理 在同圆或等圆中 概念：顶点在圆心的角 应用提醒 ①要注意前提条件； ②要灵活转化. 课堂小结 弦心距 相等 1．如果两个圆心角相等，那么 （ ） A．这两个圆心角所对的弦相等 B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D．以上说法都不对 2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 　. D 60 ° 3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则AB与CD的关系是（ ） ⌒ ⌒ A A. AB=2CD ⌒ ⌒ B. AB>CD ⌒ ⌒ C. AB<CD ⌒ ⌒ D. 不能确定 达标检测 4．（2025•长沙）如图，AC，BC为⊙O的弦，连接OA，OB，OC．若∠AOB＝40°，∠OCA＝30°，则∠BCO的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 达标检测 5.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AD=BC 求证:AB＝CD. . C A B D O ( ( ∵AD=BC ( ( 达标检测 能力提升： 6.如图，在⊙O中，2∠AOB=∠COD，那么CD=2AB成立吗？CD=2AB也成立吗？请说明理由；如不是，那它们之间的关系又是什么？ ⌒ ⌒ A B C D E O 解： 成立，CD=2AB不成立. 取CD的中点E,连接OE. 那么∠AOB=∠COE=∠DOE,所以 AB=CE=DE . CE+DE=2AB，在△CDE中，CE+DE>CD,即CD＜2AB. 分层作业 22 $